ISO 2854:1976

ISO 2854-1976 (E)
certain Problems,
9) The calculations tan often be greatly reduced by it may be interesting to pair the
making a Change of origin and/or unit on the data. In the observations (for instance in the comparison of two
case of data classified into groups, reference may be made methods or the comparison of two instruments). The
to the formulae in ISO 2602, Statistical interpretation of statistical treatment of paired observations is the subject of
ISO 3301, Statisticalinterpretation of data - Comparison of
test results - Estimation of the mean - Confidence
two means in the case of paired observations, but in
in tervaf.
annex A an example of treatment of paired observations is
NOTE - A Change of origin may be essential to obtain sufficient
given. It uses formally the data of table A”.
accuracy when calculating a variance using the stated formulae with
a low precision calculator or Computer.
11) The Symbols and their definitions used in this
in tables C and C’ deal International Standard are in conformity with ISO 3207,
IO) The methods shown
with the comparison of two means. They assume that the Statistical interpretation of data - Determination of a
statistical tolerante interval.
corresponding samples are independent. For the study of

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TABLES
A - Comparison of a mean with a given value (variance known)
A’ - Comparison of a mean with a given value (variance unknown)
B - Estimation of a mean (variance known)
B’ - Estimation of a mean (variance unknown)
C - Comparison of two means (variances known)
C’ - Comparison of two means (variances unknown, but may be assumed equal)
D - Estimation of the differente of two means (variances known)
D’ - Estimation of the differente of two means (variances unknown, but may be assumed equal)
E - Comparison of a variance or of a Standard deviation with a given value
F
- Estimation of a variance or of a Standard deviation
G
- Comparison of two variances or two Standard deviations
H - Estimation of the ratio of two variances or of two Standard deviations
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TABLE A - Comparison of a mean with a given value (variance known)
Technical characteristics of the population studied (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LI .
Technical characteristics of the Sample items (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I .
Discarded observations (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statistical data Calcuiations
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
cx =
Given value :
m. =
Known value of the population variance :
02 =
Or Standard deviation :
o=
Significance level Chosen (8) :
Cl!=
Resul ts
Comparison of the population mean with the given value m. :
Two-sided case :
The hypothesis of the equality of the population mean to the given value (null hypothesis) is rejected if :
IX --mol > [Ul -cy,2hh 1 0
One-sided cases :
a) The hypothesis that the population mean is not smaller than m. (null hypothesis) is rejected if :
X o (null hypothesis) ,is rejected if :
b) The hypothesis that the population mean is not greater than m
i>mo+[ul-,lfi]o
NOTE - The numbers (5), (6) and (8) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.

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Comments
1) The significance level a! (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
hypothesis is true.
2) U Stands for the standardized normal variate : the value u, is defined by :
P [U Since the distribution of U is symmetrical around Zero, u, = - u1 _ cy.
We therefore have :
P[U>u,]= 1 -a
P[-u,-,,2 Probabiiity density of U (standardized normal distribution)
One-sided cases
Two-sided case
3) o/fi is the Standard deviation of the mean X, in a Sample of n observations.
t 01,2/fi are given in table 1 of annex 5 for a = 0,05 and
4) For convenience in application, values of u1 -&/fi and u _
a! = 0,Ol.
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,
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Comparison of a mean with a given value (variance unknown)
TABLE A’ -
Technical characteristics of the population studied (5) . . . . . . . . . . D . . . . . . . . . . ,
Technical characteristics of the Sample items (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . , . . .
Statistical data
Sample size :
n=
C (x - E)2 Zx2 - (Cx)%
Sum of the observed values :
cx =
Sum of the squares of the observed values :
cx2 =
Given value :
m. =
Degrees of freedom :
V =n-1
Significance level Chosen (8) :
Cl=
Resul ts
Comparison of the population mean with the given value m. :
Two-sided case :
The hypothesis of the equality of the population mean to the given value (null hypothesis) is rejected if :
IX --mol > [tl -cy/201fi] s
One-sided cases :
a) The hypothesis that the population mean is not smaller than m. (null hypothesis) is rejected if :
X [t, -&Nfi ] s
b) The hypothesis that the population mean is not greater than m. (null hypothesis) is rejected if :
Z>mo + [tl-JvVfi]s
NOTE - The numbers (5), (6) and (8) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
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Comments
leve I a (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
1) The signif icance
hypothesis is true.
2) t(v) Stands for Student’s variate with v = n - 1 degrees of freedom : the value t,(v) is defined by
P [t(v) < t&)] = Cl
Since the distribution of t(v) is symmetrical around Zero, t,(v) =- tl -,(v).
We therefore have :
P [t(v) > tJv)] = 1 -0
(v) < t(v) < t,-,/2(V)] = 1 -cI1
Wtl-Cu2
Probability density of Student’s t(v) with v = n - 1 degrees of freedom
t1 - & . ’ t&) = - t1 -Q(V)
q44 = - t1 - Q/2M t1 - cy/2(zJ~
Two-sided case One-sided cases
3) o*/fi is the estimated Standard deviation of the mean x, in a Sample of n observations.
4) For convenience in application, values of t, -(~/~(v)/fi and t, - a(v)/fiare given in table I Ib of annex 5 for 0 = 0,05
and CI = 0,Ol
EXAMPLE : see section two, “Explanatory notes and examples”.

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TABLE 5 - Estimation of a mean (variance known)
Technical characteristics of the population studied (5) . . . . . . . . . I . . . U . . = . . . . ~
Technical characteristics of the Sample items (5) . . . . . . . . . . . . . . . e . . . q . . . .
Discarded observations (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
cx =
Known value of the population variance :
02 zz
Or Standard deviation :
CJ-
Confidence level Chosen (7) :
Resul ts
Estimation of the population mean m :
Two-sided conf idence interval :
l~]o x-[ul-*/2
One-sided confidence intervals :
m or
NOTE - The numbers (5), (6) and (7) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.

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Comments
1) The confidence level 1 - ~1 (see 5 7 of the “General remarks”) is the probability that the confidence interval covers the
true value of the mean.
2) U Stands for the standardized normal variate : the value u, is defined by :
P [U < ucu] = a!
Since the distribution of U is symmetrical around Zero, u, = - u1 _ Q!
We therefore have :
P[U>uJ= l-a!
pc-u,-a/2
Probability density of U (standardized normal distribution)
Two-sided case One-sided cases
3) Q/G is the Standard deviation of the mean X, in a Sample of n observations.
1 &i2/fi and u1 -&/+ are given in table I sf annex 5 for a = 0,05 and
4) For convenience in application, values of u _
cI1= 0,Ol.
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,
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TABLE B’ - Estimation sf a mean (variance unknown)
Technical characteristics of the population studied (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of the Sample items (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m
Discarded observations (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
cx =
Sum of the squares of the observed values :
2x2 =
Degrees of freedom :
v=n--1~
Confidence level Chosen (7) :
[t, -cr,2b)jfi] s =
l--Cl!=
Resul ts
Estimation of the population mean m :
Two-sided conf idence interval :
x-
[t1-01/2bVfi]s~m 07 + [tl-a!2(~)lJGj~
One-sided confidence intervals :
m or
m>F-[t+&)/fi]s
NOTE - The numbers (51, (6) and (7) refer to the corresponding paragraphs of the “General remarks”.
iSO2854=1976(E)
Comments
1) The confidence level 1 -a (see 3 7 of the “General remarks”) is the probability that the confidence interval covers the
true value of the mean.
2) t(v) Stands for Student’s variate with v degrees of freedom; the value t,(v) is defined by
P [t(v) < t&)] = o!
Since the distribution of t(v) is symmetrical around Zero, t,(v) = - t, _ Jv).
We therefore have :
p [t(v) > t,(v)
(24 < t(v) < t
p I- t1 -d2
Probabiliw density of Student’s t(v).tith v = n - 1 degrees of f reedom
One-sided cases
Two-sided case
a*/& is the estimated Standard deviation of the mean X, in a Sample of n observations.
3)
(v)/fi are given in table Ilb of annex B for
4) For convenience in application, values of t, -@i2(v)/fi and t, -Q1
ct = 0,05 and cy = 0,Ol.
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,
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TABLE C - Comparison of two means (variances known)
of population 1 . . . . . . . . . . s . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics (5)
of population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
Technical characteristics of in population 1 . . . . . . . . . . . ? . . . . . . . P . . . .
the Sample items taken (5) in population 2 . . . . . n . . I . . m . . . . . . . . . . a .
in Sample 1 . . . . . . . . . . . . . . . m . . . . . . . . .
Discarded observations (6)
in Sample 2 . . . . . . . D . . . . . . . . I . e . . . . . .
Size
Sum of the observed values
Izx, = cx* =
Known values of the variances
of the populations
Significance level Chosen (8) :
a=
Results
Comparison of the two population means :
Two-sided case :
The hypothesis of the equality of the means (null hypothesis) is rejected if :
12, -x,l > q -a,2Q
One-sided cases :
a) The hypothesis that the first mean is not smaller than the second (null hypothesis) is rejected if :
x, c Ji2 - llj -&Jd
b) The hypothesis that the first mean is not greater than the second (null hypothesis) is rejected if :
x, > x2 + Ul --aod
NOTE - The numbers (5), (6) and (8) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
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Comments
1) The significance level a (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
hypothesis is true.
2) U Stands for the standardized normal variate : the value U, is defined by :
Since the distribution of U is symmetrical around Zero, U, = - u1 _ &.
We therefore have :
P[U>u,]= 1 -Q!
P[-u,-a,* Probability density of U (standardized normal distribution)
f(u) f(u)
f(u)
One-sided cases
Two-sided case
o2
o*
3) Od = -J-+-J- is the Standard deviation of the differente d = X, -X2 of the means of the two samples of n1 and n2
“1 n2
J
observations respectively.
= 0,Ol on the line n = 1 of table 1 of annex B.
4) The values u1 -cu/2 and ul _ a must be read for a! = 0,05 and a!
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,
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TABLE 6’ - Comparison of two means (variances unknown, but may be assumed equal)
The hypothesis of the equality of the variances of the tvvo populations tan be tested as indicated in table G.
of population 1 . . . . . . ., . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technica I characteristics (5)
of population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
in population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of
in population2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
the Sample items taken (5)
i
insample 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6)
in Sample 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l
Size
Sum of the observed values
Sum of the squares of the
observed values
Degrees of freedom V =nl +n2-2=
nl + n2 - 2
Significance level Chosen (8) :
a=
Results
Comparison of the two populations means :
Two-sided case :
The hypothesis of the equality of the means (null hypothesis) is rejected if :
IX, -&I > t, --Q,&4+j
One-sided cases :
The hypothesis that the first mean is not smaller than the second (null hypothesis) is rejected if :
a)
i-, tl -(-&d &j
b) The hypothesis that the first mean is not greater than the second (null hypothesis) is rejected if :
y, >F- + tj w,(v) sd
NOTE - The numbers (51, (6) and (8) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”‘.
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Comments
1) The significance level CY (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
hypothesis is true.
- 2 degrees of freedom; the value fa (v) is def ined by :
2) t(v) Stands for Student’s variate with v = n1 i- n2
P [t(v) < &Jv)] = QI
Since the distribution of t(v) is symmetrical around Zero, tJv) = - t, -,(v).
We therefore have :
P [t(v) > tJv)] = 1 -0
(v) < t(v) < t, -&,2 (4 = 1 - CI
Wh-Cu2
Probability density of Student’s t(v) with v = “1 + IQ-- 2 degrees of freedom
f(t) f(t)
f(t)
Two-sided case One-sided cases
3) 0; is the estimated Standard deviation of the differente d = X, -x2 of the means of the two samples of nl and n2
observations respectively.
4) The values t 1 -a,2(~) and tl _,(v) are given in table I Ia of annex 5 for Q! = 0,05 and at = 0,Ol.
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section tvvo,
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TABLE D - Estimation of the differente of two means (variances known)
of population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics (5)
of population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of in population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
the Sample items taken (5) in population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l
in Sample 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6)
in Sample 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
Size
Sum of the observed values
Known values of the variances
of the populations
Confidence level Chosen (7) :
Ul -a/2Od =
l--a!=
Resul ts
Estimation of the differente of the two populations means m, and m2 :
-m2)* =X, -X2 =
(“1
Two-sided confidence interval :
i2) -Ul -a/20d < ml -m2 < (XI -&) + Ul _ a/20d
k, -
One-sided confidence intervals :
-m2 < (Fl
-22) +U,-@d
ml
or -m2 > (Fl --z2) -Ul -@od
m1
NOTE - The numbers (5), (6) and (7) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
ISO 28544976 (E)
Comments
1) The confidence level 1 -c1: (see 5 7 of the “General remarks”) is the probability that the calculated confidence interval
covers the true value of the differente between the means.
2) U Stands for the standardized normal variate : the value u, is defined by :
P[U Since the distribution of U is symmetrical around Zero, u, = - u1 -Q.
We therefore have :
P[U>u,]= 1 -a
P[-u,-,,, Probability density of lJ (standardized normal distribution)
One-sided case
Two-sided case
-x2 between the means of the two samples of n1 and
is the Standard deviation of the differente d = 2,
n2 observations respectively.
must be read for a = 0,05 and CY = 0,Ol on the line n = of table 1 of annex B.
4) The values u, _ cuj2 and ul -&
EXAMPLE : see section two, “Explanatory notes and examples”.
ISO 2854-1976 (E)
TABLE D’ - Estimation of the differente of two means (variances unknown, but may be assumed equal)
The hypothesis of the equality sf the variances of the two populations tan be tested as indicated in table G.
sf population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics (5)
of population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of in population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
in population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
the Sample items taken (5)
in Sample 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6)
in Sample 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Size
Sum of the observed values
Sum of the squares of the
observed values
V =nl +n2-2=
Degrees of freedom
Confidence level Chosen (7) :
l--Cl!=
Resul ts
Estimation of the differente of the two populations means ml and m2 :
-n-j*)* =p, -X, =
(“1
Two-sided conf idence interval :
(X, -X,) - tl -&/&d sd < ml -m2 < (21 -KZ) + tl -&v) sd
One-sided confidence intervals :
-m2 < (X, 472) + tJ -,bd $j
l ml
-m2 > (Fl -& - tl&v) sd
or
m1
NOTE - The numbers (5), (6) and (7) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
ISO 2854-1976 (E)
Comments
1) The confidence level 1 -a! (see 8 7 of the “General remarks”) is the probability that the calculated confidence interval
covers the true value of the differente between the means.
2 degrees of freedom; the value t,(v) is defined by
2) t(v) Stands for Student’s variate with v = nl + n2 -
P[t(v) Since the distribution of t(v) is symmetrical around Zero, t&) = - tl _ ,(v).
We therefore have :
P[t(v) > tJv)] = 1 -a
< p [- tj - *,2 (4 < t(v) < t, -Q,&4 J = 1 - a
Probability density of Student’s t(v) with v = “1 + 172 - 2 degrees of freedom
t(v)
t,/*(V) = - t1-Q&4
tl --Cu/2 (4
One-sided cases
Two-sided case
-22 between the means of the two samples of nl and n2
3) qZj is the estimated Standard deviation of the differente d = Tl
observations respectively.
t I -a,2(~) and tl -,(v) are given in table I Ia of annex B for Q = 0,05 and cy = 0,Ol.
4) The values
EXAMPLE : see section two, “Explanatory notes and examples”.
ISO 2854-1976 (E)
TABLE E - Comparison of a wariance or of a Standard deviation with a given walue
Technical characteristics of the population studied (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of the Sample elements (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statistical data
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
cx =
Sum of the squares of the observed values :
cx* =
Given value :
0; =
Degrees of freedom :
v=n-1~
Significance level Chosen (8) :
a=
Results
Comparison of the population variance with the given value CJ$ :
Two-sided case :
The hypothesis that the population variance is equal to the given value (null hypothesis) is rejected if :
c (x -xp
c wP>x2 ( )
< x~,2bl or
i-Q!/2 v
4 0
One-sided cases :
a) The hypothesis that the population variance is not larger than the given value (null hypothesis) is rejected if D
z(x-x)2>x2 ( )
1-a v
b) The hypothesis that the population variance is not smaller than the given value (null hypothesis) is rejected if :
c (x -XI2 < x2(v)
CY
0;
NOTE - The numbers (5), (6) and (8) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.

ISO 2854-1976 (E)
Comments
1) The significance level a (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
hypothesis is true.
x:(v) is defined by
2) x*(v) Stands for the x* variate with v degrees of freedom; the value
p [XW < x; bd] = (2
We therefore have :
P[p(v)>&v)]= 1 -a
P [&*b) Probability density of x*(v) with v = n - 1 degrees of freedom
f(x2) f(x2)
fo?)
Two-si ded case One-sided cases
(v) are given in table Il I of annex B for a = 0,05 and cy = O,Ol.
3) The values xQ(v), XT - ,(v), XG12(v) and X;-a12
EXAMPLE : see section two, “‘Explanatory notes and examples”.
2854-1976 (E)
TABLE F - Estimation sf a wariance or of a Standard dewiation
Technical characteristics sf the population studied (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of the Sample items (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sample size :
n=
Sum of the observed values :
cx =
Sum of the squares of the observed values :
2x2 =
Degrees of freedom :
-l=
v=n
Confidence level Chosen (7) :
l-a-
Results
Estimation of the population variance 02 :
Two-sided conf idence intervall ) :
2: (x-x)* ( 1 x& b-4
XI-cY/2 v
One-sided conf idence intervalsl ) :
x-X)*
W
02 <
XQ (v)
or
** > z (X-W
XT-Jvl
1) The Limits of the confidence intervals of the Standard deviation CJ are the Square roots of the limits of the confidence intervals of the
variance 0*.
NOTE - The numbers (5), (6) and (7) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
ISO 2854-1976 (E)
Comments
‘?) The confidence level 1 -a (see 5 7 of the “General remarks”) is the probability that the calculated confidence interval
covers the true value of the variance.
2) x’(v) Stands for the x* variate with v = n - 1 degrees of freedom; the value X:(V) is defined Iby
p [Pb) < XQbl] = a
We therefore have :
p [x2b4 > x;(v)] = 1 -a
(4 < XW) < x: -&/2 (VI] = 1 -a
p IX:,*
Probability density of x*(v) with v = n - 1 degrees of freedom
Two-sided case
One-sided cases
(v) are given in table Ill of annex B for Q = 0,05 and a! = 0,Ol.
3) The values X:(V), x:-Jv)
f x:,, (4 and x:-*,*
‘Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,
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TABLE G - Comparison od two variances or 04 two Standard deviations
of population 3 . a . . . m m . . D . . a . . . . . I . . . . .
Technical characteristics (5)
of population 2 D . II . . S . . . , . . q . . . . . . . . . D .
in population 1 LI . m . . . a . . m . . p . . . . m . . . . . .
Technical characteristics of
in population 2 . . . . . . . . D . m . . . . m . . II m . . . .
the Sample items taken (5)
insample 1. D . a . . . , . . q . m V . . m . n . s . . . . .
Discarded observations (6)
insample . . II . . . . . . . . . , . y m . a . . . a . . .
Statistical data
Size
Sum of the observed values
Sum of the squares sf the
observed va 0 ues
Degrees of freedom
Significance levei Chosen (8) :
o!=
Wesul ts
Comparison sf the population variances :
Tvvo-sided case :
The hypothesis of the equality of the variances (null hypothesis) is rejected if :
s* 1 s*
I< or
2 > Fl - (y/2 (q I y-2)
6 - Cl!/2 (?b VI )
SZ 2
One-sided cases :
a) The hypothesis that the first variance is not greater than the second (null hypothesis) is rejected if :
s2
--p~-Jv~t v,)
b) The hypothesis that the first variance is not smaller than the second (null hypothesis) is rejected if :
s* 1
y
F, -ab*, VI 1
NOTE - The numbers (51, (6) and (8) refer to the corresponding paragraphs of the “General remarks”.
ISO 2854-1976 (E)
Comments
1) The significance level Q! (see 5 8 of the “General remarks”) is the probability of rejecting the null hypothesis when this
hypothesis is true.
1 degrees of freedom; the value F, (vl ! ~2) is
2) F(v,, v2) Stands for the variance ratio with vl = 17, - 1 and + = 17~ -
defined by :
We therefore have :
P[F(v,,v*)>F,(v1,t>2)]= l-a!
P[Fa(/*(V,,V2) We also have :
F&, 1 v2) =
Fl-&r Vl)
Probability density of F(vl, ~2) with VI = I-I, - 1 and 212 = IQ - 1 degrees of freedom
-
=
-
Fl --Jv2, yl)-
Fl -cu/2k?J "1)
One-sided cases
Two-sided case
are given in table IV of annex B as functions of the numbers of degrees of freedom, for
3) The values Fl - ai and Fl -cu/2
may be derived as indicated above from the values Fl -Q and Fl -&/2.
a = 0,05 and a = 0,Ol. The values F, and Falz
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,
ISO 2854-1976 (E)
TABLE H - Estimation of the ratio of two variances or of two standard deviations
of population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics (5)
sf population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Technical characteristics of in population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
the Sample items taken (5) in population2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
insample 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discarded observations (6)
insample2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Size
Sum of the observed values
Sum of the squares of the
observed values
=n, -1 v2=/72-1
Degrees of freedom
VI
Confidence level Chosen (7) :
1 -a=
Resuits
Estimation of the ratio of the two population variances 0: and O$ :
Twa-sided confidence intervall 1 :
S2
1 s* (7:
J< , Fl (v,. v2) s; 2
-Q!/2
s2
Bne-sided conf idence intervalsl ) :
S2 cJ*
o2 1 S2
--$ 2 Fl-&,. ~2) s2
s2
1) The limits of the confidence intervals of the ratio of the Standard deviations 01 and 02 at-e the Square roots of the limits of the
confidence intervais of the ratio of the variances 01 and 0
$=
NOTE - The numbers (5), (6) and (7) refer to the corresponding Paragraphs of the “General remarks”.
ISO 2854-1976 (E)
Comments
- CY (see 5 7 of the “General remarks”) is the probability that the calculated confidence interval
1) The confidence level 1
covers the taue value of the ratio of the two variances.
1 degrees of freedom; the value F,(v, , v2) is
2) F(v, , v2) Stands for the variance ratio with vl = 17, - 1 and v2 = 17~ -
defined by :
p [Fb,, v2) < F&, I y2)] = Q!
We therefore have :
P[F(vl,v2) >Fabl,v2)] = 1 -Q
P [Fcu/2(v1 s v2) < UV,, ~~KF,-cu,~b,~ v,)]= 1 -Q
We also have :
FJV,, vz) =
Fl-&Pl)
Probabiiity density of Fbl, v$, with VI = “1 - 1 and v2 = 172 - 1 degrees of freedom
f(F)
f(F) f(F)
y2)
I
h- a/2(w v2)
b!/2hv2)
=
=
- ir(v2, v,)
h
Fl -&!/2(V2t vl)
One-sided cases
Two-sided case
3) The values Fl -cy and F l -cu/2 are given in table IV of annex B as functions of the numbers of degrees of freedom,
may be derived from the values Fl -Q! and Fl -cy/2 as indicated above.
for QJ = 0,05 and a = 0,Ol. The values Fey and F,,,
“Explanatory notes and examples”.
EXAMPLE : see section two,
ISO 2854-1976 (E)
SEC-i-ION I-WO : EXPkANATOl?Y NOTES AND EXAMPLES
Sum of squares of differentes about means, Z(x -i;t)* :
DNTRODUCTQRY RESVIARKS
1,256 365
1) The tables given in section one of this International 1,389 769
Standard set out formally twelve different procedures
Estimates of variance :
which tan be applied to data observed in samples in order
to help answer a variety of questions regarding the larger
= 0,139 60
s2=012634 I
sf 2
population or populations from which it is supposed that
the Sample(s) has (have) been randomly drawn. To add to
the understanding of the more formal presentation given in
2) lt is not suggested that answers to the whole set of
tables A to l-l, the procedures will now be illustrated on
questions would ever be required in a given investigation,
numerical data consisting sf measurements of breaking load
but to simplify the presentation it is convenient to use the
for two samples of yarn. The most important characteristics
same illustrative material in each case. As a result it seems
of the samples are printed beside the observations in
only necessary to illustrate numerically the complete
table X.
formal presentation of the twelve tables in two cases: the
Single-Sample case sf table A and the two-Sample case of
table C.
The unit in which the numerical data and the calculations
results are expressed is the newton.
In general the question or questions to be asked will be
decided upon before the data are analyzed; indeed, it is best
that they should determine the way in which the data are
collected. However, a piot sf the observations which are to
TABLE X - Breaking Load sf yarn (in newtons)
be used in the examples will illustrate the kind of question
(For the me anings of the Symbols, see,
which may be of interest. Some of these are as follows :
for instance, table G)
Allowing for Chance sampling fluctuations, are the means or
the Standard deviations in the two samples consistent with
the hypothesis that the two population means and/or
Standard deviations are identical?
If they are not identical, by how much may they differ?
The procedures set out in tables A to l-l give an objective
backing, in terms o-1’ probability Statements, to answers
which may be suggested more tentatively by inspection sf
Plots such as these.
3) Since the procedures to be followed depend on the
assumption that the populations sampled are approximately
represented by the normal density function, which in
standardized form has the equation
-1 UL
f(u) =; exp (--)
a-
Sample sizes :
as a start it is usually desirable to make a rough
n
, =lO =12 examination of this assumption, unless of course an
n2
adequate assurance of normality has been established from
Sum of observed values Cx :
past examination of similar data. When the number of data
is not very large, this examination may be made graphically
21,761 30,241
used one of several alternative methods, two of which will
lVlean values :
be described here. Both involve arranging the observations
- -
in ascending Order of magnitudel), so that in a Sample of n
= 2,176 = 2,520
XI X2
observations, x;
Sum of squares of observed values, 2x2 :
x, Gx, < . . . Gx,
48,610477 77,599609
1) With quite simple modification, the obsewations could alternatively be arranged in descending Order of magnitude, i.e. xl > x2 2. . . 2 x,.
ISO 2854-1976 (E)
In the case of the second of the two samples of yarn given abov e, the uniform abscissa-sca
Ie, u, may be repl aced
by the
in table X, the twelve ordered observations are : prob ability scale, P(u), where
2,104 - 2,222 - 2,247 - 2,286 - 2,327 - 2,367 -
ui
P(u;) =
2,388 - 2,512 - 2,707 - 2,751 - 3,158 - 3,172 e-u2/2 du/fln
s
-00
These ordered observations are termed the “Order statistics
The following table indicates certain corresponding values
of the Sample”, and in either method will be used as
of IOOPandu.
ordinates in the diagram to be plotted. The two methods
differ in the abscissae used; in one, a), the expected values
of the normal Order statistics, are taken; in the second,
b), the plotting is done on so-called “normal probability
Paper” and the Chosen abscissa is the expected value of the
cumulative probability associated with the Order statistic.
a) Use of expected values of normal Order statistics,
say &ln)
For random samples of size n from a standardized normal
distribution (i.e. with mean zero and unit Standard
deviation), these expected values, t(iln) are given in table V
of annex B for n = 2(1)50, i = 1, 2, . . . . n/2 for n even and
i = 1, 2, . . . . (n + 1)/2 for n odd. H.L. Harter tables’) give
values of &+7) for n = l(1) 100 and afterwards for rather
wider intervals up to n = 400. The remaining values are
obtained by giving negative signs to the values tabled, i.e.
the expected Order statistics for i = n, n - 1, n - 2, . . . . are
those for i = 1, 2, 3, . . . . with signs reversed. If the twelve
observed Order statistics are plotted as ordinates against the
corresponding expected values &ln), i = 1, 2, . . . 12, the
result is the diagram shown in figure 2.
If the population distribution is strictly normal, the plotted
Points should only diverge from a straight line through
Figure 3 Shows a uniformly spaced vertical set of rules for
Chance sampling fluctuations. The slope of the line provides
x, while the horizontal rules are drawn against the scale of
an estimate of the population Standard deviation. This
P(u), rather than the uniformly spaced scale u. In the
straigh t line gives an approximate estimation of the
Standard form of normal probability Paper the scale u is, in
population mean (Ordinate 2,52 of the abscissa Point 0,O of
fact, omitted.
the straight line) and of its Standard deviation (slope of the
In practice, of course, the population values of m and o will
let for example 0,355 = the differente of
straigh t line,
generally be unknown so that neither the ui or P(ui)
ordinates between the two Points of abscissa 1 and 0 of the
corresponding to xi tan be determined. lt is, however,
straight line).
known that if repeated random samples of n observations
are drawn from a normal population and the individual
Use of normal probability Paper
b) observations in each Sample arranged in ascending Order of
magnitude, Xi being the ith Order statistic, then whatever be
lt is necessary to preface the description of this procedure
m and 0, the average or expected value of P(Xi) is equal to
with a few words about the nature of this Paper, which may
i/(n + l), that is it lies at a fixed Point on the P-scale.
usually be obtained from any firm selling ruled Papers
Given a Single Sample of size n, the graphical test fot-
having a variety of scales of grid.
departure from normality, based on the use of normal
probability Paper, consists therefore in
If X is a random variate from a population having
mean = m, Standard deviation = o, and if U = (X -m)/o, it
assigning to the vertical x-grid a suitable scale
d
is clear that if we have n values of x;, and plot x; as Ordinate
according to the observed range of values of x in the
against ui as abscissa, the Points (ui, x;) will fall on a
Sample;
straight line which will have slope 0 and will pass through
b) plotting the ith nor mal Order statistic Xi as Ordinate
the Point with co-ordinates (0, m). ff the population
sampled is normal having a density function F(u) as defined against Pi = i/(n + 1) as abscissa.
1) Taken from H.L. Harter, Order Statistics and their Use in Testing and Estimations, Volume 2.
ISO 2854-1976 (E)
FIGURE 1 - Breaking load of yarn in samples
3,20
c)
a-
+
w
n nn
.-
c-,
m
ts
&
M
L
2,60
Q) I
-
m---
-m- --
2,52 - - - - - - - -
-0
E
t
/ I
VS
2,40
e
I
I
t
-1,6 -12
- 0,8 - 0,4 0,o 0,4
0,8 1 l,2 L6
Expected normal Order statistic, [ (iln)
FIGURE 2 - Graphical test for normaiity appbd to Sample of yarn 2
ISO 2854-1976 (E)
?
cv)
ttmiiiiiji j iiiiiiiiii iii ii iiiiii-iiiiiiiiiiiiiiiiii~i.;;rf.iIr:fI:IrIf!
I l 11 1 I I I I I I I 11 I I I I Ii 1 I I Il I I I
?
!e
1 1 II 111111111111111111111111111 I I 1 I 1 I 1 11 1111111 1 I I 11 1 I 11 11 Illrlrwl~ 11 11 1 III m
i i i i i i i i i,, II I
ti
u),
cv
cv
u-),
-
b;iiItXiiriiiiiiiitiiiiiiiiil
0,
-
UI),
In
0’
I I
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l+t+tti-+t+t i- 1 1 ! / / f ! Irr
I i
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T-
I
Lc)r
P
tiiiiiiiiiiiiit
I
n
0,
cv
I
1 i i i i i i i i ii i i i i i
c
Ln,
nl
I
ti
I
1 11. 1 1 Ill1 I 1 I II I -
Cs
II_ _
L
In
ti
I
,
ö
m
ti
ti
t
suoj.mau
ISO 28544976 (E)
In those conditions, if the distribution is strictly normal, the section one of this International Standard it is possible to
apply the test of Shapiro and Wilk (provided n < 50),
quantilesxi with probability i/(n i- 1) of this distribution will
be represented graphically by Points lying on the straight line which was developed with the idea of giving precision to
passing through the Point with co-ordinates (0, an) and this graphical approach. This method will be described with
having a slope o. As a consequence, for a Single Sample, the others in more detail in a further document. If this test is
applied to the observations on yarn 2 and also to the
Points with eo-ordinates [i/(n i- l), x;] will only diverge
n = IO observations on yarn 1 it is found that in neither
through Chance fluctuations from this line.
case are the results inconsistent with sampling from normal
0n the other hand, it is clear that in this second method of
populations.
graphical representation, the mean Position of the Point
representing x; will not lie on this straight line, although it 4) The graphical method described may be particularly
will be very near to it’). helpful in reaching a decision as to whether one of the
transformations suggested in Paragraph 4 of the “General
In figure 3, the n = 12 ordered observations for the second
remarks” is likely to make a variable x more closely normal.
of the two samples of yarn have been plotted, using a
As an example of this kind the following data are quoted
suitable x-scale, against abscissa P = 1/13, 2/13, . . .I 121’13.
for the results of a rotating bend fatigue test applied ao
Bt will be seen that the spot Pattern in figure 3 is very
15 specimens of an aero-engine component.
closely similar to that in figure 2, but not precisely so, since
The variable, x, measures endurante. If the 15 values of
$(il’l2) does not equal u(P; = 1713) exactly.
a) x,
The sloping straight line has been drawn using for the
unknown population m and o, the Sample estimates
b) log,&Ox).
j+
2,520, s = 0,355.
already arranged in ascending Order of magnitude, are
50th these graphical methods may be used if the
plotted against the corresponding expected normal Order
hypothetical population is not normal but has some other
statistics &l15), i = 1, 2, . . ., 15 taken from table V of
form, for example that of a negative exponential, or a
annex B, it is at once found (see figure 4) that the plot
gamma (or ~2) distribution. But it will then be necessary to
using logx is approximately linear, while that for x is
have
decidedly not so. This suggests that in testing hypotheses,
the analysis of the kind suggested in tables A, A’, C, C’, E
a) another, appropriate table of the expected values of
and G showld be applied to logx rather than x. This
Order statistics, $(iln); or
Suggestion was confirmed by fuller test data. If, however,
b) probability Paper with a vertical grid drawn to
the requirement was to obtain confidence intervals, say, for
another scale.
the mean and Standard deviation of x, these could not be
derived directly from the confidence intervals for the mean
Such tables and Paper exist.
and Standard deviation of logx. l-lowever, tolerante limits
for the whole population sf x could be found using log x as
An alternative graphical method sometimes employed
the variate.
combines elements of the two methods described under a)
and b) above. Normal probability Paper is again used, the
Order statistic of the Sample, x,, being plotted as ordinates
against abscissa
Rotating-bend fatigue tests, x and log1 o(lO x)
f ( [(iln) ) = Jl(iinle- U2/2 du/6
= i/(n i- 1) as in method b). The values
instead of against P;
may be found by entering a table of the
of IJ (&In) )
normal probability function with the values of t(ilra) given in
table V. Again, if the population sampled is normal, the
plotted Points will lie roughly on a sloping straight line.
The weakness of the graphical method is that it provides no
objective means of judging whether, as in this case, the
departure of the Points from a straight line is important. As
stated in Paragraph 4 of the “General remarks” introducing
j=
The amount by which the true line of mean s differs from the straight line is greatest 1 or n, but is even then smal I compared
1)
the Sample variations about the means, t (iln).
ISO 2854-1976 (E)
i ,i,, ,;,. i 1’ j
.
L:I.~~I~~ j:;, i::. j:::.j:‘~III.:‘i:.
I
1. Plot of 1 +4--i--4.--L---- i-_ _-l.--L--L _ _
_-- - I 1
&-- ! .I e -- .:. _- /
* .< --- -L,.--j “’
-.-- I~~~----t~l---~-~~-~:i--l-li-:-!-~-~~~-ili-lr:i--.~~~.-
1. Xi j
1 .-.I .:
2,0 ---.-r--.;- I l -./ .LI
t .,
I -- J. I 1
1 ./ .< ’
against normal Order statistic
'---l-j---- ;-
8 0
I
1 I ' t
--i +--+- ;-&+ 6.0
-t
~~-~.:~:j.l::~~1.,,/. 1 1 “1 i ,
1 f l-.~~+~.~
1 L 1
i 1 j 1
yfeyf;x;f ;;;; ;:;;
;*i: i#ij ;it; i::; ijj: ;;:. ji
t. j
. j. I .1
I . . . . .I . ._ . . . . ./.
I
<. ._.
I I i . .‘j.
- 1,6 I 1 QO
- 7,2 I
- 0,8
- 0.4 nA *h _ -
nn
.
-8-
u,-
W
L6
Normal Order stat istic, E (i In)
FIGURE 4 - Rotating-bend fatigue data. Graphical test for normality
ISO 2854-1976 (E)
variances are specified or believed known from past
5) Being satisfied, therefore, that it is appropriate to use
experience (tables A, B, C, D), then the procedures tan be
the procedures described below for the analysis sf normally
based on the use of the standardized normal deviate U of
distributed variables, the only pieces of numerical
table 8 of annex B;
information required from the samples are the number of
observations, n (the Sample size), and the statistics C(x) and
b) If on the other hand, when dealing with mean
c(x -W)*. These, with their derived Sample estimates, the
values, the variances must be estimated from the Sample
means m1 * = X,, m2 * = X2,and the variances CJ~ * = $ and
$* =s*
data (tabtes A’, B’, C’, D’) then the procedure must be
are set out beside the basic data in table X. As
based on the use of the distribution of “Student’s” t of
p:eviou& stated in illustrating the procedure contained in
table ll of annex B. Inevitably in this case, conclusions
the twelve tables A to H, a complete formal presentation of
are reached with somewhat less precision, but it is better
data and computational workings will only be given for
table A (Single-Sample test on the mean with variance that this should be so than that an erroneous value sf
known) and table C (comparison of two means, variances the variance or Standard deviation should be introduced
assumed known and not necessarily equal). In the other ten
under a) above.
cases the illustration in the following notes will be confined
to
c) If the question asked concerns the relationship
between a Sample variance and a population variance
4 stating the question to be put to the data;
(tables E, F), then the procedures make use of the
distribution of x* of table Ill of annex B;
b) inserting into the formulae of the formulae table the
appropriate numerical values taken from table X and
d) If it is desired to compare two variances or to derive
from tables I to IV of annex B;
an estimate of the Iimits within which the ratio of the
discussing the conclusion reached.
two unknown population variances lies (tables G, H),
then the procedure makes use of the distribution of the
6) The methods described above in tables C and C,
variance ratio I= (sometimes called Snedecor’s ratio) of
concern the comparison of means derived from two
table IV of annex B.
completely independent samples. In certain situations,
however, the observations in the two samples are related in
pairs, say x; and y; (i = 1, 2, . . ., n). The Problem sf
NUMERICAL IILLUSTRN-ION OF PROCEDURES
practical interest may then
...

NORME INTERNATIONALE _
INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION l MEXfiYHAPOAHASI OPTAHM3ALWI l-I0 CTAHAAPTM3AWGi *ORGANISATION INTERNATIONALE DE NORMALISATION
Interprétation statistique des données - Techniques
d’estimation et tests portant sur des moyennes et
des variantes
Sta tistical in terpre ta tion of data - Techniques of estimation and tests relating to means and
variantes
Première édition - 1976-02-15
î
Réf. no : ISO 2854-1976 (F)
- CDU 519.28
‘9
moyenne mathématique, variante.
Descripteurs : analyse statistique, essai statistique, estimation,
Prix basé sur 46 pages
AVANT-PROPOS
L’ISO (Organisation Internationale de Normalisation) est une fédération mondiale
d’organismes nationaux de normalisation (Comités Membres ISO). L’élaboration de
Normes Internationales est confiée aux Comités Techniques ISO. Chaque Comité
Membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du Comité Technique
correspondant. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec I’ISO, participent également aux travaux.
Les Projets de Normes Internationales adoptés par les Comités Techniques sont
soumis aux Comités Membres pour approbation, avant leur acceptation comme
Normes Internationales par le Conseil de I’ISO.
La Norme Internationale ISO 2854 a été établie par le Comité Technique
ISO/TC 69, Application des méthodes statistiques, et soumise aux Comités
Membres en octobre 1973.
Elle a été approuvée par les Comités Membres des pays suivants :
Afrique du Sud, Rép. d’ Hongrie Roumanie
Allemagne Inde Royaume-Uni
Israël
Australie Suisse
Belgique Italie
Tchécoslovaquie
Brési I
Japon Thaïlande
Bulgarie Nouvelle-Zélande Turquie
Égypte, Rép. arabe d’ Pays-Bas U.R.S.S.
France Pologne Yougoslavie
Les Comités Membres des pays suivants ont désapprouvé le document pour des
raisons techniques :
Suède
U.S.A.
0 Organisation Internationale de Normalisation, 1976 l
Imprimé en Suisse
SOMMAI RE
Page
SECTION UN : PRÉSENTATION DES CALCULS
- Remarques générales . . . . . . . . . . . . . . . . 1
- Tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
MOYENNES
I
Variante
connue inconnue
Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée
A A’
Estimation d’une moyenne
B B’
Comparaison de deux moyennes
C C’
Estimation de la différence de deux moyennes
D D’
.
VARIANCES
.
Comparaison d’une variante à une valeur donnée E
Estimation d’une variante F
Comparaison de deux variantes
G
Estimation du rapport de deux variantes H
l
SECTION DEUX : NOTES EXPLICATIVES ET EXEMPLES
- Remarques introductives . 28
.
- Exemples numériques . .
ANNEXES
A Comparaison d’observations appariées à l’aide du
test de Student . . . . . . . . . . . . . 40
.
B Tables statistiques . . . . . . . . . . 41
. . .
III
Page blanche
ISO 28544976 (F)
NORME INTERNATIONALE
--
Interprétation statistique des données - Techniques
d’estimation et tests portant sur des moyennes et
des variantes
SECTION UN : PRÉSENTATION DES CALCULS
REMARQUES GÉNÉRALES Si l’on désire réellement une estimation de la moyenne ou
de l’écart-type de la variable X elle-même, alors peu importe
1) La présente Norme Internationale spécifie les
que la distribution de la population soit normale ou non,
techniques permettant, à partir d’échantillons :
une estimation sans biais de la moyenne m et de la variante
02 de la population est fournie par la moyenne X et la
a) d’estimer la moyenne ou la variante de populations;
caractéristique s* de l’échantillon.
b) d’examiner certaines hypothèses concernant la
valeur de ces paramètres.
5) II est souhaitable d’accompagner chaque opération
statistique de toutes indications relatives à l’origine ou à la
2) Les techniques utilisées ne sont applicables que si l’on
méthode de prélèvement des données susceptibles d’éclairer
peut admettre que, dans chaque population considérée, les
leur analyse statistique, notamment l’unité ou la fraction
individus de l’échantillon ont été prélevés au hasard et sont
d’unité de mesure la plus petite ayant une signification
indépendants. Dans le cas d’une population finie, des
pratique.
individus prélevés au hasard peuvent être considérés comme
indépendants si l’effectif de la population est suffisamment
6) II ne peut être procédé à l’élimination ou à la correction
élevé, ou si le taux d’échantillonnage est suffisamment petit
individuelles apparemment
éventuelle de données
(par exemple inférieur à l/lO).
douteuses, que s’il existe des raisons expérimentales,
3) La distribution du caractère étudié est supposée
techniques ou évidentes, permettant une justification
normale dans chaque population Cependant, si la circonstanciée de cette élimination ou de cette correction.
distribution ne s’écarte pas trop de la normale, les Dans tous les cas, les données éliminées ou corrigées doivent
techniques décrites restent suffisamment valables pour la être mentionnées, ainsi que les raisons de leur élimination
plupart des applications pratiques, à condition que l’effectif ou de leur correction.
de l’échantillon ne soit pas trop petit. Pour les tableaux A,
B, C et D, l’effectif de l’échantillon devrait être de l’ordre
7) Dans les problèmes d’estimation, le niveau de confiance
de 5 à 10 au minimum; pour tous les autres tableaux, il
1 -Q! est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
devrait être de l’ordre de 20 au minimum.’ )
renferme la vraie valeur du paramètre estimé. Ses valeurs les
plus usuelles sont 0,95 et 0,99, soit a! = 0,05 et 0! = 0,Ol.
4) Un certain nombre de techniques permettent de vérifier
l’hypothèse de normalité. Celles-ci feront l’objet d’exemples
8) Dans les problèmes de tests d’hypothèse, le niveau de
numériques dans la section deux, et d’un document séparé
signification a est,
Mais, dans bien des cas, cette dans le cas de tests bilatéraux, la
(encore à préparer).
probabilité de rejeter l’hypothèse nulle (ou hypothèse
hypothèse peut être admise en fonction d’informations
testée) lorsque cette hypothèse est vraie (erreur de première
autres que celles fournies par les échantillons eux-mêmes.
espèce); dans le cas des tests unilatéraux, le niveau de
Dans le cas où l’hypothèse de normalité devrait être rejetée,
signification est la valeur maximale de cette probabilité
il semble que la marche à suivre appropriée serait de faire
(valeur maximale de l’erreur de première espèce). Ses valeurs
appel à des tests non paramétriques ou d’utiliser des
les plus usuelles sont o! = 0,05 (1 chance sur 20) et 0,Ol
transformations permettant de retrouver des populations
(1 chance sur IOO), suivant le risque que l’utilisateur
normales (par exemple I/x, log(x + a), 4xX, etc.), mais
les conclusions obtenues en appliquant les procédures accepte de prendre. Étant donné qu’une hypothèse peut
être rejetée en utilisant 0! =
décrites dans la présente Norme Internationale ne seront 0,05, mais acceptée en utilisant
directement valables que pour la variable transformée; leur O,Ol, il est souvent indiqué d’utiliser la phrase ((l’hypothèse
transposition à la variable initiale exige des précautions. Par est rejetée au niveau 5 %)) ou, si c’est le cas, «au niveau 1 %».
exemple, exp(moyenne logx) est égale à la moyenne L’attention est attirée sur l’existence d’une erreur de
géométrique de x et non pas à la moyenne arithmétique. deuxième espèce, erreur qui est commise lorsqu’on accepte
1) Des études concernant la normalité des distributions sont en cours au sein du TC 69/SC 2.
ISO 2854-1976 (F)
l’hypothèse nulle alors que celle-ci est fausse. Les termes supposent que les échantillons correspondants sont
relatifs aux tests statistiques sont définis dans le chapitre 2 indépendants. Pour l’étude de certains problèmes, on peut
de I’ISO 3534, Statistique - Vocabulaire’). avoir intérêt à apparier les observations (par exemple dans
la comparaison de deux méthodes ou la comparaison de
deux instruments).
9) Les calculs peuvent souvent être fortement simplifiés en Le traitement statistique des
observations appariées
effectuant sur les données un changement d’origine et/ou fait l’objet de I’ISO 3301,
d’unité. Dans le cas d’observations classées par groupes, on Interprétation statistique des données - Comparaison de
deux moyennes dans le cas d’observations appariées, mais,
peut se référer aux formules de I’ISO 2602, lnterprétation
dans l’annexe A, un exemple de traitement d’observations
statistique de résultats d’essais - Estimation de la
appariées est donné. II utilise formellement les données du
moyenne - Intervalle de confiance.
tableau A’.
NOTE - Un changement d’origine est essentiel pour obtenir une
précision suffisante quand la variante est calculée selon la formule
proposée, à l’aide d’un calculateur de faible précision. 11) Les symboles et leur définition utilisés dans la
présen te Norme Internationale sont conformes à
10) Les méthodes indiquées dans les tableaux C et C’ VIS0 3207, Interprétation statistique des données -
concernent la comparaison de deux moyennes. Elles
Détermination d’un in tervale statistique de dispersion.
1) Actuellement au stade de projet.
ISO 2854-1976 (F)
.
TABLEAUX
A - Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée (variante connue)
A’ -
Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée (variante inconnue)
Estimation d’une moyenne (variante connue)
B -
Estimation d’une moyenne (variante inconnue)
B’ -
c -
Comparaison de deux moyennes (variantes connues)
c’ -
Comparaison de deux moyennes (variantes inconnues, mais présumées égales)
D - Estimation de la différence de deux moyennes (variantes connues)
D’ - Estimation de la différence de deux moyennes (variantes inconnues, mais présumées égales)
E - Comparaison d’une variante ou d’un écart-type à une valeur donnée
F - Estimation d’une variante ou d’un écart-type
G - Comparaison de deux variantes ou de deux écarts-types
H - Estimation du rapport de deux variantes ou de deux écarts-types
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU A - Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée (variante connue)
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculs
Données statistiques
CX
,-a-----~
Effectif de l’échantillon :
n
n=
Somme des valeurs observées :
ru,-,lfi] o=
xx =
Valeur donnée :
kJ1 -a,2m 0 =
m. =
Valeur connue de la variante de la population :
02 =
D’où l’écart-type :
CT-
Niveau de signification choisi (8) :
cl!=
Résultats
Comparaison de la moyenne de la population à la valeur donnée m.
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité de la moyenne de la population à la valeur donnée (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
Iz --mol > [u, -,,,lfi] 0
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la moyenne de la population n’est pas inférieure à m. (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
i [u, -- CYG 1 CJ
b) L’hypothèse selon laquelle la moyenne de la population n’est pas supérieure à m. (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
X > m. + [u, --,lfi] 0
NOTE - Les références (51, (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des «Remarques générales».
ISO 28544976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de signification cy (voir § 8 des «Remarques générales») est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
2) U désigne la variable normale réduite; la valeur u, est définie par :
P[U La loi de U étant symétrique par rapport à l’origine, u, = - u1 -&.
On a donc :
P[U>u,l= 1 -a
P[-u,-,/, Loi de U (loi normale réduite)
Cas unilatéraux
Cas bilatéral
3) o/fi est l’écart-type de la moyenne X, dans un échantillon de n observations.
4) Pour la commodité des calculs, les valeurs de u1 _ cy/fi et u 1 -Q,2/fisont données dans la table 1 de l’annexe B, pour
a = 0‘05 et cI1= 0,Ol.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples»
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU A’ - Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée (variante inconnue)
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3bservations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
Données statistiques Calculs
ZX
j+-.--=
Effectif de l’échantillon :
n
n=
Somme des valeurs observées : 2 (x -X)2 Xx2 - (Ex)Vn
- =
n-l
n-l
Izx =
x (x--X)2
(-J*=s=
Somme des carrés des valeurs observées :
n-l =
J-
zx2 =
Valeur donnée : [t, -(y(v)/fi]s=
m. =
Degrés de I iberté :
v=n--l=
[tg -~,&~l&j s =
Niveau de signification choisi (8) :
cY=
Résultats
Comparaison de la moyenne de la population à la valeur donnée m. :
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité de la moyenne de la population à la valeur donnée (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
IF-mol > [t~-Q~2bVfi]~
Cas unilatéraux :
o (hypothèse nulle) est rejeté
a) L’hypothèse selon laquelle la moyenne de la population n’est pas inférieure à m
si l’on a :
X [t, -,cejb] s
o (hypothèse nulle) est rejeté
b) L’hypothèse selon laquelle la moyenne de la population n’est pas supérieure à m
si l’on a :
X> mo + [tl -Jv)lfi] s
NOTE - Les références (5), (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des «Remarques générales)).

ISO 2854-1976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de signification Q! (voir 9 8 des ((Remarques générales))) est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
1 degré de liberté; la valeur t,(v) est définie par :
2) t(v) désigne la variable de Student à Y = n -
P [t(v) < t&)] = a
La loi de t(v) étant symétrique par rapport à l’origine, t,(v) = - t, -,(v).
On a donc :
P [t(v) > tJv)] = 1 -a
(24 W-h-a/2
Loi t(v) de Student à v = n - 1 degrés de liberté
Cas unilatéraux
Cas bilat&al
3) c*/fiest l’écart-type estimé de la moyenne y, dans un échantillon de n observations.
(v)/&ont données dans la table Ilb de l’annexe B,
4) Pour la commodité des calculs, les valeurs de t, - (u,2(~)/& et t, - cy
pour a! = 0‘05 et ci = 0,Ol.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples».
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU B - Estimation d’une moyenne (variante connue)
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . , . . . . .
Calculs
Données statistiques
x cx
z.z-=
Effectif de l’échantillon :
n
n=
Somme des valeurs observées : [u, -,/fi] 0 =
I=x =
Valeur connue de la variante de la population :
(J2 =
l-Q!/2 n o=
Lu u-1
D’où l’écart-type :
o-
Niveau de confiance choisi (7) :
l-O!=
Résultats
Estimation de la moyenne m de la population :
m”=~=
Intervalle de confiance bilatéral :
i~]o z-k+a12
Intervalles de confiance unilatéraux :
m<~+[ul-al~]o
ou m>F--[ul-&iY]O
NOTE - Les références (51, (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des «Remarques générales)).
60 2854-1976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de confiance 1 - cy (voir § 7 des ((Remarques générales))) est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
calculé renferme la valeur vraie de la moyenne.
2) U désigne la variable normale réduite; la valeur U, est définie par :
P[U La loi de U étant symétrique par rapport à l’origine, U, = - u1 -&.
P[U>u,]= 1 -A!
On a donc :
P[-l-J,-,,, Loi de lJ (loi normale réduite)
Cas bilatéral Cas unilatéraux
3) o/& est l’écart-type de la moyenne X, dans un échantillon de n observations.
n sont données dans la table I de l’annexe B, pour
4) Pour la commodité des calculs, les valeurs de u1 -ar,2/fiet u1 - &f
a= 0,05 et = 0,Ol.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples».
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU B’ - Estimation d’une moyenne (variante inconnue)
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\
Données statistiques Calculs
x xx
Z----E
Effectif de l’échantillon :
n
n=
C (x - X)2 Xx2 - (Zx)Vn
Somme des valeurs observées :
n-l = n-l =
XX=
o*+fGfjGz
Somme des carrés des valeurs observées :
xx2 =
Degrés de liberté : [ tq -- Q!(v)/@ ] s =
v=n-j=
Niveau de confiance choisi (7) : [t, -~,2w47] s =
1 -a=
Résultats
Estimation de la moyenne m de la population :
m*=x=
Intervalle de confiance bilatéral :
x- [tl-a/2bV~]~~m Intervalles de confiance unilatéraux :
m ou m>F-[t,-Ju)/&]s
Les références (5), (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales))
NOTE -
ISO 2854-1976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de confiance 1 - a! (voir 3 7 des «Remarques générales») est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
calculé renferme la valeur vraie de la moyenne.
2) t(v) désigne la variable de Student à v = n - 1 degrés de liberté; la valeur t,(v) est définie par :
P [t(v) < t&(v)] = a
La loi de t(v) étant symétrique par rapport à l’origine, t,(v) = - tl -,(v).
On a donc :
P [t(v) > ta!(v)] = 1 -a
P [- t, -a/2 (24 < t(v) < t, -a/2 bd] = 1 - CY
Loi t(v) de Student à Y = n - 1 degrés de liberté
Cas unilatéraux
Cas bilathal
3) o*/G est l’écart-type estimé de la moyenne X, dans un échantillon de n observations.
(v)/fiet tl - ,(v)/fisont données dans la table I lb de l’annexe B,
4) Pour la commodité des calculs, les valeurs de tl - cu/2
pour cz = 0,05 et a = 0,Ol.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples».
ISO 28544976 (F)
TABLEAU C - Comparaison de deux moyennes (variantes connues)
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I .
individus prélevés (5) dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
Calculs
Données statistiques
Premier Second
XXI
z-c
échantillon échantillon
Xl
n1
Effectif nî = n2 =
ZX
ZZZ-----ZZZ
zx2 =
Somme des valeurs observées xx, =
x,
n2
Valeurs connues des variantes
o2
o2
1+2=
o2
des populations a2 od =
2=
1=
J-
n1 n2
Niveau de signification u, -a od =
choisi (8) :
h -a/2Od =
a=
Résultats
Comparaison des moyennes des deux populations :
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité des moyennes (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
1x1 --ri;1 >u, -&/@d
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la première moyenne n’est pas inférieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
x, - u1 -a?d
b) L’hypothèse selon laquelle la première moyenne n’est pas supérieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
,
si l’on a :
?, >y2 + u, .v.&d
NOTE - Les références (5), (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
ISO 28544976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de signification a (voir 5 8 des «Remarques générales))) est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
2) U désigne la variable normale réduite; la valeur u, est définie par :
P[U La loi de U étant symétrique par rapport à l’origine, u, = - u1 _ ûr.
On a donc :
P[u>ll,]= 1 -a
p Pu,-a/2
Loi de U (loi normale réduite)
I
fl
%/2=-~1-cr/2
Cas unilatéraux
Cas bilatéral
CI2 a2
3) (Jd ZZZ. -L+A
est l’écart-type de la différence d = 2, ---x2 des moyennes des deux échantillons, de respectivement n, et
"1 n2
n2 observations.
Les valeurs de u, _ ar/2 et u1 _ cy se lisent, pour & = 0,05 et Q! = O,Ol, à la ligne n = 1 de la table 1 de l’annexe B.
4)
EXEMPLE : voir section deux, ((Notes explicatives et exemples)).
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU C’ -- Comparaison de deux moyennes (variantes inconnues, mais présumées égales)
L’hypothèse de l’égalité des variantes des deux populations peut être vérifiée comme il est indiqué au tableau G.
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . ._ . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
des individus prélevés (5) dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Données statistiques Calculs
Premier Second
=1
échantillon échantillon Xl =- =
n2 =
Effectif nl =
- xx2
z-z
X2
n2
Somme des valeurs observées xx,= zx2=
x, -X,)2 + 23 (x2 -X2)2 =
W
Somme des carrés des valeurs
observées zxf= zx;= cxf+zx$--
“, (zx,)2 --!- (Zx# =
n2
Degrés de liberté V =nl +n2-2=
* , -X,)2 + z (x2 -92 =
‘d
nl + n2 - 2
N iveau de sign if icat ion
choisi (8) : t, -,b) sd =
t, - a=
Résultats
Comparaison des moyennes des deux populations :
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité des moyennes (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
-& 1 > t, -a,2 (4 sd
IX,
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la première moyenne n’est pas inférieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
i-1 t, -&) sd
b) L’hypothèse selon laquelle la première moyenne n’est pas supérieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
y, > 2-2 + t, -a(v) sd
NOTE - Les références (5), (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
ISO 2854-1976 (F)
Commentaires
1) Le niveau de signification cy (voir 5 8 des «Remarques générales))) est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
- 2 degrés de liberté; la valeur t,(v) est définie par :
2) t(v) désigne la variable de Student à v = nl i- n2
P [t(v) < t&)] = a
La loi de t(v) étant symétrique par rapport à l’origine, ta(v) = - tl -&).
On a donc :
P [t(v) > ta(v)] = 1 -a
(v) < t(v) < t ,-a&)] = 1 -a
p L- t1 -CU/2
Loi t(v) de Student à v = “1 + Q- 2 degr& de liberté
Cas unilatéraux
Cas bilatdral
3) odf est l’écart-type estimé de la différence d =FI - Y2 des moyennes des deux échantil Ions de respectivement nl et n2
observations.
(v) sont données dans la table I la de l’annexe B, pour Q! = 0,05 et ai = 0,Ol.
4) Les valeurs de t, -a12(~) et tl -Q
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples)).
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU D - Estimation de la différence de deux moyennes (variantes connues)
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
des individus prélevés (5) dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l
Calculs
Données statistiques
Premier Second
XX1
z-z
x-r
échantillon échantillon
-
xx2
z-z
n, = n2 =
Effectif
X2
n2
cx, = xx2 =
Somme des valeurs observées
o2
l 05
7’ - =
od= z
Valeurs connues des variantes
I n2
o2 o2
des populations i
2=
1=
t.f, -&j =
N iveau de confiance
choisi (7) : u1 -a/2*d =
l-a=
Résultats
Estimation de la différence des moyennes ml et m2 des deux populations :
-m2)* =Xl -X2 =
(ml
Intervalle de confiance bilatéral :
6, - x2) -ul -(r/20d Intervalles de confiance unilatéraux :
-m2 < (X1 -x2) + u, -&J
ml
ou -m2 > (xl -x2) -ul -&od
Ml
NOTE - Les références (51, (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des «Remarques générales)).
ISO 2854-1976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de confiance 1 -a (voir 5 7 des ((Remarques générales))) est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
calculé renferme la valeur vraie de la différence des moyennes.
2) U désigne la variable normale réduite; la valeur u, est définie par :
P[U La loi de U étant symétrique par rapport à l’origine, u, = - ul - a’
On a donc :
P[U>lJJ= 1 -Q1
WUl-a/2
Loi de U (loi normale réduite)
f(u) f(u)
f(u)
Cas unilatéraux
Cas bi I atéral
3) o(j=
est l’écart-type de la différence d = El -jc2 des moyennes des deux échantillons, de respectivement n1 et
n2 observations.
4) Les valeurs de u1 -cu/2 et ul -a! se lisent, pour CY = 0,05 et CY = O,Ol, à la ligne n = 1 de la table 1 de l’annexe 5.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples)).
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU D’ - Estimation de la différence de deux moyennes (variantes inconnues, mais présumées égales)
L’hypothèse de l’égalité des variantes des deux populations peut être testée comme il est indiqué au tableau G.
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
des individus prélevés (5) dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l
Données statistiques Calculs
Premier Second
%
E-c
échantillon échantillon
%
*1
Effectif nl = n2 =
zx2
=-CI
x2
*2
Somme des vàleurs 8bsewées zx, = xx2 =
--X,)2 + z (x2 -X,)2 =
z (x,
Somme des carrés des valeurs
1 1
xx: = cx; =
observées Lx? + Lx$ - - (Xx,)2 - - (Xx# =
"1 *2
Degrés de liberté V =nl +n2-2=
* z (x,--F,)2 + 2l (x2 -zp
‘d
nl +n2-2
Niveau de confiance
choisi (7) : t, -,(v) sd =
1 -a= t, -(y,&4 sd =
Résultats
Estimation de la différence des moyennes ml et m2 des deux populations :
-m2)* =jc, -2, =
(ml
Intervalle de confiance bilatéral :
(X, --x,1 - tl -&v) sd Intervalles de confiance unilatéraux :
-m2<(Zl -x2) + t,-&) sd
ml
ou -m2 > (xl -x2) - t+.&) sd
ml
Les références (9, (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
NOTE -
60 28544976 (F)
.
Commentaires
a (voir $j 7 des «Remarques générales») est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
1) Le niveau de confiance 1 -
calculé renferme la valeur vraie de la différence des moyennes.
- 2 degrés de liberté; la valeur t&(v) est définie par :
2) t(v) désigne la variable de Student à v = nl i- n2
P [t(v) < fol(v)] = a
La loi de t(v) étant symétrique par rapport à l’origine, ta(v) = - tl -,(v).
On a donc :
P[t(v) > ta(v)] = 1 --a
- (-y/2 (VI < t(v) < t, -*,2 b-43 = 1 - a
w-t1
Loi t(v) de Student à v = “1 + “2 - 2 degrés de liberté
f(t)
f(t)
4 t(v)
t(u)
t&) = - t, - &)
- t,-a/2(“)
t,/,(v) =
Wa/2(V)
Cas unilatéraux
Cas bilat&al
--X2 des moyennes des deux échantillons, de respectivement nl et n2
3) oA est l’écart-type estimé de la différence d = Xl
observations.
et tl -,(v) sont données dans la table I la de l’annexe 5, pour Q! = 0,05 et cy = 0,Ol.
4) Les valeurs de tl -a,&)
EXEMPLE : voir section deux, ((Notes explicatives et exemples».
ISO 28544976 (F)
TABLEAU E - Comparaison d’une variante ou d’un écart-type à une valeur donnée
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . , .
Données statistiques Calculs
Effectif de l’échantillon :
n=
CM2
x (x-32 =2x2- - =
n
Somme des valeurs observées :
zx =
z (x--X)2
- -
-
Somme des carrés des valeurs observées :
o2
2x2 =
Valeur donnée : &v) =
o2
0=
( 1
X1-& v =
Degrés de liberté :
U=n-l=
( 1
&Y/2 v =
Niveau de signification choisi (8) :
a- ( 1
Xl-cd2 v =
Résultats
Comparaison de la variante de la population à la valeur donnée a$ :
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité de la variante de la population à la valeur donnée (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
c: (x - $2
(11,2(v)
< x;,, (4 ou y lx -x)2 > XT
-
020 0;
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la variante de la population n’est pas supérieure à la valeur donnée (hypothèse nulle)
est rejetée si l’on a :
-2)2
> x2 (v)
c (x
1-a
b) L’hypothèse selon laquelle la variante de la population n’est pas inférieure à la valeur donnée (hypothèse nulle)
est rejetée si l’on a :
zz (x-X)2 ’
< x;(v)
NOTE - Les références (5), (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales))
ISO 2854-1976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de signification Q! (voir 5 8 des «Remarques générales))) est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
2) X~(V) désigne la variable x2 à v degrés de liberté; la valeur &v) est définie par
p [x2 (4 < xgv,] = a
On a donc :
P[p(V)>XQ(v)]= 1 -a
p [x&(v) Loi de X2(v) à v = n - 1 degrés de liberté
v) 4 (VI
Cas bilatéral Cas unilatéraux
(v) sont données dans la table Ill de l’annexe 5, pour Q = 0,05 et
3) Les valeurs de x:(v), x:-,(v), x~,/~(v) et xfSQ12
(Y = 0,Ol.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples)).
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU F - Estimation d’une variante ou d’un écart-type
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Données statistiques Calculs
(W2
~(x--jq2=~x2---.---L
Effectif de l’échantillon :
n
n=
s2 lz (x - zp
-
-
n-l =
Somme des valeurs observées :
zx =
2’ (x-X)2
-
x:(v) -
Somme des carrés des valeurs observées :
xx2 =
L: (x --X)2
-
-
( 1
L-cuv
Degrés de liberté :
c (x -X)2
=*-l=
Y
-
x2 b-4 -
a/2
Niveau de confiance choisi (7) :
2 (x -X)2
-
-
l--Cl!=
( 1
Xl-d2 v
Résultats
Estimation de la variante 02 de la population :
Intervalle de confiance bilatéral, ) :
C(X-X)2<*2<ç (X-W
( 1
Xl-a/2 v &2(4
Intervalles de confiance unilatéraux 1) :
o2 x;(v)
*2 >z: k-a2
ou
i 1
Xl-av
1) Les limites des intervalles de confiance de l’écart-type 0 sont les racines carrées des limites des intervalles de confiance de la variante u2.
NOTE - Les références (51, (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales».
ISO 2854-1976 (F)
.
Commentaires
- cw (voir 5 7 des «Remarques générales))) est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
1) Le niveau de confiance 1
calculé renferme la valeur vraie de la variante.
2) X*(V) désigne la variable x* à v = n - 1 degrésde liberté; la valeur xi(v) est définie par :
p [x*(4 < X~(v,] = cl
On a donc :
P[xW >XQ(V)] = 1 --a
p [x$2 (4 < x2 bd < x:+* W] = 1 -a
Loi de x*(v) à v = n - 1 degrés de liberté
Cas bilatéral Cas unilatéraux
(v) sont données dans la table II I de l’annexe B, pour a = 0,05 et
3) Les valeurs de X~(V), XT- ,(v), X$~(V) et x:- cr/2
a = 0,Ol.
EXEMPLE : voir section deux, ((Notes explicatives-et exemples».
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TABLEAU G - Comparaison de deux variantes ou de deux écarts-types
. . .
de la population 1 . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
. . . . . .
l de la population 2 . . . . .
. . . .
dans la population 1 . . .
Caractéristiques techniques
. . . .
dans la population 2 . . . .
des individus prélevés (5)
. . .
de l’échantillon 1 . . . . . .
Observations éliminées (6)
. . .
de l’échantillon 2 . . . . . .
Calculs
Données statistiques
Premier Second
m, P
-
-x1 )* = y - - -
échantillon échantillon
z (x,
“1
Effectif nl = n2 =
m, l2
z: (x2 -X*)2 = Lx$ - - =
22x2 =
Somme des valeurs observées zx, =
n2
-X,)2
L: (x,
Somme des carrés des -
s* = -
cxf = xx; =
valeurs observées n1 -1
c (x2 -X2)2
= nl -1 v,=n,--1
Degrés de liberté -
Vl s* = -
n2-1
Niveau de signification
F,-,/*@j# y*) =
5 -&,, V*I =
choisi (8) :
1 1.
-
a= -
F, -a,2b2, v1 1 -
Fl-&*, Vl) -
Résultats
Comparaison des variantes des deux populations :
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité des variantes (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
1 S2
sf
ou $>F
l-cY/*h V*I
s;<
Iv,, Vl)
FI --CU/*
2 2
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la première variante n’est pas supérieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
S2
-p,-.b,.v*~
b) L’hypothèse selon laquelle la première variante n’est pas inférieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
S2 1
$
2 F,-,(v2, v,)
NOTE - Les références (5), (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales».
ISO 2854-1976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de signification Q! (voir 5 8 des «Remarques générales») est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
1 degrés de liberté; la valeur F,(vI, v2) est définie
2) F(vl, v2) désigne le rapport des variantes à vl = n, - 1 et v2 = n2 -
par :
P [Fb,, va) < FJv,, v2)] = Q
On a donc :
P[F(v,,v2f>F,(vl,v2)]= 1-a
~[F On a aussi :
F&, , y21 =
FI-&,Vl)
Loi de F(UI, v$ à v1 = “1 - 1 et v2 = “2 - 1 degrés de liberté
f(F) -f(F)
.
t v2)
u2)
F, ~2)
=
=
F, --*(y& VI)
FI --cY/2(V2~ h)
Cas bilatéral Cas unilatéraux
sont données en fonction des nombres de degrés de liberté dans la table IV de l’annexe B,
3) Les valeurs de FI _ cy et FI -a/2
pour a! = 0,05 et a! = 0,Ol. On peut en déduire les valeurs de Fa et Fa,*.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples)).
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU H - Estimation du rapport de deux variantes ou de deux écarts-types
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques des individus dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
prélevés (5) dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
I
Données statistiques Calculs
Premier
Second
m, )*
-x1)2=;r=x~--- -
échantillon échantillon
z 1x1
"1
Effectif nl = n2 =
(Q* )*
-x,)2= cx$- -=
z (x2
Somme des valeurs observées 2x1 = zx* =
n2
* 2 (x, -FI)*
Somme des carrés des valeurs
‘I= n,-1 =
xx; = xx; =
observées
2 ç (x2 -x*1*
Degrés de liberté
=nI -1 v2=n2-1
VI
‘*= n2-J =
Niveau de confiance
S2
choisi (7) :
ST
F,-,(v2, v,).I = F
(v*, v, 1 - =
I--CU/2
S2 S2
2 2
1 -a!=
S2 S2
f,-&,,v2) -$= b,,v*) 1=
h-a/*
S2
2 2
Résultats
Estimation du rapport des variantes 0: et ~5 des deux populations :
02 * s*
z (x1 -E1)*/(nI - 1)
1 1
L-E
S2 2 Z: (x2 --X2)*/(n2 - 1)
O2
Intervalle de confiance bilatéral, ) :
s* 02 S2
I<$ S2
FI-cY/*hV*) s2 2
Intervalles de confiance unilatéraux, ) :
o*
S2 o* 1
sf
-& $> 2
S2
FI-Jvl, V*I 9
2 2
1) Les limites des intervalles de confiance du rapport des écarts-types a~ et 02 sont les racines carrées des limites des intervalles
de confiance du rapport des variantes 01 et CJ$.
NOTE - Les références (5), (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
ISO 2854-1976 (F)
.
Commentaires
a (voir 5 7 des ((Remarques générales») est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
1) Le niveau de confiance 1 -
calculé renferme la valeur vraie du rapport des deux variantes.
2) F(v, , v2) désigne le rapport des variantes à vl = nI - 1 et v2 = n2 - 1 degrés de liberté; la valeur F&, v,) est définie
par :
P [WV,, v2) < FJv,, v2)] = a
On a donc :
On a aussi :
FJv,, v2) = F
1-&*r VI)
Loi de F(UI, ~2) avec VI = III - 1 et v2 = 172 - 1 degrés de liberté
f :(F
f(F) f(F)
Fb,, “2)
L
FI -(X/*(VI~ v2)
Fcu/2h v2)
=--
FI -cY/*(V21 VI)
Cas unilatéraux
Cas bilatéral
sont données en fonction des nombres de degrés de liberté dans la table IV de l’annexe B,
3) Les valeurs de FI -a et FI -cr/2
pour CY = 0,05 et a = 0,Ol. On peut en déduire les valeurs de Fol et Fa,*.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples».
ISO 2854-1976 (F)
NOTES EXPLICATIVES ET EXEMPLES
SECTION DEUX
REMARQUES INTRODUCTIVES Estimation des variantes :
= 0,126 34
= 0,139 60
Sl
Sz!
1) Les tableaux qui forment la section un de la présente
Norme Internationale schématisent douze procédures
différentes qui peuvent être appliquées à des données
2) En pratique, il n’arrive jamais que les réponses à toutes
observées sur des échantillons, dans le but de répondre à un
les questions soient exigées, mais il est clair que l’emploi du
certain nombre de questions relatives à une ou à des
même matériel illustratif dans tous les cas, permet de
desquelles on suppose que
populations plus grandes,
simplifier considérablement la présentation des exemples.
I’(les)échantillon(s) est(sont) prélevé(s) au hasard. Pour
De même, pour illustrer les douze schémas, on peut se
améliorer la compréhension des procédures présentées dans
borner à ne considérer que deux cas : celui d’un seul
les tableaux A à H, celles-ci seront maintenant illustrées à
échantillon au tableau A, et celui de deux échantillons au
l’aide de données numériques, constituées de mesures de la
tableau C.
charge de rupture de deux échantillons de fil. Les
En général, le choix des questions est fixé avant l’analyse
caractéristiques principales des échantillons sont indiquées à
des données. C’est d’ailleurs à partir de ce choix qu’il
côté des valeurs observées dans la table X.
convient de déterminer la facon de prélever les données.
Le newton est l’unité utilisée pour exprimer les données
Pour le reste, une représentation graphique des
numériques et les résultats des calculs effectués dans chacun
observations, utilisées à titre d’exemple, suggère le genre de
des exemples.
questions qui peuvent être retenues. En voici
quelques-unes :
TABLE X - Charge de rupture du fil (en newtons)
Compte tenu des variations dues au hasard, les moyennes
(Pour la signification des symboles, voir,
ou les écarts-types dans les deux échantillons sont-ils
par exemple, le tableau G)
compatibles avec l’hypothèse selon laquelle les moyennes
et/ou les écarts-types des deux populations sont
identiques?
S’il ne sont pas identiques, de combien peuvent-ils différer?
Les procédés exposés dans les tableaux A à H donnent une
justification objective, en termes de probabilité, à des
réponses qui pourraient être obtenues plus intuitivement en
examinant des représentations graphiques comme la
suivante.
3) Étant donné que les procédures à suivre dépendent de
l’hypothèse selon laquelle les populations, dont on a pris
des échantillons, sont approximativement représentées par
la loi de distribution normale qui, dans sa forme réduite,
répond à l’équation
1 l.J*
f(u) =x exp (---)
Effectifs des échantillons :
7r
n1 = 10 n2 = 12
il est généralement souhaitable de commencer par un
Somme des valeurs observées Cx :
examen sommaire de cette hypothèse, à moins que la
normalité n’ait été suffisamment démontrée par l’examen
21,761 30,24 1
antérieur de données similaires. Quand le nombre de
Moyennes :
données n’est pas très grand, cet examen peut être fait
= 2,520 graphiquement, en employant l’une des différentes
% = 2,176 x2
méthodes existantes, dont deux sont décrites ci-après. Ces
Somme des carrés des valeurs observées, Zx* :
deux méthodes exigent que les observations soient classées
par ordre croissant de grandeur,), de facon que dans un
48,610 477 77,599 609
échantillon de n observations, xi
Somme des carrés des différences avec la valeur moyenne,
Z(x - z)* :
x, 1,256 365 1,389 769
1) Après quelques modifications simples, les observations pourraient également être classées par ordre de grandeur décroissante, c’est-à-dire
> x2 2,. .2 X".
XI
ISO 2854-1976 (F)
comme ci-dessus, l’échelle uniforme des abscisses u peut
Dans le cas du deuxième échantillon de fil, cité dans la
être remplacée par l’échelle de probabilité,P(u), où
table X, les douze observations ordonnées sont :
“i
2,104 - 2,222 - 2,247 - 2,286 - 2,327 - 2,367 -
P(uj) = e-u’/2 duIfi
s
2,388 - 2,512 - 2,707 - 2,751 - 3,158 - 3,172
-IX3
Les observations ordonnées sont appelées les ((statistiques
La table suivante donne certaines valeurs correspondantes
d’ordre» et seront, dans les deux méthodes, utilisées comme
de IOOPetu.
ordonnées dans le diagramme à établir. Les deux méthodes
diffèrent par les abscisses utilisées; dans le cas a), on prend
IOOP u
mathématiques des statistiques d’ordre
les espérances
w - 3,090
obéissant à une loi normale; dans le cas b), le graphique est
0,5 - 2,576
tracé sur du papier appelé «papier de probabilité normale»
- 2,326
1 ,o
et l’abscisse choisie est l’espérance mathématique de la
23 - 1,960
probabilité cumulée associée à la statistique d’ordre.
- 1,645
5,O
10,o - 1,282
20,o
- 0,842
des espérances mathématiques des
a) Utilisation
25,0 - 0,674
statistiques d’ordre de la distribution normale t(iln)
30,o - 0,524
40,o
- 0,253
Pour des échantillons d’effectif n, pris au hasard dans une
50,o
0,000
distribution normale réduite (c’est-à-dire avec une moyenne
60,O
0,253
égale à zéro et un écart-type égal à l’unité), ces espérances
70,o
0,524
mathématiques &In) sont données dans le tableau V de
75‘0
0,674
l’annexe B, pour n = 2 (1) 50, i = 1,2, . . ., rd2 pour n pair
80,O
0,842
(n -t 1)/2 pour n impair. Les tables de
et i= 1, 2,. . ., 90,o
1,282
donnent des valeurs de $(/In) pour 95,0
H.L. Hartert) 1,645
97,5
1,960
n = 1 (1) 100 et au-delà, pour des intervalles plus larges
99,0 2,326
= 400. Les autres valeurs s’obtiennent en
jusqu’à n
99,5 2,576
affectant ces valeurs du signe négatif du fait que les
99,9 3,090
espérances mathématiques des statistiques d’ordre, pour
i
...

NORME INTERNATIONALE _
INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION l MEXfiYHAPOAHASI OPTAHM3ALWI l-I0 CTAHAAPTM3AWGi *ORGANISATION INTERNATIONALE DE NORMALISATION
Interprétation statistique des données - Techniques
d’estimation et tests portant sur des moyennes et
des variantes
Sta tistical in terpre ta tion of data - Techniques of estimation and tests relating to means and
variantes
Première édition - 1976-02-15
Réf. no : ISO 2854-1976 (F)
CDU 519.28
Descripteurs : analyse statistique, essai statistique, estimation, moyenne mathématique, variante.
Prix basé sur 46 pages
AVANT-PROPOS
L’ISO (Organisation Internationale de Normalisation) est une fédération mondiale
d’organismes nationaux de normalisation (Comités Membres ISO). L’élaboration de
Normes Internationales est confiée aux Comités Techniques ISO. Chaque Comité
Membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du Comité Technique
correspondant. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec I’ISO, participent également aux travaux.
Les Projets de Normes Internationales adoptés par les Comités Techniques sont
soumis aux Comités Membres pour approbation, avant leur acceptation comme
Normes Internationales par le Conseil de I’ISO.
La Norme Internationale ISO 2854 a été établie par le Comité Technique
ISO/TC 69, Application des méthodes statistiques, et soumise aux Comités
Membres en octobre 1973.
Elle a été approuvée par les Comités Membres des pays suivants :
Afrique du Sud, Rép. d’ Hongrie Roumanie
Allemagne Inde Royaume-Uni
Israël
Australie Suisse
Belgique Italie
Tchécoslovaquie
Brési I
Japon Thaïlande
Bulgarie Nouvelle-Zélande Turquie
Égypte, Rép. arabe d’ Pays-Bas U.R.S.S.
France Pologne Yougoslavie
Les Comités Membres des pays suivants ont désapprouvé le
document pour des
raisons techniques :
Suède
U.S.A.
0 Organisation Internationale de Normalisation, 1976 l
Imprimé en Suisse
SOMMAI RE
Page
SECTION UN : PRÉSENTATION DES CALCULS
- Remarques générales . 1
- Tableaux . 3
MOYENNES
Variante
connue inconnue
Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée
A A’
Estimation d’une moyenne
B B’
Comparaison de deux moyennes
C C’
Estimation de la différence de deux moyennes
D D’
VARIANCES
.
Comparaison d’une variante à une valeur donnée
E
Estimation d’une variante F
Comparaison de deux variantes
G
Estimation du rapport de deux variantes H
SECTION DEUX : NOTES EXPLICATIVES ET EXEMPLES
- Remarques introductives . . . . . . . . . . . . . . . 28
- Exemples numériques . . . . . . . . . . . . . . . . 34
ANNEXES
A Comparaison d’observations appariées à l’aide du
test de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
B Tables statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
III
Page blanche
ISO 28544976 (F)
NORME INTERNATIONALE
--
Interprétation statistique des données - Techniques
d’estimation et tests portant sur des moyennes et
des variantes
SECTION UN : PRÉSENTATION DES CALCULS
REMARQUES GÉNÉRALES Si l’on désire réellement une estimation de la moyenne ou
de l’écart-type de la variable X elle-même, alors peu importe
1) La présente Norme Internationale spécifie les
que la distribution de la population soit normale ou non,
techniques permettant, à partir d’échantillons :
une estimation sans biais de la moyenne m et de la variante
02 de la population est fournie par la moyenne X et la
a) d’estimer la moyenne ou la variante de populations;
caractéristique s* de l’échantillon.
b) d’examiner certaines hypothèses concernant la
valeur de ces paramètres.
5) II est souhaitable d’accompagner chaque opération
statistique de toutes indications relatives à l’origine ou à la
2) Les techniques utilisées ne sont applicables que si l’on
méthode de prélèvement des données susceptibles d’éclairer
peut admettre que, dans chaque population considérée, les
leur analyse statistique, notamment l’unité ou la fraction
individus de l’échantillon ont été prélevés au hasard et sont
d’unité de mesure la plus petite ayant une signification
indépendants. Dans le cas d’une population finie, des
pratique.
individus prélevés au hasard peuvent être considérés comme
indépendants si l’effectif de la population est suffisamment
6) II ne peut être procédé à l’élimination ou à la correction
élevé, ou si le taux d’échantillonnage est suffisamment petit
individuelles apparemment
éventuelle de données
(par exemple inférieur à l/lO).
douteuses, que s’il existe des raisons expérimentales,
3) La distribution du caractère étudié est supposée
techniques ou évidentes, permettant une justification
normale dans chaque population. Cependant, si la circonstanciée de cette élimination ou de cette correction.
distribution ne s’écarte pas trop de la normale, les Dans tous les cas, les données éliminées ou corrigées doivent
techniques décrites restent suffisamment valables pour la être mentionnées, ainsi que les raisons de leur élimination
plupart des applications pratiques, à condition que l’effectif ou de leur correction.
de l’échantillon ne soit pas trop petit. Pour les tableaux A,
B, C et D, l’effectif de l’échantillon devrait être de l’ordre
7) Dans les problèmes d’estimation, le niveau de confiance
de 5 à 10 au minimum; pour tous les autres tableaux, il
1 -Q! est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
devrait être de l’ordre de 20 au minimum.’ )
renferme la vraie valeur du paramètre estimé. Ses valeurs les
plus usuelles sont 0,95 et 0,99, soit a! = 0,05 et 0! = 0,Ol.
4) Un certain nombre de techniques permettent de vérifier
l’hypothèse de normalité. Celles-ci feront l’objet d’exemples
8) Dans les problèmes de tests d’hypothèse, le niveau de
numériques dans la section deux, et d’un document séparé
signification a est,
Mais, dans bien des cas, cette dans le cas de tests bilatéraux, la
(encore à préparer).
probabilité de rejeter l’hypothèse nulle (ou hypothèse
hypothèse peut être admise en fonction d’informations
testée) lorsque cette hypothèse est vraie (erreur de première
autres que celles fournies par les échantillons eux-mêmes.
espèce); dans le cas des tests unilatéraux, le niveau de
Dans le cas où l’hypothèse de normalité devrait être rejetée,
signification est la valeur maximale de cette probabilité
il semble que la marche à suivre appropriée serait de faire
(valeur maximale de l’erreur de première espèce). Ses valeurs
appel à des tests non paramétriques ou d’utiliser des
les plus usuelles sont o! = 0,05 (1 chance sur 20) et 0,Ol
transformations permettant de retrouver des populations
(1 chance sur IOO), suivant le risque que l’utilisateur
normales (par exemple I/x, log(x + a), 4xX, etc.), mais
les conclusions obtenues en appliquant les procédures accepte de prendre. Étant donné qu’une hypothèse peut
être rejetée en utilisant 0! =
décrites dans la présente Norme Internationale ne seront 0,05, mais acceptée en utilisant
directement valables que pour la variable transformée; leur O,Ol, il est souvent indiqué d’utiliser la phrase ((l’hypothèse
transposition à la variable initiale exige des précautions. Par est rejetée au niveau 5 %)) ou, si c’est le cas, «au niveau 1 %».
exemple, exp(moyenne logx) est égale à la moyenne L’attention est attirée sur l’existence d’une erreur de
géométrique de x et non pas à la moyenne arithmétique. deuxième espèce, erreur qui est commise lorsqu’on accepte
1) Des études concernant la normalité des distributions sont en cours au sein du TC 69/SC 2.

ISO 2854-1976 (F)
l’hypothèse nulle alors que celle-ci est fausse. Les termes supposent que les échantillons correspondants sont
relatifs aux tests statistiques sont définis dans le chapitre 2 indépendants. Pour l’étude de certains problèmes, on peut
de I’ISO 3534, Statistique - Vocabulaire’). avoir intérêt à apparier les observations (par exemple dans
la comparaison de deux méthodes ou la comparaison de
deux instruments).
9) Les calculs peuvent souvent être fortement simplifiés en Le traitement statistique des
observations appariées
effectuant sur les données un changement d’origine et/ou fait l’objet de I’ISO 3301,
d’unité. Dans le cas d’observations classées par groupes, on Interprétation statistique des données - Comparaison de
deux moyennes dans le cas d’observations appariées, mais,
peut se référer aux formules de I’ISO 2602, lnterprétation
dans l’annexe A, un exemple de traitement d’observations
statistique de résultats d’essais - Estimation de la
appariées est donné. II utilise formellement les données du
moyenne - Intervalle de confiance.
tableau A’.
NOTE - Un changement d’origine est essentiel pour obtenir une
précision suffisante quand la variante est calculée selon la formule
proposée, à l’aide d’un calculateur de faible précision. 11) Les symboles et leur définition utilisés dans la
présen te Norme Internationale sont conformes à
10) Les méthodes indiquées dans les tableaux C et C’ VIS0 3207, Interprétation statistique des données -
concernent la comparaison de deux moyennes. Elles
Détermination d’un in tervale statistique de dispersion.
1) Actuellement au stade de projet.
ISO 2854-1976 (F)
.
TABLEAUX
A - Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée (variante connue)
A’ -
Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée (variante inconnue)
Estimation d’une moyenne (variante connue)
B -
Estimation d’une moyenne (variante inconnue)
B’ -
c -
Comparaison de deux moyennes (variantes connues)
c’ -
Comparaison de deux moyennes (variantes inconnues, mais présumées égales)
D - Estimation de la différence de deux moyennes (variantes connues)
D’ - Estimation de la différence de deux moyennes (variantes inconnues, mais présumées égales)
E - Comparaison d’une variante ou d’un écart-type à une valeur donnée
F - Estimation d’une variante ou d’un écart-type
G - Comparaison de deux variantes ou de deux écarts-types
H - Estimation du rapport de deux variantes ou de deux écarts-types

ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU A - Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée (variante connue)
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Données statistiques Calculs
CX
,-F------z
Effectif de l’échantillon :
n
n=
Somme des valeurs observées :
xx =
Valeur donnée :
m. =
Valeur connue de la variante de la population :
02 zz
D’où l’écart-type :
CT-
Niveau de signification choisi (8) :
cl!=
Résultats
Comparaison de la moyenne de la population à la valeur donnée m.
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité de la moyenne de la population à la valeur donnée (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
Ix’-moI>[u,-a,*lfi]~
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la moyenne de la population n’est pas inférieure à m. (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
i Lu, -- CYG 1 (J
b) L’hypothèse selon laquelle la moyenne de la population n’est pas supérieure à m. (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
F>mo + [u,--&/F] 0
NOTE - Les références (51, (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
ISO 28544976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de signification cy (voir § 8 des «Remarques générales») est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
2) U désigne la variable normale réduite; la valeur u, est définie par :
P[U La loi de U étant symétrique par rapport à l’origine, u, = - u1 -&.
On a donc :
P[U>u,l= 1 -a
P[-u,-,,* Loi de U (loi normale réduite)
Cas unilatéraux
Cas bilatéral
3) o/fi est l’écart-type de la moyenne X, dans un échantillon de n observations.
4) Pour la commodité des calculs, les valeurs de u1 _ cy/fi et u 1 -Q,2/fisont données dans la table 1 de l’annexe B, pour
a = 0‘05 et cI1= 0‘01.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples».

ISO 28544976 (F)
Comparaison d’une moyenne à une valeur donnée (variante inconnue)
TABLEAU A’ -
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
Calculs
Données statistiques
ZX
j+-.--=
Effectif de l’échantillon :
n
n=
Somme des valeurs observées : 2 (x -X)2 Xx2 - (Cx)W7
- =
n-l n-l
Izx =
z (x--Z)2
(-J*=p
Somme des carrés des valeurs observées :
n-l =
J-
zx2 =
Valeur donnée : [t, -&Vfi]s=
m. =
Degrés de I iberté :
v=n-J=
[t, -~,2(v)l&j s =
N iveau de signification choisi (8) :
a=
Résultats
Comparaison de la moyenne de la population à la valeur donnée m. :
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité de la moyenne de la population à la valeur donnée (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
IX--mol > [tl-a,2(VVfi]s
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la moyenne de la population n’est pas inférieure à m. (hypothèse nulle) est rejet&
si l’on a :
Z b) L’hypothèse selon laquelle la moyenne de la population n’est pas supérieure à m. (hypothèse nulle) est rejet&
si l’on a :
X> m. + [t, -,(v)lfi] s
Les références (5), (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des «Remarques générales» l
NOTE -
ISO 28544976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de signification Q! (voir 9 8 des ((Remarques générales))) est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
1 degré de liberté; la valeur t,(v) est définie par :
2) t(v) désigne la variable de Student à Y = n -
P [t(v) < t&)] = a
La loi de t(v) étant symétrique par rapport à l’origine’ t,(v) = - t, -,(v).
On a donc :
P [t(v) > tJv)] = 1 -a
(24 < t(v) < t, -(3/2(V)] = 1 -a
W-h-a/2
Loi t(v) de Student à v = n - 1 degrés de liberté
Cas unilatéraux
Cas bilat&al
3) a*/fiest l’écart-type estimé de la moyenne yf dans un échantillon de n observations.
(v)/&ont données dans la table Ilb de l’annexe B,
4) Pour la commodité des calculs, les valeurs de t, - (u,2(~)/& et t, - cy
pour a! = Of05 et ci = 0’01.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples».
ISO 28544976 (F)
TABLEAU B - Estimation d’une moyenne (variante connue)
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . , . . . . .
Calculs
Données statistiques
x cx
z.z-=
Effectif de l’échantillon :
n
n=
Somme des valeurs observées : [u, -,lfi] 0 =
I=x =
Valeur connue de la variante de la population :
(J2 =
l-Q!/2 n o=
Lu u-1
D’où l’écart-type :
o-
Niveau de confiance choisi (7) :
l--a=
Résultats
Estimation de la moyenne m de la population :
m*=~=
Intervalle de confiance bilatéral :
i~]o z-[“1-cu/2
Intervalles de confiance unilatéraux :
m<~+[u,~al~]o
ou m>F--[u,-&iY]o
NOTE - Les références (5), (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
60 2854-1976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de confiance 1 - cy (voir § 7 des «Remarques générales))) est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
calculé renferme la valeur vraie de la moyenne.
2) U désigne la variable normale réduite; la valeur u, est définie par :
P[U La loi de U étant symétrique par rapport à l’origine’ u, = - u1 -&.
P[U>u,]= 1 -A!
On a donc :
P[-u,-,,, Loi de lJ (loi normale réduite)
f(u) f(u) f(u)
Cas bilatéral Cas unilatéraux
3) CJ/& est l’écart-type de la moyenne X, dans un échantillon de n observations.
n sont données dans la table I de l’annexe B, pour
4) Pour la commodité des calculs, les valeurs de u1 -ar,2/fiet u1 _ &f
a= Of05 et = 0’01.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples».

ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU B’ - Estimation d’une moyenne (variante inconnue)
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\
Données statistiques Calculs
x xx
Z----E
Effectif de l’échantillon :
n
n=
C (x - X)2 Xx2 - (Zx)Vn
Somme des valeurs observées :
n-l = n-l =
XX=
Somme des carrés des valeurs observées :
xx2 =
Degrés de liberté :
v=n-j=
Niveau de confiance choisi (7) : [t, -~,2w47] s =
1 -a=
Résultats
Estimation de la moyenne m de la population :
m*=x=
Intervalle de confiance bilatéral :
x- [tl-a/2bV~]~~m intervalles de confiance unilatéraux :
m ou m>F-[t,-Ju)/&]s
Les références (5), (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
NOTE -
ISO 2854-1976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de confiance 1 - a! (voir 3 7 des «Remarques générales») est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
calculé renferme la valeur vraie de la moyenne.
2) t(v) désigne la variable de Student à v = n - 1 degrés de liberté; la valeur t,(v) est définie par :
P [t(v) < t&(v)] = a
La loi de t(v) étant symétrique par rapport à l’origine, t,(v) = - tl -,(v).
On a donc :
P [t(v) > ta!(v)] = 1 -a
P [- t1 -a/2 (24 < t(v) < t1 -a/2 bd] = 1 - CY
Loi t(v) de Student à Y = n - 1 degrés de liberté
f(t) f(t) f(t)
w t(v)
t(v)
t,(v) = - t1 - ,b)
= - t1 - ()/2(V)
Cas unilatéraux
Cas bilathal
3) o*/G est l’écart-type estimé de la moyenne X, dans un échantillon de n observations.
(v)/fiet tl - ,(v)/fisont données dans la table I lb de l’annexe B,
4) Pour la commodité des calculs, les valeurs de tl - cu/2
pour cz = 0,05 et a = 0,Ol.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples».
ISO 28544976 (F)
TABLEAU C - Comparaison de deux moyennes (variantes connues)
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I .
individus prélevés (5) dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
Calculs
Données statistiques
Premier Second
XX1
z-c
échantillon échantillon
Xl
n1
Effectif nî = n2 =
ZX
ZZZ-----ZZZ
zx2 =
Somme des valeurs observées xx1 =
x,
n2
Valeurs connues des variantes
o2
o2
1+2=
o2
des populations a2 od =
2=
1=
J-
n1 n2
Niveau de signification ul -a od =
choisi (8) :
h -a/2Od =
a=
Résultats
Comparaison des moyennes des deux populations :
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité des moyennes (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la première moyenne n’est pas inférieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
Xl - u1 -a?d
b) L’hypothèse selon laquelle la première moyenne n’est pas supérieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
,
si l’on a :
NOTE - Les références (5), (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
ISO 2854-1976 (F)
Commentaires
1) Le niveau de signification a (voir 5 8 des ((Remarques générales))) est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
2) U désigne la variable normale réduite; la valeur u, est définie par :
P[U La loi de U étant symétrique par rapport à l’origine, u, = - u1 _ ûrm
On a donc :
P[U>u,]= 1 -a
p bJl-a/2
Loi de U (loi normale réduite)
f(u) f(u)
f(u)
L-
hu. J
U
=-Ul-Q
Ul-Ot %!
Cas unilatéraux
Cas bilatéral
CI2 a2
3) (Jd ZZZ. 2+2
---x2 des moyennes des deux échantillons, de respectivement nl et
est l’écart-type de la différence d = xl
Il
n1 n2
n2 observations.
= 1 de la table 1 de l’annexe B.
4) Les valeurs de u, _ ar/2 et u1 _ cy se lisent, pour c! = 0,05 et Q! = O,Ol, à la ligne n
EXEMPLE : voir section deux, ((Notes explicatives et exemples)).
ISO 28544976 (F)
TABLEAU C’ -- Comparaison de deux moyennes (variantes inconnues, mais présumées égales)
L’hypothèse de l’égalité des variantes des deux populations peut être vérifiée comme il est indiqué au tableau G.
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . ._ . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
des individus prélevés (5) dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Données statistiques Calculs
Premier Second
XX1
échantillon échantillon XI =- =
n2 =
Effectif nl =
- xx2
z-z
X2
n2
Somme des valeurs observées Xx1= zx2=
Xl -X1)2 + 23 (x2 -X2)2 =
W
Somme des carrés des valeurs
observées zxf= zx;= cxf+zx$--
“, (zx,)2 --!- (Zx# =
n2
Degrés de liberté V =nl +n2-2=
* 1 -X,)2 + z (x2 -92 =
‘d
nl + n2 - 2
N iveau de sign if icat ion
choisi (8) : tl -,b) sd =
tl - a=
Résultats
Comparaison des moyennes des deux populations :
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité des moyennes (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
-& 1 > tl -a,2 (4 sd
IX,
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la première moyenne n’est pas inférieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
i-, tl -&) sd
b) L’hypothèse selon laquelle la première moyenne n’est pas supérieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
y, > 2-2 + t, -a(v) sd
NOTE - Les références (5), (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
ISO 2854-1976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de signification CY (voir 5 8 des «Remarques générales))) est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
- 2 degrés de liberté; la valeur t,(v) est définie par :
2) t(v) désigne la variable de Student à v = nl i- n2
P [t(v) < t&)] = a
La loi de t(v) étant symétrique par rapport à l’origine, ta(v) = - tl -&).
On a donc :
P [t(v) > ta(v)] = 1 -a
(v) < t(v) < t 1-a&)] = 1 -a
p L- t1 -CU/2
Loi t(v) de Student à v = “1 + Q- 2 degr& de liberté
Cas unilatéraux
Cas bilatdral
3) c~df est l’écart-type estimé de la différence d 5=x1 - Y2 des moyennes des deux échantil Ions de respectivement nl et n2
observations.
(v) sont données dans la table I la de l’annexe B, pour CY = 0,05 et ai = 0,Ol.
4) Les valeurs de tl -a12(~) et tl -Q
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples)).
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU D - Estimation de la différence de deux moyennes (variantes connues)
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques
dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
des individus prélevés (5)
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l
Calculs
Données statistiques
Premier Second
CXI
z-x
x-r
échantillon échantillon
-
xx2
E-Z
n, = n2 =
Effectif
X2
n2
zx, = xx2 =
Somme des valeurs observées
o2
l 05
-,- - =
od= ti
Valeurs connues des variantes
I n2
o2 o2
des populations
i
1= 2=
t.fl -&j =
N iveau de confiance
choisi (7) :
u1 -a/2*d =
l-a=
Résultats
Estimation de la différence des moyennes ml et m2 des deux populations :
-m2)* =Xl -X2 =
(ml
Intervalle de confiance bilatéral :
(xl - x2) -ul -(r/20d Intervalles de confiance unilatéraux :
-m2 < (X1 -x2) + u, -&j
ml
-m2 > (xl --x2) -ul -&od
ou
ml
NOTE - Les références (5), (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des «Remarques générales».
ISO2854-1976 (F)
Commentaires
a (voir 5 7 des ((Remarques générales))) est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
1) Le niveau de confiance 1 -
calculé renferme la valeur vraie de la différence des moyennes.
2) U désigne la variable normale réduite; la valeur U, est définie par :
La loi de U étant symétrique par rapport à l’origine, u, = - ul _ a’
On a donc :
Loi de U (loi normale réduite)
Cas unilatéraux
Cas bi I atéral
3) o(j =
- jc2 des moyennes des deux échantillons, de respectivement n1 et
est l’écart-type de la différence d = El
n2 observations.
= 1 de la table 1 de l’annexe 5.
4) Les valeurs de u1 -cu/2 et ul -a! se lisent, pour cy = 0,05 et CY = O,Ol, à la ligne n
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples».
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU D’ - Estimation de la différence de deux moyennes (variantes inconnues, mais présumées égales)
L’hypothèse de l’égalité des variantes des deux populations peut être testée comme il est indiqué au tableau G.
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
des individus prélevés (5) dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
l
Données statistiques Calculs
Premier Second
%
E-c
échantillon échantillon
%
n1
Effectif nl = n2 =
zx2
=-CI
x2
n2
Somme des valeurs 8bsewées zx, = xx2 =
--X,)2 + z (x2 -X,)2 =
z (x,
Somme des carrés des valeurs
1 1
xx: = cx; =
observées Lx? + Lx$ - - (Xx,)2 - - (Xx# =
"1 n2
Degrés de liberté V =nl +n2-2=
* z (x,--F,)2 + 2l (x2 -zp
‘d
nl +n2-2
Niveau de confiance
choisi (7) : t, -,(v) sd =
1 -a= t, -(y,&4 sd =
Résultats
Estimation de la différence des moyennes ml et m2 des deux populations :
-m2)* =jc, -2, =
(ml
Intervalle de confiance bilatéral :
(X, --x,1 - tl -a/2(v) sd Intervalles de confiance unilatéraux :
-m2<(Zl -x2) + t,-&) sd
ml
ou -m2 > (xl -x2) - t+.&) sd
ml
Les références (9, (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
NOTE -
60 28544976 (F)
.
Commentaires
a (voir $j 7 des «Remarques générales») est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
1) Le niveau de confiance 1 -
calculé renferme la valeur vraie de la différence des moyennes.
- 2 degrés de liberté; la valeur t&(v) est définie par :
2) t(v) désigne la variable de Student à v = nl i- n2
P [t(v) < fol(v)] = a
La loi de t(v) étant symétrique par rapport à l’origine, ta(v) = - tl -,(v).
On a donc :
P[t(v) > ta(v)] = 1 --a
- (-y/2 (VI < t(v) < t, -*,2 b-43 = 1 - a
w-t1
Loi t(v) de Student à v = “1 + “2 - 2 degrés de liberté
I
CY
Q!
t(v)
L_dd
t(v) ’
t, -Q(V) t&) = - t, - &)
- t, -&V)
t,/,(v) =
Wa/2(V)
Cas unilatéraux
Cas bilat&al
--X2 des moyennes des deux échantillons, de respectivement nl et n2
3) 0: est l’écart-type estimé de la différence d = Xl
observations.
et tl -,(v) sont données dans la table I la de l’annexe B, pour Q! = 0,05 et cy = 0,Ol.
4) Les valeurs de tl -a,&)
EXEMPLE : voir section deux, ((Notes explicatives et exemples».
ISO 28544976 (F)
TABLEAU E - Comparaison d’une variante ou d’un écart-type à une valeur donnée
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . , .
Données statistiques Calculs
Effectif de l’échantillon :
n=
CM2
x (x-32 =2x2- - =
n
Somme des valeurs observées :
zx =
z (x--X)2
- -
-
Somme des carrés des valeurs observées :
o2
2x2 =
Valeur donnée : &v) =
o2
0=
( 1
X1-& v =
Degrés de liberté :
U=n-l=
( 1
&Y/2 v =
Niveau de signification choisi (8) :
a- ( 1
Xl-cd2 v =
Résultats
Comparaison de la variante de la population à la valeur donnée a$ :
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité de la variante de la population à la valeur donnée (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
c: (x - $2
(11,2(v)
< x;,, (4 ou y lx -x)2 > XT
-
020 0;
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la variante de la population n’est pas supérieure à la valeur donnée (hypothèse nulle)
est rejetée si l’on a :
-2)2
> x2 (v)
c (x
1-a
b) L’hypothèse selon laquelle la variante de la population n’est pas inférieure à la valeur donnée (hypothèse nulle)
est rejetée si l’on a :
NOTE - Les références (9, (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
ISO 2854-1976 (F)
.
Commentaires
1) Le niveau de signification Q! (voir 5 8 des «Remarques générales))) est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
2) x2(v) désigne la variable x2 à v degrés de liberté; la valeur &v) est définie par
p [x2 (4 < xgv,] = a
On a donc :
P[p(V)>XQ(v)]= 1 -a
p [x&(v) Loi de X2(v) à v = n - 1 degrés de liberté
f(x2)
f(x2)
v)
-
X&(V)
Xl - */2(4
Cas bilatéral Cas unilatéraux
(v) sont données dans la table Ill de l’annexe B, pour Q = 0,05 et
3) Les valeurs de $(VI, x:-,(v), x~,/~(v) et xfSQ12
(Y = 0,Ol.
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples)).
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU F - Estimation d’une variante ou d’un écart-type
Caractéristiques techniques de la population étudiée (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques des individus prélevés (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Données statistiques Calculs
(W2
~(x--jq2=~x2---.---L
Effectif de l’échantillon :
n
n=
s2 lz (x - zp
-
-
n-l =
Somme des valeurs observées :
zx =
2’ (x-X)2
-
x:(v) -
Somme des carrés des valeurs observées :
xx2 =
L: (x --X)2
-
-
( 1
L-cuv
Degrés de liberté :
c (x -X)2
=n-l=
Y
-
x2 b-4 -
a/2
Niveau de confiance choisi (7) :
2 (x -X)2
-
-
l--Cl!=
( 1
Xl-d2 v
Résultats
Estimation de la variante 02 de la population :
Intervalle de confiance bilatéral, ) :
C(X-X)2<*2<ç (X-W
( 1
Xl-a/2 v &2(4
Intervalles de confiance unilatéraux 1) :
o2 x;(v)
*2 >z: k-a2
ou
i 1
Xl-av
1) Les limites des intervalles de confiance de l’écart-type 0 sont les racines carrées des limites des intervalles de confiance de la variante u2.
NOTE - Les références (51, (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales».
ISO 2854-1976 (F)
Commentaires
- CY (voir 5 7 des «Remarques générales))) est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
1) Le niveau de confiance 1
calculé renferme la valeur vraie de la variante.
2) x*(v) désigne la variable x* à v = n - 1 degrésde liberté; la valeur xi(v) est définie par :
p [x*(4 < X~(v,] = cl
On a donc :
P[xW >XQ(V)] = 1 -CY
p [x$2 (4 < x2 bd < x:+* W] = 1 -a
Loi de X*(V) à v = n - 1 degrés de liberté
Cas bilatéral Cas unilatéraux
(v) sont données dans la table II I de l’annexe B, pour CY = 0,05 et
3) Les valeurs de X~(V), XT- ,(v), X$~(V) et x:- cr/2
a = 0,Ol.
EXEMPLE : voir section deux, ((Notes explicatives-et exemples».
ISO 28544976 (F)
TABLEAU G - Comparaison de deux variantes ou de deux écarts-types
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
des individus prélevés (5) dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calculs
Données statistiques
Premier Second
m, )*
-
-x1 )* = zxf - - -
échantillon échantillon
z: (x,
n1
Effectif nl = n2 =
m, l2
~(x,-x*)*=~x;--=
zx, = 22x2 =
Somme des valeurs observées
n2
-ii,)2
L: (x,
Somme des carrés des -
-
s) =
xx; =
valeurs observées zx; = n1 -1
c (x2 -Y#
Degrés de liberté = nl -1 v2=n2-1 -
Vl -
s; =
n2-1
Niveau de signification
F, -a/*(Vj# y*) =
f, -&,, V*I =
choisi (8) :
1 1.
a= -
-
Fl-&*, Vl) - F, -a,2b2, v1 1 -
Résultats
Comparaison des variantes des deux populations :
Cas bilatéral :
L’hypothèse de l’égalité des variantes (hypothèse nulle) est rejetée si l’on a :
S2 1
ST
ou
i -cY/*(V, I v2)
$<- pF
FI Iv,, Vl)
- CU/*
2 2
Cas unilatéraux :
a) L’hypothèse selon laquelle la première variante n’est pas supérieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
S2
-$>F,-&,,v1)
b) L’hypothèse selon laquelle la première variante n’est pas inférieure à la seconde (hypothèse nulle) est rejetée
si l’on a :
S2
y
,-&*, Vl)
2 F
NOTE - Les références (5), (6) et (8) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales».
ISO 2854-1976 (F)
Commentaires
1) Le niveau de signification Q! (voir 5 8 des «Remarques générales») est la probabilité de rejeter l’hypothèse nulle lorsque
cette hypothèse est vraie.
- 1 degrés de liberté; la valeur F,(v,, 5) est définie
2) I=(V,, v2) désigne le rapport des variantes à vl = nl - 1 et ~2 = n2
par :
P [Fb,, v2) < FJVj I v,)f = a
On a donc :
P [Fa,2(v1, v2) < F(v, v2) < F,-,i2b11 V~I]= 1 -a
On a aussi :
-
-
FI -&2, VI)
Loi de F(z+ v2) à v1 = nl - 1 et v2 = “2- 1 degrés de liberté
f(F) f(F)
v2) F1 - &j, ~2)
FLy(Yl,
F1 - &2, VI 1
Cas unilatéraux
Cas bilatéral
sont données en fonction des nombres de degrés de liberté dans la table IV de l’annexe B,
3) Les valeurs de FI _ cy et FI -a/2
= 0,Ol. On peut en déduire les valeurs de Fa et Fai2.
pour a! = 0,05 et a!
EXEMPLE : voir section deux, «Notes explicatives et exemples)).
ISO 2854-1976 (F)
TABLEAU H - Estimation du rapport de deux variantes ou de deux écarts-types
de la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques techniques (5)
de la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caractéristiques des individus dans la population 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
prélevés (5) dans la population 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de l’échantillon 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Observations éliminées (6)
de l’échantillon 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(
I
Données statistiques Calculs
Premier
Second
m, l2
-x,)2=q--- -
échantillon échantillon
x lx,
"1
Effectif n, = n2 =
(Q* l2
-X2)2= zx$- -=
2 (x2
Somme des valeurs observées 2x, = zx2 =
n2
2 (x, -X,)2
Somme des carrés des valeurs
s2 -
l- n,-1 =
xx; = xx; =
observées
2 ç 1x2 -X,P
Degrés de I i berté =nl -1 v2=n2-1
VI
‘2= n,-1 =
Niveau de confiance
S2
choisi (7) : ST
F, -Jv2, ~4.2 = F
(v2, v, 1 - =
l--CU/2
S2
S2 2
1 -a!=
S2 S2
F
,-&,& -$= (v,,@ 1=
h-a/2
S2
Résultats
Estimation du rapport des variantes of et ~5 des deux populations :
o2 * s2
ZI ix, -ii1)2/(nl - 1)
L-C
S2
-F2)2/(n2 - 1)
2 X(x2
O2
(>
Intervalle de confiance bilatéral, ) :
s2 o2
s:
‘<--& l-a/2(V2n Q-y
Fl-cY12hV2) s2 2 s2
Intervalles de confiance unilatéraux, ) :
o2 S2 cJ2 1
sf
-$ l-&2.v,)-$ ou $>
F,-Jvl, v2) 9
2 2 2
1) Les limites des intervalles de confiance du rapport des écarts-types a, et 02 sont les racines carrées des limites des intervalles
de confiance du rapport des variantes ~1 et CJ$.
NOTE - Les références (51, (6) et (7) renvoient aux paragraphes correspondants des ((Remarques générales)).
ISO 2854-1976 (F)
.
Commentaires
a (voir 5 7 des ((Remarques générales») est la probabilité pour que l’intervalle de confiance
1) Le niveau de confiance 1 -
calculé renferme la valeur vraie du rapport des deux variantes.
1 degrés de liberté; la valeur F&, p2) est définie
apport desvariances à V, = n, - 1 et v2 = n2 -
) désigne le r
2) WI, v2
par :
P [WV,, v2) < FJv,, v2)
On a donc :
P[F(v,,v2) >F&,,v2)] = 1 -a
P~Fcu,2(v,.v2~ On a aussi :
FJv,, 59 = F
,-&231)
Loi de F(vl, v$ avec VI = “1 - 1 et v2 = 172 - 1 degrés de liberté
f(F)
f(F) f(F)
Fb,, “2)
-
-
F,(q, 5)
Fl-a/2~~l~ V2)
Fcu/2(VV2)
=
Z------P
F, - &2, v, 1
Fl -cY/2iV21 VI)
Cas unilatéraux
Cas bilatéral
sont données en fonction des nombres de degrés de liberté dans la table IV de l’annexe B,
3) Les valeurs de FI -a et FI -cr,2
= 0,Ol. On peut en déduire les valeurs de Fol et Fa,2.
pour a! = 0,05 et a
EXEMPLE : voir section deux, ((Notes explicatives et exemples».
ISO 28544976 (F)
SECTION DEUX : NOTES EXPLICATIVES ET EXEMPLES
Estimation des variantes :
REMARQUES INTRODUCTIVES
sf = 0,139 60 = 0,126 34
1) Les tableaux qui forment la section un de la présente Sz!
schématisent douze procédures
Norme Internationale
différentes qui peuvent être appliquées à des données
2) En pratique, il n’arrive jamais que les réponses à toutes
observées sur des échantillons, dans le but de répondre à un
les questions soient exigées, mais il est clair que l’emploi du
certain nombre de questions relatives à une ou à des
même matériel illustratif dans tous les cas, permet de
populations plus grandes, desquelles on suppose que
simplifier considérablement la présentation des exemples.
I’(les)échantillon(s) est(sont) prélevé(s) au hasard. Pour
De même, pour illustrer les douze schémas, on peut se
améliorer la compréhension des procédures présentées dans
borner à ne considérer que deux cas : celui d’un seul
les tableaux A à H, celles-ci seront maintenant illustrées à
échantillon au tableau A, et celui de deux échantillons au
l’aide de données numériques, constituées de mesures de la
tableau C.
charge de rupture de deux échantillons de fil. Les
En général, le choix des questions est fixé avant l’analyse
caractéristiques principales des échantillons sont indiquées à
des données. C’est d’ailleurs à partir de ce choix qu’il
côté des valeurs observées dans la table X.
convient de déterminer la facon de prélever les données.
Le newton est l’unité utilisée pour exprimer les données
Pour le reste, une représentation graphique des
numériques et les résultats des calculs effectués dans chacun
observations, utilisées à titre d’exemple, suggère le genre de
des exemples.
questions qui peuvent être retenues. En voici
quelques-unes :
TABLE X - Charge de rupture du fil (en newtons)
Compte tenu des variations dues au hasard, les moyennes
(Pour la signification des symboles, voir,
ou les écarts-types dans les deux échantillons sont-ils
le tableau G)
par exemple,
compatibles avec l’hypothèse selon laquelle les moyennes
et/ou les écarts-types des deux populations sont
identiques?
S’il ne sont pas identiques, de combien peuvent-ils différer?
Les procédés exposés dans les tableaux A à H donnent une
justification objective, en termes de probabilité, à des
réponses qui pourraient être obtenues plus intuitivement en
examinant des représentations graphiques comme la
suivante.
3) Étant donné que les procédures à suivre dépendent de
l’hypothèse selon laquelle les populations, dont on a pris
des échantillons, sont approximativement représentées par
la loi de distribution normale qui, dans sa forme réduite,
répond à l’équation
1 l.P
f(u) =;exp k-2)
Effectifs des échantillons :
fl
= 10 = 12
n1
n2
il est généralement souhaitable de commencer par un
Somme des valeurs observées Zx :
examen sommaire de cette hypothèse, à moins que la
21,761 normalité n’ait été suffisamment démontrée par l’examen
30,241
antérieur de données similaires. Quand le nombre de
Moyennes :
données n’est pas très grand, cet examen peut être fait
graphiquement, en employant l’une des différentes
= 2,176 X2 = 2,520
%
méthodes existantes, dont deux sont décrites ci-après. Ces
Somme des carrés des valeurs observées, 2x2 :
deux méthodes exigent que les observations soient classées
par ordre croissant de grandeur’), de facon que dans un
48,610477 77,599609
échantillon de n observations, xi
Somme des carrés des différences avec la valeur moyenne,
Z(x - X)2 :
x1 1,256 365 1,389 769
1) Après quelques modifications simples, les observations pourraient également être classées par ordre de grandeur décroissante, c’est-à-dire
x, 2 x2 2. .a X”.
ISO 2854-1976 (F)
le du deuxi ème échantil Ion de fil, cité dans la comme c -dessus, l’échelle uniforme des abscisses u peut
Dans cas
rvati ons ordo nnées sont être remp acée par l’échelle de probabilité,P(u), où
table les d ouze obse
x,
“i
2,104 - 2,222 - 2,247 - 2,286 - 2,327 - 2,367 -
P(Uj) = e-u’/2 dule
s
2,388 - 2,512 - 2,707 - 2,751 - 3,158 - 3,172
-IX3
Les observations ordonnées sont appelées les ((statistiques
La table suivante donne certaines valeurs correspondantes
d’ordre» et seront, dans les deux méthodes, utilisées comme
de IOOPetu.
ordonnées dans le diagramme à établir. Les deux méthodes
diffèrent par les abscisses utilisées; dans le cas a), on prend
IOOP u
mathématiques des statistiques d’ordre
les espérances
w - 3,090
obéissant à une loi normale; dans le cas b), le graphique est
0,5 - 2,576
tracé sur du papier appelé «papier de probabilité normale»
1 ,o - 2,326
et l’abscisse choisie est l’espérance mathématique de la
23 - 1,960
probabilité cumulée associée à la statistique d’ordre.
5,O - 1,645
10,o - 1,282
20,o - 0,842
des espérances mathématiqu
a) Utilisation
25,0 - 0,674
I a distribution normale t (ilnI
statistiques d’ordre de
30,o - 0,524
40,o - 0,253
Pour des échantillons d’effectif n, pris au hasard dans une
50,o 0,000
distribution normale réduite (c’est-à-dire avec une moyenne
60,O 0,253
égale à zéro et un écart-type égal à l’unité), ces espérances
70,o 0,524
mathématiques &In) sont données dans le tableau V de
75‘0 0,674
l’annexe B, pour n = 2 (1) 50, i = 1,2, . . ., rd2 pour n pair
80,O 0,842
(n -t 1)/2 pour n impair. Les tables de
et i= 1, 2,. . .,
90,o 1,282
donnent des valeurs de $(/In) pour
H.L. Harterl) 95,0 1,645
= 1 (1) 100 et au-delà, pour des intervalles plus larges 97,5 1,960
n
99,0 2,326
= 400. Les autres valeurs s’obtiennent en
j
...