ISO 80000-2:2009

NORME ISO
INTERNATIONALE 80000-2
Première édition
2009-12-01
Grandeurs et unités —
Partie 2:
Signes et symboles mathématiques à
employer dans les sciences de la nature
et dans la technique
Quantities and units —
Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural
sciences and technology
Numéro de référence
©
ISO 2009
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Sommaire Page
Avant-propos .iv

Introduction.vi

1 Domaine d'application .1

2 Références normatives.1
3 Variables, fonctions et opérateurs .1
4 Logique mathématique .3
5 Ensembles.4
6 Ensembles normalisés de nombres et intervalles.6
7 Signes et symboles divers .8
8 Géométrie élémentaire.10
9 Opérations.11
10 Combinatoire .14
11 Fonctions.15
12 Fonctions exponentielles et logarithmiques .18
13 Fonctions circulaires et hyperboliques .19
14 Nombres complexes .21
15 Matrices .22
16 Systèmes de coordonnées.24
17 Scalaires, vecteurs et tenseurs.26
18 Transformées.30
19 Fonctions spéciales .31
Annexe A (normative) Clarification des symboles utilisés .36
Bibliographie.41

Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux de

normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général confiée

aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du

comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non

gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec

la Commission électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les Normes internationales sont rédigées conformément aux règles données dans les Directives ISO/CEI,
Partie 2.
La tâche principale des comités techniques est d'élaborer les Normes internationales. Les projets de Normes
internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour vote. Leur
publication comme Normes internationales requiert l'approbation de 75 % au moins des comités membres
votants.
L'attention est appelée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l'objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne
pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence.
L'ISO 80000-2 a été élaborée par le comité technique ISO/TC 12, Grandeurs et unités, en collaboration avec
le comité d'études CEI/CE 25, Grandeurs et unités.
Cette première édition annule et remplace l'ISO 31-11:1992, qui a fait l'objet d'une révision technique. Les
principales modifications techniques par rapport à la norme précédente sont les suivantes:
⎯ Quatre articles ont été ajoutés: «Ensembles normalisés de nombres et intervalles», «Géométrie
élémentaire», «Combinatoire», et «Transformées».
L'ISO 80000 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Grandeurs et unités:
⎯ Partie 1: Généralités
⎯ Partie 2: Signes et symboles mathématiques à employer dans les sciences de la nature et dans la
1)
technique
⎯ Partie 3: Espace et temps
⎯ Partie 4: Mécanique
⎯ Partie 5: Thermodynamique
⎯ Partie 7: Lumière
⎯ Partie 8: Acoustique
⎯ Partie 9: Chimie physique et physique moléculaire
⎯ Partie 10: Physique atomique et nucléaire

1) Le titre sera abrégé en «Mathématiques» dans la seconde édition de l'ISO 80000-2.
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⎯ Partie 11: Nombres caractéristiques

⎯ Partie 12: Physique de l'état solide

La CEI 80000 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Grandeurs et unités:

⎯ Partie 6: Électromagnétisme
⎯ Partie 13: Science et technologies de l'information

⎯ Partie 14: Télébiométrique relative à la physiologie humaine

Introduction
Disposition des tableaux
La première colonne, «N°», des tableaux comporte le numéro du concept; le numéro correspondant dans

l'ISO 31-11 est indiqué entre parenthèses; un tiret est utilisé pour indiquer que le concept en question ne

figurait pas dans l'édition précédente.

La seconde colonne, «Signe, symbole, expression», indique le signe ou le symbole considéré, généralement
dans le contexte d'une expression type. Lorsque plusieurs signes, symboles ou expressions sont indiqués
pour le même concept, ils sont également admissibles. Dans certains cas, par exemple pour l'élévation à une
puissance, il n'existe qu'une expression type, mais pas de symbole.
La troisième colonne, «Sens, énoncé», donne une information d'aide sur le sens ou sur la manière dont
l'expression peut être lue. Cela aide à l'identification du concept mais n'est pas une définition mathématique
complète.
La quatrième colonne, «Remarques et exemples», donne des informations complémentaires. Des définitions
sont données si elles sont assez courtes pour tenir dans la colonne. Il n'est pas nécessaire qu'elles soient
mathématiquement complètes.
La disposition du tableau de l'Article 16, «Systèmes de coordonnées», est légèrement différente.

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NORME INTERNATIONALE ISO 80000-2:2009(F)

Grandeurs et unités —
Partie 2:
Signes et symboles mathématiques à employer dans les

sciences de la nature et dans la technique

1 Domaine d'application
L'ISO 80000-2 donne des informations générales sur les signes et symboles mathématiques, leurs sens, leurs
énoncés et leurs applications.
Les recommandations données dans l'ISO 80000-2 sont principalement destinées à être utilisées dans les
sciences de la nature et dans la technique. Cependant, elles s'appliquent également à d'autres domaines
utilisant les mathématiques.
2 Références normatives
Les documents de référence suivants sont indispensables pour l'application du présent document. Pour les
références datées, seule l'édition citée s'applique. Pour les références non datées, la dernière édition du
document de référence s'applique (y compris les éventuels amendements).
2)
ISO 80000-1:— , Grandeurs et unités — Partie 1: Généralités
3 Variables, fonctions et opérateurs
Les variables, telles que x, y, etc., et les indices tels que i dans Σ x sont imprimés en caractères italiques
i i
(penchés). Il en est de même pour les paramètres tels que a, b, etc., qui peuvent être considérés comme
constants dans un contexte particulier. La même règle s'applique aussi aux fonctions en général, par
exemple f, g.
Cependant, on écrit en caractères romains (droits) une fonction explicitement définie qui ne dépend pas du
contexte, par exemple sin, exp, In, Γ. Les constantes mathématiques dont la valeur ne change jamais sont
imprimées en caractères romains (droits), par exemple: e = 2,718 281 8.; π = 3,141 592 …; i = −1. Les
opérateurs bien définis sont aussi imprimés en droit, par exemple: div, δ dans δx et chaque d dans df/dx.
Les nombres exprimés par des chiffres sont toujours écrits en droit, par exemple: 351 204; 1,32; 7/8.
L'argument d'une fonction est écrit entre parenthèses après le symbole de la fonction, sans espace entre le
symbole de la fonction et la première parenthèse, par exemple: f(x), cos(ωt + ϕ). Si le symbole de la fonction
comporte deux lettres ou plus et si l'argument ne contient pas de signe d'opération tel que +; −; ×; ⋅; ou /, les
parenthèses autour de l'argument peuvent être omises. Dans ce cas, il convient de laisser un léger espace
entre le symbole de la fonction et l'argument, par exemple: int 2,4; sin nπ; arcosh 2A; Ei x.

2) À publier. (Révision de l'ISO 31-0:1992)
S'il existe un risque de confusion, il convient de toujours insérer des parenthèses. Par exemple, écrire

cos(x) + y; ne pas écrire cos x + y qui pourrait être compris comme cos(x + y).

Une virgule, un point-virgule ou un autre symbole approprié peut être utilisé comme séparateur entre les

nombres ou expressions. La virgule est généralement préconisée, sauf dans le cas de nombres comportant

une virgule comme signe décimal.

S'il faut écrire une expression ou une équation sur deux lignes ou plus, l'une des méthodes suivantes doit être

utilisée:
a) Effectuer la coupure immédiatement après l'un des symboles =, +, −, ±, ou ∓, ou, si nécessaire,
immédiatement après l'un des symboles ×, ⋅, ou /. Dans ce cas, le symbole indique que l'expression
continue à la ligne ou la page suivante.
b) Effectuer la coupure immédiatement avant l'un des symboles =, +, −, ±, ou ∓, ou, si nécessaire,
immédiatement avant l'un des symboles ×, ⋅, ou /. Dans ce cas, le symbole indique que l'expression est la
continuation de la précédente ligne ou page.
Le symbole ne doit pas être répété au début de la ligne suivante, deux signes moins pourraient par exemple
entraîner des erreurs de signe. Il convient de n'utiliser qu'une seule de ces méthodes dans un même
document. Il convient, si possible, que la coupure de ligne ne se trouve pas dans une expression entre
parenthèses.
Il est de règle d'utiliser différents types de caractères pour différentes entités. Cela facilite la lecture des
formules et la mise en place d'un contexte approprié. Il n'existe aucune règle stricte relative à l'utilisation de
polices de caractères, dont il convient cependant d'expliquer l'utilisation si nécessaire.

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4 Logique mathématique
Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-4.1 conjonction de p et q,
p ∧ q
(11-3.1) p et q
2-4.2 disjonction de p et q, Ce «ou» est inclusif, c'est-à-dire p ∨ q est
p ∨ q
vrai si p ou q ou les deux sont vrais.
(11-3.2) p ou q
2-4.3 négation de p,
¬ p
(11-3.3) non p
2-4.4 p implique q, p entraîne q, q ⇐ p a le même sens que p ⇒ q.
p ⇒ q
(11-3.4) si p alors q ⇒ est le symbole d'implication.
2-4.5 p équivaut à q, (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) a le même sens que
p ⇔ q
p est équivalent à q p ⇔ q.
(11-3.5)
⇔ est le symbole d'équivalence.
2-4.6 pour tout x appartenant à A, la Si le contexte permet de savoir clairement
∀x ∈ A  p(x)
proposition p(x) est vraie quel est l'ensemble A considéré, on peut
(11-3.6)
utiliser la notation ∀x p(x).
∀ est le quantificateur universel.
Pour x ∈ A, voir 2-5.1.
2-4.7 il existe un x appartenant à A Si le contexte permet de savoir clairement
∃x ∈ A  p(x)
pour lequel p(x) est vrai quel est l'ensemble A considéré, on peut
(11-3.7)
utiliser la notation ∃x p(x).
∃ est le quantificateur existentiel.
Pour x ∈ A, voir 2-5.1.
∃ x p(x) est utilisé pour indiquer l'existence
d'un élément et d'un seul pour lequel p(x)
est vrai.
∃! est aussi utilisé pour ∃ .
5 Ensembles
Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-5.1 x appartient à A, A ∋ x a le même sens que x ∈ A.
x ∈ A
(11-4.1) x est un élément de l'ensemble A

2-5.2 y n'appartient pas à A, A ∌ y a le même sens que y ∉ A.
y ∉ A
(11-4.2) y n'est pas un élément de La barre de négation peut aussi être

l'ensemble A verticale.
{x , x , …, x }
2-5.3 ensemble dont les éléments sont S'écrit aussi {x | i ∈ I}, où I est un
1 2 n
i
x , x , …, x ensemble d'indices.
1 2 n
(11-4.5)
2-5.4 ensemble des éléments de A EXEMPLE {x ∈ R | x u 5}
{x ∈ A | p(x)}
pour lesquels la proposition Si le contexte permet de savoir clairement quel
(11-4.6)
p(x) est vraie est l'ensemble A considéré, on peut utiliser la
notation {x | p(x)} (par exemple {x | x u 5}
s'il est clair que x est une variable représentant
un nombre réel).
2-5.5 card A nombre des éléments de A, Le cardinal peut être un nombre transfini.
(11-4.7) cardinal de A Voir aussi 2-9.16.
A
2-5.6 ∅ l'ensemble vide
(11-4.8)
2-5.7 B ⊆ A B est inclus dans A, Tout élément de B appartient à A.
(11-4.18) B est un sous-ensemble de A ⊂ est aussi utilisé, mais voir la remarque
au 2-5.8.
A ⊇ B a le même sens que B ⊆ A.
2-5.8 B ⊂ A B est strictement inclus dans A, Tout élément de B appartient à A, mais au
moins un élément de A n'appartient pas à
(11-4.19) B est un sous-ensemble strict
B.
de A
Si ⊂ est utilisé pour 2-5.7, alors ⊊ doit
être utilisé pour 2-5.8.
A ⊃ B a le même sens que B ⊂ A.
2-5.9 A ∪ B réunion de A et de B Ensemble des éléments appartenant à A
ou à B ou aux deux.
(11-4.24)
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
2-5.10 A ∩ B intersection de A et de B Ensemble des éléments appartenant à la

fois à A et à B.
(11-4.26)
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
2-5.11 n réunion des ensembles Ensemble des éléments appartenant au
A A , A , …, A moins à un des ensembles A , A , ., A
∪ i 1 2 n 1 2 n
(11-4.25)
i=1
n
, , et sont aussi
∪ ∪ ∪
A ∪ A ∪ … i=1 iI∈
1 2
iI∈
∪ A
n
utilisés, où I est un ensemble d'indices.
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Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-5.12 n intersection des ensembles Ensemble des éléments appartenant à la

A A , …, A fois à A , A , ., A
∩ i 1 n 1 2 n
(11-4.27)
i=1
n
, et sont aussi utilisés,
∩ ∩ ∩
A ∩ A ∩ … i=1 iI∈
1 2
iI∈
∩ A
n
où I est un ensemble d'indices.

2-5.13 différence de A et de B, Ensemble des éléments de A
A ∖ B
n'appartenant pas à B.
(11-4.28) A moins B
A ∖ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
Il convient de ne pas utiliser A − B.
∁ B est aussi utilisé. ∁ B est surtout
A A
utilisé lorsque B est un sous-ensemble
de A, et le symbole A peut être omis si le
contexte permet de savoir clairement quel
est l'ensemble A considéré.
2-5.14 (a, b) couple a, b, (a, b) = (c, d) si et seulement si a = c et
b = d.
(11-4.30) paire ordonnée a, b
Si la virgule peut être confondue avec le
signe décimal, alors le point virgule (;) ou
la barre (⏐) peuvent être utilisés comme
séparateur.
2-5.15 (a , a , …, a ) n-uple, n-uplet, multiplet Voir remarque au 2-5.14.
1 2 n
(11-4.31)
2-5.16 A × B produit cartésien des ensembles Ensemble des couples (a, b) pour lesquels
A et B a ∈ A et b ∈ B.
(11-4.32)
A × B = {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}
2-5.17 n produit cartésien des ensembles Ensembles des n-uples (x , x , …, x ) pour
1 2 n
A A , A , …, A lesquels x ∈ A , x ∈ A , …, x ∈ A .
i 1 2 n 1 1 2 2 n n
Π
(—)
i=1
n
A × A × . × A est noté A , où n est le
nombre de facteurs dans le produit.
A××AA.×
12 n
2-5.18 id application identité sur A, id est l'ensemble de toutes les paires
A A
(x, x) où x ∈ A. Si le contexte permet de
(11-4.33)
diagonale de A × A
savoir clairement quel est l'ensemble A
considéré, l'indice A peut être omis.

6 Ensembles normalisés de nombres et intervalles

Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-6.1 N ensemble des entiers naturels, N = {0, 1, 2, 3, …}

(11.4.9) ensemble des entiers positifs et
N* = {1, 2, 3, …}
de zéro
D'autres restrictions peuvent être

indiquées de manière évidente comme

indiqué ci-dessous.
N = {n ∈ N | n > 5}
>5
Les symboles IN et ℕ sont aussi utilisés.
2-6.2 Z ensemble des entiers,
Z = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}
(11.4.10)
ensemble des entiers relatifs
Z* = {n ∈ Z | n ≠ 0}
D'autres exclusions peuvent être
indiquées de manière évidente comme
indiqué ci-dessous.
Z = {n ∈ Z | n W −3}
W−3
Le symbole ℤ est aussi utilisé.
2-6.3 Q ensemble des nombres
Q* = {r ∈ Q | r ≠ 0}
rationnels, ensemble des
(11.4.11)
D'autres exclusions peuvent être
rationnels
indiquées de manière évidente comme
indiqué ci-dessous.
Q = {r ∈ Q | r < 0}
<0
Les symboles et ℚ sont aussi utilisés.
2-6.4 R ensemble des nombres réels,
R* = {x ∈ R | x ≠ 0}
ensemble des réels
(11.4.12)
D'autres exclusions peuvent être
indiquées de manière évidente comme
indiqué ci-dessous.
R = {x ∈ R | x W 0}
W0
Les symboles IR et ℝ sont aussi utilisés.
2-6.5 C ensemble des nombres
C* = {z ∈ C | z ≠ 0}
complexes
(11.4.13)
Les symboles ℂ et ℂ sont aussi utilisés.

2-6.6 P ensemble des nombres premiers P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …}
(—)
Les symboles ℙ et ℙ sont aussi utilisés.
2-6.7 [a, b] intervalle fermé de a inclus à b
[a, b] = {x ∈ R | a u x u b}
inclus
(11.4.14)
2-6.8 (a, b] intervalle semi-ouvert à gauche
(a, b] = {x ∈ R | a < x u b}
de a exclu à b inclus
(11.4.15)
La notation ]a, b] est aussi utilisée.
2-6.9 [a, b) intervalle semi-ouvert à droite de
[a, b) = {x ∈ R | a u x < b}
a inclus à b exclu
(11.4.16)
La notation [a, b[ est aussi utilisée.
2-6.10 (a, b) intervalle ouvert de a exclu à b
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
(11.4.17) exclu
La notation ]a, b[ est aussi utilisée.
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Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-6.11 intervalle illimité fermé finissant
(−∞, b]
(−∞, b] = {x ∈ R | x u b}
en b inclus
(—)
La notation ]−∞, b] est aussi utilisée.

2-6.12 (−∞, b) intervalle illimité ouvert finissant
(−∞, b) = {x ∈ R | x < b}
en b exclu
(—)
La notation ]−∞, b[ est aussi utilisée.

2-6.13 intervalle illimité fermé
[a, +∞)
[a, +∞) = {x ∈ R | a u x}
commençant en a inclus
(—)
Les notations [a, ∞ [, [a, +∞ [ et [a, ∞)

sont aussi utilisées.
2-6.14 (a, +∞) intervalle illimité ouvert
(a, +∞) = {x ∈ R | a < x}
commençant en a exclu
(—)
Les notations ]a, +∞[, ]a, ∞ [ et (a, ∞)

sont aussi utilisées.
7 Signes et symboles divers
Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-7.1 a = b a est égal à b
Le symbole ≡ peut être utilisé pour

(11-5.1) souligner qu'une égalité particulière est

une identité.
Voir aussi 2-7.18.
2-7.2 a est différent de b La barre de négation peut aussi être

a ≠ b
verticale.
(11-5.2)
EXEMPLE
2-7.3 a := b a est égal par définition à b
p := mv, où p est la quantité de mouvement, m
(11-5.3)
la masse et v la vitesse.
Les symboles = et ≝ sont aussi utilisés.
def
EXEMPLES
2-7.4 a correspond à b
a ≙ b
(11-5.4)
Si E = kT, alors 1 eV ≙ 11 604,5 K
Si 1 cm sur une carte correspond à une
longueur de 10 km, on peut écrire
1 cm ≙ 10 km.
La correspondance n'est pas symétrique.
2-7.5 a est approximativement égal à b Il revient à l'utilisateur de décider si une
a ≈ b
approximation est suffisamment bonne.
(11-5.5)
L'égalité n'est pas exclue.
a est asymptotiquement égal à b EXEMPLE
2-7.6
a ≃ b
(11-7.7)
� lorsque x → a
sin(xa−−) x a
(Pour x → a, voir 2-7.16.)
2-7.7 a est proportionnel à b
a ∼ b
Le symbole ∼ est aussi utilisé pour les
(11-5.6) relations d'équivalence.
La notation a ∝ b est aussi utilisée.
2-7.8 M est congruent à N, M et N sont des ensembles de points
M ≅ N
(figures géométriques).
(—) M est isomorphe à N
Ce symbole est aussi utilisé pour les
isomorphismes de structures
mathématiques.
2-7.9 a est inférieur à b
a < b
(11-5.7)
2-7.10 b > a b est supérieur à a
(11-5.8)
a est inférieur ou égal à b
2-7.11 a u b
(11-5.9)
2-7.12 b est supérieur ou égal à a
b W a
(11-5.10)
2-7.13 a est très inférieur à b Il revient à l'utilisateur de décider si a est
a � b
suffisamment petit par rapport à b.
(11-5.11)
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Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-7.14 b est très supérieur à a Il revient à l'utilisateur de décider si b est
b � a
suffisamment grand par rapport à a.
(11-5.12)
2-7.15 infini Ce symbole ne désigne pas un nombre
∞
mais fait souvent partie de différentes
(11-5.13)
expressions relatives aux limites.

Les notations +∞, -∞ sont aussi utilisées.

x tend vers a
2-7.16 x → a Ce symbole apparaît dans différentes

expressions relatives aux limites.
(11-7.5)
a peut aussi être ∞, +∞, ou -∞.
m divise n Pour les entiers m et n:
2-7.17 m⏐n
(—) ∃ k ∈ Z m⋅k = n
2-7.18 n est congru à k modulo m Pour les entiers n, k et m:
n ≡ k mod m
m⏐(n − k)
(—)
Voir aussi 2-7.1.
2-7.19 (a + b) parenthèses Il est recommandé d'utiliser, pour les
regroupements, seulement les
[a + b] crochets
(1-5.14)
parenthèses, car les crochets et
{a + b} accolades
accolades ont souvent des significations
〈a + b〉 chevrons, crochets angulaires
spécifiques selon le domaine. Les
parenthèses peuvent être emboîtées sans
ambiguïté.
8 Géométrie élémentaire
Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-8.1 la droite AB est parallèle à la
AB∥CD On écrit g∥ h si g et h sont les droites

droite CD
(11-5.15)
déterminées respectivement par les points

A et B et les points C et D.
AB//CD est aussi utilisé.
2-8.2 la droite AB est perpendiculaire à

AB⊥CD On écrit g⊥ h si g et h sont les droites

la droite CD
(11-5.16) déterminées respectivement par les points

A et B et les points C et D. Dans un plan,
les droites doivent s'intersecter.
2-8.3 angle de sommet B dans le L'angle n'est pas orienté, il vérifie que
∢ ABC
triangle ABC
(—) ∢ABC = ∢CBA et
0 u ∢ABC u π rad.
2-8.4 segment de droite de A à B Le segment de droite est l'ensemble des
AB
points entre A et B sur la droite AB.
(—)
2-8.5 → vecteur de A à B → →
AB Si AB = CD alors B, vu de A, est dans la
(—)
même direction et à égale distance que
D vu de C. Il n'en découle pas que A = C
et B = D.
2-8.6 d(A, B) distance entre les points A et B La distance est la longueur du segment
(—) de droite AB et aussi la norme du vecteur
→
AB .
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9 Opérations
Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-9.1 a + b a plus b Cette opération est appelée addition. Le

signe + est le symbole de l'addition.
(11-6.1)
2-9.2 a moins b Cette opération est appelée soustraction.
a − b
Le signe − est le symbole de la
(11-6.2)
soustraction.
2-9.3 a plus ou moins b Il s'agit de la combinaison de deux valeurs
a ± b
en une expression.
(11-6.3)
2-9.4 a moins ou plus b
a ∓ b −(a ± b) = −a ∓ b
(11-6.4)
2-9.5 a ⋅ b a multiplié par b, Cette opération est appelée multiplication.
Le signe de la multiplication est un point à
(11-6.5) a fois b
a × b
mi-hauteur (⋅) ou une croix (×).
a b
Il peut être omis si aucune ambiguïté n'est
ab
possible.
Voir aussi 2-5.16, 2-5.17, 2-17.11,
2-17.12, 2-17.23, et 2-17.24 pour
l'utilisation du point et de la croix dans
différents produits.
2-9.6 a divisé par b
a a
–1
= a ⋅ b
(11-6.6) b b
Voir aussi l'ISO 80000-1:—, 7.1.3.
a/b
Pour les rapports, le symbole : est aussi
utilisé.
EXEMPLE Le rapport de la hauteur h à la
largeur b d'une feuille A4 est h : b = 2 .
Il convient de ne pas utiliser le signe ÷.
n n
2-9.7 a + a + … + a ,
1 2 n
Les notations a , a , a , et
∑ i ∑ i ∑ i
a
i=1 i
∑ i
(11-6.7)
somme de a , a , …, a i
1 2 n
i=1
a sont aussi utilisées.
∑ i
n n
2-9.8 a ⋅ a ⋅ … ⋅ a ,
1 2 n
Les notations a , a , a , et
∏ i ∏ i ∏ i
a
i=1 i
∏ i
(11-6.8)
produit de a , a , …, a i
1 2 n
i=1
a sont aussi utilisées.
∏ i
p 2
2-9.9 a puissance p
a L'énoncé de a est a au carré, et celui de
a est a au cube.
(11-6.9)
1/2
2-9.10 a puissance 1/2,
a
Si a W 0, alors aW 0.
(11-6.10) racine carrée de a
a
Il convient d'éviter le symbole √a.
Voir remarque en 2-9.11.
Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
1/n
2-9.11 a puissance 1/n, n
a
Si a W 0, alors aW 0.
racine n-ième de a
(11-6.11) n
n
a
Il convient d'éviter le symbole √a.

n
Si le symbole √ ou √ agit sur une

expression composée, des parenthèses

doivent être utilisées pour éviter toute
ambiguïté.
2-9.12 La moyenne harmonique indiquée par un
x valeur moyenne de x,
indice h, la moyenne géométrique indiquée
(11-6.14)
〈x〉 moyenne arithmétique de x
par un indice g et la moyenne quadratique,
x
a souvent appelée «root mean square» en
anglais, indiquée par un indice q ou rms,
sont des valeurs moyennes obtenues par
d'autres méthodes.
L'indice ne peut être omis que pour la
moyenne arithmétique.
En mathématique, x est aussi utilisé pour
le conjugué du nombre complexe x;
voir 2-14.6.
2-9.13 sgn a signum a Pour tout a réel:
(11-6.13) ⎧ 1si a >0
⎪
sgn a = 0si a =0
⎨
⎪
−<1si a 0
⎩
Voir aussi 2-14.7.
2-9.14 inf M borne inférieure de M
Plus grand minorant d'un ensemble non
vide minoré de nombres.
(—)
2-9.15 sup M borne supérieure de M
Plus petit majorant d'un ensemble non
vide majoré de nombres.
(—)
2-9.16 valeur absolue de a, La notation abs a est aussi utilisée.
|a|
Valeur absolue du nombre réel a.
(11-6.12) module de a,
Module du nombre complexe a;
norme de a
voir 2-14.4.
Norme du vecteur a; voir 2-17.4.
Voir aussi 2-5.5.
2-9.17 partie inférieure de a, floor a, La notation ent a est aussi utilisée.
⎣a⎦
EXEMPLES
(11-6.17) plus grand nombre entier
inférieur ou égal au nombre
⎣2,4⎦ = 2,
réel a
⎣−2,4⎦ = −3.
2-9.18 partie supérieure de a, ceil a, «ceil» est une abréviation du mot anglais
⎡a⎤
«ceiling».
(—) plus petit nombre entier
EXEMPLES
supérieur ou égal au nombre a
⎡2,4⎤ = 3,
⎡−2,4⎤ = −2.
2-9.19 int a partie entière du nombre réel a
int a = sgn a ⋅ ⎣⏐a⏐⎦
EXEMPLES
(—)
int(2,4) = 2,
int(−2,4) = −2.
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Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-9.20 frac a partie fractionnaire du nombre
frac a = a − int a
réel a
EXEMPLES
(—)
frac(2,4) = 0,4,
frac(−2,4) = −0,4.
min(a, b) minimum de a et b L'opération se généralise à davantage de
2-9.21
nombres et d'ensembles de nombres.
(—)
Cependant, un ensemble infini de

nombres n'a pas nécessairement un plus

petit élément.
2-9.22 max(a, b) maximum de a et b L'opération se généralise à davantage de
nombres et d'ensembles de nombres.
(—)
Cependant, un ensemble infini de
nombres n'a pas nécessairement un plus
grand élément.
10 Combinatoire
Dans le présent article, n et k sont des entiers naturels, avec k u n.

Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
n
n! factorielle n
2-10.1
n! = k = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ n (n > 0)
∏
(11-6.15)
k=1
0! = 1
2-10.2 k factorielle descendante k
a a = a⋅(a − 1)⋅…⋅(a − k + 1) (k > 0)
(—)
a
⎡⎤
a = 1
⎣⎦
k
a peut être un nombre complexe.
Pour tout entier naturel n:
n!
k
n =
()nk−!
2-10.3 factorielle montante,
k k
a a = a⋅(a + 1)⋅…⋅(a + k − 1) (k > 0)
factorielle ascendante
(—)
a 0
()
a = 1
k
a peut être un nombre complexe.
Pout tout entier naturel n:
(1nk+−)!
k
n =
(1n −)!
a est appelé symbole de
()
k
Pochhammer dans la théorie des
fonctions spéciales. En combinatoire et
en statistique cependant, le même
symbole est souvent utilisé pour les
factorielles descendantes.
2-10.4 coefficient binomial
n n n!
⎛⎞ ⎛⎞
=   (0 u k u n)
⎜⎟ ⎜⎟
(11-6.16) k k
kn!( −k)!
⎝⎠ ⎝⎠
n−1
2-10.5 B nombres de Bernoulli
n
⎛⎞n +1
B = − B (n > 0)
∑⎜⎟ k
(—) n
k
n +1
⎝⎠
k=0
B = 1
B1=−2 , B0=
1 23n+
2-10.6 k nombre de combinaisons sans
n n!
⎛⎞
C k
n
C = =
⎜⎟
n
répétition
k
(11-6.16)
kn!( −k)!
⎝⎠
R k
2-10.7 nombre de combinaisons avec
nk+− 1
R k⎛⎞
C
n
C =
⎜⎟
n
répétition
k
(—)
⎝⎠
k
2-10.8 nombre d'arrangements sans
n!
k k
V
n
V = n =
n
répétition
(—)
()nk−!
Le terme «permutation» est utilisé
lorsque n = k.
2-10.9 R k Rkk
nombre d'arrangements avec
V V = n
n n
répétition
(—)
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11 Fonctions
Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-11.1 f, g, h, … fonctions Une fonction assigne à tout argument

dans son domaine une valeur unique
(11-7.1)
dans son image.
2-11.2 f(x) valeur de fonction f Une fonction ayant un ensemble de

respectivement pour l'argument n-uples comme domaine est une fonction
(11-7.2) f(x , …, x )
1 n
x ou pour l'argument (x , …, x ). de n variables.
1 n
2-11.3 f est une application de A vers B La fonction f a le domaine A et une image
f : A → B
incluse dans B.
(—)
f est une fonction qui applique T(x) est un terme définitoire donnant la
2-11.4
f : x↦T(x), x ∈ A
valeur de la fonction f pour l'argument x.
(—) tout x ∈ A à T(x).
Puisque f(x) = T(x), le terme définitoire est
souvent utilisé comme symbole pour la
fonction f.
EXEMPLE fx:3� xy,x ∈⎡0;2⎤
⎣ ⎦
f est la fonction (dépendant du paramètre y)
définie dans l'intervalle donné par le terme
3xy .
EXEMPLE
2-11.5
f(x) = y,
f
xy→
cos
(—) f applique x sur y
π ⎯⎯⎯→ −1
b
2-11.6 Cette notation est principalement utilisée
f f()bf− (a)
a
pour le calcul des intégrales définies.
(11-7.3)
ub=
...,bf, ... − ...,a, ...
() ( )
fu(., , .)
ua=
2-11.7 fonction composée de f et g,
g�f ()g�fx() =g(f(x))
(11-7.4) g rond f
Dans la fonction composée g�f la
fonction g doit être appliquée après la
fonction f.
2-11.8 limite de f(x) quand x tend vers a
f(x) → b lorsque x → a
lim f x
()
xa→
(11-7.6)
peut être utilisé pour lim f(x) = b.
x→a
lim f(x)
x→a
Les limites «à droite» (x > a) et «à
gauche» (x < a) sont notées respecti-
vement lim f(x) et lim f(x).

x→a+ x→a−
2-11.9 f(x) = O(g(x)) Le symbole «=» est utilisé ici pour des
f x est grand O de g x ,
() ()
raisons historiques mais n'a pas le sens
(11-7.8)
d'égalité, parce que la transitivité ne
∣f(x)/g(x)∣ est majoré dans la
s'applique pas.
limite impliquée par le contexte,
EXEMPLE
f(x) est d'ordre comparable ou
inférieur à g(x)
sinxx= O , lorsque x → 0
()
2-11.10
f(x) = o(g(x)) Le symbole «=» est utilisé ici pour des
f x est petit o de g x ,
() ()
raisons historiques mais n'a pas le sens
(11-7.9)
f(x)/g(x) → 0 dans la limite
d'égalité, parce que la transitivité ne
impliquée par le contexte,
s'applique pas.
f(x) est d'ordre inférieur à g(x)
EXEMPLE
cosxx=+1 o , lorsque x → 0
()
Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-11.11 delta f, Différence entre deux valeurs de la
∆f
fonction impliquées par le contexte.
(11-7.10) accroissement de f
EXEMPLES
∆=xx −x ,
∆=f fx −fx .
() ( )
2-11.12 dérivée de f par rapport à x À utiliser seulement pour les fonctions
d f
d'une seule variable.
(11-7.11) d x
d(f x)
′
, d f(x)∕dx, f x , et Df sont aussi
()
df∕dx
d x
f ′
utilisés.
Si la variable indépendante est le temps t,
�
′
f est aussi utilisé pour f .
2-11.13 valeur de la dérivée de f pour
⎛⎞d f
⎜⎟ x = a
(11-7.12)
d x
⎝⎠
x=a
(df∕dx)
x = a
f′ (a)
ième
2-11.14 n À utiliser seulement pour les fonctions
dérivée n de f par rapport à x
d f
d'une seule variable.
(11-7.13)
n
d x
n
d(f x)
n n (n) n
, d f(x)∕dx , f (x), et D f sont
n n
d f∕dx
n
d x
(n)
f
aussi utilisés.
(2)
f ′′ , f ′′′ sont aussi utilisés pour f et
(3)
f , respectivement.
Si la variable indépendante est le temps t,
��
′′
f est aussi utilisé pour f .
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Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
À utiliser seulement pour les fonctions de
2-11.15 dérivée partielle de f par rapport
∂f
plusieurs variables.
à x
(11-7.14) ∂x
∂fx( ,y,.)
, ∂f (x, y, …)∕∂ x,
∂f∕∂x
∂x
∂ f
∂ f (x, y, ….) et D f(x, y, …) sont aussi
x
x x
utilisés.
Les autres variables indépendantes

peuvent être indiquées en indice, par

∂f
⎛⎞
exemple .
⎜⎟
∂x
⎝⎠
y.
Cette notation de la dérivée partielle peut
être étendue aux dérivées d'ordre
supérieur, par exemple.
∂ f ∂∂⎛⎞f
=
⎜⎟
∂∂xx
∂ x ⎝⎠
⎛⎞
∂∂f ∂f
=
⎜⎟
∂∂xy ∂x ∂y
⎝⎠
D'autres notations, par exemple
∂∂⎛⎞f
f = , sont aussi utilisées.
xy ⎜⎟
∂∂xy
⎝⎠
d f différentielle totale de f
2-11.16
∂∂ff
d f(x, y, …) = ddxy++.
(11-7.15) ∂∂xy
2-11.17 variation infinitésimale de f
δ f
(11-7.16)
2-11.18 intégrale indéfinie de f
f()xxd
∫
(11-7.17)
b Ceci est le cas simple d'une fonction
2-11.19 intégrale définie de f de a à b
définie sur un intervalle. On peut aussi
f()xxd
(11-7.18)
∫
définir l'intégration de fonctions définies
a
sur des domaines plus généraux. Les
notations spéciales, par exemple
,, , , sont utilisées respectivement
∮
∫∫∫
CS V
pour l'intégration sur une courbe C, une
surface S, un domaine tridimensionnel V
et une courbe ou une surface fermée.
Les intégrales multiples sont aussi
notées , , etc.
∯
∫∫
b
2-11.20 valeur principale de Cauchy de
cb−δ
⎛⎞
l'intégrale d'une fonction f non
−f xxd
(—) () ⎜⎟
lim f (xx)d + f (x)dx
∫
δ→+0
∫∫
définie en c ⎜⎟
a
⎝⎠ac+δ
où ac< 2-11.21 ∞ valeur pricipale de Cauchy de
a
l'intégrale d'une fonction f
− f xxd
(—) () lim − f (xx)d
∫ a→∞
∫
−∞
−a
12 Fonctions exponentielles et logarithmiques

Des arguments complexes peuvent être utilisés, en particulier pour la base e.

Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-12.1 e base des logarithmes népériens n
⎛⎞1
e := lim 1+ = 2,718 281 8…
n→∞⎜⎟
(11-8.2)
n
⎝⎠
x
2-12.2 a à la puissance x, Voir aussi 2-9.9.
a
(11-8.1) exponentielle de base a de
l'argument x
x
2-12.3 e à la puissance x, Voir 2-14.5.
e
(11-8.3) exponentielle de base e de
exp x
l'argument x
log x logarithme de base a de log x est utilisé lorsqu'on ne veut pas
2-12.4
a
l'argument x spécifier la base.
(11-8.4)
2-12.5 In x logarithme népérien de x
In x = log x
e
(11-8.5)
log x ne doit pas être utilisé à la place de
In x, Ig x, lb x, ou log x, log x, log x.
e 10 2
2-12.6 Ig x logarithme décimal de x
Ig x = log x
(11-8.6)
Voir remarque au 2-12.5.
2-12.7 lb x logarithme binaire de x
lb x = log x
(11-8.7)
Voir remarque au 2-12.5.
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13 Fonctions circulaires et hyperboliques

Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-13.1 π rapport de la circonférence d'un π = 3,141 592 6…

cercle à son diamètre
(11-9.1)
2-13.2 sin x sinus x iix -x
ee−
sin x = ,
(11-9.2)
2i
3 5
sin x = x − x /3! + x /5!− …
n n
(sin x) , (cos x) , etc., sont souvent notés
n n
sin x, cos x, etc.
2-13.3 cos x cosinus x
cos x = sin(x + π/2)
(11-9.3)
2-13.4 tan x tangente x tan x = sin x/cos x
Il convient de ne pas utiliser tg x.
(11-9.4)
cot x cotangente x
2-13.5 cot x = 1/tan x
Il convient de ne pas utiliser ctg x.
(11-9.5)
2-13.6 sec x sécante x
sec x = 1/cos x
(11-9.6)
2-13.7 csc x cosécante x
csc x = 1/sin x
cosec x est aussi utilisé.
(11-9.7)
2-13.8 arcsin x arc sinus x y = arcsin x ⇔ x = sin y,
(11-9.8) −π/2 u y u π/2
La fonction arcsin est la réciproque de la
fonction sin avec la restriction ci-dessus.
arccos x arc cosinus x
2-13.9 y = arccos x ⇔ x = cos y, 0 u y u π
(11-9.9)
La fonction arccos est la réciproque de la
fonction cos avec la restriction ci-dessus.
2-13.10 arctan x arc tangente x
y = arctan x ⇔ x = tan y,
−π/2 < y < π/2
(11-9.10)
La fonction arctan est la réciproque de la
fonction tan avec la restriction ci-dessus.
Il convient de ne pas utiliser arctg x.
2-13.11 arccot x arc cotangente x
y = arccot x ⇔ x = cot y, 0 < y < π

La fonction arccot est la réciproque de la
(11-9.11)
fonction cot avec la restriction ci-dessus.
Il convient de ne pas utiliser arcctg x.
arcsec x arc sécante x
2-13.12 y = arcsec x ⇔ x = sec y,
(11-9.12) 0 u y u π, y ≠ π/2
La fonction arcsec est la réciproque de la
fonction sec avec la restriction ci-dessus.
2-13.13 arccsc x arc cosécante x
y = arccsc x ⇔ x = csc y,
−π/2 u y u π/2, y ≠ 0
(11-9.13)
La fonction arccsc est la réciproque de la
fonction csc avec la restriction ci-dessus.
Il convient d'éviter arccosec x.
Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2-13.14 sinh x sinus hyperbolique x x -x
ee−
sinh x =
(11-9.14)
sinh x = x + x /3! + …
Il convient d'éviter sh x.
2 2
2-13.15 cosh x cosinus hyperbolique x
cosh x = sinh x + 1
(11-9.15)
Il convient d'éviter ch x.
2-13.16 tanh x tangente hyperbolique x
tanh x = sinh x/cosh x
(11-9.16) Il convient d'éviter th x.
coth x cotangente hyperbolique x
2-13.17 coth x = 1/tanh x
(11-9.17)
2-13.18 sech x sécante hyperbolique x
sech x = 1/cosh x
(11-9.18)
2-13.19 csch x cosécante hyperbolique x csch x = 1/sinh x
(11-9.19) Il convient d'éviter cosech x.
2-13.20 arsinh x argument sinus hyperbolique x y = arsinh x ⇔ x = sinh y
La fonction arsinh est la réciproque de la
(11-9.20)
fonction sinh.
Il convient d'éviter arsh x.
2-13.21 arcosh x argument cosinus hyperbolique x y = arcosh x ⇔ x = cosh y, y W 0
La fonction arcosh est la réciproque de la
(11-9.21)
fonction cosh avec la restriction ci-dessus.
Il convient d'éviter arch x .
2-13.22 artanh x argument tangente y = artanh x ⇔ x = tanh y
hyperbolique x
La fonction artanh est la réciproque de la
(11-9.22)
fonction tanh.
Il convient d'éviter arth x.
2-13.23 arcoth x argument cotangente y = arcoth x ⇔ x = coth y, y ≠ 0
hyperbolique x
La fonction arcoth est la réciproque de la
(11-9.23)
fonction coth avec la restriction ci-dessus.
2-13.24 arsech x argument sécante hyperbolique x y = arsech x ⇔ x = sech y, y W 0
La fonction arsech est la réciproque de la
(11-9.24)
fonction sech avec la restriction ci-dessus.

2-13.25 arcsch x argument cosécante y = arcsch x ⇔ x = csch y, y W 0
hyperbolique x
La fonction arcsch est la réciproque de la
(11-9.25)
fonction csch avec la restriction ci-dessus.
Il convient d'éviter arcosech x.

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14 Nombres complexes
Signe, symbole,
N° Sens, énoncé Remarques et exemples
expression
2 2
2-14.1 i unité imaginaire
i = j = −1
(11-10.1) j
i est utilisé en mathématique et en

physique,
j est utilisé en électrotechnique.

Re z part réelle de z
2-14.2 z = x + i y, où x et y sont des nombres

réels.
(11-10.2)
x = Re z et y = Im z.
2-14.3 Im z partie imaginaire de z Voir 2-14.2.
(11-10.3)
2-14.4 |z| module de z
|z| = xy+
(11-10.4)
où x = Re z et y = Im z.
Voir aus
...