ISO/TR 1281-2:2008

TECHNICAL ISO/TR
REPORT 1281-2
First edition
2008-12-01
Rolling bearings — Explanatory notes on
ISO 281 —
Part 2:
Modified rating life calculation, based on
a systems approach to fatigue stresses
Roulements — Notes explicatives sur l'ISO 281 —
Partie 2: Calcul modifié de la durée nominale de base fondé sur une
approche système du travail de fatigue

Reference number
©
ISO 2008
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Contents Page
Foreword. iv
Introduction . v
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Symbols . 1
4 Life modification factor for reliability, a . 3
4.1 General. 3
4.2 Derivation of the life modification factor for reliability. 3
5 Background to the life modification factor, a . 7
ISO
5.1 General. 7
5.2 The lubrication factor, η . 7
b
5.3 The contamination factor, η . 10
c
5.4 Experimental results. 14
5.5 Conclusions . 18
5.6 Practical application of the contamination factor according to Reference [5],
Equation (19.a) . 19
5.7 Difference between the life modification factors in Reference [5] and ISO 281. 26
[3]
6 Background to the ranges of ISO 4406 cleanliness codes used in ISO 281, Clauses A.4
and A.5 . 26
6.1 General. 26
6.2 On-line filtered oil . 28
6.3 Oil bath. 28
6.4 Contamination factor for oil mist lubrication.28
7 Influence of wear. 29
7.1 General definition . 29
7.2 Abrasive wear. 29
7.3 Mild wear. 29
7.4 Influence of wear on fatigue life . 29
7.5 Wear with little influence on fatigue life . 30
7.6 Adhesive wear. 30
8 Influence of a corrosive environment on rolling bearing life. 32
8.1 General. 32
8.2 Life reduction by hydrogen . 32
8.3 Corrosion. 34
9 Fatigue load limit of a complete rolling bearing. 37
9.1 Influence of bearing size. 37
9.2 Relationship fatigue load limit divided by basic static load rating for calculating
the fatigue load limit for roller bearings. 39
10 Influence of hoop stress, temperature and particle hardness on bearing life . 41
10.1 Hoop stress . 41
10.2 Temperature . 41
10.3 Hardness of contaminant particles. 41
11 Relationship between κ and Λ. 42
11.1 The viscosity ratio, κ . 42
11.2 The ratio of oil film thickness to composite surface roughness, Λ. 42
11.3 Theoretical calculation of Λ. 42
Bibliography . 46
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards bodies
(ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through ISO
technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee has been
established has the right to be represented on that committee. International organizations, governmental and
non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely with the
International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
International Standards are drafted in accordance with the rules given in the ISO/IEC Directives, Part 2.
The main task of technical committees is to prepare International Standards. Draft International Standards
adopted by the technical committees are circulated to the member bodies for voting. Publication as an
International Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting a vote.
In exceptional circumstances, when a technical committee has collected data of a different kind from that
which is normally published as an International Standard (“state of the art”, for example), it may decide by a
simple majority vote of its participating members to publish a Technical Report. A Technical Report is entirely
informative in nature and does not have to be reviewed until the data it provides are considered to be no
longer valid or useful.
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of patent
rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
ISO/TR 1281-2 was prepared by Technical Committee ISO/TC 4, Rolling bearings, Subcommittee SC 8, Load
ratings and life.
This first edition of ISO/TR 1281-2, together with the first edition of ISO/TR 1281-1, cancels and replaces the
first edition of ISO/TR 8646:1985, which has been technically revised.
ISO/TR 1281 consists of the following parts, under the general title Rolling bearings — Explanatory notes on
ISO 281:
⎯ Part 1: Basic dynamic load rating and basic rating life
⎯ Part 2: Modified rating life calculation, based on a systems approach of fatigue stresses

iv © ISO 2008 – All rights reserved

Introduction
[25]
Since the publication of ISO 281:1990 , more knowledge has been gained regarding the influence on
bearing life of contamination, lubrication, fatigue load limit of the material, internal stresses from mounting,
stresses from hardening, etc. It is therefore now possible to take into consideration factors influencing the
fatigue load in a more complete way.
Practical implementation of this was first presented in ISO 281:1990/Amd.2:2000, which specified how new
additional knowledge could be put into practice in a consistent way in the life equation. The disadvantage was,
however, that the influence of contamination and lubrication was presented only in a general fashion.
ISO 281:2007 incorporates this amendment, and specifies a practical method of considering the influence on
bearing life of lubrication condition, contaminated lubricant and fatigue load of bearing material.
In this part of ISO/TR 1281, background information used in the preparation of ISO 281:2007 is assembled for
the information of its users, and to ensure its availability when ISO 281 is revised.
For many years the use of basic rating life, L , as a criterion of bearing performance has proved satisfactory.
This life is associated with 90 % reliability, with commonly used high quality material, good manufacturing
quality, and with conventional operating conditions.
However, for many applications, it has become desirable to calculate the life for a different level of reliability
and/or for a more accurate life calculation under specified lubrication and contamination conditions. With
modern high quality bearing steel, it has been found that, under favourable operating conditions and below a
certain Hertzian rolling element contact stress, very long bearing lives, compared with the L life, can be
obtained if the fatigue limit of the bearing steel is not exceeded. On the other hand, bearing lives shorter than
the L life can be obtained under unfavourable operating conditions.
A systems approach to fatigue life calculation has been used in ISO 281:2007. With such a method, the
influence on the life of the system due to variation and interaction of interdependent factors is considered by
referring all influences to the additional stress they give rise to in the rolling element contacts and under the
contact regions.
TECHNICAL REPORT ISO/TR 1281-2:2008(E)

Rolling bearings — Explanatory notes on ISO 281 —
Part 2:
Modified rating life calculation, based on a systems approach to
fatigue stresses
1 Scope
ISO 281:2007 introduced a life modification factor, a , based on a systems approach to life calculation, in
ISO
addition to the life modification factor for reliability, a .These factors are applied in the modified rating life
equation
L =aa L (1)
nm1ISO10
For a range of reliability values, a is given in ISO 281:2007 as well as the method for evaluating the
modification factor for systems approach, a . L is the basic rating life.
ISO 10
This part of ISO/TR 1281 gives supplementary background information regarding the derivation of a and a .
1 ISO
NOTE The derivation of a is primarily based on theory presented in Reference [5], which also deals with the fairly
ISO
complicated theoretical background of the contamination factor, e , and other factors considered when calculating a .
C ISO
2 Normative references
The following referenced documents are indispensable for the application of this document. For dated
references, only the edition cited applies. For undated references, the latest edition of the referenced
document (including any amendments) applies.
ISO 281:2007, Rolling bearings — Dynamic load ratings and rating life
ISO 11171, Hydraulic fluid power — Calibration of automatic particle counters for liquids
3 Symbols
Certain other symbols are defined on an ad hoc basis in the clause or subclause in which they are used.
A scaling constant in the derivation of the life equation
a life modification factor, based on a systems approach to life calculation
ISO
a stress-life factor in Reference [5], based on a systems approach to life calculation (same as the life
SLF
modification factor a in ISO 281)
ISO
a life modification factor for reliability
C basic dynamic load rating, in newtons
C fatigue load limit, in newtons
u
C basic static load rating, in newtons
c exponent in the stress-life equation (in Reference [5] and ISO 281, c = 31/3 is used)
D pitch diameter, in millimetres, of ball or roller set
pw
dV elementary integration volume, in cubic millimetres
e Weibull's exponent (10/9 for ball bearings and 9/8 for roller bearings)
e contamination factor
C
F bearing radial load (radial component of actual bearing load), in newtons
r
L life, corresponding to n percent probability of failure, in million revolutions
n
L modified rating life, in million revolutions
nm
L effective roller length, in millimetres, applicable in the calculation of load ratings
we
L basic rating life, in million revolutions
N number of load cycles
n probability of failure, expressed as a percentage
P dynamic equivalent load, in newtons
P fatigue load limit, in newtons (same as C )
u u
Q maximum load, in newtons, of a single contact
max
Q fatigue load, in newtons, of a single contact
u
Q maximum load, in newtons, of a single contact when bearing load is C
0 0
S reliability (probability of survival), expressed as a percentage
s uncertainty factor
w exponent in the load-stress relationship (1/3 for ball bearings and 1/2,5 for roller bearings)
x contamination particle size, in micrometres, with ISO 11171 calibration
Z number of rolling elements per row
α nominal contact angle, in degrees
β lubricant cleanliness degree (in Reference [5] and Clause 5)
cc
β filtration ratio at contamination particle size x (see symbol x above)
x(c)
NOTE The designation (c) signifies that the particle counters — of particles of size x µm — shall be an APC (automatic
optical single-particle counter) calibrated in accordance with ISO 11171.
η lubrication factor
b
η contamination factor (same as the contamination factor e in ISO 281)
c C
κ viscosity ratio, ν /ν
Λ ratio of oil film thickness to composite surface roughness
ν actual kinematic viscosity, in square millimetres per second, at the operating temperature
ν reference kinematic viscosity, in square millimetres per second, required to obtain adequate
lubrication
τ fatigue stress criterion of an elementary volume, dV, in megapascals
i
τ fatigue stress limit in shear, in megapascals
u
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4 Life modification factor for reliability, a
4.1 General
In the context of bearing life for a group of apparently identical rolling bearings, operating under the same
conditions, reliability is defined as the percentage of the group that is expected to attain or exceed a specified
life.
The reliability of an individual rolling bearing is the probability that the bearing will attain or exceed a specified
life. Reliability can thus be expressed as the probability of survival. If this probability is expressed as S %, then
the probability of failure is (100 − S) %.
The bearing life can be calculated for different probability of failure levels with the aid of the life modification
factor for reliability, a .
4.2 Derivation of the life modification factor for reliability
4.2.1 Two parameter Weibull relationship
Endurance tests, which normally involve batches of 10 to 30 bearings with a sufficient number of failed
bearings, can be satisfactorily summarized and described using a two parameter Weibull distribution, which
can be expressed
1/ e
⎡⎤
⎛⎞100
L = η ln (2)
n⎢⎥⎜⎟
S
⎝⎠
⎣⎦
nS=−100 (3)
where
S is the probability, expressed as a percentage, of survival;
n is the probability, expressed as a percentage, of failure;
e is the Weibull exponent (set at 1,5 when n < 10);
η characteristic life.
With the life L (corresponding to 10 % probability of failure or 90 % probability of survival) used as the
reference, L /L can be written, with the aid of Equation (2), as
n 10
1/ e
⎡⎤
ln 100/ S
()
LL= (4)
⎢⎥
n 10
ln 100 /90
()
⎢⎥
⎣⎦
By including the life modification factor for reliability, a , Equation (4) can be written
L =aL (5)
n 110
The life modification factor for reliability, a , is then given by
1/ e
⎡⎤
ln 100/ S
()
a = (6)
⎢⎥
ln()100/90
⎢⎥
⎣⎦
4.2.2 Experimental study of the life modification factor for reliability
References [6], [7], and [8] confirm that the two parameter Weibull distribution is valid for reliabilities up to
90 %. However, for reliabilities above 90%, test results indicate that Equation (6) is not accurate enough.
Figures 1 and 2 are reproduced from Reference [8] and illustrate a summary of the test results from
References [6] to [8] and others. In Figure 1, the test results, represented by a reliability factor designated a ,
1x
are summarized. The curves are calculated as mean values of the test results. In Figure 2, a represents the
1Ix
lower value of the (±3σ) range confidence limits of reliability of the test results, where σ is the standard
deviation.
Figure 1 indicates that all mean value curves have a values above 0,05, and Figure 2 confirms that the
1x
asymptotic value a = a = 0,05 for the life modification factor for reliability is on the safe side.
1 1Ix
Key Key
a reliability factor a lower limit of the ±3σ confidence range for reliability
1x 1lx
S reliability S reliability
1 Reference [8] (total) 1 Reference [8] (total)
2 Reference [8] (ball bearings) 2 Reference [8] (ball bearings)
3 Reference [8] (roller bearings) 3 Reference [8] (roller bearings)
4 Reference [6] 4 Reference [6]
5 Reference [7] 5 Reference [7]
6 Okamoto et al. 6 Okamoto et al.
7 ISO 281 7 ISO 281
Figure 1 — Factor a Figure 2 — Factor a
1x 1Ix
Reproduced, with permission, from Reference [8] Reproduced, with permission, from Reference [8]
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4.2.3 Three parameter Weibull relationship
The tests (4.2.2) indicate that a three parameter Weibull distribution would better represent the probability of
survival for values > 90 %.
The three parameter Weibull relationship is expressed by
1/ e
⎡⎤100
⎛⎞
L −=γη ln (7)
n ⎢⎥
⎜⎟
S
⎝⎠
⎣⎦
where γ is the third Weibull parameter.
By introducing a factor C to define γ as a function of L , γ can be written
γ 10
γ =CL (8)
γ 10
1/ e
⎡⎤
ln 100 / S
()
LC−=L L−CL (9)
()⎢⎥
nγγ10 10 10
ln 100/ 90
()
⎢⎥
⎣⎦
L =aL (10)
n 110
with the new life modification factor for reliability, a , defined as
1/ e
⎡⎤
ln 100/ S
()
aC=−1 +C (11)
()⎢⎥
1 γ γ
ln 100 /90
()
⎢⎥
⎣⎦
The factor C represents the asymptotic value of a in Figure 2, i.e. 0,05. This value and a selected Weibull
γ 1
slope, e = 1,5, give a good representation of the curves in Figure 2. With these values inserted in
Equation (11), the equation for the life modification factor for reliability can be written
2/3
⎡⎤
ln 100/ S
()
a=+0,95 0,05 (12)
⎢⎥
ln 100 /90
()
⎢⎥
⎣⎦
Table 1 lists reliability factors calculated by Equation (11) for C = 0 and e = 1,5, and by Equation (12), along
γ
[25]
with the life adjustment factor for reliability, a , in ISO 281:1990 . The calculations are made for reliabilities,
S, from 90 % to 99,95 %.
Values of a calculated by Equation (12) are adopted in ISO 281:2007.
Table 1 — The life modification factor for reliability, a , for different Weibull distributions
Reliability factor
Reliability
a
C = 0 C = 0,05
S
γ γ
[25]
ISO 281:1990
% e = 1,5 e = 1,5
90 1 1 1
95 0,62 0,62 0,64
96 0,53 0,53 0,55
97 0,44 0,44 0,47
98 0,33 0,33 0,37
99 0,21 0,21 0,25
99,5 — 0,13 0,17
99,9 — 0,04 0,09
99,95 — 0,03 0,08
Figure 3 shows the probability of failure and the probability of survival as functions of the life modification
factor for reliability, a , by means of one curve for C = 0 and e = 1,5 and one curve for C = 0,05 and e = 1,5.
1 γ γ
Key
a life modification factor for reliability
C asymptotic value of a
γ 1
e Weibull exponent
n probability of failure
S probability of survival (S = 100 − n)
Figure 3 — Weibull distributions with C = 0 and C = 0,05
γ γ
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5 Background to the life modification factor, a
ISO
5.1 General
The derivation of the life modification factor, a , in ISO 281 is described in Reference [5], where the same
ISO
factor is called stress-life factor and designated a . In this part of ISO/TR 1281, further information of the
SLF
derivation of the factor a is given, based on Reference [22].
SLF
According to Reference [5], Section 3.2, based on the conditions valid for ISO 281 (i.e. the macro-scale factor
η = 1 and A = 0,1), the equation for a can be written
a SLF
−ce/
w
P
⎛⎞
u
a =−0,1 1 ηη (13)
SLF ⎜⎟b c
P
⎝⎠
The background to the lubrication factor, η , and the contamination factor, η , is explained in 5.2 and 5.3
b c
respectively. The contamination factor, η , corresponds to the factor e in ISO 281.
c C
5.2 The lubrication factor, η
b
This subclause covers the relationship between the lubrication quality, which is characterized by the viscosity
ratio, κ, in ISO 281, and its influence on the fatigue stress.
For this purpose, the fatigue life reduction resulting from an actual rolling bearing (with standard raceway
surface roughness) compared with one characterized by an ideally smooth contact, as from purely Hertzian,
friction-free, stress distribution hypothesis, needs to be quantified.
This can be done by comparing the theoretical fatigue life between a real bearing (with standard raceway
surface roughness) and the fatigue life of a hypothetical bearing with ideally smooth and friction-free
contacting surfaces. Thus the life ratio of Equation (14) has to be quantified
La
10,rough SLF,rough
= (14)
La
10,smooth SLF,smooth
p
with (C/P) constant in the life equation. The ratio in Equation (14) can be evaluated numerically using the
Ioannides-Harris fatigue life stress integral of Equation (15) (see Reference [21]):
c
ττ−
e i u
ln ≈ ANVd (15)
∫
h
S
z′
V
R
where
h is a depth exponent;
z′ is a stress-weighted average depth;
τ represents stress criteria.
In Equation (15), the relevant quantity affecting the life ratio in Equation (14) is the volume-related stress
integral I, which can be expressed
c
ττ−
i u
I = dV (16)
∫ h
′
z
V
R
By means of Equations (15) and (16), the life equation can be written
1/ e
⎛⎞
ln()100/90
−−61 −1
L=≈10 Nu u (17)
⎜⎟
⎜⎟
AI
⎝⎠
The basic rating life in number of revolutions in Equation (17) is expressed as the number of load cycles
obtained with 90 % probability, N, divided by the number of over-rolling per revolution, u.
In Equation (17), the stress integral, I, can be computed for both standard roughness and for an ideally
smooth contact, and it can be used for estimation of the expected effect of raceway surface roughness on
bearing life with the aid of Equations (14) and (17). The following derivation then applies
1/ e
⎛⎞La⎛ ⎞ ⎛ ⎞
I
10,rough SLF,rough
smooth
⎜⎟==⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (18)
⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
LI a
10,smooth rough SLF,smooth
⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
mn,,mn mn,
() () ()
In general, this ratio depends on the surface topography (index m) and amount of surface separation or
amount of interposed lubricant film (index n).
The lubrication factor can now be directly derived from Equation (18) by introducing the stress-life factor
according to Equation (13). For standard-bearing roughness and under the hypothesis of an ideally clean
lubricant represented by setting the factor η = 1, the stress-life factor can be written
c
−ce/
w
⎛⎞P
u
a =−0,1 1 η (19)
SLF,rough ⎜⎟b
P
⎝⎠
Similarly, in the case of a well lubricated, hypothetical bearing with ideally smooth surfaces, κ W 4, and η = 1
b
according to the definition of the ranges of η in Reference [5]. Equation (19) can then be written
b
−ce/
w
⎛⎞P
u
a =−0,1 1 (20)
SLF,smooth ⎜⎟
P
⎝⎠
By inserting Equations (19) and (20) into Equation (18), the following equation is derived
1/ w
−1/ c
w
⎛⎞
PI
P ⎛⎞
usmooth
η =−11− ⎜⎟ (21)
⎜⎟
b,()mn
⎜⎟
PP I
⎝⎠
u rough
⎝⎠
mn,
()
Equation (21) shows that a (m × n) matrix of numerically derived η values can be constructed, starting from
b
the calculation of the fatigue life and related stress-volume integral of standard rough bearing raceway
surfaces. This calculation has to be extended to include different amounts of surface separation (oil film
thickness), from thin films up to full separation in the rolling element/raceway contact.
The following steps were used for the numerical derivation of the η , considering actual rolling bearing
b(m,n)
surfaces.
1) Surface mapping of a variety of rolling bearing surfaces using optical profilometry.
2) Calculation of the operating conditions for the heaviest loaded contact of the bearing.
3) Calculation of the pressure fluctuations resulting from the surface topography, lubrication conditions and
resulting elastic deformation by means of the FFT (fast Fourier transform) method.
8 © ISO 2008 – All rights reserved

4) Calculation of the smooth Hertzian stress integral of the contacts using Equation (16).
5) Superimposition of the smooth Hertzian pressure to calculate internal stresses and assessment of the
fatigue stress integral of the actual rough contact using Equation (16).
6) Calculation of η from Equation (21) in relation to reference operating conditions and resulting viscosity
b
ratio, κ, of the bearing.
Following the methods described above, a set of η values was constructed. The resulting plots of κ
b(m, n)
against η and interpolation curves are shown in Figure 4. For clarity, only a representative group of
b
standard-bearing raceway surfaces are presented. The generated η curves show a typical trend with a
b(m, n)
rapid decline of η for a reduction of the nominal lubrication conditions, κ, of the contact.
b
Key
η lubrication factor
b
κ viscosity ratio
Figure 4 — Summary of the numerically calculated lubrication factors for different
surface roughness samples compared with the lubrication factor used in ISO 281 (thick line)
In Figure 4, the numerically calculated lubrication factors for different surface roughnesses are indicated and,
for comparison, that used in ISO 281, represented by the thick line. The general form of the equation of this
thick line is
5/2
()κ
⎛⎞b ()κ
brg
ηκ( )==η 3,387− (22)
⎜⎟
bnom b
b ()κ
()ψ
⎝⎠κ
brg
The factors b (κ) and b (κ) are assigned for three intervals of the κ range and ψ is a factor characterizing
1 2 brg
the four main types of bearing geometries (see Reference [5]). Basically, ψ accounts for stress
brg
concentration, mainly induced by the macro-geometry (such as geometrical precision of the bearing
components) and the parasitic effects of the bearing kinematics and resulting dynamics (such as rolling
element guidance). Therefore, the determination of the numerical value of ψ is essentially experimental. It is
brg
based on endurance testing of bearing population samples, similar to the reduction factors λ and ν used when
[2]
calculating the basic dynamic load ratings of radial and thrust ball and roller bearings (see ISO/TR 1281-1 ).
When compared with the numerically evaluated η curves for different surface roughness samples, the thick
b
line in Figure 4 indicates a good safety margin and Equation (22) is a reasonably safe choice for the rating of
the lubrication factors that are used in ISO 281.
Equation (22) is described in Reference [5] and resembles closely the basis of the experimentally derived
a (κ) graphs used in bearing manufacturers' catalogues for several years.
5.3 The contamination factor, η
c
The contamination factor designated e in ISO 281 is the same as the contamination factor η .
C c
The same basic methodology used in the assessment of the lubrication factor can also be applied when
assessing the contamination factor. As with the lubrication factor, quantification of the fatigue life resulting
from a rolling bearing with dented raceways is required. This fatigue life has to be compared with the life of a
bearing characterized by ideally smooth rolling contacts (smooth life integral).
Thus, the following life ratio has to be quantified:
1/ e
⎛⎞ ⎛ ⎞
La
⎛⎞
I
10,dented SLF,dented
smooth
⎜⎟ ⎜ ⎟
== (23)
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
LI a
10,smooth dented SLF,smooth
⎝⎠
⎝⎠ mn,,i⎝ ⎠
()
mn,,i m,n,i
() ()
As from the earlier analyses, the above ratio can be evaluated numerically using the Ioannides-Harris fatigue
integral. This ratio is assumed to be dependent of the amount of surface denting (indicated by the index m),
the size of the Hertzian contact (indicated by the index n) and amount of oil interposed in the rolling
element/raceway contact (indicated by the index i).
In order to limit the complexity of the analysis, the effect of localized stress intensification is decoupled from
dents (assumed to be the dominating effect) and the overall roughness-induced stress — thus η = 1.
b
The stress-life factor according to Equation (13) for a standard bearing under the hypothesis that
contamination particle-induced denting is the predominant effect can be written as
−ce/
w
P
⎛⎞
u
a =−0,1 1 η (24)
SLF,dented ⎜⎟c
P
⎝⎠
Similarly, for a bearing without surface denting, the contamination factor can be set to η = 1 and the
c
stress-life factor be written
−ce/
w
P
⎛⎞
u
a =−0,1 1 (25)
SLF,smooth ⎜⎟
P
⎝⎠
10 © ISO 2008 – All rights reserved

Inserting Equations (24) and (25) into Equation (23) yields:
1/ w
−1/ c
w
⎛⎞
P ⎛⎞PI
usmooth
η =−11− × (26)
⎜⎟
⎜⎟
c,mn,i
()
PP I
⎝⎠
ud⎝⎠ented
mn,,i
()
Equation (26) shows that a matrix (m, n, i) of numerically derived values of η can be constructed starting from
c
the numerical calculation of the volume-related fatigue-stress integral, computed considering different
amounts of contamination denting on a number of different bearing raceways.
Also, in this case, matrix construction can be accomplished by using the Ioannides-Harris rolling contact
fatigue life Equation (15) for the calculation of the volume-related stress integral, Equation (16), for different
rolling element/raceway contacts. Basically, the life ratio of Equation (23) has to be evaluated to represent
bearings exposed to lubricants with different amounts of contamination particles.
In order to carry out this calculation, it is required to have a measure of the population of dents that are found
on typical raceways of bearings exposed to lubricant with various degrees of particle contamination. Statistical
measurement of the dent population found on the bearing raceways can provide a direct representation of the
effect of a given oil cleanliness and related operating conditions.
The numerically calculated stress integral of the dented region is the parameter that characterizes the
contamination factor of Equation (26). As illustrated in Figure 5, the magnitude and distribution of the stress
rise at the dent from a given dent geometry is strongly affected by the lubricant film present at the dent.
Thicker lubricant films will result in a reduction (damping) and redistribution of contact stress developed at the
dent, while a negligible film thickness will sharpen the stress concentration and raise the stress to its
maximum.
a)
b)
Key
y direction
x direction
Figure 5 — Example of over-rolling contact pressure calculations of simplified dent geometry
(150 µm diameter and 5 µm depth) under dry and lubricated conditions: a) contact stress under dry
condition (no lubricant film); b) same dent showing the contact stress attenuation induced by a
0,55 µm oil film present in the rolling contact
The size of the bearing has an effect on the life ratio in Equation (23). Large bearings will have a large smooth
stress integral, which will have a dominant effect over the dent stress integral. Large diameter bearings
therefore have an advantage in terms of the life modification factor.
By solving Equation (26) for a number of different dent topographies found on bearing raceways, a tool for the
theoretical evaluation of the η factor is made available.
c
Results of this analysis can be compared to using simplified standard plots for calculation of the contamination
factor, η , based on the Equations (27) and (28). These equations are used for calculation of the
c
contamination factor, e , in ISO 281, which is the same as the η factor.
C c
ηκ(,D ) = K (27)
cpw β
cc
12 © ISO 2008 – All rights reserved

0,68 0,55 −1/ 3
⎡⎤⎡ ⎤
KC=−min βκ D ,1 1C βD (28)
() ( )
1cc pw{}2 cc pw
⎣⎦⎣ ⎦
where the factors C and C have constant values determined by the oil cleanliness classification, β , based
1 2 cc
[3]
on ISO 4406 cleanliness codes or, alternatively, an equivalent filtration ratio β for on-line filtered
x(c)
circulating oil. For grease lubrication, β is based on an estimated level of contamination.
cc
As distinguished from the η model, the η model depends on three variables and therefore a comparison of
b c
the theoretical model of η , based on Equation (26), while the ISO 281 model, based on Equations (27) and
c
(28), is more complicated.
Two cases calculated with the same extremes of cleanliness and size are compared in Figures 6 and 7.
In Figure 6, the calculation has been made under an on-line filtration condition for bearings of the same size,
D = 50 mm, but under two extreme cleanliness conditions. The cleanliness level used in the numerical
pw
[3]
calculation with Equation (26) and by use of the e graphs in ISO 281 corresponds to the ISO 4406:1999
C
codes —/13/10 and —/19/16.
Key
η contamination factor 1 and 2, 3 and 4 result ranges for numerically derived contamination factor
c
viscosity ratio 5, 6 contamination factor equivalent to the e curve in ISO 281
κ
C
NOTE Pitch diameter of the bearing is 50 mm.
a [3]
High cleanliness (ISO 4406:1999 —/13/10).
b [3]
Severe contamination (ISO 4406:1999 —/19/16).
Figure 6 — Comparison of the numerically derived contamination factor (discontinuous lines) and the
contamination factor equivalent to the e graph in ISO 281 (solid lines) for on-line filtration with the
C
bearing operating under high cleanliness and severe contamination
In Figure 7 the calculation has been made under an oil bath condition for two different extreme bearing sizes,
D = 2 000 mm and D = 25 mm. The oil cleanliness level used in the numerical calculations with
pw pw
Equation (26) and by use of the e graphs in ISO 281 corresponds to the mean value of the range between
C
[3]
ISO 4406:1999 —/15/12 and —/17/14.
Key
η
contamination factor 1 and 2, 3 and 4 result ranges for numerically derived contamination factor
c
viscosity ratio 5, 6 contamination factor equivalent to the e curves in ISO 281
κ
C
a
D = 2 000 mm.
pw
b
D = 25 mm.
pw
Figure 7 — Comparison of the numerically derived contamination factor (discontinuous lines) and the
contamination factor equivalent to the e graphs in ISO 281 (solid lines) for oil bath lubrication with the
C
bearing operating under a cleanliness level corresponding to the mean value of the range between
[3]
ISO 4406:1999 —/15/12 and —/17/14
The numerically calculated η results and the η values based on the ISO 281 graphs indicate good
c(m,n,i) c
correlation in the Figures 6 and 7 with the values from the ISO 281 graphs slightly on the safe side. These
graphs show good ability to reproduce the response of the theoretical model, Equation (26), with regard to
cleanliness ratings of the lubricant, Figure 6, and the diameter variation, Figure 7.
Regarding the functional dependency of the e values from ISO 281, the following can be observed:
C
a) for high κ values, the ISO 281 model displays a good correlation with the theory;
b) for the low κ range, the ISO 281 model response applies, and in some cases results in a more
conservative estimation of the contamination factor.
However, it can be observed that it is indeed in the low κ range that the theoretical model has greater
uncertainty, as it is based on a simple nominal lubricant film thickness, while the failure mechanism is mainly a
local event. Thus, the conservative approach adopted by ISO 281 seems justified.
5.4 Experimental results
5.4.1 General
Endurance testing of bearings subjected to predefined contamination conditions is not a simple undertaking.
There are many difficulties in simulating in a test environment the type of over-rolling dent patterns and dent
14 © ISO 2008 – All rights reserved

damage that is expected in a standard industrial application, e.g. a gearbox, characterized by a given
[3]
ISO 4406 oil cleanliness code.
For instance, in a test environment, the lubricant reservoir can be much larger than in a normal bearing
application. Moreover, the way the oil is flushed through the bearing may significantly differ from what
generally occurs in an actual bearing application.
Thus, in setting up the test conditions, the actual total number of particles that reach the test bearing and that
are over-rolled has to be considered as a contamination reference. This is done to avoid excessive dent
damage that would misrepresent the typical or conventional use of rolling bearings. Furthermore, the
contamination level is the result of the balance between any contaminant originally present in the system and
the particles that are generated in and removed from the circulating oil.
These difficulties, among others, have hindered previous attempts to use purely experimental methods in the
development of a contamination factor for bearing life ratings. Nevertheless, endurance testing under different
oil contamination conditions has been performed in the past, and a significant number of test results have
become available. It is therefore possible to compare the response of the ISO 281 contamination factor with
these life tests.
Basically, the cleanliness conditions used in bearing life testing can be categorized in three classes (5.4.2 to
5.4.4).
5.4.2 Standard-bearing life tests
The primary purpose is to test bearing life; testing is performed with good oil filtration provided by means of a
multi-pass high efficiency system with β = 3 (or better). With this filtration, cleanliness codes
x(c)
[3]
ISO 4406:1999 —/13/10 to —/14/11 can be expected. Considering the mean diameter range of the bearings
tested, the expected e factor, resulting from this type of testing with full film lubrication, is 0,8 to 1.
C
5.4.3 Tests with sealed bearings
In this bearing life test, contaminated oil flows around a sealed bearing. The oil is pre-contaminated with a
fixed quantity of hard (∼750 HV) metallic particles. Contamination particles normally have a size distribution of
25 µm to 50 µm.
The bearing seals provide a filtering action through which only a limited quantity of small sized particles are
able to penetrate and hence contaminate the bearing. This type of test can be rated as slight contamination
[3]
(oil bath ISO 4406:1999 codes —/15/12 to —/16/13). Under the given test conditions, the expected e factor
C
for this type of testing is 0,3 to 0,5.
5.4.4 Pre-contaminated tests
The test starts with a 30 min run-in with an oil circulation system, which is contaminated with a fixed quantity
of hard (∼750 HV) metallic particles (size range 25 µm to 50 µm). After this run-in time under contamination
conditions, the bearing is tested under standard clean conditions.
This procedure has been shown to be very effective in producing a repeatable dent pattern, i.e. predefined
denting on the bearing raceways. Under the given test conditions, this type of test is rated as typical to severe
[3]
contamination (oil bath ISO 4406:1999 codes —/17/14 to —/19/15). The expected e factor for this type of
C
endurance test is 0,01 to 0,3.
5.4.5 Evaluation of test results
The contamination factor is obtained from the experimentally derived L value so as to get the best possible
representation of the limit
...

RAPPORT ISO/TR
TECHNIQUE 1281-2
Première édition
2008-12-01
Roulements — Notes explicatives sur
l'ISO 281 —
Partie 2:
Calcul modifié de la durée nominale de
base fondé sur une approche système de
la fatigue
Rolling bearings — Explanatory notes on ISO 281 —
Part 2: Modified rating life calculation, based on a systems approach to
fatigue stresses
Numéro de référence
©
ISO 2008
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E-mail copyright@iso.org
Web www.iso.org
Version française parue en 2009
Publié en Suisse
ii © ISO 2008 – Tous droits réservés

Sommaire Page
Avant-propos. v
Introduction . vi
1 Domaine d'application. 1
2 Références normatives . 1
3 Symboles . 2
4 Facteur de correction de la durée de vie en fonction de la fiabilité, a . 3
4.1 Généralités . 3
4.2 Calcul du facteur de correction de durée de vie en fonction de la fiabilité. 4
5 Préalables au facteur de correction de durée de vie, a . 7
ISO
5.1 Généralités . 7
5.2 Facteur de lubrification, η . 8
b
5.3 Facteur de contamination, η . 11
c
5.4 Résultats expérimentaux . 15
5.5 Conclusions . 19
5.6 Application pratique du facteur de contamination conformément à l'Équation (19.a) de la
Référence [5] . 20
5.7 Différence entre les facteurs de correction de durée de vie dans la Référence [5] et
l'ISO 281 . 26
[3]
6 Contexte relatif aux classes des codes de propreté de l'ISO 4406 utilisées en A.4 et A.5
de l'ISO 281. 26
6.1 Généralités . 26
6.2 Huile filtrée en ligne. 29
6.3 Bain d'huile. 29
6.4 Facteur de contamination pour la lubrification par brouillard d'huile . 29
7 Influence de l'usure . 30
7.1 Définition générale. 30
7.2 Abrasion . 30
7.3 Usure légère . 30
7.4 Influence de l'usure sur la durée de vie en fatigue . 30
7.5 Usure avec légère influence sur la durée de vie en fatigue . 31
7.6 Usure d'adhérence. 32
8 Influence d'un environnement corrosif sur la durée de vie du roulement . 33
8.1 Généralités . 33
8.2 Réduction de la durée de vie par l'hydrogène . 33
8.3 Corrosion. 35
9 Limite de charge de fatigue d'un roulement complet . 38
9.1 Influence de la taille du roulement. 38
9.2 Expression de la limite de charge de fatigue divisée par la charge nominale statique de
base pour calculer la limite de charge de fatigue pour des roulements à rouleaux . 40
10 Influence de la contrainte circonférentielle, de la température et de la dureté des
particules sur la durée de vie des roulements . 42
10.1 Contrainte circonférentielle . 42
10.2 Température . 43
10.3 Dureté des particules de contamination .43
11 Relation entre κ et Λ . 44
11.1 Rapport de viscosité κ. 44
11.2 Rapport entre l'épaisseur du film d'huile et la rugosité de la surface composite, Λ . 44
11.3 Calcul théorique de Λ . 45
Bibliographie . 48

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Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux de
normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général confiée
aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du
comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les Normes internationales sont rédigées conformément aux règles données dans les Directives ISO/CEI,
Partie 2.
La tâche principale des comités techniques est d'élaborer les Normes internationales. Les projets de Normes
internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour vote. Leur
publication comme Normes internationales requiert l'approbation de 75 % au moins des comités membres
votants.
Exceptionnellement, lorsqu'un comité technique a réuni des données de nature différente de celles qui sont
normalement publiées comme Normes internationales (ceci pouvant comprendre des informations sur l'état
de la technique par exemple), il peut décider, à la majorité simple de ses membres, de publier un Rapport
technique. Les Rapports techniques sont de nature purement informative et ne doivent pas nécessairement
être révisés avant que les données fournies ne soient plus jugées valables ou utiles.
L'attention est appelée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l'objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne
pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence.
L'ISO/TR 1281-2 a été élaboré par le comité technique ISO/TC 4, Roulements, sous-comité SC 8, Charges de
base et durée.
Cette première édition de l'ISO/TR 1281-2, conjointement avec la première édition de l'ISO/TR 1281-1, annule
et remplace la première édition de l'ISO/TR 8646:1985, qui a fait l'objet d'une révision technique.
L'ISO/TR 1281 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Roulements — Notes
explicatives sur l'ISO 281:
⎯ Partie 1: Charge dynamique de base et durée nominale de base
⎯ Partie 2: Calcul modifié de la durée nominale de base fondé sur une approche système de la fatigue
Introduction
[25]
Depuis la publication de l'ISO 281:1990 , des connaissances supplémentaires ont été acquises en ce qui
concerne l'influence sur la durée de vie des roulements de la contamination, de la lubrification, de la limite de
charge de fatigue du matériau, des contraintes internes dues au montage, des contraintes dues à la trempe,
etc. Il est donc maintenant possible de prendre en compte de façon plus complète les facteurs qui ont une
incidence sur la charge de fatigue.
La méthode de réalisation a été initialement présentée dans l'ISO 281:1990/Amd.2:2000, qui spécifiait
comment mettre en pratique de manière cohérente les nouvelles connaissances complémentaires dans
l'équation de la durée de vie. Cette méthode avait cependant l'inconvénient de ne présenter l'influence de la
contamination et de la lubrification que d'une manière générale. L'ISO 281:2007 incorpore cet amendement et
fournit une méthode pratique permettant de prendre en compte l'influence sur la durée de vie des roulements
de l'état de la lubrification, de la contamination du lubrifiant et de la charge de fatigue du matériau du
roulement.
Dans la présente partie de l'ISO/TR 1281, la documentation de base utilisée lors de la préparation de
l'ISO 281:2007 est rassemblée à titre d'information pour les utilisateurs et pour garantir sa disponibilité lorsque
l'ISO 281 sera révisée.
Pendant de nombreuses années, l'utilisation de la durée nominale de base, L , comme critère de
performance des roulements s‘est révélée satisfaisante. Cette durée de vie est associée à une fiabilité de
90 %, à une haute qualité de matériau communément utilisé, à une bonne qualité de fabrication et à des
conditions de fonctionnement conventionnelles.
Cependant, pour de nombreuses applications, il est devenu souhaitable de calculer la durée de vie pour un
niveau de fiabilité différent et/ou pour un calcul plus précis de la durée de vie dans des conditions de
lubrification et de contamination spécifiées. Avec des aciers modernes et de haute qualité pour roulements, il
a été constaté que, dans des conditions de fonctionnement favorables et au-dessous d'une certaine
contrainte de contact de Hertz, il était possible d'obtenir des durées de vie de roulement très longues, en
comparaison de la durée de vie L , à condition de ne pas dépasser la limite de fatigue de l'acier du
roulement. Par ailleurs, des durées de vie du roulement plus courtes que la durée L peuvent être obtenues
dans des conditions de fonctionnement défavorables.
Une approche systémique du calcul de la durée de vie liée à la fatigue a été utilisée dans l'ISO 281:2007. La
méthode pour le calcul de la durée de vie prend en compte l'influence des variations et des interactions des
facteurs qui conduisent à des surcontraintes dans les contacts et en profondeur dans les éléments roulants.

vi © ISO 2008 – Tous droits réservés

RAPPORT TECHNIQUE ISO/TR 1281-2:2008(F)

Roulements — Notes explicatives sur l'ISO 281 —
Partie 2:
Calcul modifié de la durée nominale de base fondé sur une
approche système de la fatigue
1 Domaine d'application
L'ISO 281:2007 introduisait un facteur de correction de durée de vie, a , fondé sur une approche
ISO
systémique du calcul de la durée de vie en complément au facteur de correction de fiabilité, a . Ces facteurs
sont appliqués à l'équation de durée de vie nominale modifiée
L =aa L (1)
nm1ISO10
Le facteur de correction de fiabilité, a , pour une gamme de valeurs de fiabilité est donné dans l'ISO 281:2007,
ainsi que la méthode d'évaluation du facteur de correction pour l'approche systémique, a . L est la durée
ISO 10
nominale de base.
La présente partie de l'ISO/TR 1281 fournit la documentation de base supplémentaire concernant l'évaluation
de a et de a .
1 ISO
NOTE L'évaluation de a est principalement fondée sur la théorie donnée dans la Référence [5], qui traite
ISO
également de la théorie élaborée du facteur de contamination e et des autres facteurs considérés pour le calcul du
C
facteur a .
ISO
2 Références normatives
Les documents de référence suivants sont indispensables pour l'application du présent document. Pour les
références datées, seule l'édition citée s'applique. Pour les références non datées, la dernière édition du
document de référence s'applique (y compris les éventuels amendements).
ISO 281:2007, Roulements — Charges dynamiques de base et durée nominale
ISO 11171, Transmissions hydrauliques — Étalonnage des compteurs automatiques de particules en
suspension dans les liquides
3 Symboles
Certains symboles spéciaux sont définis dans l'article ou le paragraphe où ils sont utilisés.
A constante de mesure dans le calcul de la durée de vie
a facteur de correction de durée de vie, fondé sur une approche systémique du calcul de la durée de
ISO
vie
a facteur de durée de vie lié aux contraintes dans la Référence [5], fondé sur une approche
SLF
systémique du calcul de la durée de vie (identique au facteur de correction de durée de vie a dans
ISO
l'ISO 281)
a facteur de correction de la durée de vie en fonction de la fiabilité
C charge axiale dynamique de base, en newtons
C limite de la charge de fatigue, en newtons
u
C charge statique de base, en newtons
c exposant dans l'équation contrainte-durée de vie (dans la Référence [5] et l'ISO 281, c = 31/3 est
utilisé)
D diamètre primitif (roulement à billes ou à rouleaux), en millimètres
pw
dV volume d'intégration élémentaire, en millimètres cubes
e exposant de Weibull (10/9 pour les roulements à bille et 9/8 pour les roulements à rouleaux)
e facteur de contamination
C
F charge radiale (composante radiale de la charge appliquée), en newtons
r
L durée de vie, correspondant à n pour-cent de probabilité de défaillance, en millions de tours
n
L durée nominale modifiée, en millions de tours
nm
L longueur de rouleau à utiliser dans les calculs de charges de base, en millimètres
we
L durée nominale de base, en millions de tours
N nombre de charges cycliques
n probabilité de défaillance, en pourcentage
P charge dynamique équivalente, en newtons
P limite de charge de fatigue, en newtons (comme C )
u u
Q charge maximale d'un élément roulant, en newtons
max
Q charge de fatigue d'un élément roulant, en newtons
u
Q charge maximale d'un élément roulant lorsque la charge du roulement est C , en newtons
0 0
S fiabilité (probabilité de survie), en pourcentage
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s facteur d'incertitude
w exposant dans la relation charge-contrainte (1/3 pour les roulements à bille et 1/2,5 pour les
roulements à rouleaux)
x taille des particules de contamination, en micromètres avec étalonnage ISO 11171
Z nombre d'éléments roulants par rangée
α angle nominal de contact, en degrés
β niveau de propreté du lubrifiant (dans la Référence [5] et l'Article 5)
cc
β rapport de filtration pour des particules de contamination de taille x (voir symbole x ci-dessus)
x(c)
NOTE La désignation (c) signifie que le compteur de particule — pour des particules de taille x µm — doit être un
compteur optique automatique de particules isolées (APC [automatic optical single-particle counter]) étalonné
conformément à l'ISO 11171.
η facteur de lubrification
b
η facteur de contamination (identique au facteur de contamination e dans l'ISO 281)
c C
κ rapport de viscosité, ν /ν
Λ rapport entre l'épaisseur du film d'huile et la rugosité de la surface composite
ν viscosité cinématique réelle à la température de fonctionnement, en millimètres carrés par seconde
ν viscosité cinématique de référence, nécessaire pour obtenir une condition de lubrification adéquate,
en millimètres carrés par seconde
τ critère de contrainte de fatigue dans un volume élémentaire, dV, en mégapascals
i
τ limite de la contrainte de fatigue en cisaillement, en mégapascals
u
4 Facteur de correction de la durée de vie en fonction de la fiabilité, a
4.1 Généralités
Dans le contexte de la durée de vie d'un roulement dans un groupe de roulements apparemment identiques
et fonctionnant dans les mêmes conditions, la fiabilité est définie comme le pourcentage du groupe
susceptible d'atteindre ou de dépasser une durée de vie déterminée.
La fiabilité d'un roulement considéré isolément est la probabilité d'atteindre ou de dépasser une durée de vie
déterminée. La fiabilité peut ainsi être exprimée comme la probabilité de survie. Si cette probabilité est
exprimée comme S %, la probabilité de défaillance est (100 − S) %.
La durée de vie des roulements peut être calculée pour différents niveaux de probabilité de défaillance à l'aide
du facteur de correction de durée de vie en fonction de la fiabilité, a .
4.2 Calcul du facteur de correction de durée de vie en fonction de la fiabilité
4.2.1 Loi de Weibull à deux paramètres
Les essais d'endurance sur des lots de 10 à 30 roulements et qui impliquent un nombre suffisant de
roulements défaillants, peuvent être récapitulés et décrits de manière satisfaisante en utilisant la loi de Weibull
à deux paramètres, qui peut être exprimée comme suit:
1/ e
⎡⎤
⎛⎞100
L = η ln (2)
n⎢⎥⎜⎟
S
⎝⎠
⎣⎦
nS=−100 (3)
où
S est la probabilité de survie, en pourcentage;
n est la probabilité de défaillance, en pourcentage;
e est l'exposant de Weibull (à 1,5 lorsque n est inférieur à 10);
η est la durée de vie caractéristique.
Avec la durée de vie L (correspondant à une probabilité de défaillance de 10 % ou une probabilité de survie
de 90 %) utilisée comme référence, L /L peut être écrite à l'aide de l'Équation (2) comme suit:
n 10
1/ e
⎡⎤
⎛⎞100
ln
⎢⎥
⎜⎟
S
⎝⎠
⎢⎥
LL= (4)
n 10
⎢⎥
⎛⎞100
ln
⎢⎥⎜⎟
⎝⎠
⎣⎦
En incluant le facteur de correction de durée de vie en fonction de la fiabilité, a , l'Équation (4) peut être
exprimée comme suit:
L =aL (5)
n 110
Le facteur de correction de durée de vie en fonction de la fiabilité a devient alors:
1/ e
⎡⎤
⎛⎞100
ln
⎢⎥⎜⎟
S
⎝⎠
⎢⎥
a = (6)
⎢⎥⎛⎞100
ln
⎢⎥⎜⎟
⎝⎠
⎣⎦
4.2.2 Étude expérimentale du facteur de correction de durée de vie en fonction de la fiabilité
Les Références [6], [7] et [8] confirment que la loi de Weibull à deux paramètres est valide pour des fiabilités
jusqu'à 90 %. Cependant, pour des fiabilités supérieures à 90 %, les résultats d'essai indiquent que
l'Équation (6) n'est pas suffisamment précise.
Les Figures 1 et 2 sont reprises de la Référence [8] et illustrent un résumé des résultats d'essai des
Références [6] à [8] et autres. La Figure 1 résume les résultats d'essai, représentés par un facteur de fiabilité
désigné a . Les courbes sont calculées en tant que valeurs moyennes des résultats d'essai. À la Figure 2,
1x
a représente la valeur la plus faible (± 3σ) de la gamme des limites de fiabilité des résultats d'essai, où σ
1Ix
indique l'écart-type.
4 © ISO 2008 – Tous droits réservés

La Figure 1 indique que toutes les courbes de valeur moyenne ont des valeurs a supérieures à 0,05, et la
1x
Figure 2 confirme que la valeur asymptotique a = a = 0,05 indiquée pour le facteur de correction de durée
1 1Ix
de vie en fonction de la fiabilité est une estimation prudente.

Légende Légende
a facteur de fiabilité a valeur la plus faible (±3σ) de la gamme des limites de fiabilité
1x 1lx
S fiabilité S fiabilité
1 Référence [8] (total) 1 Référence [8] (total)
2 Référence [8] (roulements à billes) 2 Référence [8] (roulements à billes)
3 Référence [8] (roulements à rouleaux) 3 Référence [8] (roulements à rouleaux)
4 Référence [6] 4 Référence [6]
5 Référence [7] 5 Référence [7]
6 Okamoto et al. 6 Okamoto et al.
7 ISO 281 7 ISO 281
Figure 1 — Facteur a Figure 2 — Facteur a
1x 1Ix
Reproduit, avec permission, de la Référence [8] Reproduit, avec permission, de la Référence [8]
4.2.3 Loi de Weibull à trois paramètres
Les essais (4.2.2) indiquent que la loi de Weibull à trois paramètres représenterait mieux la probabilité de
survie pour les valeurs supérieures à 90 %.
La loi de Weibull à trois paramètres est exprimée par
1/ e
⎡⎤
⎛⎞100
L −=γη ln (7)
⎢⎥
n ⎜⎟
S
⎝⎠
⎣⎦
où γ est le troisième paramètre de Weibull.
Avec l'introduction d'un facteur C pour la définition de γ comme une fonction de L , γ peut s'écrire:
γ 10
γ =CL (8)
γ 10
1/ e
⎡ ⎤
ln 100 / S
()
LC−=L L−CL (9)
() ⎢ ⎥
nγγ10 10 10
ln()100/ 90
⎢ ⎥
⎣ ⎦
L =aL (10)
n 110
avec le nouveau facteur de correction de durée de vie en fonction de la fiabilité, a , défini comme
1/ e
⎡⎤ln 100/ S
()
aC=−1 +C (11)
⎢⎥
()
1 γ γ
ln 100 /90
()
⎢⎥
⎣⎦
Le facteur C représente la valeur asymptotique de a à la Figure 2, c'est-à-dire 0,05. Cette valeur et e = 1,5
γ 1
pour la pente de Weibull donnent une bonne représentation des courbes à la Figure 2. Ces valeurs étant
insérées dans l'Équation (11), l'équation du facteur de correction en fonction de la fiabilité peut être écrite
2/3
⎡⎤
ln 100/ S
()
a=+0,95 0,05 (12)
⎢⎥
ln()100 /90
⎢⎥
⎣⎦
Le Tableau 1 indique les facteurs de fiabilité, calculés à l'aide de l'Équation (11), pour C = 0 et e = 1,5, et
γ
[25]
l'Équation (12). Le facteur de correction de durée de vie en fonction de la fiabilité, a , de l'ISO 281:1990 est
également indiqué. Les calculs sont effectués pour les fiabilités S de 90 % à 99,95 %.
Les valeurs de a calculées à l'aide de l'Équation (12) sont adoptées dans l'ISO 281:2007.
Tableau 1 — Facteur de correction de durée de vie en fonction de la fiabilité, a ,
pour différentes lois de Weibull
Facteur de fiabilité
Fiabilité
a
S
C = 0 C = 0,05
γ γ
% [25]
ISO 281:1990
e = 1,5 e = 1,5
90 1 1 1
95 0,62 0,62 0,64
96 0,53 0,53 0,55
97 0,44 0,44 0,47
98 0,33 0,33 0,37
99 0,21 0,21 0,25
99,5 — 0,13 0,17
99,9 — 0,04 0,09
99,95 — 0,03 0,08
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La Figure 3 montre la probabilité de défaillance et la probabilité de survie comme fonctions du facteur de
correction en fonction de la fiabilité, a , au moyen d'une courbe pour C = 0 et e =1,5 et une autre courbe pour
1 γ
C = 0,05 et e =1,5.
γ
Légende
a facteur de correction de durée de vie en fonction de la fiabilité
C valeur asymptotique de a
γ 1
e exposant de Weibull
n probabilité de défaillance
S probabilité de survie (S = 100 − n)
Figure 3 — Lois de Weibull avec C = 0 et C = 0,05
γ γ
5 Préalables au facteur de correction de durée de vie, a
ISO
5.1 Généralités
La façon dont le facteur de correction de durée de vie, a , dans l'ISO 281 est dérivé est décrite dans la
ISO
Référence [5], où le même facteur est appelé facteur de durée de vie de contrainte et désigné a . Dans la
SLF
présente partie de l'ISO/TR 1281, d'autres informations sur l'origine du facteur a sont fournies, fondées sur
SLF
la Référence [22].
Conformément à la section 3.2 de la Référence [5], fondée sur les conditions valides pour l'ISO 281
(c'est-à-dire le facteur de grande échelle η = 1 et A = 0,1), l'équation de a peut être écrite:
a SLF
−ce/
w
⎛⎞P
u
a =−0,1 1 ηη (13)
SLF ⎜⎟b c
P
⎝⎠
Le contexte du facteur de lubrification, η , et du facteur de contamination, η , est expliqué en 5.2 et 5.3
b c
respectivement. Le facteur de contamination, η , correspond au facteur e de l'ISO 281.
c C
5.2 Facteur de lubrification, η
b
La relation entre la qualité de lubrification, qui est caractérisée par le rapport de viscosité, κ, dans l'ISO 281 et
son influence sur la contrainte de fatigue, sera abordée.
À cet effet, la réduction de la durée de vie due à la fatigue d'un roulement réel (avec rugosité superficielle
normale du chemin de roulement) comparée à celle d'un roulement caractérisé par un contact idéal lisse
(contact de Hertz parfait, sans frottement, avec ses hypothèses de répartition des contraintes) doit être
évaluée.
Cela peut être effectué en comparant la durée de vie théorique de fatigue d'un roulement réel (avec rugosité
superficielle normale du chemin de roulement) et celle d'un roulement hypothétique à surfaces de contact
idéalement lisses et sans frottement. Le rapport de durée de vie de l'Équation (14) doit être mesuré:
La
10,rough SLF,rough
= (14)
La
10,smooth SLF,smooth
p
avec (C/P) constante dans l'équation de durée de vie. Le rapport de l'Équation (14) peut être évalué
numériquement, en utilisant l'intégrale de Ioannides-Harris de la contrainte de fatigue de l'Équation (15) (voir
la Référence [23]).
c
ττ−
i u
e
ln ≈ ANVd (15)
∫ h
S
′
z
V
R
où
h est un exposant de profondeur;
z' est une profondeur moyenne pondérée de contrainte;
τ représente des critères de contrainte.
Dans l'Équation (15), la grandeur correspondante affectant le rapport de durée de vie dans l'Équation (14) est
l'intégrale de la contrainte liée au volume, I, qui peut être exprimée
c
ττ−
i u
I = dV (16)
∫ h
′
z
V
R
Au moyen des Équations (15) et (16), l'équation de durée de vie peut être écrite
1/ e
⎛⎞
ln 100/90
()
−−61 −1
L=≈10 Nu⎜⎟ u (17)
⎜⎟
AI
⎝⎠
La durée de vie de base nominale en nombre de tours dans l'Équation (17) est exprimée en divisant N, le
nombre obtenu de cycles de charge avec une probabilité de 90 %, par le nombre de chargements successifs
par tour, u.
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Dans l'Équation (17), l'intégrale de la contrainte, I, peut être calculée pour la rugosité normale et pour un
contact idéalement lisse, et peut être utilisée pour l'évaluation de l'effet prévu de la rugosité superficielle du
chemin de roulement sur la durée de vie du roulement à l'aide des Équations (14) et (17). Le bilan suivant
s'applique alors:
1/ e
⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
La
I
10,rough SLF,rough
smooth
⎜⎟==⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (18)
⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
LI a
10,smooth rough SLF,smooth
⎝⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
mn,,mn mn,
() () ()
En général, ce rapport dépend de la topographie de surface (indice m) et du niveau de séparation superficielle
ou de la quantité de film lubrifiant dans le contact (indice n).
Le facteur de lubrification peut maintenant être directement dérivé de l'Équation (18) en introduisant le facteur
de durée de vie de contrainte selon l'Équation (13). Pour la rugosité normale du roulement et selon
l'hypothèse d'un lubrifiant idéalement propre, dénoté par le facteur η = 1, le facteur de durée de vie de
c
contrainte peut être écrit
−ce/
w
⎛⎞P
u
a =−0,1 1 η (19)
⎜⎟
SLF,rough b
P
⎝⎠
De même, dans le cas d'un roulement parfaitement lubrifié, à surfaces idéalement lisses, κ W 4 et  η = 1
b
selon la définition des gammes de η dans la Référence [5]. L'Équation (19) peut alors être écrite
b
−ce/
w
⎛⎞P
u
a =−0,1 1 (20)
SLF,smooth ⎜⎟
P
⎝⎠
En insérant les Équations (19) et (20) dans l'Équation (18), l'équation suivante est établie:
1/ w
−1/ c
w
⎛⎞
PI
P ⎛⎞
usmooth
η =−11− ⎜⎟ (21)
⎜⎟
b,()mn
⎜⎟
PP I
⎝⎠
u rough
⎝⎠
()mn,
L'Équation (21) montre qu'il est possible de construire numériquement une matrice (m × n) de valeurs η
b,
évaluée par calcul de la durée de vie de fatigue et de l'intégrale de la contrainte sur le volume associée aux
surfaces du chemin de roulement à rugosité normale. Ce calcul doit être complété pour inclure différents
niveaux de séparation dus aux épaisseurs du film d'huile depuis des niveaux limites jusqu'à la séparation
totale dans le contact éléments roulants/chemin de roulement.
Les étapes suivantes ont été utilisées pour l'évaluation numérique de η , en considérant des surfaces du
b(m, n)
roulement réelles:
1) analyse de surface d'une variété de roulement par profilométrie optique;
2) calcul des conditions de fonctionnement du contact le plus lourdement chargé du roulement;
3) calcul au moyen de la méthode FFT (transformée de Fourier rapide) des fluctuations de pression
résultant de la topographie de surface, des conditions de lubrification et de la déformation élastique
qui en résulte;
4) calcul de l'intégrale de la contrainte de Hertz des contacts lisses en utilisant l'Équation (16);
5) superposition de la pression hertzienne lisse pour calculer les contraintes internes et évaluation de
l'intégrale de la contrainte de fatigue du contact rugueux réel en utilisant l'Équation (16);
6) calcul de η à partir de l'Équation (21) par rapport aux conditions de fonctionnement de référence et
b
au rapport de viscosité, κ, du roulement qui en résulte.
Suivant les méthodes décrites ci-dessus, un ensemble de valeurs η a été construit. Les points de
b(m, n)
données qui en résultent et les courbes d'interpolation sont tracés dans le diagramme κ − η représenté à la
b
Figure 4. Dans un souci de clarté, seul un groupe représentatif de surfaces normales de chemin de roulement
du roulement est représenté. Les courbes η générées indiquent une tendance typique avec une chute
b(m, n)
rapide de η pour une réduction des conditions de lubrification nominale κ du contact.
b
Légende
η facteur de lubrification
b
κ rapport de viscosité
Figure 4 — Résumé des facteurs de lubrification calculés numériquement pour différents échantillons
de rugosité de surface comparés au facteur de lubrification utilisé dans l'ISO 281
(ligne épaisse pleine)
La Figure 4 indique les facteurs de lubrification calculés numériquement pour différentes rugosités de surface
et, pour comparaison, la valeur du facteur de lubrification utilisée dans l'ISO 281, représentée par la ligne
épaisse noire. La forme générale de l'équation de cette ligne épaisse est:
5/2
()κ
⎛⎞b ()κ
brg
ηκ( )==η 3,387− (22)
⎜⎟
bnom b
b ()κ
()ψ
⎝⎠κ
brg
Les facteurs b (κ) et b (κ) sont définis pour trois intervalles de κ et ψ est un facteur caractérisant les quatre
1 2 brg
principaux types de géométrie de roulement (voir la Référence [5]). Par définition, ψ tient compte de la
brg
concentration de contraintes, principalement induite par la macro-géométrie (précision géométrique des
composants de roulement, etc.) et des effets parasites dans la cinématique du roulement et de la dynamique
qui en résulte (guidage des éléments roulants, etc.). Ainsi, la détermination de la valeur numérique de ψ est
brg
essentiellement expérimentale. Elle est fondée sur des essais, d'endurance d'échantillons de population de
roulements, comparables à ceux utilisés pour les facteurs de réduction λ et ν utilisés pour calculer les charges
[2]
nominales dynamiques de base des roulements radiaux à billes et butées à rouleaux (voir l'ISO/TR 1281-1 ).
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Comparée aux courbes évaluées numériquement de η pour différents échantillons de rugosité de surface, la
b
ligne épaisse à la Figure 4 indique une bonne marge de sécurité et l'Équation (22) est un choix
raisonnablement prudent dans l'estimation des facteurs de lubrification utilisés dans l'ISO 281.
L'Équation (22), décrite dans la Référence [5], s'apparente étroitement aux bases des diagrammes a (κ)
déduits expérimentalement et utilisés dans les catalogues des fabricants de roulement depuis plusieurs
années.
5.3 Facteur de contamination, η
c
Le facteur de contamination noté e dans l'ISO 281 est identique au facteur de contamination η .
C c
La même méthodologie de base utilisée pour l'évaluation du facteur de lubrification peut également être
appliquée dans le cas du facteur de contamination. À l'instar du facteur de lubrification, il est nécessaire de
mesurer la durée de vie en fatigue résultant d'un roulement avec des chemins de roulement indentés. Cette
durée de vie en fatigue doit être comparée à la durée de vie d'un roulement caractérisé par des contacts de
roulement idéalement lisses (intégrale de durée de vie lisse).
Ainsi le rapport de durée de vie suivant doit être mesuré
1/ e
⎛⎞La⎛ ⎞
⎛⎞
I
10,dented SLF,dented
smooth
⎜⎟==⎜ ⎟ (23)
⎜⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
LI a
10,smooth dented SLF,smooth
⎝⎠
⎝⎠ ⎝ ⎠
()mn,,i
mn,,i m,n,i
() ()
Sur la base des analyses antérieures, le rapport ci-dessus peut être évalué numériquement en utilisant
l'intégrale de fatigue de Ioannides-Harris. Ce rapport est supposé dépendant du degré d'indentation de
surface (indiquée par l'indice m), de la taille du contact hertzien (indiqué par l'indice n) et de la quantité d'huile
interposée dans le contact éléments roulants/chemin de roulement (indiquée par l'indice i).
Afin de limiter la complexité de l'analyse, l'effet de la concentration de contrainte localisée est découplé des
indentations (effet dominant) et de la contrainte induite par la rugosité globale − ainsi η = 1.
b
Le facteur de durée de vie de contrainte selon l'Équation (13) pour un roulement normal selon l'hypothèse
d'un effet prédominant de l'indentation induite par les particules de contamination peut être écrit
−ce/
w
⎛⎞P
u
a =−0,1 1 η (24)
⎜⎟
SLF,dented c
P
⎝⎠
De même, dans le cas d'un roulement sans indentation de surface, le facteur de contamination peut être fixé
à  η = 1 et le facteur de durée de vie de contrainte peut être écrit
c
−ce/
w
⎛⎞P
u
a =−0,1 1 (25)
⎜⎟
SLF,smooth
P
⎝⎠
En insérant les Équations (24) et (25) dans l'Équation (23), l'équation suivante est établie:
1/ w
−1/ c
w
⎛⎞
P ⎛⎞PI
usmooth
η =−11− × (26)
⎜⎟
⎜⎟
c,mn,i
()
PP I
⎝⎠
ud⎝⎠ented
mn,,i
()
L'Équation (26) indique qu'il est possible de construire une matrice (m, n, i) de valeurs calculées
numériquement de η à partir du calcul de l'intégrale de fatigue sur la contrainte liée au volume, calculée en
c
tenant compte des différents niveaux d'indentation liés à la contamination sur un certain nombre de chemins
de roulement différents.
Dans ce cas également, cela peut être réalisé en utilisant l'équation de durée de vie en fatigue de contact de
roulement de Ioannides-Harris (15) pour le calcul de l'intégrale de la contrainte liée au volume, l'Équation (16),
pour différents contacts éléments roulants/chemin de roulement. Fondamentalement, le rapport de durée de
vie de l'Équation (23) doit être évalué pour représenter les roulements exposés aux lubrifiants avec différents
degrés de contamination de particules.
Pour ce calcul, il est nécessaire de disposer d'une mesure de la population d'indentations détectées sur les
chemins de roulement types des roulements exposés au lubrifiant avec divers degrés de contamination de
particules. La mesure statistique de la population d'indentations détectées sur les chemins de roulement peut
fournir une représentation directe de l'effet d'une propreté de l'huile donnée et des conditions de
fonctionnement associées.
a)  Pression de contact à l'état sec
(aucun film lubrifiant)
b)  Même indentation montrant l'atténuation de la pression de contact induite
par un film d'huile de 0,55 µm présent dans le contact de roulement
Légende
y direction
x direction
Figure 5 — Exemple de calculs de surpression de contact pour une géométrie d'indentation simplifiée
(150 µm de diamètre et 5 µm de profondeur) à l'état sec et lubrifié
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L'intégrale de la contrainte calculée numériquement de la région indentée est le paramètre qui caractérise le
facteur de contamination de l'Équation (26). Comme illustré à la Figure 5, l'importance et la répartition de la
surcontrainte pour une indentation donnée sont fortement affectées par le film lubrifiant présent au contact.
Des films lubrifiants plus épais permettent de réduire (amortissement) et de mieux répartir la contrainte de
contact développée à l'indentation, alors qu'une épaisseur de film négligeable renforce la concentration de
contraintes et accentue la surcontrainte à son maximum.
La taille du roulement a une incidence sur le rapport de durée de vie de l'Équation (23). Les roulements de
grande taille présentent une intégrale de contrainte élevée grande et lisse, et celle-ci a un effet dominant sur
l'intégrale de contrainte dans le cas indenté. Par conséquent, les roulements de grand diamètre présentent un
avantage en termes de facteur de correction de durée de vie.
La résolution de l'Équation (26) pour un certain nombre de différentes topographies d'indentation détectées
sur les chemins de roulement, permet de disposer d'un outil pour l'évaluation théorique du facteur η .
c
Les résultats de cette analyse peuvent être comparés à ceux obtenus en utilisant les tracés de la méthode
simplifiée pour le calcul du facteur de contamination η , fondé sur les Équations (27) et (28). Ces équations
c
sont utilisées pour le calcul du facteur de contamination, e , dans l'ISO 281, dont le facteur est identique au
C
facteur η .
c
ηκ(,D ) = K (27)
cpw β
cc
0,68 0,55 −1/3
⎡⎤⎡ ⎤
KC=×min βκ D ,1 1−C βD (28)
() ()
1cc pw{}2 cc pw
⎣⎦⎣ ⎦
où les facteurs C et C ont des valeurs constantes déterminées par les classes de propreté de l'huile, β ,
1 2 cc
[3]
fondées sur les codes de propreté de l'ISO 4406:1999 ou, alternativement, un rapport de filtration équivalent
β pour une circulation d'huile filtrée en ligne. Pour la lubrification par graisse, β est basé sur un niveau
x(c) cc
estimé de contamination.
Comme constaté pour le modèle de η , le modèle de η dépend de trois variables, ce qui, par conséquent,
b c
complique la comparaison du modèle théorique de η , basé sur l'Équation (26), avec le modèle de l'ISO 281,
c
basé sur les Équations (27) et (28).
Les Figures 6 et 7 présentent une comparaison de deux cas calculés avec les mêmes extrêmes de propreté
et de taille.
À la Figure 6, le calcul a été réalisé dans une condition de filtration en ligne pour des roulements de même
taille, D = 50 mm, mais dans deux conditions extrêmes de propreté. Le niveau de propreté utilisé pour le
pw
calcul numérique avec les Équations (26) et au moyen des diagrammes e de l'ISO 281 correspond aux
C
[3]
codes —/13/10 et —/19/16 de l'ISO 4406:1999 .
À la Figure 7, le calcul a été réalisé dans un bain d'huile pour deux différentes tailles extrêmes de roulement,
D = 2 000 mm et D = 25 mm. Le niveau de propreté de l'huile utilisé pour les calculs numériques avec les
pw pw
Équations (26) et au moyen des diagrammes e de l'ISO 281 correspond à la valeur moyenne de la gamme
C
[3]
comprise entre —/15/12 et —/17/14 de l'ISO 4406:1999 .
Les résultats calculés numériquement de η et les valeurs η fondées sur les diagrammes de l'ISO 281
c (m, n, i) c
indiquent une bonne corrélation sur les Figures 6 et 7 avec les valeurs issues des diagrammes de l'ISO 281 et
ceci dans le sens de la sécurité. Ces diagrammes montrent la bonne aptitude à reproduire la réponse du
modèle théorique, Équation (26), concernant les valeurs nominales de propreté du lubrifiant, Figure 6, et la
variation de diamètre, Figure 7.
Concernant la dépendance fonctionnelle des valeurs e de l'ISO 281, on peut observer ce qui suit,
C
a) pour des valeurs élevées de κ, le modèle de l'ISO 281 montre une bonne corrélation avec la théorie;
b) pour des valeurs faibles de κ, la réponse du modèle de l'ISO 281 applique, dans certains cas, une
évaluation plus prudente du facteur de contamination.
Cependant, on peut observer que c'est dans la gamme faible des valeurs de κ que le modèle théorique a une
plus grande incertitude, car il est basé sur une épaisseur du film lubrifiant nominale simple, alors que le
mécanisme de défaillance est principalement un événement local. Ainsi l'approche prudente adoptée par
l'ISO 281 semble justifiée.
Légende
η facteur de contamination, lignes 1, 2, 3 et 4, gammes de résultats pour le facteur numérique de contamination
c
κ rapport de viscosité, lignes 5, 6, facteur de contamination équivalent au diagramme de e de l'ISO 281
C
NOTE Le diamètre primitif du roulement est de 50 mm.
a [3]
Propreté élevée (ISO 4406:1999 —/13/10).
b [3]
Contamination sévère (ISO 4406:1999 —/19/16).
Figure 6 — Comparaison du facteur numérique de contamination (lignes di
...