ISO/TR 1281-1:2021

Technical
Report
ISO/TR 1281-1
Second edition
Rolling bearings — Explanatory
2021-05
notes on ISO 281 —
Corrected version
Part 1:
2024-08
Basic dynamic load rating and basic
rating life
Roulements — Notes explicatives sur l'ISO 281 —
Partie 1: Charges dynamiques de base et durée nominale de base
Reference number
© ISO 2021
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be reproduced or utilized otherwise in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, or posting on
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Published in Switzerland
ii
Contents Page
Foreword .iv
Introduction .v
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Terms and definitions . 1
4 Symbols . 1
5 General . 4
6 Basic dynamic load rating . 4
6.1 General .4
6.2 Basic dynamic radial load rating, C , for radial ball bearings .5
r
6.3 Basic dynamic axial load rating, C , for single row thrust ball bearings .8
a
6.3.1 Thrust ball bearings with contact angle α ≠ 90° .8
6.3.2 Thrust ball bearings with contact angle α = 90° .9
6.4 Basic dynamic axial load rating, C , for thrust ball bearings with two or more rows of
a
balls .9
6.5 Basic dynamic radial load rating, C , for radial roller bearings .10
r
6.6 Basic dynamic axial load rating, C , for single row thrust roller bearings . 12
a
6.6.1 Thrust roller bearings with contact α ≠ 90° . 12
6.6.2 Thrust roller bearings with contact angle α = 90° . 12
6.7 Basic dynamic axial load rating, C , for thrust roller bearings with two or more rows of
a
rollers . 13
7 Dynamic equivalent load . 14
7.1 Expressions for dynamic equivalent load .14
7.1.1 Theoretical dynamic equivalent radial load, P , for single row radial bearings .14
r
7.1.2 Theoretical dynamic equivalent radial load, P , for double row radial bearings.18
r
7.1.3 Theoretical dynamic equivalent radial load, P , for radial contact groove ball
r
bearings . 20
7.1.4 Practical expressions for dynamic equivalent radial load, P , for radial bearings
r
with constant contact angle .21
7.1.5 Practical expressions for dynamic equivalent radial load, P , for radial ball
r
bearings .24
7.1.6 Practical expressions for dynamic equivalent axial load, P , for thrust bearings . 25
a
7.2 Factors X, Y and e .27
7.2.1 Radial ball bearings .27
7.2.2 Values of X, Y and e for each type of radial ball bearing . 28
7.2.3 Tabulation of factors X, Y and e for radial ball bearings . 33
7.2.4 Calculated values of Y and e different from standard . 35
7.2.5 Thrust ball bearings . 35
7.2.6 Radial roller bearings . 36
7.2.7 Thrust roller bearings .37
8 Basic rating life .37
Bibliography .40

iii
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards
bodies (ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through
ISO technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee
has been established has the right to be represented on that committee. International organizations,
governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely
with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
The procedures used to develop this document and those intended for its further maintenance are described
in the ISO/IEC Directives, Part 1. In particular, the different approval criteria needed for the different types
of ISO documents should be noted. This document was drafted in accordance with the editorial rules of the
ISO/IEC Directives, Part 2 (see www.iso.org/directives).
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of patent
rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights. Details of any patent
rights identified during the development of the document will be in the Introduction and/or on the ISO list of
patent declarations received (see www.iso.org/patents).
Any trade name used in this document is information given for the convenience of users and does not
constitute an endorsement.
For an explanation of the voluntary nature of standards, the meaning of ISO specific terms and expressions
related to conformity assessment, as well as information about ISO’s adherence to the World Trade
Organization (WTO) principles in the Technical Barriers to Trade (TBT), see www.iso.org/iso/foreword.html.
This document was prepared by Technical Committee ISO/TC 4, Rolling bearings, Subcommittee SC 8, Load
ratings and life.
This second edition cancels and replaces the Technical Corrigendum 1 (ISO/TR 1281-1:2008/Cor 1:2009)
and the first edition (ISO/TR 1281-1:2008), which has been technically revised.
The main changes compared to the previous edition are as follows:
— The old Clause 7 “Life adjustment factor for reliability” of ISO/TR 1281-1:2008 has been deleted, this
subject is covered in ISO/TR 1281-2 (see ISO/TR 1281-1:2008/Cor 1:2009).
— The derivation of the old Formulae (29) and (46) [Formulae (28) and (45) in this edition] has been
corrected.
— Typing errors have been corrected in Formulae (30) and (31) and in the derivation of the factor Y .
A list of all parts in the ISO/TR 1281 series can be found on the ISO website.
Any feedback or questions on this document should be directed to the user’s national standards body. A
complete listing of these bodies can be found at www.iso.org/members.html.
This corrected version of ISO/TR 1281-1:2021 incorporates the following correction: Formula (52) has been
corrected.
iv
Introduction
ISO/R281:1962
A first discussion on an international level of the question of standardizing calculation methods for load
ratings of rolling bearings took place at the 1934 conference of the International Federation of the National
Standardizing Associations (ISA). When ISA held its last conference in 1939, no progress had been made.
However, in its 1945 report on the state of rolling bearing standardization, the ISA 4 Secretariat included
proposals for definition of concepts fundamental to load rating and life calculation standards. The
definitions it contained are in essence those given in ISO 281:2007 for the concepts “life” and “basic dynamic
load rating” (now divided into “basic dynamic radial load rating” and “basic dynamic axial load rating”).
In 1946, on the initiative of the Anti-Friction Bearing Manufacturers Association (AFBMA), New York,
discussions of load rating and life calculation standards started between industries in the USA and Sweden.
Chiefly on the basis of the results appearing in Reference [5], an AFBMA standard, Method of evaluating load
[3]
ratings of annular ball bearings , was worked out and published in 1949. On the same basis, the member
body for Sweden presented, in February 1950, a first proposal to ISO, “Load rating of ball bearings”.
In view of the results of both further research and a modification to the AFBMA standard in 1950, as well
as interest in roller bearing rating standards, in 1951, the member body for Sweden submitted a modified
proposal for rating of ball bearings as well as a proposal for rating of roller bearings.
Load rating and life calculation methods were then studied. Reference [6] was then of considerable use,
serving as a major basis for the sections regarding roller bearing rating.
ISO 281-1:1977
In 1964, in view of the development of improved bearing steels, the time had come to review ISO/R281 and
submitted a proposal
In 1969, on the other hand, TC 4 followed a suggestion by the member body for Japan and reconstituted its
WG 3, giving it the task of revising ISO/R281. The AFBMA load rating working group had at this time started
revision work.
The major part of ISO 281-1:1977 constituted a re-publication of ISO/R281, the substance of which had been
only very slightly modified. However, based mainly on American investigations during the 1960s, a new
clause was added, dealing with adjustment of rating life for reliability other than 90 % and for material and
operating conditions.
Furthermore, supplementary background information regarding the derivation of mathematical expressions
and factors given in ISO 281-1:1977 was published as ISO/TR 8646:1985.
ISO 281:1990
ISO 281:1990 was published as “First edition” and entitled “Dynamic load ratings and rating life”. It is
referred to as the “technical revision” of ISO 281-1:1977. The new rating factor b for “contemporary,
m
normally used material and manufacturing quality, the value of which varies with bearing type and design”
was the introduction as a co-value to the basic dynamic load ratings.
ISO 281:2007 (second edition)
Since the publication of ISO 281:1990 additional knowledge regarding the influence on bearing life of
contamination, lubrication, internal stresses from mounting, stresses from hardening, fatigue load limit of
the material, has been gained. In ISO 281:1990/Amd.2:2000, a general method was presented to consider such
influences in the calculation of a modified rating life of a bearing. The said Amendment was incorporated
into the second edition, which also provides a practical method to consider the influence on bearing life of
lubrication conditions, contaminated lubricant and fatigue load of bearing material. The life modification
factors for reliability, a , have been slightly adjusted and extended to 99,95 % reliability.
v
Technical Report ISO/TR 1281-1:2021(en)
Rolling bearings — Explanatory notes on ISO 281 —
Part 1:
Basic dynamic load rating and basic rating life
1 Scope
This document specifies supplementary background information regarding the derivation of mathematical
expressions and factors given in ISO 281:2007.
2 Normative references
The following documents are referred to in the text in such a way that some or all of their content constitutes
requirements of this document. For dated references, only the edition cited applies. For undated references,
the latest edition of the referenced document (including any amendments) applies.
ISO 281:2007, Rolling bearings — Dynamic load ratings and rating life
3 Terms and definitions
For the purposes of this document, the terms and definitions given in ISO 281:2007 apply.
ISO and IEC maintain terminological databases for use in standardization at the following addresses:
— ISO Online browsing platform: available at https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: available at http:// www .electropedia .org/
4 Symbols
A constant of proportionality
A constant of proportionality determined experimentally
B constant of proportionality determined experimentally
C basic dynamic radial load rating of a rotating ring
C basic dynamic radial load rating of a stationary ring
C basic dynamic axial load rating for thrust ball or roller bearing
a
C basic dynamic axial load rating of the rotating ring of an entire thrust ball or roller bearing
a1
C basic dynamic axial load rating of the stationary ring of an entire thrust ball or roller bearing
a2
C basic dynamic axial load rating as a row k of an entire thrust ball or roller bearing
ak
C basic dynamic axial load rating as a row k of the rotating ring of thrust ball or roller bearing
a1k
C basic dynamic axial load rating as a row k of the stationary ring of thrust ball or roller bearing
a2k
C basic dynamic load rating for outer ring
e
C basic dynamic load rating for inner ring
i
C basic dynamic radial load rating for radial ball or roller bearing
r
D pitch diameter of ball or roller set
pw
D ball diameter
w
D mean roller diameter
we
E modified modulus of elasticity
o
F axial load
a
F radial load
r
J factor relating mean equivalent load on a rotating ring to Q
1 max
J factor relating mean equivalent load on a stationary ring to Q
2 max
J axial load integral
a
J radial load integral
r
L bearing life
L basic rating life
L effective contact length of roller
we
L L per row k
wek we
N number of stress applications to a point on the raceway
P dynamic equivalent axial load for thrust bearing
a
P dynamic equivalent radial load for radial bearing
r
P dynamic equivalent radial load for the rotating ring
r1
P dynamic equivalent radial load for the stationary ring
r2
Q normal force between a rolling element and the raceways
Q rolling element load for the basic dynamic load rating of the bearing
C
Q rolling element load for the basic dynamic load rating of a ring rotating relative to the applied load
C1
Q rolling element load for the basic dynamic load rating of a ring stationary relative to the applied load
C2
Q maximum rolling element load
max
S probability of survival, reliability
V volume representative of the stress concentration
V rotation factor
f
X radial load factor for radial bearing

X radial load factor for thrust bearing
a
Y axial load factor for radial bearing
Y axial load factor for thrust bearing
a
Z number of balls or rollers per row
Z number of balls or rollers per row k
k
a semimajor axis of the projected contact ellipse
a life adjustment factor for reliability
b semiminor axis of the projected contact ellipse
c exponent determined experimentally
c compression constant
c
e measure of life scatter, i.e. Weibull slope determined experimentally
e limiting value of F /F for the applicability of different values of factors X and Y in the new edition
a r
f factor which depends on the geometry of the bearing components, the accuracy to which the various
c
components are made, and the material
h exponent determined experimentally
i number of rows of balls or rollers
l circumference of the raceway
r cross-sectional raceway groove radius
r cross-sectional raceway groove radius of outer ring or housing washer
e
r cross-sectional raceway groove radius of inner ring or shaft washer
i
t auxiliary parameter
z depth of the maximum orthogonal subsurface shear stress
o
α nominal contact angle
α′ actual contact angle
γ D cos α/D for ball bearings with α ≠ 90°
w pw
D /D for ball bearings with α = 90°
w pw
D cos α/D for roller bearings with α ≠ 90°
we pw
D /D for roller bearings with α = 90°
we pw
ε parameter indicating the width of the loaded zone in the bearing
η reduction factor
λ reduction factor
µ factor introduced by Hertz
ν factor introduced by Hertz, or adjustment factor for exponent variation
σ maximum contact stress
max
Σρ curvature sum
τ maximum orthogonal subsurface shear stress
o
ϕ one half of the loaded arc
o
5 General
The derivation of the basic dynamic load ratings is described in Formulae (1) to (46). The dynamic equivalent
load and the radial and axial load factors are covered in Formulae (47) to (82), while basic rating life is
described in Formulae (83) to (89).
6 Basic dynamic load rating
6.1 General
The background to basic dynamic load ratings of rolling bearings according to ISO 281 appears in
References [5] and [6].
The expressions for calculation of basic dynamic load ratings of rolling bearings develop from a power
formula that can be written as follows:
ce
τ NV
o
ln ∝ (1)
h
S
z
o
where
S is the probability of survival;
τ is the maximum orthogonal subsurface shear stress;
o
N is the number of stress applications to a point on the raceway;
V is the volume representative of the stress concentration;
z is the depth of the maximum orthogonal subsurface shear stress;
o
c, h are experimentally determined exponents;
e is the measure of life scatter, i.e. the Weibull slope determined experimentally.
For “point” contact conditions (ball bearings) it is assumed that the volume, V, representative of the stress
concentration in Formula (1) is proportional to the major axis of the projected contact ellipse, 2a, the
circumference of the raceway, l, and the depth, z , of the maximum orthogonal subsurface shear stress, τ
o o:
Va ∝ 2 zl (2)
o
Substituting Formula (2) into Formula (1):
ce
τ Nal
o
ln ∝ (3)
h−1
S
z
o
“Line” contact was considered in References [5] and [6] to be approached under conditions where the major
axis of the calculated Hertz contact ellipse is 1,5 times the effective roller contact length:
21aL = ,5 (4)
we
In addition, b/a should be small enough to permit the introduction of the limit value of ab as b/a approaches 0:
23Q
ab = (5)
π E ∑ρ
o
(for variable definitions, see 6.2).
6.2 Basic dynamic radial load rating, C , for radial ball bearings
r
From the theory of Hertz, the maximum orthogonal subsurface shear stress, τ , and the depth, z , can be
o o
expressed in terms of a radial load F , i.e. a maximum rolling element load, Q , or a maximum contact stress,
r max
σ , and dimensions for the contact area between a rolling element and the raceways. The relationships are:
max
τσ = T
omax
zb = ζ
o
1/2
( 21t − )
T=
21 tt( + )
ζ =
1/2
( tt+− )11 (2  )
1/3
 
3Q
a = μ
 
E ∑ρ
 
o
1/3
 
3Q
bv =
 
E ∑ρ
 o 
where
σ is the maximum contact stress;
max
t is the auxiliary parameter;
a is the semimajor axis of the projected contact ellipse;
b is the semiminor axis of the projected contact ellipse;
Q is the normal force between a rolling element and the raceways;
E is the modified modulus of elasticity;
o
Σρ is the curvature sum;
µ, v are factors introduced by Hertz.
Consequently, for a given rolling bearing, τ , a, l and z can be expressed in terms of bearing geometry, load
o o
and revolutions. Formula (3) is changed to a formula by inserting a constant of proportionality. Inserting a
specific number of revolutions (e.g. 10 ) and a specific reliability (e.g. 0,9), the formula is solved for a rolling

element load for basic dynamic load rating which is designated to point contact rolling bearings introducing
a constant of proportionality, A :
04, 1
(1,591ch+−,415,82)/(ch−+2)
 
13, 2r (1γγ)
QA= ×
 
C 1
()22ch+− /(ch−+2) 32ec/()−+h 3e/(ch−+2)
2rD−
40,5 (1±γ)
 
w
(6)
3/(()ch−+2
γ
 
(2ch+−52)/()ch−+ −−3/ec()h+2
DZ
 
w
cosα
 
where
Q is the rolling element load for the basic dynamic load rating of the bearing;
C
D is the ball diameter;
w
γ is D cos α/D ;
w pw
in which
D is the pitch diameter of the ball set;
pw
α is the nominal contact angle;
Z is the number of balls per row.
The basic dynamic radial load rating, C , of a rotating ring is given by:
J
r
CQ== Z cos αα 0,407 QZ cos (7)
11C C1
J
The basic dynamic radial load rating, C , of a stationary ring is given by:
J
r
CQ== Z cosc αα0,389 QZ os (8)
22C C 2
J
where
Q is the rolling element load for the basic dynamic load rating of a ring rotating relative to the
C1
applied load;
Q is the rolling element load for the basic dynamic load rating of a ring stationary relative to
C2
the applied load;
J = J (0,5) is the radial load integral for zero diametral clearance (see Table 3);
r r
J = J (0,5) is the factor relating mean equivalent load on a rotating ring to Q for zero diametral
1 1 max
clearance (see Table 3);
J = J (0,5) is the factor relating mean equivalent load on a stationary ring to Q for zero diametral
2 2 max
clearance (see Table 3).
The relationship between C for an entire radial ball bearing, and C and C , is expressed in terms of the
r 1 2
product law of probability as:
−−3/(2ch+ )
(2ch−+ )/3
 
C
 
 
CC=+1 (9)
 
r 1
C
 
 
 
Substituting Formulae (6), (7) and (8) into Formula (9), the basic dynamic radial load rating, C , for an entire
r
ball bearing is expressed as:
004, 1
(1,59 ch+− 1,41 5,82)/(ch−+2)
 2r 
13, ()1−γ
i
3/(()ch−+2
CA=04, 1 γ ×
 
r 1
()22ch+− /(ch−+23)/ec()−+h 2 3/ec()−+h 2
2rD−
40 ,5 (1+γ )
 
iw
−33/()ch−+2
()ch−+2 /3
 04, 1 
(1,59 c +++ 1,41 he 32−−5,82)/(ch+ )
 
r  2rD− 
1−γ
   
ew
 i 
11+ ,04 ×
   
   
 
r 2rD− 1+γ
 
  
 e iw 
   
 
()ch−−12/(ch−+ )(ch−−32ec+−)/()hc++22()hc−−5 /( hh+2)
( iZcos α ) D (10)
w
where
A is the experimentally determined proportionality constant;
r is the cross-sectional raceway groove radius of the inner ring;
i
r is the cross-sectional raceway groove radius of the outer ring;
e
i is the number of rows of balls.
Here, the contact angle, α, the number of rolling elements (balls), Z, and the ball diameter, D , depend on
w
bearing design. On the other hand, the ratios of raceway groove radii, r and r , to a half-diameter of a rolling
i e
element (ball), D /2 and γ = D cos α/D , are not dimensional, therefore it is convenient in practice that the
w w pw
value for the initial terms on the right-hand side of Formula (10) to be designated as a factor, f :
c
(1ch−− )/()ch−+22(3ch−− ec+−2)/( hc++) (2 h−5/)/(ch−+2)
Cf= ( iZcos α ) D (11)
rc w
With radial ball bearings, the faults in bearings resulting from manufacturing need to be taken into
consideration, and a reduction factor, λ, is introduced to reduce the value for a basic dynamic radial load
rating for radial ball bearings from its theoretical value. It is convenient to include λ in the factor, fc. The
value of λ is determined experimentally.
04, 1
(1,591ch+−,415,82)/(ch−+2)
2r
 
13, ()1−γ
i
3//(ch−+2)
fA=04, 1 λ  γ ×
 
c 1
()22ch+− /(ch−+23)/ec()−+h 2 32ec/( −+h )
2rD−
40,5 (1+γ )
 
iw
−−3/(c hh+2)
()ch−+2 /3

04, 1 
(1,59c+11,41he+−325,82)/(ch−+ )
 
r 2rD−
  
  1−γ  
 i ew 
11+ ,04 (12)
    
 
 
r 2rD− 1+γ
 
  
 e iw 
 
 
 
Based on References [5] and, [6] the following values were assigned to the experimental constants in the
load rating formulae for ball bearings:
e=
c=
h=
Substituting the numerical values into Formula (11) gives the following, however, a sufficient number of test
results are only available for small balls, i.e. up to a diameter of 25,4 mm (1 inch), and these show that the
1,8
load rating may be taken as being proportional to D . In the case of larger balls, the load rating appears to
w
1,4
increase even more slowly in relation to the ball diameter, and D can be assumed where D > 25,4 mm:
w
w
07,,2/3 18
Cf= (iZ cos )α D for D ≤ 25,4 mm (13)
w
rc w
0,72/3 1,4
Cf= 3,647 (iZ cos )α D for D > 25,4 mm (14)
rc w w
−31/ 0
10/3
04, 1 04, 1
 
17, 2
03,,139
 
2r r 2rD−
  γγ()1−    1−γ
 
i i ew  
 
fA= 0,,089 041 λ ×+11,04 (15)
   
   
c1  
1//3
 
2rD− r 2rD−  1+γ 
(1+γ )
    
 
iw e iw
 
 
Values of f in ISO 281:2007, Table 2, are calculated by substituting raceway groove radii and reduction
c
factors given in Table 1 into Formula (15).
The value for 0,089A is 98,066 5 to calculate C in newtons.
1 r
6.3 Basic dynamic axial load rating, C , for single row thrust ball bearings
a
6.3.1 Thrust ball bearings with contact angle α ≠ 90°
As in 6.2, for thrust ball bearings with contact angle α ≠ 90°:
(1ch−− )/(2ch−+ )(ch−−32ec+−)/(2hc++) (2 hhc−−5)/( h+2)
Cf= (cos )ααtan ZD (16)
ac w
For most thrust ball bearings, the theoretical value of a basic dynamic axial load rating has to be reduced
on the basis of unequal distribution of load among the rolling elements in addition to the reduction factor, λ,
which is introduced in to radial ball bearing load ratings. This reduction factor is designated as η.
Consequently, the factor f is given by:
c
0,,41
(1,59 ch+− 1,41 5,82)/(ch−+2)
2r
 
13, ()1−γ
i
3/(cch−+2)
fA=λη γ ×
 
c 1
()22ch+− /(ch−+23)/ec()−+h 2 3/ec()−+h 2
2rD−
40 ,5 (1+γ )
 
iw
−−3/(c hh+2)
()ch−+2 /3
 04, 1 
(1,59 c + 1,441he +−325,82)/(ch−+ )
 
r  2rD− 
1−γ
   
 i ew 
1+ (17)
   
   
 
r 2rD− 1+γ
 
  
 e iw 
 
 
 
10 31
Similarly, to take the effect of ball size into account, substitute experimental constants e = , c = , and
9 3
h = into Formulae (16) and (17) to give:
07,,23/ 18
Cf= (cos )αα tan ZD for D ≤ 25,4 mm (18)
ac w w
07,/23 1,4
Cf=3,647 (cos )αα tan ZD for D > 25,4 mm (19)
ac w w
04, 1 −31/ 0
03,,139
10/3
2r
  γγ()1− 04, 1
 
i 17, 2
 
rr 2rD−
fA=0,089 λη ×   
 1−γ 
   
i ew
c1  
1/3
1+ (20)
2rD−
(1+γ )      
   
i w
 
r 2rD− 1+γ
 
  
 e iw 
 
 
 
The value for 0,089A is 98,066 5 to calculate C in newtons. Values of f in ISO 281:2007, Table 4, given in the
1 a c
column for α = 45°, 60° and 70°, are calculated by substituting raceway groove radii and reduction factors
given in Table 1 into Formula (20).
6.3.2 Thrust ball bearings with contact angle α = 90°
As in 6.2, for thrust ball bearings with contact angle α = 90°:
()ch−−32ec+−/( hc++22) ()hc−−52/( h+ )
Cf= ZD (21)
ac w
−−3/()ch+2
(cch−+2)/3
04, 11  04, 1

 
2r r 2rD−
13,      
i i ew
3/()ch−+2
 
fA=λη γ ×+1 (22)
 
    
c 1
()22ch+− /(ch−+23)/ec()−+h 2
 
2rD− r 2rD−
40,5
    
 
iw e iw
 
 
in which γ = D /D .
w pw
10 31
Similarly, to take the effect of ball size into account, substitute experimental constants e = , c = , and
9 3
h = into Formulae (21) and (22), to give:
23/ 1,8
Cf= ZD for D ≤ 25,4mm (23)
ac w w
2/3 1,4
Cf=3,647 ZD for D > 25,4mm (24)
ac w w
−31/ 0
10/3
04, 1  04, 1 
 
2r r 2rD−
    
 
i  i ew 
03,
fA=0, 089 λη γ 1+ (25)
     
c1
 
2rD− r 2rD−
     
iw e iw
 
 
 
The value for 0,089A is 98,066 5 to calculate C in newtons. Values of f in ISO 281:2007, Table 4, second
1 a c
column from left, are calculated by substituting raceway groove radii and reduction factors which are given
in Table 1 into Formula (25).
6.4 Basic dynamic axial load rating, C , for thrust ball bearings with two or more rows of balls
a
According to the product law of probability, relationships between the basic axial load rating of an entire
thrust ball bearing and of both the rotating and stationary rings are given as:
−−32/(ch+ )
−−()ch+−23/ ()ch−+23/
 
CC=+C (26)
ak a1k a2k
 
in which
CQ= sin α Z


aC11kk

CQ= sin α Z

aC22kk 
−−32/(ch+ )
−−()ch+−23/ ()ch−+23/
 
CC=+C (27)
a a1 a2
 
where
C is the basic dynamic axial load rating as a row k of an entire thrust ball bearing;
ak
C is the basic dynamic axial load rating as a row k of the rotating ring of an entire thrust ball bearing;
a1k
C is the basic dynamic axial load rating as a row k of the stationary ring of an entire thrust ball bearing;
a2k
C is the basic dynamic axial load rating of an entire thrust ball bearing;
a
C is the basic dynamic axial load rating of the rotating ring of an entire thrust ball bearing;
a1
C is the basic dynamic axial load rating of the stationary ring of an entire thrust ball bearing.
a2
Substituting Formula (26) into Formula (27), and assuming that the load on a single row is proportional to
the number of balls in each row, yields:
−−3/(c hh+2)
−−()ch+23/
 n 
 
n Z
 
∑ j
 
j=1
CC= 
aa∑ k 
Z
 
k
 
k=1
   
 
−−32/(ch+ )
()ch−+23/
n n
 
 Z 
k
 
= Z (28)
 
∑∑j
C
 
 
ak
j==11k
 
where
Z (Z ) is the number of balls per row k ( j).
k j
31 7
Substituting experimental constants c = and h = gives:
3 3
−31/ 0
10/3 10/3 10/3103/
 
Z Z Z Z
       
1 2 3 n
 
CZ=+ZZ++⋅⋅⋅+Z + + +⋅⋅⋅+ (29)
()
       
a1 23 n
C C C C
 
       
a1 a2 a3 an
 
The load ratings C , C , C … C for the rows with Z , Z , Z … Z balls are calculated from the appropriate
a1 a2 a3 an 1 2 3 n
single row thrust ball bearing formula in 6.3.
6.5 Basic dynamic radial load rating, C , for radial roller bearings
r
By a procedure similar to that used to obtain Formula (10) for point contact in 6.2, but applying Formulae (4)
and (5), the basic dynamic radial load rating of radial roller bearings (line contact) is obtained:
()ch+−3 /(c−−+h 1 )
1 ()1−γ
21/(ch−+ )
CB= 0,377  γ ×
r 1
()ch+−11/(ch−+ )/21ec()−+h 21ec/( −+h )
20 ,5 ()1+γ
−−21/(ch+ )
(1ch−+ )/2
()ch++23ec−−/( h+1)
 
 
1−γ
 
()ch−−11/(ch−+ )
 
()ch−−21e+ /(cch−+13) (ch+− )/()ch−+1
11+ , 04 iL cos α ×Z D (30)
()
   
 
we we
 1+γ 
 
 
 
where
B is an experimentally determined proportionality constant;
D is the mean roller diameter;
we
γ is D cos α /D ;
we pw
in which
D is the pitch diameter of roller set;
pw
α is the nominal contact angle;
L is the effective contact length of roller;
we
i is the number of rows of rollers;
Z is the number of rollers per row.
Here, the contact angle, α, the number of rollers, Z, the mean roller diameter, D , and the effective contact
we
length, L , depend on bearing design. On the other hand, γ = D cos α /D is not dimensional, therefore it
we we pw
is convenient in practice that the terms up to “i L …” on the right-hand side of Formula (30) to be designated
we
as a factor, f .
c
Consequently,
()ch−−11/(ch−+ )(ch−−21ec+−)/()h+1 (ch+−31)/(ch−+ )
Cf= (ciL osα) ZD (31)
rc we we
For the basic dynamic radial load rating for radial roller bearings, adjustments are made to take account of
stress concentration (e.g. edge loading) and of the use of a constant instead of a varying life formula exponent
(see Clause 8). Adjustment for stress concentration is a reduction factor, λ, and for exponent variation a
factor, ν. It is convenient to include both factors — which are determined experimentally — in the factor, f ,
c
which is consequently given by:
(ch+−331)/()ch−+
1 ()1−γ
21/(ch−+ )
fB=0,377 λν  γ ×
c 1
()ch+−11/(ch−+ ) 21ec/( −+h ) 21ec/( −+h )
2 0,5 ()1+γ
−−21/(ch+ )
()ch−+1 /2
 
()ch++23ec−−/( h+1)
 
  1−γ  
11+ , 04  (32)
 
 
1+γ
 
 
 
 
 
The Weibull slope, e, and the constants, c and h, are determined experimentally. Based on References [5] and
[6] and subsequent verification tests with spherical, cylindrical, and tapered roller bearings, the following
values were assigned to the experimental constants in the rating formulae for roller bearings:
e =
c =
h =
9 31 7
Substituting experimental constants e = , c = , and h = into Formulae (31) and (32),
8 3 3
7/9/34 /29 27
Cf= (ciL osα) ZD (33)
rc we we
−29/
92/
143/108
 
29/ 29/27
 
γγ()1− 1−γ 
 
fB= 0,,483 0 377 λν  ,11+ 04  (34)
 
c 1  
1/4
(1+γ ) 1+γ
 
 
 
 
 
The value for 0,483B is 551,133 73 to calculate C in newtons. Values of f in ISO 281:2007, Table 7, are
1 r c
calculated by substituting the reduction factor given in Table 2 into Formula (34).
6.6 Basic dynamic axial load rating, C , for single row thrust roller bearings
a
6.6.1 Thrust roller bearings with contact α ≠ 90°
Extension of 6.2 gives:
()ch−−11/(ch−+ )(ch−−21ec+−)/()h+1 ()ch+−31/(ch−+ )
Cf= (cLZ osαα)t an D (35)
ac we wwe
For thrust roller bearings, the theoretical value of a basic dynamic axial load rating has to be reduced on the
basis of unequal distribution of load among the rolling elements in addition to the reduction factor, λ, which
is introduced in radial roller bearing load ratings. This reduction factor is designated as η.
Consequently, the factor f is given by:
c
()ch+−3 /(c−hh+1)
1 ()1−γ
21/(ch−+ )
fB=λν  η γ ×
c 1
()ch+−11/(ch−+ )/21ec()−+h 21ec/( −+h )
20,5 ()1+γ
−−21/(ch+ ) (36)
()ch−+1 /2
 
()ch++23e− /(cch−+1)
 
  1−γ  
1+ 
 
 
1+γ
 
 
 
 
 
9 31 7
Substituting experimental constants e= , c= , and h= ,
8 3 3
7/9/34 29/27
Cf= (cLZ osαα)t an D (37)
ac we we
−29/
92/
 143/1008 
29/ 29/27 

γγ()1− 1−γ
   
fB=0,483 λν  η 1+ (38)
 
 
 
c 1
1/4
1+γ
()1+γ  
 
 
 
 
The value of 0,483B is 551,133 73 to calculate C in newtons. Values for f in ISO 281:2007, Table 10, given
1 a c
in the columns for α = 50°, 65° and 80°, are calculated by substituting reduction factors given in Table 2 into
Formula (38).
6.6.2 Thrust roller bearings with contact angle α = 90°
Extension of 6.2 gives:
()ch−−11/(ch−+ )(ch−−21ec+−)/()hc++13()hc−−/( h+11)
Cf= LZ D (39)
ac we we
21/(ch−+ )/−−2 (c hh+1)
fB=λν  ηγ 2 (40)
c 1
()ch+−11/(ch−+ )/21ec()−+h
20,5
9 31 7
Substituting experimental constants e= , c= , and h= ,
8 3 3
7/93/4 29/27
Cf= LZ D (41)
awc e we
2/9
fB= 04, 1 λν  ηγ (42)
c 1
The value for 0,41B is 472,453 88 to calculate C in newtons. Values of f in ISO 281:2007, Table 10, second
1 a c
column from left, are calculated by substituting reduction factors given in Table 2 into Formula (42).
6.7 Basic dynamic axial load rating, C , for thrust roller bearings with two or more rows
a
of rollers
According to the product law of probability, relationships between the basic dynamic axial load rating of an
entire thrust roller bearing and of both the rotating and stationary rings are given as follows:
−−21/(ch+ )
−−()ch+−12/ ()ch−+12/
 
CC=+C (43)
ak a1k a2k
 
in which
CQ = sin α ZL

aC11kk wek

CQ = sin α ZL


aC22kk wek
−−21/(ch+ )
−−()ch+−12/ ()ch−+12/
 
CC=+C (44)
a
a1 a2
 
where
C is the basic dynamic axial load rating as a row k of an entire thrust roller bearing;
ak
C is the basic dynamic axial load rating as a row k of the rotating ring of an entire thrust roller bearing;
a1k
C is the basic dynamic axial load rating as a row k of the stationary ring of an entire thrust roller
a2k
bearing;
C is the basic dynamic axial load rating of an entire thrust roller bearing;
a
C is the basic dynamic axial load rating of the rotating ring of an entire thrust roller bearing;
a1
C is the basic dynamic axial load rating of the stationary ring of an entire thrust roller bearing;
a2
Z is the number of rollers per row k.
k
Substituting Formula (43) into Formula (44), and assuming that the load on a single row is proportional to
the product of roller length and number of rollers in each row, gives:
−−2/()ch+1
−−()ch+1
 
n
 
 
n
ZL
()
∑
jjwe
 
j=1
 
CC=
∑ 
aak
 
ZL
kkwe
 
k=1
 
 
. (45)
 
 
−−2/()ch+1
()ch−+12/2
n n
 
ZL
 
kkwe
 
= ZL
()  
∑∑jjwe
 C 
 
ak
j==11k
 
where
Z (Z ) is the number of rollers per row k ( j);
k j
LL() is the effective contact length of roller in row k ( j).
wekjwe
31 7
Substituting experimental constants c= and h= ,
3 3
−29/
92/ 92/ 92/ 9//2
 
ZL Z L ZL ZL
       
11we 222we 3 we3 nnwe
CZ=+()LZ LZ++LZ⋅⋅⋅+×L + ++⋅⋅⋅+ (46)
 
       
a1 we132we2 3wewnne
C C C C
        
a1 a2 a3 an
 
The load ratings, C , C , C … C for the rows with Z , Z , Z … Z rollers of lengths L , L , L … L ,
a1 a2 a3 an 1 2 3 n we1 we2 we3 wen
are calculated from the appropriate single row thrust roller bearing formula in 6.6.
Table 1 — Raceway groove radius and reduction factor for ball bearings
Raceway groove radius Reduction factor
Table No. in
Bearing type
ISO 281:2007
r r λ η
i e
Single row radial contact groove ball bearings
0,52 D 0,95 —
Single and double row angular contact groove
w
ball bearings
Double row radial contact groove ball bear-
0,52 D 0,90 —
w
ings
Single and double row self-aligning ball bear-  
0,53 D 05, + 1 D 1 —
 
w
w
ings
 γ 
Single row radial contact separable ball bear-
0,52 D ∞ 0,95 —
w
ings (magneto bearings)
sinα
4 Thrust ball bearings 0,535 D 0,90
1−
w
NOTE Values of f in ISO 281:2007, Tables 2 and 4, are calculated by substituting raceway groove radii and reduction factors in
c
this table into Formulae (15), (20) and (25), respectively.
Table 2 — Reduction factor for roller bearings
Reduction factor
Table No. in
Bearing type
ISO 281:2007
η
λν
7 Radial roller bearings 0,83 —
10 Thrust roller bearings 0,73 1 − 0,15 sin α
NOTE Values of f in ISO 281:2007, Tables 7 and 10, are calculated by substituting reduction factors in this table into
c
Formulae (34), (38) and (42), respectively.
7 Dynamic equivalent load
7.1 Expressions for dynamic equivalent load
7.1.1 Theoretical dynamic equivalent radial load, P , for single row radial bearings
r
If the indices 1 and 2 are assigned to the ring which rotates relative to the direction of load and the stationary
ring respectively, then the mean values of the rolling element loads which are decisive for a single row radial
bearing ring’s life are given by:
F J F J

a
r 11
QQ == J =
C 11max 
Z cos ααJ Z sin J
r a 
(47)

F J F J

r 22a
QQ == J =
C 22max 
Z coos ααJ Z sin J
r a 
where
Q is the maximum rolling element load;
max
J is the factor relating Q to Q ;
1 max
C 1
J is the factor relating Q to Q ;
2 max
C 2
F is the radial load;
r
F is the axial load;
a
J is the radial load integral;
r
J is the axial load integral;
a
Z is the number of rolling elements;
α is the nominal contact angle.
Radial and axial load integrals are given by:
+φ
o 
t
1 1
 

JJ==()ε 1−−1 cos φφcos d φ
()
rr
∫  

2πε 2 
−φ

o
(48)

+φ
o
t

1 1
 

JJ= (ε )) =−1 ()1 − cos dφφ
aa
∫  
2πε2
  
−φ
o 
where
t is 3/2 for point contact;
t is 1,1 for line contact;
ϕ is one half of the loaded arc;
o
ε is a parameter indicating the width of the loaded zone in the bearing.
Introducing the notation
1/s
+φ
 
o
t
 1 1 
 
Jt(;s)(=−1 1 − cos φφ)d (49)
 
∫  
2πε2
 
 
−φ
 o 
9 10
   
JJ==()εεJJ;;35==JJ() ;
   
11 22

2 3
   

(50)

9 9
   

JJ==()ε J ;4 ;(JJ==ε);J 5
   
11 22

2   2 
for point and line contact respectively.
If P and P are the dynamic equivalent radial loads for the respective rings, then with radial displacement
r1 r2
of the rings ()ε =05,
P J ()05, P J ()05,
r1 1 r22
Q ==; Q (
...

RAPPORT ISO/TR
TECHNIQUE 1281-1
Deuxième édition
2021-05
Roulements — Notes explicatives sur
l'ISO 281 —
Partie 1:
Charges dynamiques de base et durée
nominale de base
Rolling bearings — Explanatory notes on ISO 281 —
Part 1: Basic dynamic load rating and basic rating life
Numéro de référence
©
ISO 2021
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Sommaire Page
Avant-propos .iv
Introduction .v
1 Domaine d'application . 1
2 Références normatives . 1
3 Termes et définitions . 1
4 Symboles . 1
5 Généralités . 4
6 Charge dynamique de base . 4
6.1 Généralités . 4
6.2 Charge radiale dynamique de base, C , des roulements radiaux à billes . 5
r
6.3 Charge axiale dynamique de base, C , des butées à billes à une rangée . 9
a
6.3.1 Butées à billes à angle de contact α ≠ 90° . 9
6.3.2 Butées à billes à angle de contact α = 90° . 9
6.4 Charge axiale dynamique de base, C , des butées à billes à deux ou plusieurs rangées .10
a
6.5 Charge radiale dynamique de base, C , des roulements radiaux à rouleaux .11
r
6.6 Charge axiale dynamique de base, C , des butées à rouleaux à une rangée .13
a
6.6.1 Butées à rouleaux à angle de contact α ≠ 90° .13
6.6.2 Butées à rouleaux à angle de contact α = 90° .13
6.7 Charge axiale dynamique de base, C , des butées à deux ou plusieurs rangées
a
de rouleaux .14
7 Charge dynamique équivalente.16
7.1 Expressions de la charge dynamique équivalente.16
7.1.1 Charge radiale dynamique équivalente théorique, P , des roulements
r
radiaux à une rangée .16
7.1.2 Charge radiale dynamique équivalente théorique, P , des roulements
r
radiaux à deux rangées .20
7.1.3 Charge radiale dynamique équivalente théorique, P , des roulements à
r
billes, à gorges, à contact radial .22
7.1.4 Expressions pratiques de la charge radiale dynamique équivalente, P , des
r
roulements radiaux à angle de contact constant .23
7.1.5 Expressions pratiques de la charge radiale dynamique équivalente, P , des
r
roulements radiaux à billes .25
7.1.6 Expressions pratiques de la charge axiale dynamique équivalente, P , des
a
butées .26
7.2 Facteurs X, Y et e . 28
7.2.1 Roulements radiaux à billes .28
7.2.2 Valeurs de X, Y et e pour chaque type de roulement (radial) à billes .29
7.2.3 Tableau récapitulatif des facteurs X, Y et e pour les roulements radiaux à billes .34
7.2.4 Valeurs calculées de Y et e et leur écart par rapport à celles de la norme .36
7.2.5 Butées à billes .36
7.2.6 Roulements radiaux à rouleaux .37
7.2.7 Butées à rouleaux .38
8 Durée nominale .38
Bibliographie .41
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes
nationaux de normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est
en général confiée aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude
a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales,
gouvernementales et non gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux.
L'ISO collabore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui
concerne la normalisation électrotechnique.
Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont
décrites dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier de prendre note des différents
critères d'approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document a été
rédigé conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2 (voir www
.iso .org/ directives).
L'attention est attirée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l'objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable
de ne pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence. Les détails concernant
les références aux droits de propriété intellectuelle ou autres droits analogues identifiés lors de
l'élaboration du document sont indiqués dans l'Introduction et/ou dans la liste des déclarations de
brevets reçues par l'ISO (voir www .iso .org/ brevets).
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données
pour information, par souci de commodité, à l’intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un
engagement.
Pour une explication de la nature volontaire des normes, la signification des termes et expressions
spécifiques de l'ISO liés à l'évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l'adhésion
de l'ISO aux principes de l’Organisation mondiale du commerce (OMC) concernant les obstacles
techniques au commerce (OTC), voir le lien suivant: www .iso .org/ iso/ fr/ avant -propos .html.
Le présent document a été élaboré par le comité technique ISO/TC 4, Roulements, sous-comité SC 8,
Charges de base et durée.
Cette deuxième édition annule et remplace le rectificatif technique 1 (ISO/TR 1281-1:2008/Cor 1:2009)
et la première édition (ISO/TR 1281-1:2008), qui a fait l’objet d’une révision technique.
Les principales modifications par rapport à l’édition précédente sont les suivantes:
— supression de l’ancien Article 7 «Facteur de réduction de la durée en fonction de la fiabilité»
de l’ISO/TR 1281-1:2008, ce sujet étant couvert dans l’ISO/TR 1281-2 (voir ISO/TR 1281-1:2008/
Cor 1:2009).
— correction de la manière dont ont été définies les anciennes Formules (29) et (46) [Formules (28) et
(45) dans cette édition].
— correction des erreurs de saisie dans les Formules (30) et (31) et de la manière dont a été défini le
facteur Y .
Une liste de toutes les parties de l’ISO/TR 1281-1 se trouve sur le site Web de l’ISO.
Il convient que l'utilisateur adresse tout retour d'information ou toute question concernant le présent
document à l'organisme national de normalisation de son pays. Une liste exhaustive desdits organismes
se trouve à l'adresse www .iso .org/ fr/ members .html.
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Introduction
I S O/ R 281: 1962
Une première discussion de niveau international portant sur la normalisation des méthodes de calcul
des charges de base des roulements eut lieu en 1934 lors de la conférence de la Fédération Internationale
des Associations Nationales de Normalisation (ISA). Lorsque l'ISA tint sa dernière réunion en 1939,
aucun progrès n'était encore intervenu. Pourtant, dans son rapport de 1945 sur l'état de la normalisation
dans le domaine des roulements, le Secrétariat de l'ISA 4 incluait des propositions de définitions de
concepts fondamentaux pour les normes de calcul de charges de base et de durée. Les définitions qu'il
contenait étant en substance celles que reprend l'ISO 281:2007 sous les termes de «durée» et de «charge
dynamique de base» (cette dernière étant maintenant séparée en «charge dynamique radiale de base»
et «charge dynamique axiale de base»).
Les discussions sur les normes de calcul de durée et de charges de base reprirent en 1946 entre les
spécialistes américains et suédois à l'initiative de l'AFBMA — Anti-Friction Bearing Manufacturers
Association (New York). Une norme AFBMA, publiée en 1949, intitulée «Method of evaluating load
[3]
ratings of annular ball bearings» fut élaborée sur la base principalement des résultats figurant dans
la Référence [5]. Partant de la même source, le Comité membre suédois soumit en février 1950 une
première proposition à l'ISO intitulée «Charges de base des roulements à billes».
Compte tenu des recherches nouvelles, de la révision de la norme AFBMA en 1950 et également de
l'intérêt pour les normes de calcul des roulements à rouleaux, le Comité membre Suédois présenta, en
1951, une proposition modifiée de calcul des roulements à billes, puis une proposition de calcul des
roulements à rouleaux.
Ces méthodes de calcul furent étudiées. La Référence [6] eut alors un retentissement considérable sur
l'élaboration des chapitres relatifs au calcul des roulements à rouleaux.
ISO 281-1:1977
En 1964, au vu de l'amélioration des aciers pour roulements, il était temps de réviser l'ISO/R281 et de
soumettre une proposition.
En 1969, cependant, le TC 4 suivit la suggestion du Comité membre Japonais de reconstituer le GT 3 et
de lui donner pour tâche de réviser l'ISO/R281. Le groupe AFBMA de calcul des charges de base avait
également à l'époque repris les travaux pour réviser la norme.
La majeure partie de l’ISO 281-1:1977 constitue une réédition de l’ISO/R281 dont le fond n'est que très
peu modifié. Un nouvel article a cependant été ajouté, résultat de recherches américaines des années
1960 et qui traite de la correction à apporter à la durée si la fiabilité est supérieure à 90 % ou pour tenir
compte des matériaux et des conditions de fonctionnement.
Des informations complémentaires relatives à la manière dont sont déterminés les expressions et
facteurs de l'ISO 281-1:1977 ont été publiées sous la référence ISO/TR 8646:1985.
ISO 281:1990
La «première édition» de l’ISO 281:1990 a été publiée et intitulée «Charges dynamiques de base
et durée nominale». Il y est fait référence en tant que «révision technique» de l’ISO 281-1:1977. Le
nouveau facteur de notation b pour «facteur de calcul pour un matériau et une fabrication modernes
m
et habituels. Sa valeur dépend du type et de la conception du roulement» a été l’introduction d’une co-
valeur des charges dynamiques de base.
ISO 281:2007 (deuxième édition)
Depuis la publication de l’ISO 281:1990, des connaissances supplémentaires concernant l’influence
de la contamination, de la lubrification, des contraintes internes dues au montage et contraintes dues
au durcissement, et de la limite de charge de fatigue du matériau sur la vie des roulements, ont été
acquises. Dans l’ISO 281:1990/Amd 2:2000, une méthode générale a été présentée pour tenir compte de
ces influences dans le calcul de la durée de vie nominale modifiée d'un roulement. Le dit amendement
a été incorporé à la deuxième édition, qui fournit également une méthode pratique pour prendre en
compte l'influence des conditions de lubrification, du lubrifiant contaminé et de la charge de fatigue du
matériau du roulement sur la vie du roulement. Les facteurs de modification de la durée de vie pour la
fiabilité, a , ont été légèrement ajustés et étendus à une fiabilité de 99,95 %.
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RAPPORT TECHNIQUE ISO/TR 1281-1:2021(F)
Roulements — Notes explicatives sur l'ISO 281 —
Partie 1:
Charges dynamiques de base et durée nominale de base
1 Domaine d'application
Le présent document spécifie des informations de base supplémentaires sur la manière dont ont été
définies les expressions mathématiques et les facteurs donnés dans l'ISO 281:2007.
2 Références normatives
Les documents suivants sont cités dans le texte de sorte qu'ils constituent, pour tout ou partie de leur
contenu, des exigences du présent document. Pour les références datées, seule l'édition citée s'applique.
Pour les références non datées, la dernière édition du document de référence s'applique (y compris les
éventuels amendements).
ISO 281:2007, Roulements — Charges dynamiques de base et durée nominale
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et définitions donnés dans l'ISO 281:2007 ainsi que
les suivants s'appliquent.
L'ISO et l'IEC tiennent à jour des bases de données terminologiques destinées à être utilisées en
normalisation, consultables aux adresses suivantes:
— ISO Online browsing platform: disponible à l'adresse https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: disponible à l'adresse https:// www .electropedia .org/
4 Symboles
A constante de proportionnalité
A constante de proportionnalité déterminée expérimentalement
B constante de proportionnalité déterminée expérimentalement
C charge radiale dynamique de base d'une bague tournante
C charge radiale dynamique de base d'une bague fixe
C charge axiale dynamique de base d'une butée à bille ou à rouleaux
a
C charge axiale dynamique de base de la rondelle tournante d'une butée à billes ou à rou-
a1
leaux
C charge axiale dynamique de base de la rondelle fixe d'une butée à billes ou à rouleaux
a2
C charge axiale dynamique de base de la rangée k d'une butée à billes ou à rouleaux
ak
C charge axiale dynamique de base de la rangée k de la rondelle tournante d'une butée à
a1k
billes ou à rouleaux
C charge axiale dynamique de base de la rangée k de la rondelle fixe d'une butée à billes ou
a2k
à rouleaux
C charge dynamique de base d'une bague extérieure
e
C charge dynamique de base d'une bague intérieure
i
C charge radiale dynamique de base d'un roulement radial à billes ou à rouleaux
r
D diamètre primitif
pw
D diamètre de bille
w
D diamètre moyen de rouleau
we
E module d'élasticité modifié
o
F charge axiale
a
F charge radiale
r
J facteur rapportant à Q la charge moyenne équivalente sur une bague tournante
1 max
(par rapport à la charge appliquée)
J facteur rapportant à Q la charge moyenne équivalente sur une bague fixe (par rapport
2 max
à la charge appliquée)
J intégrale de charge axiale
a
J intégrale de charge radiale
r
L durée du roulement
L durée nominale
L longueur effective de contact du rouleau
we
L L pour la rangée k
wek we
N nombre d'application pour la contrainte en un point du chemin de roulement
P charge axiale dynamique équivalente d'une butée
a
P charge radiale dynamique équivalente d'un roulement radial
r
P charge radiale dynamique équivalente de la bague tournante
r1
P charge radiale dynamique équivalente de la bague fixe
r2
Q force normale entre un élément roulant et les chemins de roulement
Q charge sur l'élément roulant correspondant à la charge dynamique de base du roulement
C
Q charge sur l'élément roulant correspondant à la charge dynamique de base d'une bague
C1
tournante par rapport à la charge appliquée
Q charge sur l'élément roulant correspondant à la charge dynamique de base d'une bague
C2
fixe par rapport à la charge appliquée
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Q charge maximale sur l'élément roulant
max
S probabilité de survie, fiabilité
V volume représentatif de la concentration des contraintes
V facteur de rotation
f
X facteur de charge radiale pour roulement radial
X facteur de charge radiale pour butée
a
Y facteur de charge axiale pour roulement radial
Y facteur de charge axiale pour butée
a
Z nombre de billes ou de rouleaux par rangée
Z nombre de billes ou de rouleaux par rangée k
k
a demi grand axe de l'ellipse de contact projetée
a facteur de réduction de la durée en fonction de la fiabilité
b demi petit axe de l'ellipse de contact projetée
c exposant déterminé expérimentalement
c constante de compression
c
e mesure de dispersion de durée, c'est-à-dire pente de la courbe de Weibull, déterminée
expérimentalement
e valeur limite de F / F pour l'applicabilité de différentes valeurs des facteurs X et Y dans
a r
la nouvelle édition
f facteur qui dépend de la géométrie des éléments du roulement, de leur précision d'exécu-
c
tion et des matériaux
h exposant déterminé expérimentalement
i nombre de rangées de billes ou de rouleaux
l circonférence du chemin du roulement
r rayon de courbure transversal d'un chemin de roulement
r rayon de courbure transversal d'un chemin de roulement de bague extérieure ou
e
de rondelle-logement
r rayon de courbure transversal d'un chemin de roulement de bague intérieure ou
i
de rondelle-arbre
t paramètre auxiliaire
z profondeur de la contrainte maximale de cisaillement orthogonale sous la surface
o
α angle nominal de contact
α ′ angle réel de contact
γ D cos α/D pour roulements à billes avec α ≠ 90°
w pw
D /D pour roulements à billes avec α = 90°
w pw
D cos α/D pour roulements à billes avec α ≠ 90°
we pw
D /D pour roulements à billes avec α = 90°
we pw
ε paramètre caractéristique de la grandeur de la zone chargée dans le roulement
η facteur de réduction
λ facteur de réduction
µ facteur introduit par Hertz
ν facteur introduit par Hertz, ou facteur de réduction de la variation de l'exposant
σ contrainte maximale de contact
max
Σρ somme des courbures
τ contrainte maximale de cisaillement orthogonale sous la surface
o
φ moitié de l'arc chargé
o
5 Généralités
La manière dont sont définies les charges dynamiques de base est décrite dans les Formules (1) à
(46). La charge dynamique équivalente et les facteurs de charge radiale et axiale sont traités dans les
Formules (47) à (82), tandis que la durée de vie nominale de base est décrite dans les Formules (83)
à (89).
6 Charge dynamique de base
6.1 Généralités
Les calculs de charges dynamiques de base de l'ISO 281 sur les roulements sont fondés sur les
Références [5] et [6].
Les formules de calcul des charges dynamiques de base des roulements dérivent de la relation suivante:
ce
τ NV
o
ln ∝ (1)
h
S
z
o
où
S est la probabilité de survie;
τ est la composante orthogonale de la contrainte maximale de cisaillement sous la surface;
o
N est le nombre d'applications de la contrainte en un point donné du chemin de roulement;
V est le volume représentatif de la concentration des contraintes;
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z est la profondeur de la composante orthogonale de la contrainte maximale de cisaillement
o
sous la surface;
c, h sont des exposants déterminés expérimentalement;
e est la mesure de la dispersion de la durée, c'est-à-dire la pente de la courbe de Weibull,
déterminée expérimentalement.
Dans les conditions de contact «ponctuel» (roulements à billes), on prend comme hypothèse que le
volume, V, représentatif de la concentration des contraintes dans la Formule (1) est proportionnel
au grand axe de l'ellipse de contact projetée, 2a, à la circonférence du chemin de roulement, l, et à la
profondeur, z , de la composante orthogonale de la contrainte maximale de cisaillement sous la surface,
o
τ .
o
Va ∝ 2 zl (2)
o
D'où, si l'on introduit Formule (2) dans la Formule (1):
ce
τ Nal
o
ln ∝ (3)
h−1
S z
o
Dans les Références [5] et [6], il a été considéré qu'on pouvait admettre un contact «linéaire» lorsque
le grand axe de l'ellipse de contact calculée (ellipse de Hertz) était de 1,5 fois la longueur effective de
contact du rouleau:
21aL = ,5 (4)
we
Il convient, en outre, que b/a soit suffisamment petit pour permettre d'introduire la valeur-limite de ab
pour b/a tendant vers 0:
23Q
ab = (5)
π E ∑ρ
o
(pour les notations, se reporter à 6.2).
6.2 Charge radiale dynamique de base, C , des roulements radiaux à billes
r
D'après la théorie de Hertz, la composante orthogonale de la contrainte maximale de cisaillement sous
la surface, τ , et sa profondeur, z , peuvent se rattacher à une charge radiale, F , c'est-à-dire une charge
o o r
maximale sur l'élément roulant, Q , ou une contrainte maximale de contact, σ , et aux dimensions de
max max
la zone de contact entre un élément roulant et les chemins de roulement. Les relations correspondantes
s'expriment comme suit:
τσ = T
omax
zb = ζ
o
1/2
( 21t − )
T=
21 tt( + )
ζ =
1/2
( tt+− )11 (2  )
1/3
 
3Q
a = μ
 
E ∑ρ
 
o
1/3
 
3Q
bv =
 
E ∑ρ
 
o
où
σ est la contrainte maximale de contact;
max
t est le paramètre auxiliaire;
a est le demi grand axe de l'ellipse de contact projetée;
b est le demi petit axe de l'ellipse de contact projetée;
Q est la force normale entre l'élément roulant et les chemins de roulement;
E est le module d'élasticité;
o
Σρ est la somme des courbures;
µ, v sont des facteurs introduits par Hertz.
En conséquence, pour un roulement donné, τ , a, l et z peuvent s'exprimer en fonction de la géométrie
o o
du roulement, de la charge et du nombre de tours. La Formule (3) devient une formule si l'on y introduit
une constante de proportionnalité. En supposant un nombre déterminé de tours (par exemple 10 ) et
une fiabilité également déterminée (par exemple 0,9), la formule peut être résolue pour une charge
sur l'élément roulant correspondant à la charge dynamique de base sur le roulement. Pour un contact
ponctuel et en désignant par A la constante de proportionnalité, cette charge s'exprime par:
04, 1
(1,591ch+−,415,82)/(ch−+2)
 
13, 2r (1γγ)
QA= ×
 
C 1
()22ch+− /(ch−+2) 32ec/()−+h 3e/(ch−+2)
2rD−
40,5 (1±γ)
 
w
(6)
3/(()ch−+2
γ
 
(2ch+−52)/()ch−+ −−3/ec()h+2
DZ
 
w
cosα 
où
Q est la charge sur l'élément roulant correspondant à la charge dynamique de base du
C
roulement;
D est le diamètre de bille;
w
γ est D cos α/D
w pw
où
D est le diamètre primitif,
pw
α est l'angle nominal de contact;
Z est le nombre de billes par rangée.
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La charge radiale dynamique de base, C , d'une bague tournante s'obtient comme suit:
J
r
CQ== Z cos αα 0,407 QZ cos (7)
11C C1
J
La charge radiale dynamique de base, C , d'une bague fixe s'obtient comme suit:
J
r
CQ== Z cosc αα0,389 QZ os (8)
22C C 2
J
où
Q est la charge sur l'élément roulant correspondant à la charge dynamique de base
C1
d'une bague tournante par rapport à la charge appliquée;
Q est la charge sur l'élément roulant correspondant à la charge dynamique de base
C2
d'une bague fixe par rapport à la charge appliquée;
J = J (0,5) est l'intégrale de la charge radiale (voir Tableau 3);
r r
J = J (0,5) est le facteur rapportant à Q la charge moyenne équivalente sur une bague tour-
1 1 max
nante par rapport à la charge appliquée (voir Tableau 3);
J = J (0,5) est le facteur rapportant à Q la charge moyenne équivalente sur une bague fixe
2 2 max
par rapport à la charge appliquée (voir Tableau 3).
La relation entre C , pour un roulement radial à billes complet, et C et C s'exprime selon la loi du
r 1 2
produit des probabilités:
−−3/(2ch+ )
(2ch−+ )/3
 
C
 
 
CC=+1 (9)
 
r 1
 C 
 
 
Si l'on remplace les termes de la Formule (9) par leurs valeurs données dans les Formules (6), (7) et (8),
la charge radiale dynamique de base, C , d'un roulement à billes complet s'exprime de la façon suivante:
r
004, 1
(1,59 ch+− 1,41 5,82)/(ch−+2)
2r
 
13, ()1−γ
i
3/(()ch−+2
CA=04, 1 γ ×
 
r 1
()22ch+− /(ch−+23)/ec()−+h 2 3/ec()−+h 2
2rD−
40 ,5 (1+γ )
 iw 
−33/()ch−+2
()ch−+2 /3
 04, 1 
(1,59 c +++ 1,41 he 32−−5,82)/(ch+ )
 
2rD−
r  
1−γ
   
 i ew 
11+ ,04 ×
    
 
 
r 2rD− 1+γ
 
    
e iw
 
 
 
()ch−−12/(ch−+ )(ch−−32ec+−)/()hc++22()hc−−5 /( hh+2)
( iZcos α ) D (10)
w
où
A est la constante de proportionnalité déterminée expérimentalement;
r est le rayon de courbure du chemin de roulement de la bague inférieure (en section transver-
i
sale);
r est le rayon de courbure du chemin de roulement de la bague extérieure (en section trans-
e
versale);
i est le nombre de rangées de billes.
Dans le cas considéré, l'angle de contact, α, le nombre d'éléments roulants (billes), Z, et le diamètre de
la bille, D , dépendent de la conception du roulement. Par ailleurs, le rapport des rayons de courbure, r
w i
et r , au demi-diamètre de l'élément roulant (bille), D /2 et λ = D cos α/D , sont des grandeurs sans
e w w pw
dimension. Il est donc commode, dans la pratique, de remplacer les premiers termes du membre de
droite de la Formule (10) par un facteur f :
c
(1ch−− )/()ch−+22(3ch−− ec+−2)/( hc++) (2 h−5/)/(ch−+2)
Cf= ( iZcos α ) D (11)
rc w
Dans le cas de roulements radiaux à billes, il faut considérer les défauts pouvant résulter de la fabrication
et introduire un facteur de réduction, λ, qui réduit la valeur théorique de la charge radiale dynamique
de base du roulement; il est pratique également d'inclure le facteur λ dans le facteur f , la valeur de ce
c
facteur λ étant déterminée expérimentalement:
04, 1
(1,591ch+−,415,82)/(ch−+2)
2r
 
13, ()1−γ
i
3//(ch−+2)
fA=04, 1 λ  γ ×
 
c 1
()22ch+− /(ch−+23)/ec()−+h 2 32ec/( −+h )
2rD−
40,5 (1+γ )
 iw 
−−3/(c hh+2)
()ch−+2 /3
 04, 1 
(1,59c+11,41he+−325,82)/(ch−+ )
 
r 2rD−
  
1−γ
   
 i ew 
11+ ,04 (12)
    
 
 
r 2rD− 1+γ
 
  e  iw  
 
 
 
À la suite des premiers travaux expérimentaux de Lundberg et Palmgren sur les roulements à billes
(voir Références [5] et [6]), les valeurs suivantes ont été attribuées aux constantes expérimentales des
formules de calcul de charge pour les roulements à billes:
e=
c=
h=
Si l'on remplace ces termes par leur valeur numérique dans la Formule (11), on obtient ce qui suit.
Toutefois, les résultats d'essai disponibles concernent essentiellement les petites billes, c'est-à-dire
jusqu'à un diamètre de 25,4 mm (1 in), et les résultats montrent que la charge de base peut dans ce cas
1,8
être prise comme proportionnelle à D . Dans le cas de billes plus grosses, la charge de base semble
w
1,4
augmenter bien plus lentement avec le diamètre de bille et on peut admettre la proportionnalité à D
w
lorsque D > 25,4 mm:
w
07,,2/3 18
Cf= (iZ cos )α D pour D ≤25,4mm (13)
w
rc w
0,72/3 1,4
Cf= 3,647 (iZ cos )α D pour D >25,4mm (14)
rc w w
04, 1
03,,139
2r
 
γγ()1−
i
fA= 0,,089 041 λ ×
 
c1
1//3
2rD−
(1+γ )
 
iw
(15)
−31/ 0
10/3
 04, 1 
17, 2
 
r 2rD−
  
  1−γ  
 i ew 
11+ ,04
    
 
 
r 2rD− 1+γ
 
  
 e iw 
 
 
 
Les valeurs de f de l'ISO 281:2007, Tableau 2, sont calculées d'après la Formule (15) où l'on a remplacé
c
les rayons de courbure et les facteurs de réduction par les valeurs données dans le Tableau 1.
La valeur de 0,089A pour calculer C en newtons est 98,066 5.
1 r
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6.3 Charge axiale dynamique de base, C , des butées à billes à une rangée
a
6.3.1 Butées à billes à angle de contact α ≠ 90°
De même qu'en 6.2, pour les butées à billes à angle de contact α ≠ 90:
(1ch−− )/(2ch−+ )(ch−−32ec+−)/(2hc++) (2 hhc−−5)/( h+2)
Cf= (cos )ααtan ZD (16)
ac w
Dans la plupart des cas, la valeur théorique de la charge axiale dynamique de base doit être réduite
pour tenir compte de la répartition non uniforme de la charge entre les éléments roulants, et ce en
sus du facteur de réduction, λ, déjà prévu pour les roulements radiaux à billes. Ce facteur de réduction
supplémentaire est ici désigné par η.
Le facteur f s'écrit en conséquence:
c
0,,41
(1,591ch+−,415,82)/(ch−+2)
2r
13,   ()1−γ
i
3/(ch−+22)
fA=λη γ ×
 
c 1
()22ch+− /(ch−+23)/ec()−+h 2 3/ec()−+h 2
2rD−
40 ,5 (1+γ )
 
iw
−−3/(ch+22)
()ch−+2 /3
 04, 1 
(1,591c+ ,41hhe +−325,82)/(ch−+ )
 
r 2rD−
  
1−γ
   
 i ew 
1+ (17)
   
 
 
r 2rD− 1+γ
 
   
e iw
 
 
 
10 31 7
En remplaçant dans les Formules (16) et (17) les constantes expérimentales e = , c = , et h =
9 3 3
par leurs valeurs et en tenant compte à nouveau de l'effet de la dimension des billes, on obtient:
07,,23/ 18
Cf= (cos )αα tan ZD pour D ≤25,4mm (18)
ac w w
07,/23 1,4
Cf=3,647 (cos )αα tan ZD pour D >25,4mm (19)
w
ac w
04, 1
03,,139
 2r 
γγ()1−
i
fA=0,089 λη ×
 
c1
1/3
2rD−
(1+γ )
 
i w
−31/ 0 (20)
10/3
 04, 1 
17, 2
 
rr  2rD− 
1−γ
   
 i ew 
1+
   
   
 
r 2rD− 1+γ
 
  
 e iw 
 
 
 
La valeur de 0,089A pour calculer C en newtons est de 98,066 5. Les valeurs de f dans l'ISO 281:2007,
1 a c
Tableau 4, données dans la colonne, pour α = 45°, 60° et 70° sont calculées d'après la Formule (20) où
l'on a remplacé les rayons de courbure et le facteur de réduction par leurs valeurs données dans le
Tableau 1.
6.3.2 Butées à billes à angle de contact α = 90°
De même qu'en 6.2, pour les butées à billes à angle de contact α ≠ 90°:
()ch−−32ec+−/( hc++22) ()hc−−52/( h+ )
Cf= ZD (21)
ac w
04, 11
 2r 
13,
i
3/()ch−+2
fA=λη γ ×
 
c 1
()22ch+− /(ch−+23)/ec()−+h 2
2rD−
40,5
 
iw
−−3/()ch+2 (22)
(cch−+2)/3
 04, 1 
 
r 2rD− 
 
 i ew 
1+
   
 
 
r 2rD−
  
 e iw 
 
 
 
où γ = D /D .
w pw
En remplaçant dans les Formules (21) et (22) les constantes expérimentales par leurs valeurs e = ,
31 7
c = , et h = et en considérant toujours l'effet de la dimension des billes, on obtient:
3 3
23/ 1,8
Cf= ZD pour D ≤25,4mm (23)
ac w w
2/3 1,4
Cf=3,647 ZD pour D >25,4mm (24)
w
ac w
−31/ 0
10/3
 
04, 1 04, 1
 
2r r 2rD− 
   
 
i  i ew 
03,
fA=0, 089 λη γ 1+ (25)
 
    
c1
 
2rD− r 2rD−
    
iw  e iw 
 
 
 
La valeur de 0,089A pour calculer C en newtons est de 98,066 5. Les valeurs de f de l'ISO 281:2007,
1 a c
Tableau 4, deuxième colonne, sont calculées d'après la Formule (25) où l'on a remplacé les rayons de
courbure et le facteur de réduction par leurs valeurs données dans le Tableau 1.
6.4 Charge axiale dynamique de base, C , des butées à billes à deux ou plusieurs
a
rangées
Selon la loi du produit des probabilités, la relation entre la charge axiale de base d'une butée à billes
complète et celle des rondelles respectivement tournante et fixe, s'établit comme suit:
−−32/(ch+ )
−−()ch+−23/ ()ch−+23/
 
CC=+C (26)
ak
a1k a2k
 
dans laquelle
CQ= sin α Z

aC11kk 

CQ= sin α Z


aC22kk
−−32/(ch+ )
−−()ch+−23/ ()ch−+23/
 
CC=+C (27)
a a1 a2
 
où
C est la charge axiale dynamique de base de la rangée k d'une butée à billes complète;
ak
C est la charge axiale dynamique de base de la rangée k de la rondelle tournante d'une butée à
a1k
billes complète;
C est la charge axiale dynamique de base de la rangée k de la rondelle fixe d'une butée à billes
a2k
complète;
10 © ISO 2021 – Tous droits réservés

C est la charge axiale dynamique de base de la butée à billes complète;
a
C est la charge axiale dynamique de base de la rondelle tournante de la butée à billes complète;
a1
C est la charge axiale dynamique de base de la rondelle fixe de la butée à billes complète.
a2
En introduisant dans la Formule (27), la Formule (26), et en supposant que la charge sur une seule
rangée est proportionnelle au nombre de billes dans chaque rangée, on obtient:
−−3/(c hh+2)
−−()ch+23/
 n 
 
n
Z
 
∑
j
 
j=1
CC= 
aa∑ k 
Z
 
k
 
k=1
   
 
−−32/(ch+ )
()ch−+23/
n n
 
Z
 
k
 
= Z (28)
 
∑∑
j
C
 
 
ak
j==11k
 
où
Z (Z ) est le nombre de billes par rangées k ( j).
k j
31 7
puis en remplaçant les constantes expérimentales par leurs valeurs c = et h = on obtient:
3 3
−31/ 0
10/3 10/3 10/3103/
 
Z Z Z Z
       
1 2 3 n
 
CZ=+ZZ++⋅⋅⋅+Z + + +⋅⋅⋅+ (29)
()
       
a1 23 n
C C C C
 
 a1   a2   a3   an 
 
Les charges de base C , C , C , ., C des rangées avec Z , Z , Z , ., Z billes se calculent à l'aide de la
a1 a2 a3 an 1 2 3 n
formule correspondante pour les butées à une seule rangée de billes, donnée en 6.3.
6.5 Charge radiale dynamique de base, C , des roulements radiaux à rouleaux
r
On obtient la charge radiale dynamique de base des roulements radiaux à rouleaux (à contact linéaire)
par une procédure similaire à celle de la Formule (10) pour un contact ponctuel (voir 6.2), mais à l'aide
des Formules (4) et (5).
()ch+−3 /(c−−+h 1)
1 ()1−γ
21/(ch−+ )
CB=0,377  γ ×
r 1
()ch+−11/(ch−+ )/21ec()−+h 21ec/( −+h )
20 ,5 ()1+γ
−−21/(ch+ )
(1ch−+ )/2
 
()ch++23ec−−/( h+1)
 
  1−γ   ()ch−−11/(ch−+ )
11+ , 04  ()iL cos α ×
 
  we
1+γ
 
 
 
 
 
()ch−−21ec+−/( hc++13) ( hc−−)/()h+1
ZD (30)
we
où
B est une constante de proportionnalité déterminée expérimentalement;
D est le diamètre moyen du rouleau;
we
γ est D cos α /D ;
we pw
où
D est le diamètre primitif;
pw
α est l'angle nominal de contact;
L est la longueur effective de contact du rouleau;
we
i est le nombre de rangées de rouleaux;
Z est le nombre de rouleaux par rangée.
L'angle de contact, α, le nombre de rouleaux, Z, le diamètre moyen du rouleau, D , et la longueur
we
effective de contact, L , dépendent de la conception du roulement. Par ailleurs, γ = D cos α /D est
we we pw
une grandeur sans dimension. Il est donc commode, dans la pratique, de remplacer les premiers termes
jusqu’à “i L …” du membre de droite de la Formule (30) par un facteur f .
we c
Par conséquent,
()ch−−11/(ch−+ )(ch−−21ec+−)/()h+1 (ch+−31)/(ch−+ )
Cf= (ciL osα) ZD (31)
rc we we
Dans la pratique, certains ajustements à la charge radiale dynamique de base des roulements sont
effectués pour tenir compte de la concentration des contraintes (par exemple charge de bord) et pour
utiliser un exposant constant et non pas variable dans la formule de durée (voir Article 8). L'ajustement
de la concentration des contraintes s'effectue à l'aide du facteur de réduction, λ, et celui de la variation
de l'exposant à l'aide d'un facteur ν. Il est commode de rassembler ces deux facteurs, qui sont déterminés
expérimentalement, au sein du facteur f , qui devient en conséquence:
c
(ch+−331)/()ch−+
1 ()1−γ
21/(ch−+ )
fB=0,377 λν  γ ×
c 1
()ch+−11/(ch−+ ) 21ec/( −+h ) 21ec/( −+h )
2 0,5 ()1+γ
−−21/(ch+ )
()ch−+1 /2
 ()ch++23ec−−/( h+1) 
 
1−γ
   
11+ , 04 (32)
 
 
 
1+γ
 
 
 
 
 
La pente de la courbe Weibull, e, et les constantes, c et h, se déterminent par voie expérimentale.
Basé sur les Références [5] et [6] et sur des vérifications ultérieures effectuées sur des roulements à
rouleaux sphériques, cylindriques ou coniques, les valeurs suivantes ont été attribuées aux constantes
expérimentales des formules pour les rouleaux:
e =
c =
h =
9 31 7
Si l'on remplace ces constantes par leurs valeurs e = , c = , et h = dans les Formules (31) et
8 3 3
(32),
7/9/34 /29 27
Cf= (ciL osα) ZD (33)
rc we we
12 © ISO 2021 – Tous droits réservés

−29/
92/
143/108
 
29/ 29/27
 
γγ()1− 1−γ 
 
fB= 0,,483 0 377 λν  ,11+ 04  (34)
 
c 1  
1/4
(1+γ ) 1+γ
 
 
 
 
 
La valeur de 0,483B pour calculer C en newtons est de 551,133 73. Les valeurs de f données dans
1 r c
l'ISO 281:2007, Tableau 7, sont calculées à l'aide de la Formule (34) où le facteur de réduction est
remplacé par sa valeur donnée dans le Tableau 2.
6.6 Charge axiale dynamique de base, C , des butées à rouleaux à une rangée
a
6.6.1 Butées à rouleaux à angle de contact α ≠ 90°
Par extension de 6.2 on a:
()ch−−11/(ch−+ )(ch−−21ec+−)/()h+1 ()ch+−31/(ch−+ )
Cf= (cLZ osαα)t an D (35)
ac we wwe
Pour les butées à rouleaux, une réduction de la valeur théorique de la charge axiale dynamique de
base est nécessaire pour tenir compte de la répartition non uniforme de la charge entre les éléments
roulants, et ce en sus du facteur de réduction, λ, déjà prévu pour les roulements radiaux à billes. Ce
facteur de réduction est désigné par η.
Le facteur f s'exprime donc comme suit:
c
()ch+−3 /(c−hh+1)
1 ()1−γ
21/(ch−+ )
fB=λν  η γ ×
c 1
()ch+−11/(ch−+ )/21ec()−+h 21ec/( −+h )
20,5 ()1+γ
−−21/(ch+ ) (36)
()ch−+1 /2
 
()ch++23e− /(cch−+1)
 
 1−γ 
 
1+ 
 
 
1+γ
 
 
 
 
 
9 31 7
Si l'on remplace dans la formule les constantes expérimentales par leurs valeurs e= , c= , et h= ,
8 3 3
7/9/34 29/27
Cf= (cLZ osαα)t an D (37)
ac we we
−29/
92/
 143/1008 
29/ 29/27
 
γγ()1− 1−γ
   
fB=0,483 λν  η 1+ (38)
 
 
c 1  
1/4
1+γ
()1+γ  
 
 
 
 
La valeur de 0,483B pour calculer C en newtons est de 551,133 73. Les valeurs de f données dans
1 a c
l'ISO 281:2007, Tableau 10, données dans les colonnes pour α = 50°, 65° et 80°, sont calculées à l'aide de
la Formule (38) où le facteur de réduction est remplacé par sa valeur donnée dans le Tableau 2.
6.6.2 Butées à rouleaux à angle de contact α = 90°
Par extension de 6.2, on a:
()ch−−11/(ch−+ )(ch−−21ec+−)/()hc++13()hc−−/( h+11)
Cf= LZ D (39)
ac we we
21/(ch−+ )/−−2 (c hh+1)
fB=λν  ηγ 2 (40)
c 1
()ch+−11/(ch−+ )/21ec()−+h
20,5
9 31 7
Si l'on remplace dans la formule les constantes expérimentales par leurs valeurs e= , c= , et h=
8 3 3
7/93/4 29/27
Cf= LZ D (41)
awc e we
2/9
fB= 04, 1 λν  ηγ (42)
c 1
La valeur de 0,41B pour calculer C en newtons est de 472,453 88. Les valeurs de f données dans
1 a c
l'ISO 281:2007, Tableau 10, deuxième colonne à partir de la gauche, sont calculées à l'aide de la
Formule (42) où le facteur de réduction est remplacé par sa valeur donnée dans le Tableau 2.
6.7 Charge axiale dynamique de base, C , des butées à deux ou plusieurs rangées
a
de rouleaux
Suivant la loi du produit des probabilités, le rapport entre la charge axiale dynamique de base d'une
butée à rouleaux complète et celle des rondelles respectivement tournante et fixe s'exprime comme
suit:
−−21/(ch+ )
−−()ch+−12/ ()ch−+12/
 
CC=+C (43)
ak a1k a2k
 
dans laquelle
CQ = sin α ZL

aC11kk wek

CQ = sin α ZL


aC22kk wek
−−21/(ch+ )
−−()ch+−12/ ()ch−+12/
 
CC=+C (44)
a
a1 a2
 
où
C est la charge axiale dynamique de base de la rangée k d'une butée à rouleaux complète;
ak
C est la charge axiale dynamique de base de la rangée k de la rondelle tournante d'une butée à
a1k
rouleaux complète;
C est la charge axiale dynamique de base de la rangée k de la rondelle fixe d'une butée à rouleaux
a2k
complète;
C est la charge axiale dynamique de base de la butée à rouleaux complète;
a
C est la charge axiale dynamique de base de la rondelle tournante de la butée à rouleaux complète;
a1
C est la charge axiale dynamique de base de la rondelle fixe de la butée à billes complète;
a2
Z est le nombre de rouleaux de la rangée k.
k
En introduisant la Formule (43) dans la Formule (44), et en supposant que la charge sur une seule
rangée est proportionnelle au produit de la longueur des rouleaux et du nombre de rouleaux dans
chaque rangée, on obtient:
−−2/()ch+1
−−()ch+1
 
n
 
 n 
ZL
()
∑ jjwe
 j=1 
 
CC=
 
aa∑ k
 
ZL
kkwe
k=1 
 
 
(45)
 
 
−−2/()ch+1
()ch−+12/2
n n
 
 ZL 
kkwe
 
= ZL
()  
∑∑jjwe
C
 
 
ak
j==11k
 
où
14 © ISO 2021 – Tous droits réservés

Z (Z ) est le nombre de rouleaux par rangée k ( j);
k j
LL
...

Rapport
technique
ISO/TR 1281-1
Deuxième édition
Roulements — Notes explicatives
2021-05
sur l'ISO 281 —
Version corrigée
Partie 1:
2024-08
Charges dynamiques de base et
durée nominale de base
Rolling bearings — Explanatory notes on ISO 281 —
Part 1: Basic dynamic load rating and basic rating life
Numéro de référence
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CH-1214 Vernier, Genève
Tél.: +41 22 749 01 11
E-mail: copyright@iso.org
Web: www.iso.org
Publié en Suisse
ii
Sommaire Page
Avant-propos .iv
Introduction .v
1 Domaine d'application . 1
2 Références normatives . 1
3 Termes et définitions . 1
4 Symboles . 1
5 Généralités . 4
6 Charge dynamique de base . 4
6.1 Généralités .4
6.2 Charge radiale dynamique de base, C , des roulements radiaux à billes .5
r
6.3 Charge axiale dynamique de base, C , des butées à billes à une rangée .8
a
6.3.1 Butées à billes à angle de contact α ≠ 90° .8
6.3.2 Butées à billes à angle de contact α = 90° .9
6.4 Charge axiale dynamique de base, C , des butées à billes à deux ou plusieurs rangées .10
a
6.5 Charge radiale dynamique de base, C , des roulements radiaux à rouleaux .11
r
6.6 Charge axiale dynamique de base, C , des butées à rouleaux à une rangée . 12
a
6.6.1 Butées à rouleaux à angle de contact α ≠ 90° . 12
6.6.2 Butées à rouleaux à angle de contact α = 90° . 13
6.7 Charge axiale dynamique de base, C , des butées à deux ou plusieurs rangées
a
de rouleaux . 13
7 Charge dynamique équivalente .15
7.1 Expressions de la charge dynamique équivalente. 15
7.1.1 Charge radiale dynamique équivalente théorique, P , des roulements radiaux
r
à une rangée . 15
7.1.2 Charge radiale dynamique équivalente théorique, P , des roulements radiaux à
r
deux rangées .19
7.1.3 Charge radiale dynamique équivalente théorique, P , des roulements à billes,
r
à gorges, à contact radial . .21
7.1.4 Expressions pratiques de la charge radiale dynamique équivalente, P , des
r
roulements radiaux à angle de contact constant . 22
7.1.5 Expressions pratiques de la charge radiale dynamique équivalente, P , des
r
roulements radiaux à billes. 25
7.1.6 Expressions pratiques de la charge axiale dynamique équivalente, P , des butées . 26
a
7.2 Facteurs X, Y et e . 28
7.2.1 Roulements radiaux à billes . 28
7.2.2 Valeurs de X, Y et e pour chaque type de roulement (radial) à billes . 29
7.2.3 Tableau récapitulatif des facteurs X, Y et e pour les roulements radiaux à billes . 34
7.2.4 Valeurs calculées de Y et e et leur écart par rapport à celles de la norme . 36
7.2.5 Butées à billes . 36
7.2.6 Roulements radiaux à rouleaux .37
7.2.7 Butées à rouleaux . 38
8 Durée nominale . .38
Bibliographie . 41

iii
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux
de normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général
confiée aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire
partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont
décrites dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier de prendre note des différents
critères d'approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document
a été rédigé conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2
(voir www.iso.org/directives).
L'attention est attirée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l'objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable
de ne pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence. Les détails concernant les
références aux droits de propriété intellectuelle ou autres droits analogues identifiés lors de l'élaboration du
document sont indiqués dans l'Introduction et/ou dans la liste des déclarations de brevets reçues par l'ISO
(voir www.iso.org/brevets).
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données pour
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Pour une explication de la nature volontaire des normes, la signification des termes et expressions
spécifiques de l'ISO liés à l'évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l'adhésion de
l'ISO aux principes de l’Organisation mondiale du commerce (OMC) concernant les obstacles techniques au
commerce (OTC), voir le lien suivant: www.iso.org/iso/fr/avant-propos.html.
Le présent document a été élaboré par le comité technique ISO/TC 4, Roulements, sous-comité SC 8, Charges
de base et durée.
Cette deuxième édition annule et remplace le rectificatif technique 1 (ISO/TR 1281-1:2008/Cor 1:2009) et la
première édition (ISO/TR 1281-1:2008), qui a fait l’objet d’une révision technique.
Les principales modifications par rapport à l’édition précédente sont les suivantes:
— supression de l’ancien Article 7 «Facteur de réduction de la durée en fonction de la fiabilité»
de l’ISO/TR 1281-1:2008, ce sujet étant couvert dans l’ISO/TR 1281-2 (voir ISO/TR 1281-1:2008/
Cor 1:2009).
— correction de la manière dont ont été définies les anciennes Formules (29) et (46) [Formules (28) et (45)
dans cette édition].
— correction des erreurs de saisie dans les Formules (30) et (31) et de la manière dont a été défini le facteur Y .
Une liste de toutes les parties de l’ISO/TR 1281-1 se trouve sur le site Web de l’ISO.
Il convient que l'utilisateur adresse tout retour d'information ou toute question concernant le présent
document à l'organisme national de normalisation de son pays. Une liste exhaustive desdits organismes se
trouve à l'adresse www.iso.org/fr/members.html.
La présente version corrigée de l'ISO/TR 1281-1:2021 inclut la correction suivante: la Formule (52) a été
corrigée.
iv
Introduction
ISO/R281:1962
Une première discussion de niveau international portant sur la normalisation des méthodes de calcul des
charges de base des roulements eut lieu en 1934 lors de la conférence de la Fédération Internationale des
Associations Nationales de Normalisation (ISA). Lorsque l'ISA tint sa dernière réunion en 1939, aucun
progrès n'était encore intervenu. Pourtant, dans son rapport de 1945 sur l'état de la normalisation dans
le domaine des roulements, le Secrétariat de l'ISA 4 incluait des propositions de définitions de concepts
fondamentaux pour les normes de calcul de charges de base et de durée. Les définitions qu'il contenait étant
en substance celles que reprend l'ISO 281:2007 sous les termes de «durée» et de «charge dynamique de base»
(cette dernière étant maintenant séparée en «charge dynamique radiale de base» et «charge dynamique
axiale de base»).
Les discussions sur les normes de calcul de durée et de charges de base reprirent en 1946 entre les
spécialistes américains et suédois à l'initiative de l'AFBMA — Anti-Friction Bearing Manufacturers
Association (New York). Une norme AFBMA, publiée en 1949, intitulée «Method of evaluating load ratings of
[3]
annular ball bearings» fut élaborée sur la base principalement des résultats figurant dans la Référence [5].
Partant de la même source, le Comité membre suédois soumit en février 1950 une première proposition à
l'ISO intitulée «Charges de base des roulements à billes».
Compte tenu des recherches nouvelles, de la révision de la norme AFBMA en 1950 et également de l'intérêt
pour les normes de calcul des roulements à rouleaux, le Comité membre Suédois présenta, en 1951, une
proposition modifiée de calcul des roulements à billes, puis une proposition de calcul des roulements à
rouleaux.
Ces méthodes de calcul furent étudiées. La Référence [6] eut alors un retentissement considérable sur
l'élaboration des chapitres relatifs au calcul des roulements à rouleaux.
ISO 281-1:1977
En 1964, au vu de l'amélioration des aciers pour roulements, il était temps de réviser l'ISO/R281 et de
soumettre une proposition.
En 1969, cependant, le TC 4 suivit la suggestion du Comité membre Japonais de reconstituer le GT 3 et de lui
donner pour tâche de réviser l'ISO/R281. Le groupe AFBMA de calcul des charges de base avait également à
l'époque repris les travaux pour réviser la norme.
La majeure partie de l’ISO 281-1:1977 constitue une réédition de l’ISO/R281 dont le fond n'est que très peu
modifié. Un nouvel article a cependant été ajouté, résultat de recherches américaines des années 1960 et
qui traite de la correction à apporter à la durée si la fiabilité est supérieure à 90 % ou pour tenir compte des
matériaux et des conditions de fonctionnement.
Des informations complémentaires relatives à la manière dont sont déterminés les expressions et facteurs
de l'ISO 281-1:1977 ont été publiées sous la référence ISO/TR 8646:1985.
ISO 281:1990
La «première édition» de l’ISO 281:1990 a été publiée et intitulée «Charges dynamiques de base et durée
nominale». Il y est fait référence en tant que «révision technique» de l’ISO 281-1:1977. Le nouveau facteur
de notation b pour «facteur de calcul pour un matériau et une fabrication modernes et habituels. Sa
m
valeur dépend du type et de la conception du roulement» a été l’introduction d’une co-valeur des charges
dynamiques de base.
ISO 281:2007 (deuxième édition)
Depuis la publication de l’ISO 281:1990, des connaissances supplémentaires concernant l’influence de
la contamination, de la lubrification, des contraintes internes dues au montage et contraintes dues au
durcissement, et de la limite de charge de fatigue du matériau sur la vie des roulements, ont été acquises.
Dans l’ISO 281:1990/Amd 2:2000, une méthode générale a été présentée pour tenir compte de ces influences
dans le calcul de la durée de vie nominale modifiée d'un roulement. Le dit amendement a été incorporé à

v
la deuxième édition, qui fournit également une méthode pratique pour prendre en compte l'influence des
conditions de lubrification, du lubrifiant contaminé et de la charge de fatigue du matériau du roulement sur
la vie du roulement. Les facteurs de modification de la durée de vie pour la fiabilité, a , ont été légèrement
ajustés et étendus à une fiabilité de 99,95 %.

vi
Rapport technique ISO/TR 1281-1:2021(fr)
Roulements — Notes explicatives sur l'ISO 281 —
Partie 1:
Charges dynamiques de base et durée nominale de base
1 Domaine d'application
Le présent document spécifie des informations de base supplémentaires sur la manière dont ont été définies
les expressions mathématiques et les facteurs donnés dans l'ISO 281:2007.
2 Références normatives
Les documents suivants sont cités dans le texte de sorte qu'ils constituent, pour tout ou partie de leur
contenu, des exigences du présent document. Pour les références datées, seule l'édition citée s'applique. Pour
les références non datées, la dernière édition du document de référence s'applique (y compris les éventuels
amendements).
ISO 281:2007, Roulements — Charges dynamiques de base et durée nominale
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et définitions donnés dans l'ISO 281:2007 ainsi que les
suivants s'appliquent.
L'ISO et l'IEC tiennent à jour des bases de données terminologiques destinées à être utilisées en normalisation,
consultables aux adresses suivantes:
— ISO Online browsing platform: disponible à l'adresse https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: disponible à l'adresse https:// www .electropedia .org/
4 Symboles
A constante de proportionnalité
A constante de proportionnalité déterminée expérimentalement
B constante de proportionnalité déterminée expérimentalement
C charge radiale dynamique de base d'une bague tournante
C charge radiale dynamique de base d'une bague fixe
C charge axiale dynamique de base d'une butée à bille ou à rouleaux
a
C charge axiale dynamique de base de la rondelle tournante d'une butée à billes ou à rouleaux
a1
C charge axiale dynamique de base de la rondelle fixe d'une butée à billes ou à rouleaux
a2
C charge axiale dynamique de base de la rangée k d'une butée à billes ou à rouleaux
ak
C charge axiale dynamique de base de la rangée k de la rondelle tournante d'une butée à billes ou à
a1k
rouleaux
C charge axiale dynamique de base de la rangée k de la rondelle fixe d'une butée à billes ou à rouleaux
a2k
C charge dynamique de base d'une bague extérieure
e
C charge dynamique de base d'une bague intérieure
i
C charge radiale dynamique de base d'un roulement radial à billes ou à rouleaux
r
D diamètre primitif
pw
D diamètre de bille
w
D diamètre moyen de rouleau
we
E module d'élasticité modifié
o
F charge axiale
a
F charge radiale
r
J facteur rapportant à Q la charge moyenne équivalente sur une bague tournante (par rapport à la
1 max
charge appliquée)
J facteur rapportant à Q la charge moyenne équivalente sur une bague fixe (par rapport à la charge
2 max
appliquée)
J intégrale de charge axiale
a
J intégrale de charge radiale
r
L durée du roulement
L durée nominale
L longueur effective de contact du rouleau
we
L L pour la rangée k
wek we
N nombre d'application pour la contrainte en un point du chemin de roulement
P charge axiale dynamique équivalente d'une butée
a
P charge radiale dynamique équivalente d'un roulement radial
r
P charge radiale dynamique équivalente de la bague tournante
r1
P charge radiale dynamique équivalente de la bague fixe
r2
Q force normale entre un élément roulant et les chemins de roulement
Q charge sur l'élément roulant correspondant à la charge dynamique de base du roulement
C
Q charge sur l'élément roulant correspondant à la charge dynamique de base d'une bague tournante
C1
par rapport à la charge appliquée
Q charge sur l'élément roulant correspondant à la charge dynamique de base d'une bague fixe par rap-
C2
port à la charge appliquée
Q charge maximale sur l'élément roulant
max
S probabilité de survie, fiabilité
V volume représentatif de la concentration des contraintes
V facteur de rotation
f
X facteur de charge radiale pour roulement radial
X facteur de charge radiale pour butée
a
Y facteur de charge axiale pour roulement radial
Y facteur de charge axiale pour butée
a
Z nombre de billes ou de rouleaux par rangée
Z nombre de billes ou de rouleaux par rangée k
k
a demi grand axe de l'ellipse de contact projetée
a facteur de réduction de la durée en fonction de la fiabilité
b demi petit axe de l'ellipse de contact projetée
c exposant déterminé expérimentalement
c constante de compression
c
e mesure de dispersion de durée, c'est-à-dire pente de la courbe de Weibull, déterminée expérimentale-
ment
e valeur limite de F / F pour l'applicabilité de différentes valeurs des facteurs X et Y dans la nouvelle
a r
édition
f facteur qui dépend de la géométrie des éléments du roulement, de leur précision d'exécution et des
c
matériaux
h exposant déterminé expérimentalement
i nombre de rangées de billes ou de rouleaux
l circonférence du chemin du roulement
r rayon de courbure transversal d'un chemin de roulement
r rayon de courbure transversal d'un chemin de roulement de bague extérieure ou de rondelle-loge-
e
ment
r rayon de courbure transversal d'un chemin de roulement de bague intérieure ou de rondelle-arbre
i
t paramètre auxiliaire
z profondeur de la contrainte maximale de cisaillement orthogonale sous la surface
o
α angle nominal de contact
α ′ angle réel de contact
γ D cos α/D pour roulements à billes avec α ≠ 90°
w pw
D /D pour roulements à billes avec α = 90°
w pw
D cos α/D pour roulements à billes avec α ≠ 90°
we pw
D /D pour roulements à billes avec α = 90°
we pw
ε paramètre caractéristique de la grandeur de la zone chargée dans le roulement
η facteur de réduction
λ facteur de réduction
µ facteur introduit par Hertz
ν facteur introduit par Hertz, ou facteur de réduction de la variation de l'exposant
σ contrainte maximale de contact
max
Σρ somme des courbures
τ contrainte maximale de cisaillement orthogonale sous la surface
o
ϕ moitié de l'arc chargé
o
5 Généralités
La manière dont sont définies les charges dynamiques de base est décrite dans les Formules (1) à (46). La
charge dynamique équivalente et les facteurs de charge radiale et axiale sont traités dans les Formules (47)
à (82), tandis que la durée de vie nominale de base est décrite dans les Formules (83) à (89).
6 Charge dynamique de base
6.1 Généralités
Les calculs de charges dynamiques de base de l'ISO 281 sur les roulements sont fondés sur les
Références [5] et [6].
Les formules de calcul des charges dynamiques de base des roulements dérivent de la relation suivante:
ce
τ NV
o
ln ∝ (1)
h
S
z
o
où
S est la probabilité de survie;
τ est la composante orthogonale de la contrainte maximale de cisaillement sous la surface;
o
N est le nombre d'applications de la contrainte en un point donné du chemin de roulement;
V est le volume représentatif de la concentration des contraintes;
z est la profondeur de la composante orthogonale de la contrainte maximale de cisaillement sous
o
la surface;
c, h sont des exposants déterminés expérimentalement;
e est la mesure de la dispersion de la durée, c'est-à-dire la pente de la courbe de Weibull,
déterminée expérimentalement.
Dans les conditions de contact «ponctuel» (roulements à billes), on prend comme hypothèse que le volume,
V, représentatif de la concentration des contraintes dans la Formule (1) est proportionnel au grand axe de
l'ellipse de contact projetée, 2a, à la circonférence du chemin de roulement, l, et à la profondeur, z , de la
o
composante orthogonale de la contrainte maximale de cisaillement sous la surface, τ .
o
Va ∝ 2 zl (2)
o
D'où, si l'on introduit Formule (2) dans la Formule (1):
ce
τ Nal
o
ln ∝ (3)
h−1
S
z
o
Dans les Références [5] et [6], il a été considéré qu'on pouvait admettre un contact «linéaire» lorsque le
grand axe de l'ellipse de contact calculée (ellipse de Hertz) était de 1,5 fois la longueur effective de contact
du rouleau:
21aL = ,5 (4)
we
Il convient, en outre, que b/a soit suffisamment petit pour permettre d'introduire la valeur-limite de ab
pour b/a tendant vers 0:
23Q
ab = (5)
π E ∑ρ
o
(pour les notations, se reporter à 6.2).
6.2 Charge radiale dynamique de base, C , des roulements radiaux à billes
r
D'après la théorie de Hertz, la composante orthogonale de la contrainte maximale de cisaillement sous
la surface, τ , et sa profondeur, z , peuvent se rattacher à une charge radiale, F , c'est-à-dire une charge
o o r
maximale sur l'élément roulant, Q , ou une contrainte maximale de contact, σ , et aux dimensions de
max max
la zone de contact entre un élément roulant et les chemins de roulement. Les relations correspondantes
s'expriment comme suit:
τσ = T
omax
zb = ζ
o
1/2
( 21t − )
T=
21 tt( + )
ζ =
1/2
( tt+− )11 (2  )
1/3
 
3Q
a = μ
 
E ∑ρ
 
o
1/3
 
3Q
bv =
 
E ∑ρ
 o 
où
σ est la contrainte maximale de contact;
max
t est le paramètre auxiliaire;
a est le demi grand axe de l'ellipse de contact projetée;
b est le demi petit axe de l'ellipse de contact projetée;
Q est la force normale entre l'élément roulant et les chemins de roulement;
E est le module d'élasticité;
o
Σρ est la somme des courbures;
µ, v sont des facteurs introduits par Hertz.
En conséquence, pour un roulement donné, τ , a, l et z peuvent s'exprimer en fonction de la géométrie
o o
du roulement, de la charge et du nombre de tours. La Formule (3) devient une formule si l'on y introduit
une constante de proportionnalité. En supposant un nombre déterminé de tours (par exemple 10 ) et une
fiabilité également déterminée (par exemple 0,9), la formule peut être résolue pour une charge sur l'élément
roulant correspondant à la charge dynamique de base sur le roulement. Pour un contact ponctuel et en
désignant par A la constante de proportionnalité, cette charge s'exprime par:
04, 1
3/(ch− ++2)
(1,591ch+−,415,82)/(ch−+2)
13,  2r  (1γγ ) γ
(2ch+−52)/()ch−+ −−3/ec()h+2
QA= × DZ
  ()
C 1 w
()22ch+− /(ch−+2) 32ec/()−+h 3e/(ch−+2)
2rD− cosα
40,5 (1±γ )
 
w
(6)
où
Q est la charge sur l'élément roulant correspondant à la charge dynamique de base du
C
roulement;
D est le diamètre de bille;
w
γ est D cos α/D
w pw
où
D est le diamètre primitif,
pw
α est l'angle nominal de contact;
Z est le nombre de billes par rangée.
La charge radiale dynamique de base, C , d'une bague tournante s'obtient comme suit:
J
r
CQ== Z cos αα 0,407 QZ cos (7)
11C C1
J
La charge radiale dynamique de base, C , d'une bague fixe s'obtient comme suit:
J
r
CQ== Z cosc αα0,389 QZ os (8)
22C C 2
J
où
Q est la charge sur l'élément roulant correspondant à la charge dynamique de base d'une
C1
bague tournante par rapport à la charge appliquée;
Q est la charge sur l'élément roulant correspondant à la charge dynamique de base d'une
C2
bague fixe par rapport à la charge appliquée;
J = J (0,5) est l'intégrale de la charge radiale (voir Tableau 3);
r r
J = J (0,5) est le facteur rapportant à Q la charge moyenne équivalente sur une bague tournante
1 1 max
par rapport à la charge appliquée (voir Tableau 3);
J = J (0,5) est le facteur rapportant à Q la charge moyenne équivalente sur une bague fixe par
2 2 max
rapport à la charge appliquée (voir Tableau 3).
La relation entre C , pour un roulement radial à billes complet, et C et C s'exprime selon la loi du produit des
r 1 2
probabilités:
−−3/(2ch+ )
(2ch−+ )/3
 
C
 
 
CC=+1 (9)
 
r 1
C
 
 
 
Si l'on remplace les termes de la Formule (9) par leurs valeurs données dans les Formules (6), (7) et (8), la
charge radiale dynamique de base, C , d'un roulement à billes complet s'exprime de la façon suivante:
r
004, 1
(1,59 ch+− 1,41 5,82)/(ch−+2)
2r
 
13, ()1−γ
i
3/(()ch−+2
CA=04, 1 γ ×
 
r 1
()22ch+− /(ch−+23)/ec()−+h 2 3/ec()−+h 2
2rD−
40 ,5 (1+γ )
 
iw
−33/()ch−+2
()ch−+2 /3
 04, 1 
(1,59 c +++ 1,41 he 32−−5,82)/(ch+ )
 
r 2rD−
  
 1−γ 
 
 i ew 
11+ ,04 ×
    
 
 
r 2rD− 1+γ
 
 
  e iw  
 
 
 
()ch−−12/(ch−+ )(ch−−32ec+−)/()hc++22()hc−−5 /( hh+2)
( iZcos α ) D (10)
w
où
A est la constante de proportionnalité déterminée expérimentalement;
r est le rayon de courbure du chemin de roulement de la bague inférieure (en section transversale);
i
r est le rayon de courbure du chemin de roulement de la bague extérieure (en section transversale);
e
i est le nombre de rangées de billes.
Dans le cas considéré, l'angle de contact, α, le nombre d'éléments roulants (billes), Z, et le diamètre de la bille,
D , dépendent de la conception du roulement. Par ailleurs, le rapport des rayons de courbure, r et r , au demi-
w i e
diamètre de l'élément roulant (bille), D /2 et λ = D cos α/D , sont des grandeurs sans dimension. Il est
w w pw
donc commode, dans la pratique, de remplacer les premiers termes du membre de droite de la Formule (10)
par un facteur f :
c
(1ch−− )/()ch−+22(3ch−− ec+−2)/( hc++) (2 h−5/)/(ch−+2)
Cf= ( iZcos α ) D (11)
rc w
Dans le cas de roulements radiaux à billes, il faut considérer les défauts pouvant résulter de la fabrication et
introduire un facteur de réduction, λ, qui réduit la valeur théorique de la charge radiale dynamique de base
du roulement; il est pratique également d'inclure le facteur λ dans le facteur f , la valeur de ce facteur λ étant
c
déterminée expérimentalement:
04, 1
(1,591ch+−,415,82)/(ch−+2)
2r
 
13, ()1−γ
i
3//(ch−+2)
fA=04, 1 λ  γ ×
 
c 1
()22ch+− /(ch−+23)/ec()−+h 2 32ec/( −+h )
2rD−
40,5 (1+γ )
 
iw
−−3/(c hh+2)
()ch−+2 /3
 04, 1 
(1,59c+11,41he+−325,82)/(ch−+ )
 
r 2rD−
  
 1−γ 
 
 i ew 
11+ ,04 (12)
    
 
 
r 2rD− 1+γ
 
 
  e iw  
 
 
 
À la suite des premiers travaux expérimentaux de Lundberg et Palmgren sur les roulements à billes (voir
Références [5] et [6]), les valeurs suivantes ont été attribuées aux constantes expérimentales des formules
de calcul de charge pour les roulements à billes:
e=
c=
h=
Si l'on remplace ces termes par leur valeur numérique dans la Formule (11), on obtient ce qui suit. Toutefois,
les résultats d'essai disponibles concernent essentiellement les petites billes, c'est-à-dire jusqu'à un diamètre
de 25,4 mm (1 in), et les résultats montrent que la charge de base peut dans ce cas être prise comme
1,8
proportionnelle à D . Dans le cas de billes plus grosses, la charge de base semble augmenter bien plus
w
1,4
lentement avec le diamètre de bille et on peut admettre la proportionnalité à D lorsque D > 25,4 mm:
w
w
07,,2/3 18
Cf= (iZ cos )α D pour D ≤25,4mm (13)
w
rc w
0,72/3 1,4
Cf= 3,647 (iZ cos )α D pour D >25,4mm (14)
w
rc w
04, 1
03,,139
 2r 
γγ()1−
i
fA= 0,,089 041 λ ×
 
c1
1//3
2rD−
(1+γ )
 
iw
−31/ 0 (15)
10/3
 
04, 1
17, 2
 
r 2rD− 
  1−γ
   
 i ew 
11+ ,04
   
  

 
r 2rD− 1+γ
 
  
 e iw 
 
 
 
Les valeurs de f de l'ISO 281:2007, Tableau 2, sont calculées d'après la Formule (15) où l'on a remplacé les
c
rayons de courbure et les facteurs de réduction par les valeurs données dans le Tableau 1.
La valeur de 0,089A pour calculer C en newtons est 98,066 5.
1 r
6.3 Charge axiale dynamique de base, C , des butées à billes à une rangée
a
6.3.1 Butées à billes à angle de contact α ≠ 90°
De même qu'en 6.2, pour les butées à billes à angle de contact α ≠ 90:
(1ch−− )/(2ch−+ )(ch−−32ec+−)/(2hc++) (2 hhc−−5)/( h+2)
Cf= (cos )ααtan ZD (16)
ac w
Dans la plupart des cas, la valeur théorique de la charge axiale dynamique de base doit être réduite pour
tenir compte de la répartition non uniforme de la charge entre les éléments roulants, et ce en sus du facteur

de réduction, λ, déjà prévu pour les roulements radiaux à billes. Ce facteur de réduction supplémentaire est
ici désigné par η.
Le facteur f s'écrit en conséquence:
c
0,,41
(1,591ch+−,415,82)/(ch−+2)
 2r 
13, ()1−γ
i
3/(ch−+22)
fA=λη γ ×
 
c 1
()22ch+− /(ch−+23)/ec()−+h 2 3/ec()−+h 2
2rD−
40 ,5 (1+γ )
 
iw
−−3/(ch+22)
()ch−+2 /3
 
04, 1
(1,591c+ ,41hhe +−325,82)/(ch−+ )
 
r 2rD−
  
  1−γ  
 i ew 
1+ (17)
 
  
 
 
r 2rD− 1+γ
 
  
 e iw 
 
 
 
10 31 7
En remplaçant dans les Formules (16) et (17) les constantes expérimentales e = , c = , et h = par
9 3 3
leurs valeurs et en tenant compte à nouveau de l'effet de la dimension des billes, on obtient:
/
07,,23 18
Cf= (cos )αα tan ZD pour D ≤25,4mm (18)
w
ac w
07,/23 1,4
Cf=3,647 (cos )αα tan ZD pour D >25,4mm (19)
w
ac w
04, 1
03,,139
2r
 
γγ()1−
i
fA=0,089 λη ×
 
c1
1/3
2rD−
(1+γ )
 i w 
(20)
−31/ 0
10/3
 04, 1 
17, 2
 
rr 2rD−
  
1−γ
   
 i ew 
1+
   
 
 
r 2rD− 1+γ
 
   
e iw
 
 
 
La valeur de 0,089A pour calculer C en newtons est de 98,066 5. Les valeurs de f dans l'ISO 281:2007,
1 a c
Tableau 4, données dans la colonne, pour α = 45°, 60° et 70° sont calculées d'après la Formule (20) où l'on a
remplacé les rayons de courbure et le facteur de réduction par leurs valeurs données dans le Tableau 1.
6.3.2 Butées à billes à angle de contact α = 90°
De même qu'en 6.2, pour les butées à billes à angle de contact α ≠ 90°:
()ch−−32ec+−/( hc++22) ()hc−−52/( h+ )
Cf= ZD (21)
ac w
04, 11
2r
 
13,
i
3/()ch−+2
fA=λη γ ×
 
c 1
()22ch+− /(ch−+23)/ec()−+h 2
2rD−
40,5
 iw 
(22)
−−3/()ch+2
(cch−+2)/3
 04, 1 
 
r 2rD−
  
 
 i ew 
1+
   
 
r 2rD−
   
e iw
 
 
 
où γ = D /D .
w pw
En remplaçant dans les Formules (21) et (22) les constantes expérimentales par leurs valeurs e = ,
31 7
c = , et h = et en considérant toujours l'effet de la dimension des billes, on obtient:
3 3
23/ 1,8
Cf= ZD pour D ≤25,4mm (23)
w
ac w
2/3 1,4
Cf=3,647 ZD pour D >25,4mm (24)
w
ac w
−31/ 0
10/3
04, 1  04, 1 
 
2r r 2rD−
    
 
i  i ew 
03,
fA=0, 089 λη γ 1+ (25)
     
c1
 
2rD− r 2rD−
   
iw  e iw  
 
 
 
La valeur de 0,089A pour calculer C en newtons est de 98,066 5. Les valeurs de f de l'ISO 281:2007,
1 a c
Tableau 4, deuxième colonne, sont calculées d'après la Formule (25) où l'on a remplacé les rayons de courbure
et le facteur de réduction par leurs valeurs données dans le Tableau 1.
6.4 Charge axiale dynamique de base, C , des butées à billes à deux ou plusieurs rangées
a
Selon la loi du produit des probabilités, la relation entre la charge axiale de base d'une butée à billes complète
et celle des rondelles respectivement tournante et fixe, s'établit comme suit:
−−32/(ch+ )
−−()ch+−23/ ()ch−+23/
 
CC=+C (26)
ak a1k a2k
 
dans laquelle
CQ= sin α Z


aC11kk

CQ= sin α Z

aC22kk 
−−32/(ch+ )
−−()ch+−23/ ()ch−+23/
 
CC=+C (27)
a a1 a2
 
où
C est la charge axiale dynamique de base de la rangée k d'une butée à billes complète;
ak
C est la charge axiale dynamique de base de la rangée k de la rondelle tournante d'une butée à billes
a1k
complète;
C est la charge axiale dynamique de base de la rangée k de la rondelle fixe d'une butée à billes complète;
a2k
C est la charge axiale dynamique de base de la butée à billes complète;
a
C est la charge axiale dynamique de base de la rondelle tournante de la butée à billes complète;
a1
C est la charge axiale dynamique de base de la rondelle fixe de la butée à billes complète.
a2
En introduisant dans la Formule (27), la Formule (26), et en supposant que la charge sur une seule rangée
est proportionnelle au nombre de billes dans chaque rangée, on obtient:
−−3/(c hh+2)
−−()ch+23/
 n 
 
n
Z
 
∑
j
 
j=1
CC= 
∑ 
aak
Z
 
k
 
k=1
   
 
−−32/(ch+ )
()ch−+23/
n n
 
Z
 
k
 
= Z (28)
 
∑∑
j
C
 
 ak 
j==11k
 
où
Z (Z ) est le nombre de billes par rangées k ( j).
k j
31 7
puis en remplaçant les constantes expérimentales par leurs valeurs c = et h = on obtient:
3 3
−31/ 0
10/3 10/3 10/3103/
 
Z Z Z Z
       
1 2 3 n
 
CZ=+ZZ++⋅⋅⋅+Z + + +⋅⋅⋅+ (29)
()
       
a1 23 n
 C C C C 
       
a1 a2 a3 an
 
Les charges de base C , C , C , ., C des rangées avec Z , Z , Z , ., Z billes se calculent à l'aide de la
a1 a2 a3 an 1 2 3 n
formule correspondante pour les butées à une seule rangée de billes, donnée en 6.3.
6.5 Charge radiale dynamique de base, C , des roulements radiaux à rouleaux
r
On obtient la charge radiale dynamique de base des roulements radiaux à rouleaux (à contact linéaire) par
une procédure similaire à celle de la Formule (10) pour un contact ponctuel (voir 6.2), mais à l'aide des
Formules (4) et (5).
()ch+−3 /(c−−+h 1 )
1 ()1−γ
21/(ch−+ )
CB= 0,377  γ ×
r 1
()ch+−11/(ch−+ )/21ec()−+h 21ec/( −+h )
20 ,5 ()1+γ
−−21/(ch+ )
(1ch−+ )/2
()ch++23ec−−/( h+1)
 
 
 1−γ 
()ch−−11/(ch−+ )
 
()ch−−21e+ /(cch−+13) (ch+− )/()ch−+1
11+ , 04 ()iL cos α ×Z D (30)
 
   
we we
 1+γ 
   
 
où
B est une constante de proportionnalité déterminée expérimentalement;
D est le diamètre moyen du rouleau;
we
γ est D cos α /D ;
we pw
où
D est le diamètre primitif;
pw
α est l'angle nominal de contact;
L est la longueur effective de contact du rouleau;
we
i est le nombre de rangées de rouleaux;
Z est le nombre de rouleaux par rangée.
L'angle de contact, α, le nombre de rouleaux, Z, le diamètre moyen du rouleau, D , et la longueur effective
we
de contact, L , dépendent de la conception du roulement. Par ailleurs, γ = D cos α /D est une grandeur
we we pw
sans dimension. Il est donc commode, dans la pratique, de remplacer les premiers termes jusqu’à “i L …” du
we
membre de droite de la Formule (30) par un facteur f .
c
Par conséquent,
()ch−−11/(ch−+ )(ch−−21ec+−)/()h+1 (ch+−31)/(ch−+ )
Cf= (ciL osα) ZD (31)
rc we we
Dans la pratique, certains ajustements à la charge radiale dynamique de base des roulements sont
effectués pour tenir compte de la concentration des contraintes (par exemple charge de bord) et pour
utiliser un exposant constant et non pas variable dans la formule de durée (voir Article 8). L'ajustement
de la concentration des contraintes s'effectue à l'aide du facteur de réduction, λ, et celui de la variation

de l'exposant à l'aide d'un facteur ν. Il est commode de rassembler ces deux facteurs, qui sont déterminés
expérimentalement, au sein du facteur f , qui devient en conséquence:
c
−−21/(ch+ )
()ch−+1 /2
(cch++23ec−−)/()h+1
 
(ch+−331)/()ch−+
 
1 ()1−γ 1−γ
 
 
21/(ch−+ )
fB= 0,377 λν  γ ×+11,04
     
c 1
()ch+−11/(ch−+ ) 21ec/( −+h ) 21ec/( −+h )
 1+γ 
2 0,5 ()1+γ
 
 
 
(32)
La pente de la courbe Weibull, e, et les constantes, c et h, se déterminent par voie expérimentale. Basé sur les
Références [5] et [6] et sur des vérifications ultérieures effectuées sur des roulements à rouleaux sphériques,
cylindriques ou coniques, les valeurs suivantes ont été attribuées aux constantes expérimentales des
formules pour les rouleaux:
e =
c =
h =
9 31 7
Si l'on remplace ces constantes par leurs valeurs e = , c = , et h = dans les Formules (31) et (32),
8 3 3
7/9/34 /29 27
Cf= (ciL osα) ZD (33)
rc we we
−29/
92/
143/108
 
29/ 29/27
 
 
γγ()1−  1−γ 
fB= 0,,483 0 377 λν  ,11+ 04  (34)
 
c 1  
1/4
(1+γ ) 1+γ
   
 
 
 
La valeur de 0,483B pour calculer C en newtons est de 551,133 73. Les valeurs de f données dans
1 r c
l'ISO 281:2007, Tableau 7, sont calculées à l'aide de la Formule (34) où le facteur de réduction est remplacé
par sa valeur donnée dans le Tableau 2.
6.6 Charge axiale dynamique de base, C , des butées à rouleaux à une rangée
a
6.6.1 Butées à rouleaux à angle de contact α ≠ 90°
Par extension de 6.2 on a:
()ch−−11/(ch−+ )(ch−−21ec+−)/()h+1 ()ch+−31/(ch−+ )
Cf= (cLZ osαα)t an D (35)
ac we wwe
Pour les butées à rouleaux, une réduction de la valeur théorique de la charge axiale dynamique de base est
nécessaire pour tenir compte de la répartition non uniforme de la charge entre les éléments roulants, et ce
en sus du facteur de réduction, λ, déjà prévu pour les roulements radiaux à billes. Ce facteur de réduction est
désigné par η.
Le facteur f s'exprime donc comme suit:
c
−−21/(ch+ )
()ch−+1 /2
 ()ch++23e− /(cch−+1) 
()ch+−3 /(c−hh+1)
 
1 ()1−γ 1−γ
 
 
21/(ch−+ )
fB=λν  η γ ×+1
    
c 1
()ch+−11/(ch−+ )/21ec()−+h 21ec/( −+h )
 1+γ 
20,5 ()1+γ
   
 
(36)
9 31 7
Si l'on remplace dans la formule les constantes expérimentales par leurs valeurs e= , c= , et h= ,
8 3 3
7/9/34 29/27
Cf= (cLZ osαα)t an D (37)
ac we we
−29/
92/
 143/1008 
29/ 29/27
 
γγ()1−   1−γ  
fB=0,483 λν  η 1+  (38)
 
c 1  
1/4
1+γ
()1+γ
 
 
 
 
 
La valeur de 0,483B pour calculer C en newtons est de 551,133 73. Les valeurs de f données dans
1 a c
l'ISO 281:2007, Tableau 10, données dans les colonnes pour α = 50°, 65° et 80°, sont calculées à l'aide de la
Formule (38) où le facteur de réduction est remplacé par sa valeur donnée dans le Tableau 2.
6.6.2 Butées à rouleaux à angle de contact α = 90°
Par extension de 6.2, on a:
()ch−−11/(ch−+ )(ch−−21ec+−)/()hc++13()hc−−/( h+11)
Cf= LZ D (39)
ac we we
21/(ch−+ )/−−2 (c hh+1)
fB=λν  ηγ 2 (40)
c 1
()ch+−11/(ch−+ )/21ec()−+h
20,5
9 31 7
Si l'on remplace dans la formule les constantes expérimentales par leurs valeurs e= , c= , et h=
8 3 3
7/93/4 29/27
Cf= LZ D (41)
awc e we
2/9
fB= 04, 1 λν  ηγ (42)
c 1
La valeur de 0,41B pour calculer C en newtons est de 472,453 88. Les valeurs de f données dans
1 a c
l'ISO 281:2007, Tableau 10, deuxième colonne à partir de la gauche, sont calculées à l'aide de la Formule (42)
où le facteur de réduction est remplacé par sa valeur donnée dans le Tableau 2.
6.7 Charge axiale dynamique de base, C , des butées à deux ou plusieurs rangées
a
de rouleaux
Suivant la loi du produit des probabilités, le rapport entre la charge axiale dynamique de base d'une butée à
rouleaux complète et celle des rondelles respectivement tournante et fixe s'exprime comme suit:
−−21/(ch+ )
−−()ch+−12/ ()ch−+12/
 
CC=+C (43)
ak a1k a2k
 
dans laquelle
CQ = sin α ZL


aC11kk wek

CQ = sin α ZL


aC22kk wek
−−21/(ch+ )
−−()ch+−12/ ()ch−+12/
 
CC=+C (44)
a a1 a2
 
où
C est la charge axiale dynamique de base de la rangée k d'une butée à rouleaux complète;
ak
C est la charge axiale dynamique de base de la rangée k de la rondelle tournante d'une butée à rou-
a1k
leaux complète;
C est la charge axiale dynamique de base de la rangée k de la rondelle fixe d'une butée à rouleaux
a2k
complète;
C est la charge axiale dynamique de base de la butée à rouleaux complète;
a
C est la charge axiale dynamique de base de la rondelle tournante de la butée à rouleaux complète;
a1
C est la charge axiale dynamique de base de la rondelle fixe de la butée à billes complète;
a2
Z est le nombre de rouleaux de la rangée k.
k
En introduisant la Formule (43) dans la Formule (44), et en supposant que la charge sur une seule rangée est
proportionnelle au produit de la longueur des rouleaux et du
...