ISO 80000-2:2019
(Main)Quantities and units - Part 2: Mathematics
Quantities and units - Part 2: Mathematics
This document specifies mathematical symbols, explains their meanings, and gives verbal equivalents and applications.
This document is intended mainly for use in the natural sciences and technology, but also applies to other areas where mathematics is used.
Grandeurs et unités - Partie 2: Mathématiques
Le présent document spécifie les symboles mathématiques, explique leurs sens et donne leurs énoncés et leurs applications.
Le présent document est principalement destiné à être utilisé dans les sciences de la nature et dans la technique. Cependant, il s'applique également à d'autres domaines utilisant les mathématiques.
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INTERNATIONAL ISO
STANDARD 80000-2
Second edition
2019-08
Quantities and units —
Part 2:
Mathematics
Grandeurs et unités —
Partie 2: Mathématiques
Reference number
©
ISO 2019
© ISO 2019
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Published in Switzerland
ii © ISO 2019 – All rights reserved
Contents Page
Foreword .iv
Introduction .v
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Terms and definitions . 1
4 Variables, functions and operators . 1
5 Mathematical logic . 2
6 Sets . 3
7 Standard number sets and intervals. 4
8 Miscellaneous symbols . 6
9 Elementary geometry . 7
10 Operations . 8
11 Combinatorics .10
12 Functions .11
13 Exponential and logarithmic functions .15
14 Circular and hyperbolic functions .16
15 Complex numbers.18
16 Matrices .18
17 Coordinate systems .19
18 Scalars, vectors and tensors .21
19 Transforms .25
20 Special functions .26
Bibliography .32
Alphabetical index .33
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards
bodies (ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out
through ISO technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical
committee has been established has the right to be represented on that committee. International
organizations, governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work.
ISO collaborates closely with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of
electrotechnical standardization.
The procedures used to develop this document and those intended for its further maintenance are
described in the ISO/IEC Directives, Part 1. In particular, the different approval criteria needed for the
different types of ISO documents should be noted. This document was drafted in accordance with the
editorial rules of the ISO/IEC Directives, Part 2 (see www .iso .org/directives).
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this document may be the subject of
patent rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights. Details of
any patent rights identified during the development of the document will be in the Introduction and/or
on the ISO list of patent declarations received (see www .iso .org/patents).
Any trade name used in this document is information given for the convenience of users and does not
constitute an endorsement.
For an explanation of the voluntary nature of standards, the meaning of ISO specific terms and
expressions related to conformity assessment, as well as information about ISO's adherence to the
World Trade Organization (WTO) principles in the Technical Barriers to Trade (TBT), see www .iso
.org/iso/foreword .html.
This document was prepared by Technical Committee ISO/TC 12, Quantities and units, in collaboration
with Technical Committee IEC/TC 25, Quantities and units.
This second edition cancels and replaces the first edition (ISO 80000-2:2009), which has been
technically revised.
The main changes compared to the previous edition are as follows:
— Clause 4 revised to add clarification about writing of font types; revised rule for splitting equations
over two or more lines;
— Clause 18 revised to include clarification on scalars, vectors and tensors;
— missing symbols and expressions added in the second column "Symbol, expression" of the tables,
and additional clarifications given in the fourth column “Remarks and examples” when necessary;
— Annex A deleted.
NOTE Although missing symbols and expressions have been added in this second edition of ISO 80000-1, the
document remains non exhaustive.
A list of all parts in the ISO 80000 and IEC 80000 series can be found on the ISO and IEC websites.
Any feedback or questions on this document should be directed to the user’s national standards body. A
complete listing of these bodies can be found at www .iso .org/members .html.
iv © ISO 2019 – All rights reserved
Introduction
Arrangement of the tables
Each table of symbols and expressions (except Table 13) gives hints (in the third column) about the
meaning or how the expression may be read for each item (numbered in the first column) of the
symbol under consideration, usually in the context of a typical expression (second column). If more
than one symbol or expression is given for the same item, they are on an equal footing. In some cases,
e.g. for exponentiation, there is only a typical expression and no symbol. The purpose of the entries is
identification of each concept and is not intended to be a complete mathematical definition. The fourth
column “Remarks and examples” gives further information and is not normative.
Table 13 has a different format. It gives the symbols of coordinates, as well as the position vectors and
their differentials, for coordinate systems in three-dimensional spaces.
INTERNATIONAL STANDARD ISO 80000-2:2019(E)
Quantities and units —
Part 2:
Mathematics
1 Scope
This document specifies mathematical symbols, explains their meanings, and gives verbal equivalents
and applications.
This document is intended mainly for use in the natural sciences and technology, but also applies to
other areas where mathematics is used.
2 Normative references
The following documents are referred to in the text in such a way that some or all of their content
constitutes requirements of this document. For dated references, only the edition cited applies. For
undated references, the latest edition of the referenced document (including any amendments) applies.
ISO 80000-1, Quantities and units — Part 1: General
3 Terms and definitions
Tables 1 to 16 give the symbols and expressions used in the different fields of mathematics.
ISO and IEC maintain terminological databases for use in standardization at the following addresses:
— ISO Online browsing platform: available at https: //www .iso .org/obp
— IEC Electropedia: available at http: //www .electropedia .org/
4 Variables, functions and operators
It is customary to use different sorts of letters for different sorts of entities, e.g. x, y, … for numbers
or elements of some given set, f, g for functions, etc. This makes formulas more readable and helps in
setting up an appropriate context.
Variables such as x, y, etc., and running numbers, such as i in x are printed in italic type. Parameters,
∑
i
i
such as a, b, etc., which may be considered as constant in a particular context, are printed in italic type.
The same applies to functions in general, e.g. f, g.
An explicitly defined function not depending on the context is, however, printed in upright type, e.g.
sin, exp, ln, Γ. Mathematical constants, the values of which never change, are printed in upright type,
e.g. e = 2,718 281 828 …; π = 3,141 592 …; i = −1. Well-defined operators are also printed in upright
type, e.g. div, δ in δx and each d in df/dx. Some transforms use special capital letters (see Clause 19,
Transforms).
Numbers expressed in the form of digits are always printed in upright type, e.g. 351 204; 1,32; 7/8.
Binary operators, for example +, −, /, shall be preceded and followed by thin spaces. This rule does not
apply in case of unary operators, as in −17,3.
The argument of a function is written in parentheses after the symbol for the function, without a space
between the symbol for the function and the first parenthesis, e.g. f(x), cos(ω t + φ). If the symbol for the
function consists of two or more letters and the argument contains no operation symbol, such as +, −, × ,
or /, the parentheses around the argument may be omitted. In these cases, there shall be a thin space
between the symbol for the function and the argument, e.g. int 2,4; sin nπ; arcosh 2A; Ei x.
If there is any risk of confusion, parentheses should always be inserted. For example, write cos(x) + y;
do not write cos x + y, which could be mistaken for cos(x + y).
A comma, semicolon or other appropriate symbol can be used as a separator between numbers or
expressions. The comma is generally preferred, except when numbers with a decimal comma are used.
If an expression or equation must be split into two or more lines, the following method shall be used:
— Place the line breaks immediately before one of the symbols =, +, −, ±, or , or, if necessary,
immediately before one of the symbols ×, ⋅, or /.
The symbol shall not be given twice around the line break; two minus signs could for example give rise
to sign errors. If possible, the line break should not be inside of an expression in parentheses.
5 Mathematical logic
Table 1 — Symbols and expressions in mathematical logic
Symbol,
Item No. Meaning, verbal equivalent Remarks and examples
expression
2-5.1 p ∧ q conjunction of p and q,
p and q
2-5.2 p ∨ q disjunction of p and q, This “or” is inclusive, i.e. p ∨ q is true, if
either p or q, or both are true.
p or q
2-5.3 ¬ p negation of p,
not p
2-5.4 p ⇒ q p implies q, q ⇐ p has the same meaning as p ⇒ q.
if p, then q ⇒ is the implication symbol.
→ is also used as implication symbol.
2-5.5 p ⇔ q p is equivalent to q (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) has the same meaning as
p ⇔ q.
⇔ is the equivalence symbol.
↔ is also used as equivalence symbol.
2-5.6 ∀x ∈ A p(x) for e
...
NORME ISO
INTERNATIONALE 80000-2
Deuxième édition
2019-08
Version corrigée
2021-11
Grandeurs et unités —
Partie 2:
Mathématiques
Quantities and units —
Part 2: Mathematics
Numéro de référence
DOCUMENT PROTÉGÉ PAR COPYRIGHT
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Tous droits réservés. Sauf prescription différente ou nécessité dans le contexte de sa mise en œuvre, aucune partie de cette
publication ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun procédé, électronique ou mécanique,
y compris la photocopie, ou la diffusion sur l’internet ou sur un intranet, sans autorisation écrite préalable. Une autorisation peut
être demandée à l’ISO à l’adresse ci-après ou au comité membre de l’ISO dans le pays du demandeur.
ISO copyright office
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Web: www.iso.org
Publié en Suisse
ii
Sommaire Page
Avant-propos .iv
Introduction . vi
1 Domaine d’application . 1
2 Références normatives .1
3 Termes et définitions . 1
4 Variables, fonctions et opérateurs .1
5 Logique mathématique . 2
6 Ensembles. 3
7 Ensembles normalisés de nombres et intervalles . 5
8 Symboles divers . 6
9 Géométrie élémentaire .8
10 Opérations . 8
11 Combinatoire .10
12 Fonctions .11
13 Fonctions exponentielles et logarithmiques .14
14 Fonctions circulaires et hyperboliques .15
15 Nombres complexes .17
16 Matrices .18
17 Systèmes de coordonnées .19
18 Scalaires, vecteurs et tenseurs .21
19 Transformées .24
20 Fonctions spéciales .25
Bibliographie .31
Index alphabétique .32
iii
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d’organismes
nationaux de normalisation (comités membres de l’ISO). L’élaboration des Normes internationales est
en général confiée aux comités techniques de l’ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude
a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales,
gouvernementales et non gouvernementales, en liaison avec l’ISO participent également aux travaux.
L’ISO collabore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui
concerne la normalisation électrotechnique.
Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont
décrites dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier de prendre note des différents
critères d’approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document
a été rédigé conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2
(voir www.iso.org/directives).
L’attention est attirée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l’objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L’ISO ne saurait être tenue pour responsable
de ne pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence. Les détails concernant
les références aux droits de propriété intellectuelle ou autres droits analogues identifiés lors de
l’élaboration du document sont indiqués dans l’Introduction et/ou dans la liste des déclarations de
brevets reçues par l’ISO (voir www.iso.org/brevets).
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données
pour information, par souci de commodité, à l’intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un
engagement.
Pour une explication de la nature volontaire des normes, la signification des termes et expressions
spécifiques de l’ISO liés à l’évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l’adhésion
de l’ISO aux principes de l’Organisation mondiale du commerce (OMC) concernant les obstacles
techniques au commerce (OTC), voir le lien suivant: www.iso.org/iso/fr/avant-propos.
Le présent document a été élaboré par le comité technique ISO/TC 12, Grandeurs et unités, en
collaboration avec le comité d’études IEC/TC 25, Grandeurs et unités.
Cette deuxième édition annule et remplace la première édition (ISO 80000-2:2009), qui a fait l’objet
d’une révision technique.
Les principales modifications par rapport à l’édition précédente sont les suivantes:
— révision de l’Article 4 afin d’ajouter des précisions sur l’écriture des types de police; révision de la
règle concernant l’écriture des équations sur deux lignes ou plus;
— révision de l’Article 18 afin d’inclure des précisions sur les scalaires, les vecteurs et les tenseurs;
— ajout de symboles et expressions manquants dans la deuxième colonne «Symbole, expression»
des tableaux, et précisions supplémentaires données dans la quatrième colonne «Remarques et
exemples» lorsque cela est nécessaire;
— suppression de l’Annexe A.
NOTE Bien que des symboles et expressions manquants aient été ajoutés dans cette deuxième édition de
l’ISO 80000-1, le document demeure non exhaustif.
Une liste de toutes les parties des séries ISO 80000 et IEC 80000 se trouve sur les sites de l’ISO et de
l’IEC.
Il convient que l’utilisateur adresse tout retour d’information ou toute question concernant le présent
document à l’organisme national de normalisation de son pays. Une liste exhaustive desdits organismes
se trouve à l’adresse www.iso.org/fr/members.html.
iv
La présente version corrigée de l'ISO 80000-2:2019 inclut les corrections suivantes:
— en 2-20.20, sous "Remarques et exemples", la première formule a été corrigée pour lire
m
d
m
m
L ()z =−()1 L ()z ; c-à-d ajout de +m à l'indice de L;
n nm+
m
dz
— en 2-20.21, sous "Remarques et exemples", deuxième ligne, la parenthèse a été corrigée pour lire
(pour n ∈ N , z ≤ 1); c-à-d ajout de z ≤ 1.
v
Introduction
Disposition des tableaux
Chaque tableau de symboles et expressions (excepté le Tableau 13) donne des informations d’aide (dans
la troisième colonne) sur le sens ou sur la manière dont l’expression peut être lue pour chaque élément
(numéroté dans la première colonne) du symbole considéré, généralement dans le contexte d’une
expression type (deuxième colonne). Lorsque plusieurs symboles ou expressions sont indiqués pour
le même concept, ils sont également admissibles. Dans certains cas, par exemple pour l’élévation à une
puissance, il n’existe qu’une expression type, mais pas de symbole. Le but des entrées est l’identification
de chaque concept, mais n’est pas une définition mathématique complète. La quatrième colonne,
«Remarques et exemples», donne des informations complémentaires et n’est pas normative.
Le Tableau 13 a un format différent. Il donne les symboles des coordonnées, ainsi que les rayons
vecteurs et leurs différentielles, pour des systèmes de coordonnées dans des espaces tridimensionnels.
vi
NORME INTERNATIONALE ISO 80000-2:2019(F)
Grandeurs et unités —
Partie 2:
Mathématiques
1 Domaine d’application
Le présent document spécifie les symboles mathématiques, explique leurs sens et donne leurs énoncés
et leurs applications.
Le présent document est principalement destiné à être utilisé dans les sciences de la nature et dans la
technique. Cependant, il s’applique également à d’autres domaines utilisant les mathématiques.
2 Références normatives
Les documents suivants sont cités dans le texte de sorte qu’ils constituent, pour tout ou partie de leur
contenu, des exigences du présent document. Pour les références datées, seule l’édition citée s’applique.
Pour les références non datées, la dernière édition du document de référence s’applique (y compris les
éventuels amendements).
ISO 80000-1, Grandeurs et unités — Partie 1: Généralités
3 Termes et définitions
Les Tableaux 1 à 16 donnent les symboles et les expressions utilisés dans les différents domaines des
mathématiques.
L’ISO et l’IEC tiennent à jour des bases de données terminologiques destinées à être utilisées en
normalisation, consultables aux adresses suivantes:
— ISO Online browsing platform: disponible à l’adresse https:// www .iso .org/ obp;
— IEC Electropedia: disponible à l’adresse http:// www .electropedia .org/ .
4 Variables, fonctions et opérateurs
Il est de règle d’utiliser différents types de caractères pour différents types d’entités, par exemple x, y,
… pour des nombres ou des éléments d’un ensemble donné, f, g pour des fonctions, etc. Cela facilite la
lecture des formules et la mise en place d’un contexte approprié.
Les variables, telles que x, y, etc., et les indices tels que i dans x sont imprimés en caractères
∑
i
i
italiques. Il en est de même pour les paramètres tels que a, b, etc., qui peuvent être considérés comme
constants dans un contexte particulier. La même règle s’applique aussi aux fonctions en général, par
exemple f, g.
Cependant, on écrit en caractères droits une fonction explicitement définie qui ne dépend pas du
contexte, par exemple sin, exp, ln, Γ. Les constantes mathématiques dont la valeur ne change jamais
sont imprimées en caractères droits, par exemple: e = 2,718 281 828 …; π = 3,141 592 …; i = −1.
Les opérateurs bien définis sont aussi imprimés en caractères droits, par exemple: div, δ dans δx et
chaque d dans df/dx. Certaines transformées utilisent des lettres majuscules spéciales (voir Article 19,
Transformées).
Les nombres exprimés par des chiffres sont toujours écrits en caractères droits, par exemple: 351 204;
1,32; 7/8.
Les opérateurs binaires, par exemple +, −, /, doivent être précédés et suivis d’un petit espace. Cette règle
ne s’applique pas dans le cas d’opérateurs unaires, comme dans −17,3.
L’argument d’une fonction est écrit entre parenthèses après le symbole de la fonction, sans espace
entre le symbole de la fonction et la première parenthèse, par exemple: f(x), cos(ω t + φ). Si le symbole
de la fonction comporte deux lettres ou plus et si l’argument ne contient pas de signe d’opération tel
que +, −, × , ou /, les parenthèses autour de l’argument peuvent être omis
...
Questions, Comments and Discussion
Ask us and Technical Secretary will try to provide an answer. You can facilitate discussion about the standard in here.