ISO 11929-8:2005

NORME ISO
INTERNATIONALE 11929-8
Première édition
2005-02-15
Détermination de la limite de détection et
du seuil de décision des mesurages de
rayonnements ionisants —
Partie 8:
Principes fondamentaux et leur
application à la déconvolution des
spectres des mesurages de
rayonnements ionisants négligeant
l'influence de la préparation d'un
échantillon
Determination of the detection limit and decision threshold for ionizing
radiation measurements —
Part 8: Fundamentals and application to unfolding of spectrometric
measurements without the influence of sample treatment

Numéro de référence
©
ISO 2005
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Sommaire Page
Avant-propos. iv
Introduction . v
1 Domaine d'application. 1
2 Références normatives. 1
3 Termes et définitions . 1
4 Quantités et symboles. 3
5 Valeurs statistiques et intervalle de confiance. 5
5.1 Principes . 5
5.1.1 Généralités. 5
5.1.2 Modèle. 6
5.2 Seuil de décision. 7
5.3 Limite de détection . 8
5.4 Limites de confiance. 8
6 Application de la présente partie de l'ISO 11929 . 9
6.1 Valeurs spécifiques . 9
6.2 Évaluation d'une méthode de mesure . 9
6.3 Évaluation des résultats de mesure. 9
6.4 Documentation . 9
7 Valeurs de la fonction de distribution de la distribution normale standard . 10
Annexe A (informative) Exemple d'application de la présente partie de l'ISO 11929. 12
Bibliographie . 21

Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux de
normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général confiée
aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du
comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les Normes internationales sont rédigées conformément aux règles données dans les Directives ISO/CEI,
Partie 2.
La tâche principale des comités techniques est d'élaborer les Normes internationales. Les projets de Normes
internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour vote. Leur
publication comme Normes internationales requiert l'approbation de 75 % au moins des comités membres
votants.
L'attention est appelée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l'objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne
pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence.
L'ISO 11929-8 a été élaborée par le comité technique ISO/TC 85, Énergie nucléaire, sous-comité SC 2,
Radioprotection.
L'ISO 11929 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Détermination de la limite de
détection et du seuil de décision des mesurages de rayonnements ionisants:
 Partie 1: Principes fondamentaux et application aux mesurages par comptage, sans l'influence du
traitement de l'échantillon
 Partie 2: Principes fondamentaux et application aux mesurages par comptage, avec l'influence du
traitement d'échantillon
 Partie 3: Principes fondamentaux et application aux mesurages par comptage, par spectrométrie gamma
haute résolution, sans l'influence du traitement d'échantillon
 Partie 4: Principes fondamentaux et leur application aux mesurages réalisés à l'aide d'ictomètres
analogiques à échelle linéaire, sans l'influence du traitement d'échantillon
 Partie 5: Principes fondamentaux et leurs applications aux mesurages par comptage réalisés sur filtre
lors d'une accumulation de radioactivité
 Partie 6: Principes fondamentaux et leurs applications aux mesurages réalisés en mode transitoire
 Partie 7: Principes fondamentaux et leurs applications générales
 Partie 8: Principes fondamentaux et leur application à la déconvolution des spectres des mesurages de
rayonnements ionisants négligeant l'influence de la préparartion d'un échantillon

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Introduction
L'ISO 11929-1 et l'ISO 11929-2 traitent des mesurages par comptages intégrés avec et sans considération du
traitement de l'échantillon. Les mesurages par spectrométrie à haute résolution qui peuvent être évalués sans
déconvolution dans l'ISO 11929-3, alors que l'ISO 11929-8 traite des évaluations par déconvolution.
L'ISO 11929-4 traite des mesurages utilisant des ictomètres à échelle linéaire et l'ISO 11929-5 est appliquée
à la surveillance de la concentration en aérosols lors des rejets de gaz, d'air ou d'effluents liquides.
Les précédentes parties 1 à 4 ont été élaborées pour des mesurages spécifiques de rayonnements nucléaires
[1] [2] [3]
basés sur les principes définis par Altschuler et Pasternack , Nicholson , Currie . L'ISO 11929-7 donne
une approche statistique Bayesienne générale pour le détermination des seuils de décision, de la limite de
détection et des limites de confiance en distinguant la détermination de ces quantités caractéristiques de
l'évaluation du mesurage. En conséquence, l'ISO 11929-7 est de manière générale applicable et peut être
transposée à toute procédure adaptée d'évaluation de mesure. Les parties 5, 6 et 7 ainsi que la présente
partie de l'ISO 11929 sont basées sur les méthodes statistiques Bayesiennes (voir [5] dans la Bibliographie)
pour la détermination des limites caractéristiques (voir [6] et [7] dans la Bibliographie) et de même pour la
déconvolution (voir [8] dans la Bibliographie).
La présente partie de l'ISO 11929 utilise l'approche générale de l'ISO 11929-7 et décrit de manière explicite
les procédures nécessaires à la détermination des seuils de décision, des limites de détection et des limites
de confiance des quantités physiques qui sont dérivées de l'évaluation des mesurages par spectrométrie
nucléaire en utilisant des techniques de déconvolution sans tenir compte de l'influence du traitement de
l'échantillon (voir [4] dans la Bibliographie). De telles quantités existent de plusieurs manières, par exemple la
surface nette d'une raie en spectrométrie gamma ou alpha.
Comme l'incertitude de mesure joue un rôle fondamental dans la présente partie de l'ISO 11929, l'évaluation
des mesures et la détermination des incertitudes associées doivent être réalisées conformément au Guide
ISO pour l'expression de l'incertitude de mesure.
À cet effet, les méthodes statistiques Bayesiennes sont utilisées afin de spécifier les valeurs statistiques
suivantes caractérisées par des probabilités d'erreurs données:
 Le seuil de décision, qui permet de prendre une décision pour un mesurage, avec une probabilité d'erreur
donnée de décider que le résultat de mesurage indique la présence d'un effet physique quantifié par le
mesurande.
 La limite de détection, qui spécifie la valeur minimale du mesurande qui peut être détectée avec une
probabilité d'erreur donnée lors de l'utilisation de la procédure de mesurage en question. Par conséquent
cela permet, au moyen de la présente partie de l'ISO 11929, de décider si une méthode de mesure
satisfait à certaines exigences et est par conséquent adaptée à l'objectif fixé du mesurage.
 Les limites de l'intervalle de confiance, définissant un intervalle contenant la vraie valeur du mesurande
avec une probabilité donnée dans le cas où le résultat de mesurage dépasserait le seuil de décision.

NORME INTERNATIONALE ISO 11929-8:2005(F)

Détermination de la limite de détection et du seuil de décision
des mesurages de rayonnements ionisants —
Partie 8:
Principes fondamentaux et leur application à la déconvolution
des spectres des mesurages de rayonnements ionisants
négligeant l'influence de la préparation d'un échantillon
1 Domaine d'application
La présente partie de l'ISO 11929 spécifie une méthode pour la détermination des valeurs statistiques
adaptées permettant une évaluation des capacités de détection des mesurages spectrométriques des
rayonnements ionisants ainsi que du phénomène physique quantifié par le mesurande (par exemple la
surface nette d'une raie d'un spectre alpha ou gamma) qui est déterminé par évaluation d'un spectre
multicanaux par des méthodes de déconvolution. Dans ce but, on utilise des méthodes statistiques
Bayesiennes pour définir les limites caractéristiques.
2 Références normatives
Les documents de référence suivants sont indispensables pour l'application du présent document. Pour les
références datées, seule l'édition citée s'applique. Pour les références non datées, la dernière édition du
document de référence s'applique (y compris les éventuels amendements).
ISO 11929-3:2005, Détermination de la limite de détection et du seuil de décision des mesurages de
rayonnements ionisants — Partie 3: Principes fondamentaux et application aux mesurages par comptage, par
spectrométrie gamma haute résolution, sans l'influence du traitement d'échantillon
ISO 11929-7:2005, Détermination de la limite de détection et du seuil de décision des mesurages de
rayonnements ionisants — Partie 7: Principes fondamentaux et leurs applications générales
Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure, BIPM/CEI/FICC/ISO/OIML/UICPA/UIPPA, Genève, 1995
Vocabulaire international des termes fondamentaux et généraux de métrologie, BIPM/CEI/FICC/ISO/
OIML/UICPA/UIPPA, Genève, 1993
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et définitions suivants s'appliquent.
3.1
méthode de mesure
toute séquence logique d'opérations décrites génériquement, utilisées lors de l'accomplissement des
mesurages
NOTE Adapté du Vocabulaire international des termes fondamentaux et généraux de métrologie:1993.
3.2
mesurande
grandeur particulière soumise à mesurage
NOTE 1 Adapté du Vocabulaire international des termes fondamentaux et généraux de métrologie:1993.
NOTE 2 Dans la présente partie de l'ISO 11929, un mesurande prend une quantité non négative et quantife un effet de
rayonnement nucléaire. L'effet n'est pas présent si la valeur du mesurande est égale à zéro. La caractéristique de la
présente partie de l'ISO 11929 est que le mesurande dérive d'un spectre multicanaux par des méthodes de déconvolution.
Un exemple de mesurande est l'intensité de la raie d'un spectre au dessus du bruit de fond lors de mesurages
spectroscopiques.
3.3
incertitude (de mesure)
paramètre associé au résultat de mesure qui caractérise la dispersion des valeurs qui peuvent être
raisonnablement attribuées au mesurande
NOTE 1 Adapté du Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure:1995.
NOTE 2 L'incertitude de mesure selon le Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure comprend en général
plusieurs composantes. Certaines de ces composantes peuvent être évaluées d'après les distributions statistiques des
résultats issus de séries de mesures et peuvent être caractérisées par des déviations standards expérimentales. Les
autres composantes, qui peuvent aussi être caractérisées par des déviations standards, sont évaluées d'après des
distributions de probabilités supposées ou connues, basées sur l'expérience et sur d'autres informations.
3.4
modèle mathématique d'évaluation
un ensemble de relations mathématiques entre toutes les quantités mesurées et les autres qui sont
impliquées dans l'évaluation de la mesure
3.5
quantité de décision
variable aléatoire permettant de décider si le phénomène physique mesuré est présent ou non
3.6
seuil de décision
valeur fixée de la quantité de décision telle que, quand le résultat de mesure d'un mesurande quantifiant le
phénomène physique lui est supérieur, on décide que le phénomène physique est présent
NOTE Le seuil de décision est la valeur critique d'un test statistique pour décider entre l'hypothèse que le
phénomène physique n'est pas présent et l'hypothèse alternative qu'il est présent. Quand le résultat de mesure dépasse
cette valeur critique, cela indique que l'hypothèse devrait être rejetée. Ce test statistique sera tel que la probabilité de
rejeter à tort l'hypothèse (erreur de première espèce) est égale à une valeur donnée α.
3.7
limite de détection
la plus petite vraie valeur du mesurande qui est détectable par la méthode de mesure
NOTE La limite de détection est la plus petite valeur du mesurande qui est associée au test statistique et aux
hypothèses de 3.6. Elle a les caractéristiques suivantes: si en réalité la vraie valeur est égale ou est supérieure à la limite
de détection, la probabilité de ne pas rejeter à tort l'hypothèse (erreur de deuxième espèce) sera au plus égale à une
valeur donnée β.
3.8
limites de confiance
valeurs qui définissent les intervalles de confiance à spécifier pour le mesurande en question, qui, si le
résultat est supérieur au seuil de décision, comprend la vraie valeur du mesurande pour une probabilité
donnée (1 - γ)
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3.9
valeur de référence
valeur qui correspond aux exigences scientifiques, légales ou autres dont la procédure de mesure est
destinée à évaluer
EXEMPLE Une activité, une activité spécifique ou une concentration d'activité, une activité surfacique, ou un débit
de dose.
4 Quantités et symboles
ˆ
ξ Variable aléatoire, estimateur d'un mesurande non négatif quantifiant un phénomène physique
ˆ
ξ Vraie valeur de l'estimateur ξ du mesurande non négatif quantifiant un phénomène physique; vraie
valeur du mesurande

u()ξ Incertitude standard de la quantité de décision X comme fonction de la vraie valeur ξ du mesurande
X Variable aléatoire comme quantité de décision; estimateur du mesurande quantifiant un phénomène
physique correspondant à une quantité de sortie
x Résultat de mesurage de la quantité de décision X
u(x) Incertitude standard du mesurande associée au résultat de mesurage x
z Meilleure estimation du mesurande
u(z) Incertitude standard du mesurande associée à la meilleure estimation z
*
x Seuil de décision du mesurande
*
ξ Limite de détection du mesurande
ξ , ξ Respectivement la limite basse et haute de l'intervalle de confiance du mesurande
l u
i Numéro de canal d'un spectre multicanaux obtenu lors d'un mesurage par spectrométrie;
(i = 1, ., m)
ϑ Paramètre continu (par exemple énergie ou temps) relatif aux différents canaux dans un spectre
multicanaux
ϑ Valeur de ϑ correspondant au canal i; (i = 1, ., m)
i
t Durée de mesurage
m Nombre de canaux dans un spectre
N Variable aléatoire indépendante d'une distribution de Poisson d'événements comptés dans un canal i
i
durant le mesurage de durée t; (i = 1, ., m)
n Nombre d'événements comptés dans un canal i durant la durée de mesurage t; (i = 1, ., m)
i
X Variable aléatoire indépendante du taux d'événements comptés dans un canal i pendant un temps
i
de mesurage t, quantités d'entrée de l'évaluation; X = N /t; (i = 1, ., m)
i i
X Matrice colonne des X
i
x Taux d'événements comptés dans un canal i pendant un temps de mesurage t; x = n /t; (i = 1, ., m)
i i i
x Matrice colonne des x
i
x´ Matrice colonne x´ = Ay´
u(x , x ) Covariance associée à x et x
i j i j
Y Quantité de sortie Y dérivée du spectre multicanaux par méthodes de déconvolution; k = 1, ., n
k k
Y Matrice colonne des Y
k
y Estimation d'une quantité de sortie (paramètre), paramètre Y ; (k = 1, ., n)
k k
u(y ) Incertitude standard de y associée à y
k k
y´ Matrice colonne y après remplacement des y par ξ
n
H(ϑ ) Fonction représentant la densité spectrale à ϑ d'un spectre multicanaux; H () =  ( ) ·
ϑϑΨ Y
iikk
i i ∑
k = 1
p Nombre de quantités d'entrée t qui ne s'ajustent pas
i
Ψ (ϑ) Fonction décrivant l'allure d'une raie individuelle et de la contribution des bruits de fond; (k = 1, ., n)
k
n Nombre de quantités de sortie
v Matrice colonne des quantités de d'entrée; v = (x , ., x , t , ., t )
1 m 1 p
t Quantités d'entrée qui ne s'ajustent pas
i
M(Y) Matrice colonne des H(ϑ )
i
A Matrice réponse du spectromètre
A Éléments de la matrice réponse A
ik
U Matrice incertitude de X
x
U Matrice incertitude de Y
y
G Fonction des quantités d'entrée X , (i = 1, ., m)
k i
G Matrice colonne des G
k
α Probabilité d'erreur de première espèce; la probabilité de rejeter l'hypothèse si elle est vraie
β Probabilité d'erreur de deuxième espèce; la probabilité d'accepter l'hypothèse si elle est fausse
1 − γ Probabilité attribuée à l'intervalle de confiance du mesurande; probabilité que la vraie valeur du
mesurande soit comprise dans cet intervalle de confiance
k Quantiles d'une distribution normale standard pour une probabilité p (voir Table 1); p = 1 − α, 1 − β,
p
1 − γ
E Opérateur pour la formation de l'espérance de la variable aléatoire
Var Opérateur pour la formation de la variance de la variable aléatoire
diag Indicateur d'une matrice diagonale
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5 Valeurs statistiques et intervalle de confiance
5.1 Principes
5.1.1 Généralités
Pour une tâche particulière mettant en jeu des mesures de rayonnements nucléaires, le phénomène physique
particulier qui est l'objectif de la mesure doit être décrit en premier. Puis, un mesurande non négatif qui
quantifie le phénomène physique doit être défini, en supposant la valeur zéro, dans un cas réel, si le
phénomène n'est pas présent.
Une variable aléatoire appelée quantité de décision X doit être attribuée au mesurande. C'est aussi un
estimateur du mesurande. Il faut que l'espérance EX de la quantité de décision X soit égale à la valeur vraie
du mesurande. Une valeur x, de l'estimateur X, provenant des mesurages est une estimation primaire du
mesurande. L'estimation primaire x du mesurande et son incertitude standard associée u(x) doit être calculée
comme un résultat primaire complet du mesurage, selon le Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure,
par l'évaluation des quantités mesurées et d'autres informations utilisant un modèle mathématique de
l'évaluation qui tient compte de toutes quantités pertinentes. Généralement, on ne tient pas compte du fait
que le mesurande est non négatif. Alors, x peut prendre des valeurs négatives, en particulier si la vraie valeur
du mesurande est proche de zéro.
NOTE Le modèle d'évaluation de la mesure n'a pas nécessairement besoin d'être donné sous la forme de formules
mathématiques explicites. Il peut aussi être représenté par un algorithme ou un code de calcul (voir l'Équation 2).
Pour la détermination du seuil de décision et de la limite de détection, l'incertitude standard de la quantité de

décision doit être calculée, si possible, comme une fonction u (ξ) de la vraie valeur ξ du mesurande. Quand
ce n'est pas possible, des solutions approximatives sont décrites plus bas. ξ est la valeur d'un autre
ˆ
estimateur non négatif du mesurande. L'estimateur ξ, par contraste avec X, utilise le fait que le mesurande
ˆ
est non négatif. Les limites de l'intervalle de confiance à déterminer se rapportent à cet estimateur ξ (5.4). En
ˆ
outre les limites de l'intervalle de confiance , l'espérance Eξ de cet estimateur comme meilleure estimation z
ˆ 1/2
du mesurande et de la déviation standard [Var( ξ )] comme incertitude standard u(z) associée à la meilleure
estimation z du mesurande doivent être calculées (6.3).

Pour un calcul numérique du seuil de décision et de la limite de détection, on a besoin de la fonction u (ξ) qui
est l'incertitude standard associée à la quantité de décision X comme fonction de la vraie valeur ξ du
mesurande. Cette fonction, généralement, doit être déterminée par l'utilisateur de la présente partie de
l'ISO 11929 au cours de l'évaluation de la mesure conformément au Guide pour l'expression de l'incertitude
de mesure. Pour les exemples voir l'Annexe A. Souvent, cette fonction croît lentement. Il est alors justifié dans

de nombreux cas d'utiliser l'approximation u (ξ) = u(x). Cela s'applique en particulier si l'estimation primaire x
du mesurande n'est pas plus grande que son incertitude standard u(x) associée à x. Si la valeur x est calculée
en tant que différence (phénomène net) de deux valeurs approximativement égales y et y obtenues par des
1 0
2 2 2

mesures indépendantes, soit x = y − y , on obtient u (0) = u (y ) + u (y ) avec les incertitudes standards
1 0 1 0
u(y ) et u(y ) associées, respectivement, à y et y .
1 0 1 0

Si seules u (0) et u(x) sont connues, une approximation par interpolation est souvent suffisante pour x > 0
selon:
22 2
()ξξ=− (0) · (1 / x +) ( x )· ξ / x

uu u
(1)

NOTE Dans beaucoup de cas u (ξ) est une fonction linéaire lentement croissante de ξ. Cela justifie les
approximations mentionnées au dessus, en particulier l'interpolation linéaire de  (ξ) au lieu de  (ξ), elle-même.
u u
Pour la mise en place d'un modèle mathématique d'évaluation de la mesure, on doit distinguer deux types de
quantité physiques: les quantités d'entrée et de sortie. Les quantités de sortie Y (k = 1, ., n) sont vues
k
comme étant des mesurandes (par exemple les paramètres d'une procédure de déconvolution ou
d'ajustement) qui doivent être déterminées par l'évaluation de la mesure. La quantité de décision X en est une.
Elles dépendent des quantités d'entrée X (i = 1, ., m) qui sont des quantités obtenues par des mesurages
i
répétés, des quantités d'influence et des résultats de mesures et d'évaluations préalables (voir 4.1.2 du Guide
pour l'expression de l'incertitude de mesure:1993). On doit calculer les estimations y des quantités de sortie
k
(mesurandes) en tant que résultats du mesurage et les incertitudes standards u(y ) associées aux y .
k k
Le modèle de l'évaluation est donné par un ensemble de relations fonctionnelles:
YG== (G , ., ); (k 1, .,n) (2)
X
kk 1
m
Les estimations des mesurandes Y , notées y , sont obtenues d'après l'Équation (2) en utilisant les
k k
estimations d'entrée x , ., x pour les valeurs des m quantités X , ., X . Par conséquent, les estimations de
1 m 1 m
sortie y et les incertitudes standards u (y ) associées aux y sont données par:
k c k k
y =G x( ,.,x ); (k = 1,.,n) (3)
km1
k
m
∂∂ G G
kl
u=(, )  · · u (x,x); (k,l=1,.,n) (4)
yy
ij
kl ∑
∂∂ X X
ij
ij,1=
où x et x sont les estimations de X et X et u(x , x ) = u(x , x ) est l'estimation de la covariance associée à x et
i j i j i j j i i
x . De ces covariances on obtient
j
u =() u ( , ) (5)
yyy
kkk
Dans les cas où les dérivées partielles ne sont pas disponibles de manière explicite, elles peuvent être
approximées numériquement de manière suffisante en utilisant l'incertitude standard u(x ) comme incrément
k
de x par:
k
∂G 1
k
= G xx[ , ., + u(x ) / 2, ., x ] −− xx[ , ., u(x ) / 2, ., x ] (6)
{}
G
k11i imk i im
∂xu()x
ii
Voir A.1 pour plus de détails et d'explications.
5.1.2 Modèle
Pour les besoins de la détermination d'une quantité de décision X (par exemple une surface nette d'une raie)
par déconvolution d'un spectre obtenu lors de mesurages par spectrométrie nucléaire, le modèle suivant est
utilisé. Les quantités sont estimées par x = n /t, n étant le nombre d'événements indépendants comptés dans
i i i
les (i = 1, ., m) canaux d'un spectre multicanaux. n obéit à la statistique Poissonienne, ainsi on obtient
i
2 2
u (x ) = n /t = x /t et u(x , x ) = 0 pour i = j. Toute influence du traitement de l'échantillon sur les incertitudes des
i i i i j
x et les autres sources d'incertitudes non Poissoniennes sont négligées dans la présente partie de
i
l'ISO 11929.
NOTE Si un ou plusieurs n sont égaux à zéro alors les u(n ) sont égaux à zéro, ce qui d'une part n'est pas réaliste et
i i
d'autre part pose le problème de division par u (n ) = 0 lors de l'utilisation des méthodes des moindres carrés pour la
i
déconvolution. Ce problème peut être évité en remplaçant tous les n par n + 1 ou une combinaison adaptée de canaux
i i
dans un spectre multicanaux.
Dans ce qui suit, la notation matricielle est utilisée pour les quantités, les valeurs et les fonctions abrégées par
T
le même symbole. Par exemple la matrice colonne x = (x , ., x ) est utilisée pour les estimations des
1 m
T
quantités d'entrée X = (X , ., X ) (ici les matrices colonnes sont écrites comme étant la transposée de
1 m
matrices lignes).
Pour la déconvolution d'un spectre multicanaux, un ensemble de fonctions M(Y) conformément à
l'Équation (3) est ajusté aux estimations x des m quantités d'entrée X qui sont les résultats mesurés x = n /t
i i
calculés d'après les comptages par canal n de la densité spectrale. Les quantités d'entrée peuvent contenir
i
des quantités complémentaires d'après lesquelles des données de mesures ou d'autres données sont
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utilisées dans la déconvolution et qui ont des incertitudes qui leur sont associées. De plus, il existe des
quantités d'entrée t dont les estimations existent mais qui ne sont pas supposées s'ajuster. Par commodité
i
les vecteurs x et t sont combinés dans un vecteur v.
Alors le modèle de déconvolution est donné par
Mx(, y, t) = M(ν, y) = 0 (7)
avec 0 étant le vecteur zéro.
Les composantes des incertitudes de mesure sont combinées aux matrices d'incertitudes U = [u(x , )] et
x i j
2 2
U = [u(y , )]. U est la matrice diagonale avec les éléments diagonaux u (x ) = n /t et par conséquent
y k l x i i
U = diag(x /t).
x i
Le calcul des quantités de sortie y, de la matrice d'incertitude U associée à y, et de la meilleure estimation z
y
des quantités d'entrée x d'après les données mesurées et estimées est en général une procédure
d'ajustement non linéaire qui est dans la plupart des cas une méthode des moindres carrés telle que décrite,
par exemple, dans la DIN 1319-4. De manière formelle, il suffit pour déconvoluer d'avoir les fonctions F et G
ou que les algorithmes respectifs existent, alors
yF == (x, t) F(v) (8)
z ==Gx(, y, t) H(v) (9)
avec (Hv) = G x[, F(x, t), t]
Les matrices d'incertitude U et U associées aux quantités de sortie y et de la meilleure estimation z des
y z
quantités d'entrée x doivent être calculées selon le Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure.
Cela donne
TT
; ==    (10)
UUF FHU UH
y ννν z ν νν
avec F et H indiquant les matrices des dérivées partielles des fonctions modèles: F = (∂F /∂x ) et
v v v i k
H = (∂H /∂x ).
v i k

Soit, par exemple, Y la quantité de décision X. Afin de calculer u(ξ), on remplace y par ξ et on obtient
1 1
y´ = (ξ, y , ., y ) et x´ = M(y´) = Ay´ avec un ensemble de fonctions adaptées. Cela conduit à la modification
2 n
de la matrice d'incertitude U = diag(x ´/t) et au remplacement de U par U dans l'Équation 10. La transition
x´ i x x´

(1,1) a modifié la matrice d'incertitude U et ainsi donne u ()ξ .
y
Pour des exemples explicites de modèles de fonctions en spectrométrie alpha et gamma ainsi que pour de
plus amples informations voir A.3.
5.2 Seuil de décision
*
Le seuil de décision x d'un mesurande non négatif quantifiant un phénomène physique selon 5.1 est une
valeur de la quantité de décision X qui, lorsqu'elle est dépassée par un résultat de mesure x, indique que le
*
phénomène physique est présent. Si x u x on décide que le phénomène physique n'est pas présent. Si cette
règle de décision est observée, une fausse décision en faveur de la présence d'un phénomène physique
survient avec une probabilité α (erreur de première espèce).
Le seuil de décision est donné par
*
= ·( u 0)
(11)
xk
1− α
Les valeurs des quantiles d'une distribution normale standard k sont données dans le Tableau 1. C'est la
1 − α
fonction Φ()k = 1 − α.
1 − α
*

Si l'approximation u (ξ) = u(x) est suffisant, on obtient x = k ⋅ u ()x
1− α
5.3 Limite de détection
*
La limite de détection ξ qui est la plus petite valeur vraie détectable du mesurande avec la méthode de
mesure est tellement plus grand que le seuil de décision que la probabilité d'erreur de deuxième espèce est
égale à β. La limite de détection est donnée par:
**
*

ξξ = + ·( u ) (12)
xk
1− β
L'Équation (12) est implicite. La limite de détection peut être calculée à partir de cette équation par une
*
itération, en utilisant, par exemple, l'approximation ξ = 2x*. Dans la plupart des cas, l'itération converge.
L'Équation (12) peut avoir plusieurs solutions. Dans ce cas la limite de détection est la plus petite valeur. Si
l'Équation (3) n'a pas de solution, la procédure de mesure n'est pas adaptée à l'objectif de mesure. Si
*
l'approximation u (ξ) = u(x) est suffisante, alors ξ = (k + k ) · u(x) est valable.
1 − α 1 − β
Si u (ξ) n'est pas connu de manière explicite pour ξ > 0, on obtient, avec u(0) et avec le résultat de mesure x
*
et son incertitude standard associée u(x) une approximation de ξ en utilisant la formule d'interpolation selon
l'Équation (1)
*
22 2 2
ξ =+a  + () − ·  (0) (13)
ak k u
11−−βα
22 2

avec a =+ k ·u (0)  ( / x) ·[ (x) − (0)]
ku u
1− α
1− β
*
Pour α = β on obtient ξ = 2α
*
Quand on utilise l'approximation donnée par l'Équation (13) pour calculer la limite de détection ξ et que les
* *
incertitudes de type B ne sont pas négligeables, un résultat de mesure xx>≈ 2 sera choisi. Si xx 2 on
obtient une limite de détection déraisonnablement élevée. Dans ce cas, l'approximation conduit à une valeur
*
limite supérieure de ξ . Si les incertitudes de type B sont négligeables alors les Équations (12) et (13)
convergent vers la même valeur de la limite de détection.
Les valeurs des quantiles k , k de la distribution normale standard sont données dans le Tableau 1.
1 − α 1− β
Ce sont Φα()k =−1 et Φβ()k =−1 .
1− α 1− β
5.4 Limites de confiance
*
Pour un résultat de mesure x supérieur au seuil de décision x , l'intervalle de confiance comprend la vraie
valeur du mesurande avec une probabilité donnée de 1 − γ. Elle est incluse dans les limites de confiance ξ et
l
ξ selon:
u
ξ=−xk ⋅u()x avec p=⋅κγ(1− / 2) (14)
p
l
ξ =+xk ⋅u()x avec q=−1(κγ⋅ /2) (15)
q
u
κ est fourni par:
xu/(x)
κΦ=−exp( z /2) dzx= [ /u(x)] (16)
∫
2π
−∞
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Les valeurs de la fonction Φ(t) sont tabulées (voir [9] dans la Bibliographie) et données dans le Tableau 1. Ce
Φ()kp= Φ()kq=
sont et .
p q
ˆ ˆ
Les limites de confiance ne sont pas symétriques autour de l'espérance Eξ . Les probabilités d'avoir ξ < ξ et
l
ˆ
ξ > ξ , cependant, sont toutes les deux égales à γ/2 et la relation 0 < ξ < ξ est valable. Pour x  (x)
u l u
l'approximation
ξ =±xk ⋅u()x (17)
l,u 1/− γ2
est applicable si xk>⋅2(⋅ux)
1/− γ2
6 Application de la présente partie de l'ISO 11929
6.1 Valeurs spécifiques
Les probabilités α, β et (1 − γ) doivent être spécifiées à l'avance par l'utilisateur de la présente partie de
l'ISO 11929. Les valeurs les plus fréquemment citées sont α = β = 0,05 et γ = 0,05.
6.2 Évaluation d'une méthode de mesure
Pour vérifier qu'une méthode de mesure (voir 3.1) est adaptée au mesurage d'un phénomène physique, la
limite de détection doit être comparée à une valeur de référence spécifiée (par exemple exigences spécifiques
liées à la sensibilité d'une procédure de mesure pour des raisons scientifiques, légales ou autres; voir 3.9).
La limite de détection est calculée en utilisant l'Équation (11). Si la limite de détection ainsi calculée est
supérieure à la valeur de référence, la procédure de mesure n'est pas adaptée.
6.3 Évaluation des résultats de mesure
Un résultat de mesure doit être comparé au seuil de décision calculé en utilisant l'Équation (10). Si le résultat
de mesure x est plus grand que le seuil de décision x*, on décide que le phénomène physique quantifié par le
mesurande est présent.
Si c'est le cas, la meilleure estimation z du mesurande est calculée en utilisant ω de l'Équation (16) par:
ux()⋅−exp x /[2u ()x]
{ }
ˆ
zx==Eξ + (18)
κ ⋅π2
avec l'incertitude standard u(z) associée à z:
ˆ
uz()==Var(ξ) u (x)−(z−x)⋅z (19)
Les relations suivantes z W x et z W 0 aussi bien que u(z) u u (x) sont valables et pour x  u(x) l'approximation
z = x et u(z) = u(x) reste vraie.
6.4 Documentation
Le rapport de mesures, conformément à la présente partie de l'ISO 11929, doit contenir le détail des
*
probabilités α, β et (1 − γ), du seuil de décision x*, de la limite de détection ξ et de la valeur de référence.
Pour un résultat de mesure x supérieur au seuil de décision x*, l'incertitude standard u(x) associée à x et les
limites de l'intervalle de confiance ξ doivent être données.
l,u
*
Si le résultat de mesure x est inférieur au seuil de décision ξ il sera indiqué «inférieur au seuil de décision».
Si la limite de détection est supérieure à la valeur de référence, il sera indiqué «méthode non adaptée à l'objet
de la mesure».
De plus, la meilleure estimation du mesurande ainsi que l'incertitude standard u(z) associée à z peut être
spécifiée si x/u(x) < 4.
7 Valeurs de la fonction de distribution de la distribution normale standard
t
Les valeurs de Φϕ()tz= ( ) dz et ϕ()z =π(1/ 2 )⋅exp(− z /2) sont données dans le Tableau 1. Pour la
∫
−∞
fonction de distribution de la distribution normale standard on obtient ΦΦ()−=tt1− (). Les quantiles de la
distribution normale standard peuvent aussi être obtenues d'après ce tableau avec t = k pour p = Φ()t
p
Φ()kp=
c'est-à-dire .
p
Pour t W 0 on obtient l'approximation (voir [14] dans la Bibliographie):
exp(−t / 2) 1
Φα()t =−1 ⋅( ⋅ζ+α ⋅ +α ⋅ )+ε;ζ=
ζζ
12 3
1+ α ⋅t
2π
−5
avec ε < 10 et
αα==0,332 67;  0,436 183 6;  α=− 0,120 167 6;  α= 0,937 298 0
01 2 3
Pour t < 0 on obtient Φ(t) d'après la relation Φ(t) = 1 − Φ(−t).
Pour 0,5 u p < 1, on obtient l'approximation suivante (voir [14] dans la Bibliographie):
bb +⋅t +b⋅
t
01 2
=−t + ;2ε t = − ⋅ln(1−p)
k
p
1 +⋅ct c+ ⋅ +c ⋅
tt
12 3
−4
avec ε < 4,5 × 10 et
b = 2,515 517; b = 0,802 853; b = 0,010 328
0 1 2
c = 1,432 788; c = 0,189 269; c = 0,001 308
1 2 3
Pour 0 < p < 0,5 on obtient k d'après la relation k = −k .
p p 1 − p
10 © ISO 2005 – Tous droits réservés

Tableau 1 — Valeurs de fonction de distribution de la distribution normale standard Φ(t)
(voir [7] dans la Bibliographie)
t t t t t
Φ(t) Φ(t) Φ(t) Φ(t) Φ(t)
0,00 0,500 0 0,70 0,758 0 1,40 0,919 2 2,10 0,982 1 2,80 0,997 4
0,02 0,508 0 0,72 0,764 2 1,42 0,922 2 2,12 0,983 0 2,90 0,998 1
0,04 0,516 0 0,74 0,770 4 1,44 0,925 1 2,14 0,983 8 3,00 0,998 6
0,06 0,523 9 0,76 0,776 4 1,46 0,927 8 2,16 0,984 6 3,10 0,999 0
0,08 0,531 9 0,78 0,782 3 1,48 0,930 6 2,18 0,985 4 3,20 0,999 3
0,10 0,539 8 0,80 0,788 1 1,50 0,933 2 2,20 0,986 1 3,30 0,999 5
0,12 0,547 8 0,82 0,793 9 1,52 0,935 7 2,22 0,986 8 3,40 0,999 7
0,14 0,555 7 0,84 0,799 6 1,54 0,938 2 2,24 0,987 4 3,50 0,999 8
0,16 0,563 6 0,86 0,805 1 1,56 0,940 6 2,26 0,988 1 3,60 0,999 8
0,18 0,571 4 0,88 0,810 6 1,58 0,943 0 2,28 0,988 7 3,80 0,999 9
0,20 0,579 3 0,90 0,815 9 1,60 0,945 2 2,30 0,989 3 4,00 1,000 0
0,22 0,587 1 0,92 0,821 2 1,62 0,947 4 2,32 0,989 8
0,24 0,594 8 0,94 0,826 4 1,64 0,949 5 2,34 0,990 4
0,26 0,602 0 0,96 0,831 5 1,66 0,951 5 2,36 0,990 9
0,28 0,610 3 0,98 0,836 5 1,68 0,953 5 2,38 0,991 3
0,30 0,617 9 1,00 0,841 3 1,70 0,955 4 2,40 0,991 8
0,32 0,625 5 1,02 0,846 1 1,72 0,957 3 2,42 0,992 2
0,34 0,633 1 1,04 0,850 8 1,74 0,959 1 2,44 0,992 7
0,36 0,640 6 1,06 0,855 4 1,76 0,961 0 2,46 0,993 0
0,38 0,648 0 1,08 0,859 9 1,78 0,962 5 2,48 0,993 4
0,40 0,655 4 1,10 0,864 3 1,80 0,964 1 2,50 0,993 8
0,42 0,662 8 1,12 0,868 6 1,82 0,965 6 2,52 0,994 1
0,44 0,670 0 1,14 0,872 9 1,84 0,967 1 2,54 0,994 5
0,46 0,677 2 1,16 0,877 0 1,86 0,968 6 2,56 0,994 8
0,48 0,684 4 1,18 0,881 0 1,88 0,970 0 2,58 0,995 1
0,50 0,691 5 1,20 0,884 9 1,90 0,971 3 2,60 0,995 3
0,52 0,698 5 1,22 0,888 8 1,92 0,972 6 2,62 0,995 6
0,54 0,705 4 1,24 0,892 5 1,94 0,973 8 2,64 0,995 9
0,56 0,712 3 1,26 0,896 1 1,96 0,975 0 2,66 0,996 1
0,58 0,719 0 1,28 0,899 7 1,98 0,976 2 2,68 0,996 3
0,60 0,725 8 1,30 0,903 2 2,00 0,977 2 2,70 0,996 5
0,62 0,732 4 1,32 0,906 6 2,02 0,978 3 2,72 0,996 7
0,64 0,738 9 1,34 0,909 9 2,04 0,979 3 2,74 0,996 9
0,66 0,745 4 1,36 0,913 1 2,06 0,980 3 2,76 0,997 1
0,68 0,751 8 1,38 0,916 2 2,08 0,981 2 2,78 0,997 3

Annexe A
(informative)
Exemple d'application de la présente partie de l'ISO 11929
A.1 Principes de déconvolution utilisant la théorie Bayesienne des incertitudes
Deux catégories de quantités physiques sont à distinguer dans l'évaluation des mesurages.
Les quantités de résultats (appelées quantités de sortie plus loin dans le texte) Y (k = 1, ., n) sont des
k
quantités (par exemple les paramètres d'une procédure de déconvolution) qui doivent être déterminées par
l'évaluation du mesurage. La quantité de décision X en est une. L'objectif est de calculer l'estimation y des
k
quantités de sortie en tant que résultats de mesure, les incertitudes standards u(y ) associées aux y et les
k k
covariances des incertitudes de mesure u(y , y ). Il apparaît que u (y ) = u(y , y ).
k l k k k
Les quantités d'entrée X (i = 1, ., m) sont des quantités telles que ρ ou ρ · t qui sont, par exemple, dérivées
i i i i
des mesurages par comptage. De plus ce sont des quantités de mesures répétées, des quantités d'influence
et des quantités de sortie d'évaluations préalables. Les estimateurs x de ces quantités d'entrée et les
i
incertitudes standards u(x ) associées aux x et les covariances u(x , x ) soit sont donnés, soit doivent être
i i i j
déterminés selon les procédures du Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure. Lors des mesurages
par comptage, on obtient pour les quantités ρ dérivées selon A.3 et l'Équation (A.9) avec le résultat de
i
2 2
comptage n et le temps de comptage (ou largeur de canal) t : x = n /t , u (x ) = n /t = x /t , u(x , x ) = 0 (en ce
i i i i i i i i i i i j
qui concerne n = 0 voir A.3).
i
Le modèle d'évaluation relie mathématiquement les quantités de sortie avec les quantités d'entrée:
YG== (X , .,X ); (k 1, .,n) (A.1)
kk 1 m
Les fonctions G n'ont pas besoin d'être exprimées de manière explicite par des expressions mathématiques.
k
Elles peuvent aussi être des algorithmes sous la forme d'un code de calcul.
Les résultats de mesurage y sont obtenus en substituant les quantités d'entrée X dans le modèle d'équations
k i
G par leurs estimations x :
k i
yG==(x ,.,x ); (k 1,.,n) (A.2)
kk 1 m
Les covariances u(y , y ) de leurs incertitudes sont données par:
k l
m
∂∂GG
kl
uu(yy, ) ==  · · x(,x); (k,l1,.,n) (A.3)
ij
kl ∑
∂∂XX
ij
ij,1=
u(y ) est la racine carrée positive de u(y , y ).
k k k
Les dérivées partielles n'ont pas besoin d'être calculées de manière explicite. Cela est particulièrement
avantageux si le calcul est complexe ou si le modèle d'équations n'est disponible qu'en tant que code de
calcul. Cela est suffisant pour calculer en premier les quotients différentiels

11 
∆=G G x , ., x+ u(x ), ., x − G x , ., x− u(x ), ., x / u(x ) (A.4)
ikk l i i m k l i i m i
 
 

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puis
m
u (, )=∆ ( G )⋅(∆ G)(⋅u
...