ISO 23509-1:2025
(Main)Bevel and hypoid gear geometry — Part 1: Basic methods
Bevel and hypoid gear geometry — Part 1: Basic methods
This document specifies the macro geometry of bevel gears. The term "bevel gears" is used to mean straight, skew, spiral, Zerol bevel and hypoid gear designs. If the text pertains to one or more, but not all, of these, the specific forms are identified. The manufacturing process of forming the desired tooth form is not intended to imply any specific process, but rather to be general in nature and applicable to all methods of manufacture. The geometry for the calculation of factors used in bevel gear rating, such as ISO 10300 (all parts), is also included. This document is intended for use by an experienced gear designer capable of selecting reasonable values for the factors based on his or her knowledge and background. It is not intended for use by the engineering public at large. Annex A provides a structure for the calculation of the methods provided in this document.
Géométrie des engrenages coniques et hypoïdes — Partie 1: Méthodes de base
Le présent document spécifie la macro géométrie des engrenages coniques. Le terme «engrenages coniques» est utilisé pour désigner les engrenages coniques droits, hélicoïdaux, spiroconiques, coniques Zerol ainsi que les engrenages hypoïdes. Lorsque le texte ne fait référence qu'à certains de ces types d'engrenage, les formes spécifiques sont alors identifiées. Il n'est pas prévu que le procédé d'usinage de la forme de denture souhaitée implique un procédé spécifique. Il est, au contraire, de nature générale et applicable à toutes les méthodes de fabrication. La géométrie pour le calcul des facteurs utilisés pour la capacité de charge des engrenages coniques, tel que spécifié dans l'ISO 10300 (toutes les parties), est également incluse. Le présent document est destiné à être utilisé par des concepteurs d'engrenages expérimentés, capables de sélectionner des valeurs raisonnables pour les facteurs en fonction de leurs connaissances et de leur expérience. Il ne s'adresse pas à un public d'ingénieurs au sens large. L'Annexe A présente une structure de calcul applicable aux méthodes indiquées dans le présent document.
General Information
Relations
Standards Content (Sample)
International
Standard
ISO 23509-1
First edition
Bevel and hypoid gear geometry —
2025-07
Part 1:
Basic methods
Géométrie des engrenages coniques et hypoïdes —
Partie 1: Méthodes de base
Reference number
© ISO 2025
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Website: www.iso.org
Published in Switzerland
ii
Contents Page
Foreword .v
Introduction .vii
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Terms, definitions and symbols . 1
3.1 Terms and definitions .1
3.2 Symbols .4
4 Hypoid and bevel gears nomenclature . 7
5 Design considerations .12
5.1 General . 12
5.2 Types of bevel gears . 12
5.2.1 General . 12
5.2.2 Straight bevels . 12
5.2.3 Spiral bevels. 12
5.2.4 Zerol bevels . 13
5.2.5 Hypoids . 13
5.2.6 Skew Bevels . . .14
5.3 Ratios .14
5.4 Hand of spiral .14
5.5 Preliminary gear size .14
6 Tooth geometry and cutting considerations . 14
6.1 Manufacturing considerations .14
6.2 Tooth taper . 15
6.3 Tooth depth configurations .16
6.3.1 Taper depth .16
6.3.2 Uniform depth.17
6.4 Angle modification, q .19
k
6.5 Cutter radius . 20
6.6 Mean radius of curvature . 20
6.7 Hypoid design .21
6.8 Most general type of gearing .21
6.9 Hypoid geometry . 22
6.9.1 Basics . 22
6.9.2 Crossing point .24
7 Pitch cone parameters .24
7.1 Initial data for pitch cone parameters .24
7.2 Determination of pitch cone parameters for bevel and hypoid gears . 25
7.2.1 Method 0 . 25
7.2.2 Method 1 . 26
7.2.3 Method 2 . 29
7.2.4 Method 3 . 34
8 Gear dimensions .36
8.1 Initial data for tooth profile parameters . 36
8.2 Determination of basic data . 38
8.3 Determination of root angles and face angles . 40
8.4 Determination of tooth depth at calculation point .42
8.5 Determination of root and face apexes .42
8.6 Determination of pinion facewidth, b .43
8.7 Determination of inner and outer spiral angles .45
8.7.1 Spiral bevel, hypoid, and Zerol bevel gears .45
8.7.2 Straight and skew bevel gears .47
8.8 Determination of tooth depth .47
iii
8.9 Determination of tooth thickness .47
8.10 Determination of remaining dimensions . 49
9 Undercut check .50
9.1 Pinion . 50
9.2 Wheel .52
Annex A (informative) Structure of ISO formula set for calculation of geometry data of bevel
and hypoid gears .54
Annex B (informative) Pitch cone parameters . 61
Annex C (informative) Gear dimensions .70
Annex D (informative) Analysis of forces . 76
Annex E (informative) Machine tool data.79
Bibliography .80
iv
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards
bodies (ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through
ISO technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee
has been established has the right to be represented on that committee. International organizations,
governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely
with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
The procedures used to develop this document and those intended for its further maintenance are described
in the ISO/IEC Directives, Part 1. In particular, the different approval criteria needed for the different types
of ISO documents should be noted. This document was drafted in accordance with the editorial rules of the
ISO/IEC Directives, Part 2 (see www.iso.org/directives).
ISO draws attention to the possibility that the implementation of this document may involve the use of
patents. ISO takes no position concerning the evidence, validity or applicability of any claimed patent rights
in respect thereof. As of the date of publication of this document, ISO had not received notice of patents
which may be required to implement this document. However, implementers are cautioned that this
may not represent the latest information, which may be obtained from the patent database available at
www.iso.org/patents. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
Any trade name used in this document is information given for the convenience of users and does not
constitute an endorsement.
For an explanation of the voluntary nature of standards, the meaning of ISO specific terms and expressions
related to conformity assessment, as well as information about ISO's adherence to the World Trade
Organization (WTO) principles in the Technical Barriers to Trade (TBT), see www.iso.org/iso/foreword.html.
This document was prepared by Technical Committee ISO/TC 60, Gears, Subcommittee SC 2, Gear capacity
calculation.
This first edition cancels and replaces ISO 23509:2016, which has been technically revised.
The main changes are as follows:
— Clause 3 has been rearranged, Figures 1 to 3 have been moved to a new Clause 4;
— different symbols for pinion offset angles (approximate, intermediate, in pitch plane, in axial plane) for
the different methods have been harmonized;
— Figure 1, keys 4, 5, 6, and 26 have been rearranged, keys 27 to 31 have been added;
— subclause 5.2.6 on skew bevel with new Figure 8 has been inserted;
— indication of mean whole depth, mean addendum and mean dedendum in Figure 11 a) and Figure 11 b)
have been revised;
— subclause 6.4 has been renamed angle modification and revised, and new Figures 13 and 14 have been
inserted;
— keys 2 and 16 of Figure 16 have been revised;
— subclause 7.2.2, the condition to stop the iteration process for the determination of the pitch cone
parameters for Method 1 has been modified;
— Table 4 has been updated;
— Clause 8 has been updated respecting new content related to angle modification in 6.4;
— subclause 8.5, Formulae (157) and (158) related to the determination of the pinion face and pinion root
apex have been corrected;
v
— subclause 8.6, Formulae (167) and (168) related to the increment along pinion axis have been corrected;
— subclause 8.9, Formula (220) related to the mean chordal addendum has been corrected;
— A.4 has been modified to distinguish between theoretical and modified tooth contour, Figures A.3 and
A.5 have been revised and new Figures A.6 and A.7 have been inserted;
— Table C.1, has been modified to introduce accuracy grades according to ISO 17485;
— C.5, addendum and dedendum angle of wheels has been specified to non-uniform tooth depth;
— Table E.1 has been updated;
— sample calculations of former Annex F have been removed and are intended to be published as a separate
Technical Report.
A list of all parts in the ISO 23509 series can be found on the ISO website.
Any feedback or questions on this document should be directed to the user’s national standards body. A
complete listing of these bodies can be found at www.iso.org/members.html.
vi
Introduction
For many decades, information on bevel, and especially hypoid, gear geometry has been developed and
published by the gear machine manufacturers. The specific formulae for their respective geometries
were developed for the mechanical generation methods of their particular machines and tools. In many
cases, these formulae were not used in general for all bevel gear types. This situation changed with the
introduction of universal, multi-axis, computerized numerical control (CNC)-machines, which in principle
can produce nearly all types of gearing. The manufacturers were, therefore, asked to provide CNC programs
for the geometries of different bevel gear generation methods on their machines.
This document integrates straight bevel gears and the three major design generation methods for spiral
bevel gears into one complete set of formulae. In only a few places, specific formulae for each method will
be applied. The structure of the formulae is such that they can be programmed directly, allowing the user to
compare the different designs.
The formulae of the three methods are developed for the general case of hypoid gears and to calculate
the specific case of spiral bevel gears by entering zero for the hypoid offset. Additionally, the geometries
correspond such that each gear set consists of a generated or non-generated wheel without offset and a
pinion which is generated and provided with the total hypoid offset.
This document deals with the macro geometry of bevel gears. Some information on micro geometry and
[4]
manufacturing can be found in ISO/TR 22849 .
vii
International Standard ISO 23509-1:2025(en)
Bevel and hypoid gear geometry —
Part 1:
Basic methods
1 Scope
This document specifies the macro geometry of bevel gears.
The term "bevel gears" is used to mean straight, skew, spiral, Zerol bevel and hypoid gear designs. If the text
pertains to one or more, but not all, of these, the specific forms are identified.
The manufacturing process of forming the desired tooth form is not intended to imply any specific process,
but rather to be general in nature and applicable to all methods of manufacture.
The geometry for the calculation of factors used in bevel gear rating, such as ISO 10300 (all parts), is also
included.
This document is intended for use by an experienced gear designer capable of selecting reasonable values
for the factors based on his or her knowledge and background. It is not intended for use by the engineering
public at large.
Annex A provides a structure for the calculation of the methods provided in this document.
2 Normative references
The following document is referred to in the text in such a way that some or all of their content constitutes
requirements of this document. For dated references, only the edition cited applies. For undated references,
the latest edition of the referenced document (including any amendments) applies.
ISO 1122-1, Vocabulary of gear terms — Part 1: Definitions related to geometry
3 Terms, definitions and symbols
For the purposes of this document, the terms and definitions given in ISO 1122-1 and the following apply.
ISO and IEC maintain terminology databases for use in standardization at the following addresses:
— ISO Online browsing platform: available at https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: available at https:// www .electropedia .org/
3.1 Terms and definitions
3.1.1
coast side
by normal convention, convex pinion flank in mesh with the concave wheel flank
3.1.2
crown gear
usually planar virtual crown gear whose pitch angle is 90° and which replaces in a bevel gear pair the basic
rack used to generate involute cylindrical gear by analogy
Note 1 to entry: A figure of such crown gear can be found in [5] or [6].
3.1.3
cutter radius
r
c0
nominal radius of the face type cutter or cup-shaped grinding wheel that is used to cut or grind the spiral
bevel teeth
3.1.4
drive side
by normal convention, concave pinion flank in mesh with the convex wheel flank
3.1.5
facewidth
b
length of the teeth measured along a pitch cone element
3.1.6
mean addendum
h , h
am1 am2
height by which the gear tooth projects above the pitch cone at the mean cone distance
3.1.7
mean addendum factor
c
ham
distribution factor of the mean working depth, h , between wheel and pinion mean addendums
mw
Note 1 to entry: The gear mean addendum is equal to c times the mean working depth.
ham
3.1.8
mean chordal addendum
h , h
amc1 amc2
height from the top of the gear tooth to the chord subtending the circular thickness arc at the mean cone
distance in a plane normal to the tooth face
3.1.9
mean dedendum
h , h
fm1 fm2
depth of the tooth space below the pitch cone at the mean cone distance
3.1.10
mean normal chordal tooth thickness
s , s
mnc1 mnc2
chordal thickness of the gear tooth at the mean cone distance in a plane normal to the tooth trace (3.1.24)
3.1.11
mean normal circular tooth thickness
s , s
mn1 mn2
length of arc on the pitch cone between the two sides of the gear tooth at the mean cone distance in the plane
normal to the tooth trace (3.1.24)
3.1.12
mean point
point where the calculation of basic geometry is executed
Note 1 to entry: Mean point does not necessarily coincide with middle point of facewidth (3.1.5).
Note 2 to entry: In all the methods listed in this document, the term “mean point” refers to “calculation point”. See A.3
for calculation points.
3.1.13
mean radius of curvature
ρ
mβ
radius of curvature of the tooth surface in the lengthwise direction at the mean cone distance
3.1.14
mean whole depth
h
m
tooth depth at mean cone distance
3.1.15
mean working depth
h
mw
depth of engagement of two gears at mean cone distance
3.1.16
number of blade groups
z
number of blade groups contained in the circumference of the cutting tool
3.1.17
number of crown gear teeth
z
p
number of teeth in the whole circumference of the crown gear (3.1.2)
Note 1 to entry: The number will not become necessarily an integer.
3.1.18
number of teeth
z , z
1 2
number of teeth contained in the whole circumference of the pitch cone
3.1.19
outer normal backlash
j
en
amount by which the tooth thicknesses are reduced to provide the necessary backlash in assembly
Note 1 to entry: It is specified at the outer cone distance.
3.1.20
sum of dedendum angles for constant slot width
Σθ
fC
sum of the pinion and wheel dedendum angles for constant slot width
3.1.21
sum of dedendum angles
Σθ
f
sum of the pinion and wheel dedendum angles
3.1.22
sum of dedendum angles for modified slot width taper
Σθ
fM
sum of the pinion and wheel dedendum angles for modified slot width taper
3.1.23
sum of dedendum angles for standard depth taper
Σθ
fS
sum of the pinion and wheel dedendum angles for standard depth taper
3.1.24
tooth trace
curve of the tooth on the pitch surface
3.2 Symbols
For the purpose of this document, the symbols and general subscripts given in Table 1 and Table 2 apply.
Table 1 — Symbols, their descriptions and units
Symbol Description Unit
A intermediate variable —
a hypoid offset mm
b , b facewidth mm
1 2
b , b facewidth from calculation point to outside mm
e1 e2
b , b facewidth from calculation point to inside mm
i1 i2
c , c clearance mm
1 2
c facewidth factor —
be2
c mean addendum factor of wheel —
ham
d , d outside diameter mm
ae1 ae2
d , d inner outside diameter mm
ai1 ai2
d , d outer pitch diameter mm
e1 e2
d , d outer root diameter mm
fe1 fe2
d , d inner root diameter mm
fi1 fi2
d , d mean pitch diameter mm
m1 m2
F axial force N
ax
F , F tangential force at mean diameter N
mt1 mt2
F radial force N
rad
f influence factor of limit pressure angle —
αlim
h , h outer addendum mm
ae1 ae2
h , h inner addendum mm
ai1 ai2
h , h mean addendum mm
am1 am2
h , h mean chordal addendum mm
amc1 amc2
h , h outer whole depth mm
e1 e2
h , h outer dedendum mm
fe1 fe2
h , h inner dedendum mm
fi1 fi2
h , h mean dedendum mm
fm1 fm2
h inner whole depth mm
i1,2
h mean whole depth mm
m
h mean working depth mm
mw
h pinion whole depth mm
t1
j outer normal backlash mm
en
j outer transverse backlash mm
et
j mean normal backlash mm
mn
j mean transverse backlash mm
mt
approximate hypoid dimension factor (subscript indicates the —
K , K , K
M1 M2 M3
method used)
k clearance factor —
c
k depth factor —
d
TTaabbllee 11 ((ccoonnttiinnueuedd))
Symbol Description Unit
k basic crown gear addendum factor (related to m ) —
hap mn
k basic crown gear dedendum factor (related to m ) —
hfp mn
k circular thickness factor —
t
m outer transverse module mm
et
m mean normal module mm
mn
−1
n pinion speed min
P power kW
q angle modification °
k
R , R outer cone distance mm
e1 e2
R , R inner cone distance mm
i1 i2
R , R mean cone distance mm
m1 m2
r cutter radius mm
c0
s , s mean normal circular tooth thickness mm
mn1 mn2
s , s mean normal chordal tooth thickness mm
mnc1 mnc2
s , s mean transverse circular tooth thickness mm
mt1 mt2
T pinion torque Nm
t , t inner crown to crossing point mm
xi1 xi2
t , t outer crown to crossing point mm
xo1 xo2
t , t pitch apex beyond crossing point mm
z1 z2
t , t face apex beyond crossing point mm
zF1 zF2
t , t crossing point to mean point along axis mm
zm1 zm2
t , t root apex beyond crossing point mm
zR1 zR2
u gear ratio —
u equivalent ratio —
a
W wheel mean slot width mm
m2
x profile shift coefficient —
hm1
x , x thickness modification coefficient (backlash included) —
sm1 sm2
x thickness modification coefficient (theoretical) —
smn
z number of blade groups —
z , z number of teeth —
1 2
z number of crown gear teeth —
p
α nominal design pressure angle on coast side °
dC
α nominal design pressure angle on drive side °
dD
α effective pressure angle on coast side °
eC
α effective pressure angle on drive side °
eD
α generated pressure angle on coast side °
nC
α generated pressure angle on drive side °
nD
α limit pressure angle °
lim
β , β outer spiral angle °
e1 e2
β , β inner spiral angle °
i1 i2
β , β mean spiral angle °
m1 m2
Δb pinion facewidth increment mm
x1
Δg increment along pinion axis from calculation point to inside mm
xi
Δg increment along pinion axis from calculation point to outside mm
xe
TTaabbllee 11 ((ccoonnttiinnueuedd))
Symbol Description Unit
ΔK increment in hypoid dimension factor —
ΔΣ shaft angle departure from 90° °
δ , δ face angle °
a1 a2
δ , δ root angle °
f1 f2
δ , δ pitch angle °
1 2
ε face contact ratio —
β
η wheel offset angle in axial plane °
η second auxiliary angle (see Figure 15) °
θ , θ addendum angle °
a1 a2
θ , θ dedendum angle °
f1 f2
ϑ auxiliary angle °
m
λ first auxiliary angle (see Figure 15) °
λ' auxiliary angle °
ν lead angle of cutter °
ξ auxiliary angle °
ρ epicycloid base circle radius mm
b
ρ limit curvature radius mm
lim
ρ lengthwise tooth mean radius of curvature mm
mβ
ρ crown gear to cutter centre distance mm
P0
Σ shaft angle °
Σθ sum of dedendum angles °
f
Σθ sum of dedendum angles for constant slot width taper °
fC
Σθ sum of dedendum angles for standard taper °
fS
Σθ sum of dedendum angles for modified depth taper °
fM
ζ pinion offset angle in face plane °
o
pinion offset angle in axial plane (Method 1, Method 2, or Meth- °
ζ , ζ , ζ
m,M1 m,M2 m,M3
od 3)
ζ °
approximate pinion offset angle in axial plane (Method 2)
mi,M2
°
ζ , ζ ,
mp,M1 mp,M2
pinion offset angle in pitch plane (Method 1, Method 2, or Meth-
od 3)
ζ
mp,M3
ζ °
approximate pinion offset angle in pitch plane (Method 1)
mpi,M1
intermediate pinion offset angle in axial plane (Method 1, Meth- °
ζ' , ζ'
m,M1 m,M2
od 2)
intermediate pinion offset angle in pitch plane (Method 1, Meth- °
ζ' , ζ'
mp,M1 mp,M2
od 2)
ζ °
pinion offset angle in root plane
R
φ Intermediate or auxiliary angle °
Table 2 — General subscripts
Subscript Description
a addendum
b base
C coast side
D drive side
d nominal design
e effective, when used in connection with pressure angle
outer, when used as a geometric reference
f dedendum
i inner, when used as a geometric reference
approximate value, when used in connection with pinion offset
angle
lim limit
M1, M2, M3 Method 1, Method 2, Method 3
m mean
n normal
o face plane
p pitch plane
R root plane
t tangential, when used in connection with force
transverse
1 refers to pinion
2 refers to wheel
4 Hypoid and bevel gears nomenclature
The symbols, terms and definitions used in this document are, wherever possible, consistent with other
International Standards. It is known, because of certain limitations, that some symbols, their terms and
definitions, as used in this document, are different from those used in similar literature pertaining to spur
and helical gearing.
Bevel gear nomenclature used throughout this document is illustrated in Figure 1, the axial section of a
bevel gear, and in Figure 2, the mean transverse section. Hypoid nomenclature is illustrated in Figure 3.
Key
1 back angle 12 mean point 23 mean pitch diameter, d (d )
m2 m1
2 back cone angle 13 mounting distance 24 pinion
3 back cone distance 14 outer cone distance, R (R ) 25 wheel
e2 e1
4 outer crown 15 outside diameter, d (d ) 26 clearance, c (c )
ae2 ae1 2 1
5 outer crown to back 16 pitch angle, δ (δ ) 27 face cone
1 2
6 addendum angle, θ (θ ) 17 pitch cone apex 28 outer cone (back cone)
a1 a2
7 dedendum angle, θ , (θ ) 18 outer crown to crossing point, t (t ) 29 inner cone
f2 f1 xo1 xo2
8 face angle δ (δ ) 19 outer pitch diameter, d (d ) 30 back face
a1 a2 e2 e1
9 facewidth, b (b ) 20 root angle, δ (δ ) 31 inner crown
2 1 f1 f2
10 front angle 21 shaft angle, Σ
11 mean cone distance, R (R ) 22 equivalent pitch radius
m2 m1
NOTE 1 See Figure 2 for mean transverse section, A-A.
NOTE 2 To enhance clarity, terms occurring at both pinion and wheel are displayed only once. The corresponding
term, which is not displayed, is provided in parentheses.
Figure 1 — Axial section of straight, spiral, and skew bevel gears
Key
1 mean whole depth, h 7 mean transverse chordal thickness
m
2 pitch point 8 mean transverse backlash, j (j )
mt2 mt1
3 clearance, c (c ) 9 working depth, h
2 1 mw
4 mean transverse circular thickness, s (s ) 10 addendum, h (h )
mt1 mt2 am2 am1
5 mean transverse circular pitch 11 dedendum, h (h )
fm2 fm1
6 mean chordal addendum, h (h ) 12 equivalent pitch radius
amc1 amc2
Figure 2 — Mean transverse section of straight, spiral, and skew bevel gears
(Section A-A from Figure 1)
Key
1 face apex beyond crossing point, t 9 root angle, δ (δ )
zF1 f2 f1
2 root apex beyond crossing point, t 10 face angle of blank, δ (δ )
zR1 a2 a2
3 pitch apex beyond crossing point, t 11 wheel facewidth, b
z1 2
4 outer crown to crossing point, t (t ) 12 hypoid offset, a
xo1 xo2
5 inner crown to crossing point, t 13 mounting distance
xi1
6 outside diameter, d (d ) 14 pitch angle, δ (δ )
ae2 ae1 2 1
7 outer pitch diameter, d (d ) 15 outer cone distance, R (R )
e2 e1 e2 e1
8 shaft angle, Σ 16 pinion facewidth, b
NOTE 1 Apex beyond crossing point values are positive when crossing point lies inside the respective cone.
NOTE 2 To enhance clarity, terms occurring at both pinion and wheel are displayed only once. The corresponding
term, which is not displayed, is provided in parentheses.
Figure 3 — Hypoid nomenclature
5 Design considerations
5.1 General
Loading, speed, accuracy requirements, space limitations and special operating conditions influence the
design. For details, see Annex B, handbooks of gear manufacturing companies and ISO 10300 (all parts).
“Precision finish”, as used in this document, refers to a machine finishing operation which includes grinding,
skiving and hard cut finishing. However, the common form of finishing known as “lapping” is specifically
excluded as a form of precision finishing.
Users should determine the cutting methods available from their gear manufacturer prior to proceeding.
Cutting systems used by bevel gear manufacturers are heavily dependent upon the type of machine tool that
will be used.
5.2 Types of bevel gears
5.2.1 General
Bevel gears are suitable for transmitting power between shafts at practically any angle or speed. However,
the particular type of gear best suited for a specific application is dependent upon the mountings, available
space and operating conditions.
5.2.2 Straight bevels
Straight bevel gears (see Figure 4) are the simplest form of bevel gears. Contact on the driven gear begins at
the top of the tooth and progresses towards the root. They have teeth which are straight and tapered which,
if extended inward, generally intersect in a common point at the axis.
Figure 4 — Straight bevel gears
5.2.3 Spiral bevels
Spiral bevel gears (see Figure 5) have curved oblique teeth on which contact begins at one end of the tooth
and progresses smoothly to the other end. They mesh with contact similar to straight bevels but as the result
of additional overlapping tooth action, the motion will be transmitted more smoothly than by straight bevel
or Zerol bevel gears. This reduces noise and vibration especially noticeable at high speeds. Spiral bevel gears
can have their tooth surfaces precision-finished.
Figure 5 — Spiral bevel gears
5.2.4 Zerol bevels
Zerol bevel gears (see Figure 6), as well as other spiral bevel gears, with zero spiral angle have curved teeth
which are in the same general direction as straight bevel teeth. They produce the same thrust loads on the
bearings, can be used in the same mounting, have smooth operating characteristics and are manufactured
on the same machines as spiral bevel gears. Zerol bevels can have their tooth surfaces precision-finished.
Gears with spiral angles less than 10° are sometimes referred to by the name “Zerol”.
Figure 6 — Zerol bevel gears
5.2.5 Hypoids
Hypoid gears (see Figure 7) are similar to spiral bevel gears except that the pinion axis is offset above or
below the wheel axis, see B.3. If there is sufficient offset, the shafts can pass one another and a compact
straddle mounting can be used on the wheel and pinion. Hypoid gears can have their tooth surfaces
precision-finished.
Figure 7 — Hypoid gears
5.2.6 Skew Bevels
Skew bevel gears (see Figure 8) have teeth that are oblique with straight-line elements that if extended
would not intersect the gear axis. They generally operate at a 90° shaft angle. Skew hypoid bevel gears are
not covered in this document.
Figure 8 — Skew bevel gears
5.3 Ratios
Bevel gears may be used for both speed-reducing and speed-increasing drives. The required ratio shall be
determined from the given input speed and required output speed. For power drives, the ratio in bevel and
hypoid gears may be as low as 1 but should not exceed approximately 10. High-ratio hypoids from 10 to
approximately 20 have found considerable usage in machine tool design where precision gears are required.
In speed-increasing applications, the ratio should not exceed 5.
5.4 Hand of spiral
The hand of spiral should be selected to give an axial thrust that tends to move both the wheel and pinion
out of mesh when operating in the predominant working direction.
Often, the mounting conditions will dictate the hand of spiral to be selected. For spiral bevel and hypoid
gears, both members should be held against axial movement in both directions.
A right-hand spiral bevel gear is one in which the outer half of a tooth is inclined in the clockwise direction
from the axial plane through the midpoint of the tooth as viewed by an observer looking at the face of the
gear. Figure 5 shows a right-hand wheel.
A left-hand spiral bevel gear is one in which the outer half of a tooth is inclined in the anticlockwise
(counterclockwise) direction from the axial plane through the midpoint of the tooth as viewed by an
observer looking at the face of the gear. Figure 5 shows a left-hand pinion.
To avoid the loss of backlash, the hand of spiral should be selected to give an axial thrust that tends to move
the pinion out of mesh (see Annex D).
For relation of the hand of spiral and the direction of hypoid offset, see B.3.
5.5 Preliminary gear size
Once the preliminary gear size is determined (see B.4.3), the tooth proportions of the gears should be
established and the resulting design should be checked for bending strength and pitting resistance. See
ISO 10300 (all parts).
6 Tooth geometry and cutting considerations
6.1 Manufacturing considerations
This clause presents tooth dimensions for bevel and hypoid gears in which the teeth are machined by a
face mill cutter, face hob cutter, a planing tool or a cup-shaped grinding wheel. The gear geometry is a
function of the cutting method used. For this reason, it is important that the user is familiar with the cutting
methods used by the gear manufacturer. The following section is provided to familiarize the user with this
interdependence.
6.2 Tooth taper
Bevel gear tooth design involves some consideration of tooth taper because the amount of taper affects the
final tooth proportions and the size and shape of the blank.
It is advisable to define the following interrelated basic types of tapers (these are illustrated in Figure 9, in
which straight bevel teeth are shown for simplicity).
— Depth taper refers to the change in tooth depth along the face measured perpendicular to the pitch cone.
— Slot width taper refers to the change in the point width formed by a V-shaped cutting tool of nominal
pressure angle, whose sides are tangent to the two sides of the tooth space and whose top is tangent to
the root cone, along the face.
— Space width taper refers to the change in the space width along the face. It is generally measured in the
pitch plane.
— Thickness taper refers to the change in tooth thickness along the face. It is generally measured in the
pitch plane.
Key
1 depth
2 slot width
3 thickness
4 space width
Figure 9 — Bevel gear tooth tapers
The taper of primary consideration for production is the slot width taper. The width of the slot at its
narrowest point determines the point width of the cutting tool and limits the edge radius that can be placed
on the cutter blade.
The taper which directly affects the blank is the depth taper through its effect on the dedendum angle, which
is used in the calculation of the face angle of the mating member.
The slot width taper depends upon the lengthwise curvature and the dedendum angle. It can be changed by
varying the depth taper, i.e. by tilting the root line as shown in Figure 10, in which the concept is simplified
by illustrating straight bevel teeth. In spiral bevel and hypoid gears, the amount by which the root line is
tilted is further dependent upon a number of geometric characteristics including the cutter radius.
This relationship is discussed more thoroughly in 6.3.
The root line is generally rotated about the mid-section at the pitch line in order to maintain the desired
working depth at the mean section of the tooth.
Key
1 pitch cone apex
Figure 10 — Root line tilt
6.3 Tooth depth configurations
6.3.1 Taper depth
6.3.1.1 Standard depth
Standard depth pertains to the configuration where the depth changes in proportion to the cone distance
at any particular section of the tooth. If the root line of such a tooth is extended, it intersects the axis at
the pitch cone apex, as illustrated in Figure 11a, but the face cone apex does not. The sum of the dedendum
angles of pinion and wheel for standard depth taper, Σθ , does not depend on cutter radius. Most straight
fS
bevel gears are designed with standard depth taper.
6.3.1.2 Constant slot width
This taper represents a tilt of the root line such that the slot width is constant while maintaining the proper
space width taper, see Figure 11b. The slot width taper is zero on both members.
The formula for the sum of the dedendum angles is given in C.5.1.
Formula (C.4), for the sum of the dedendum angles, indicates that the cutter radius, r , has a significant effect
c0
on the amount by which the root line is tilted. For a given design, the following tendencies should be noted.
— A large cutter radius increases the sum of the dedendum angles. If the radius is too large, the resultant
depthwise taper can adversely affect the depth of the teeth at either end, i.e. too shallow at
...
Norme
internationale
ISO 23509-1
Première édition
Géométrie des engrenages coniques
2025-07
et hypoïdes —
Partie 1:
Méthodes de base
Bevel and hypoid gear geometry —
Part 1: Basic methods
Numéro de référence
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publication ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun procédé, électronique ou mécanique,
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Tél.: +41 22 749 01 11
E-mail: copyright@iso.org
Web: www.iso.org
Publié en Suisse
ii
Sommaire Page
Avant-propos .v
Introduction .vii
1 Domaine d'application . 1
2 Références normatives . 1
3 Termes, définitions et symboles . 1
3.1 Termes et définitions .1
3.2 Symboles .4
4 Nomenclature des engrenages hypoïdes et coniques . 7
5 Considérations générales relatives à la conception .12
5.1 Généralités . 12
5.2 Types d'engrenages coniques . 12
5.2.1 Généralités . 12
5.2.2 Engrenages coniques droits . 12
5.2.3 Engrenages spiroconiques . 12
5.2.4 Engrenages coniques Zerol . 13
5.2.5 Engrenages hypoïdes. 13
5.2.6 Engrenages coniques hélicoïdaux .14
5.3 Rapports .14
5.4 Sens de la spirale .14
5.5 Dimension préliminaire de l'engrenage .14
6 Géométrie de la denture et considérations relatives au taillage .15
6.1 Considérations de fabrication . 15
6.2 Décroissance de la dent . 15
6.3 Configurations pour la hauteur de dent .17
6.3.1 Décroissance en hauteur .17
6.3.2 Hauteur de denture uniforme .18
6.4 Modification d'angle, q .19
k
6.5 Rayon de l'outil .21
6.6 Rayon de courbure moyen . . .21
6.7 Conception hypoïde . 22
6.8 Type d'engrenages le plus courant . . 22
6.9 Géométrie hypoïde . 23
6.9.1 Généralités . 23
6.9.2 Point d'intersection . 25
7 Paramètres du cône primitif de fonctionnement .25
7.1 Données initiales . 25
7.2 Détermination des paramètres du cône primitif de fonctionnement pour les engrenages
coniques et hypoïdes . 26
7.2.1 Méthode 0 . 26
7.2.2 Méthode 1 . 26
7.2.3 Méthode 2 . 30
7.2.4 Méthode 3 . 35
8 Dimensions d'engrenages .37
8.1 Données initiales des paramètres de profil .37
8.2 Détermination des données de base . 39
8.3 Détermination des angles de cône de pied et de tête .41
8.4 Détermination de la hauteur de dent au point de calcul .43
8.5 Détermination des sommets des cônes de pied et de tête .43
8.6 Détermination de la largeur de denture du pignon, b . 44
8.7 Détermination des angles de spirale intérieur et extérieur . 46
8.7.1 Engrenages spiroconiques, hypoïdes et coniques Zerol . 46
8.7.2 Engrenages coniques droits et hélicoïdaux . 48
iii
8.8 Détermination de la hauteur de dent . 48
8.9 Détermination de l'épaisseur de dent . 49
8.10 Détermination des autres dimensions . 50
9 Vérification du dégagement de pied . 51
9.1 Pignon .51
9.2 Roue . 54
Annexe A (informative) Structure de la série de formules ISO pour le calcul des données
géométriques des engrenages coniques et hypoïdes .56
Annexe B (informative) Paramètres du cône primitif de fonctionnement .64
Annexe C (informative) Dimension des engrenages . 74
Annexe D (informative) Analyse des forces .80
Annexe E (informative) Données relatives aux machines-outils .83
Bibliographie .84
iv
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux
de normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général
confiée aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire
partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont
décrites dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier, de prendre note des différents
critères d'approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document
a été rédigé conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2
(voir www.iso.org/directives).
L'ISO attire l'attention sur le fait que la mise en application du présent document peut entraîner l'utilisation
d'un ou de plusieurs brevets. L'ISO ne prend pas position quant à la preuve, à la validité et à l'applicabilité
de tout droit de propriété revendiqué à cet égard. À la date de publication du présent document, l'ISO
n'avait pas reçu notification qu'un ou plusieurs brevets pouvaient être nécessaires à sa mise en application.
Toutefois, il y a lieu d'avertir les responsables de la mise en application du présent document que des
informations plus récentes sont susceptibles de figurer dans la base de données de brevets, disponible à
l'adresse www.iso.org/brevets. L’ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne pas avoir identifié tout ou
partie de tels droits de brevet.
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données pour
information, par souci de commodité, à l'intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un engagement.
Pour une explication de la nature volontaire des normes, la signification des termes et expressions
spécifiques de l'ISO liés à l'évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l'adhésion de
l'ISO aux principes de l'Organisation mondiale du commerce (OMC) concernant les obstacles techniques au
commerce (OTC), voir www.iso.org/avant-propos.
Le présent document a été élaboré par le comité technique ISO/TC 60, Engrenages, sous-comité SC 2, Calcul
de la capacité des engrenages.
Cette première édition annule et remplace l’ISO 23509:2016, qui a fait l'objet d'une révision technique.
Les principales modifications sont les suivantes:
— l'Article 3 a été réorganisé, les Figures 1 à 3 ont été déplacées dans un nouvel Article 4;
— différents symboles pour des angles de décalage du pignon (approximation, valeur intermédiaire, dans
le plan primitif, dans le plan axial) pour les différentes méthodes ont été harmonisés;
— Figure 1, les légendes 4, 5, 6 et 26 ont été réorganisées, et les légendes 27 à 31 ont été ajoutées;
— le paragraphe 5.2.6 relatif aux engrenages coniques hélicoïdaux et une nouvelle Figure 8 ont été insérés;
— les indications de la hauteur de dent moyenne, de la saillie moyenne et du creux moyen à la Figure 11 a)
et à la Figure 11 b) ont fait l'objet d'une révision;
— le paragraphe 6.4 a été renommé "Modification d'angle" et a fait l'objet d'une révision, et les nouvelles
Figures 13 et 14 ont été insérées;
— les légendes 2 et 16 de la Figure 16 ont fait l'objet d'une révision;
— dans le paragraphe 7.2.2, les conditions d'arrêt du processus d'itération pour la détermination des
paramètres du cône primitif de fonctionnement pour la Méthode 1 ont été modifiées;
— le Tableau 4, a été mis à jour;
v
— l'Article 8 a été mis à jour pour se conformer au nouveau contenu relatif à la modification d'angle du
paragraphe 6.4;
— dans le paragraphe 8.5, les Formules (157) et (158) relatives à la détermination du sommet du cône de
tête du pignon et du sommet du cône de pied du pignon ont été corrigées;
— dans le paragraphe 8.6, les Formules (167) et (168), relatives à l'incrément le long de l'axe du pignon ont
été corrigées;
— dans le paragraphe 8.9, la Formule (220) relative à la saillie moyenne à la corde a été corrigée;
— l'Article A.4 a été modifiée en faisant la distinction entre le profil de denture théorique et le contour
modifié de la dent, les Figures A.3 et A.5 ont fait l'objet d'une révision et les nouvelles Figures A.6 et A.7
ont été insérées;
— le Tableau C.1 a été modifié via l'introduction de classes de précision conformément à l'ISO 17485;
— dans l'Article C.5, l’angle de saillie et de creux des roues dentées ont été spécifiés par rapport aux hauteurs
de dent non uniformes;
— le Tableau E.1 a été mis à jour;
— les exemples de calcul de l'ancienne Article F ont été supprimés et sont destinés à être publiés dans un
Rapport Technique distinct.
Une liste de toutes les parties de la série ISO 23509 se trouve sur le site web de l'ISO.
Il convient que l'utilisateur adresse tout retour d'information ou toute question concernant le présent
document à l'organisme national de normalisation de son pays. Une liste exhaustive desdits organismes se
trouve à l'adresse www.iso.org/fr/members.html.
vi
Introduction
Pendant plusieurs décennies, les informations relatives à la géométrie des engrenages coniques, et plus
particulièrement des engrenages hypoïdes, ont été collectées et publiées par les constructeurs de machines
à tailler les engrenages. Les formules spécifiques à leur géométrie respective ont été établies pour les
méthodes de génération mécanique les machines et outils propres aux constructeurs de machine. Dans de
nombreux cas, ces formules n’étaient pas utilisées pour tous les types d'engrenage conique. Cette situation
a évolué grâce à l'introduction des machines à commande numérique (CNC) universelles, multiaxes, qui en
principe peuvent produire tous les types d'engrenage. En conséquence, les constructeurs de machines ont
dû fournir des programmes CNC adaptés à la géométrie des différentes méthodes de génération d'engrenage
conique présentes sur leurs machines.
Le présent document intègre, dans un ensemble complet de formules, les engrenages coniques droits ainsi
que les trois principales méthodes de conception des engrenages spiroconiques. Seuls quelques aspects
particuliers nécessiteront l'application de formules propres à chaque méthode. La structure des formules
permet leur programmation directe, ce qui donne la possibilité à l'utilisateur de comparer les différentes
conceptions.
Les formules des trois méthodes sont élaborées pour le cas général des engrenages hypoïdes et le calcul
associé au cas particulier des engrenages spiroconiques s'effectue en définissant un décalage hypoïde égal
à zéro. Par ailleurs, les géométries sont telles que chaque paire de roues dentées est constituée d'une roue
générée ou non sans décalage et d'un pignon généré et associé au décalage hypoïde total.
Le présent document traite de la macro géométrie des engrenages coniques. Des informations sur la micro
[4]
géométrie et la fabrication peuvent-être trouvées dans l’ISO/TR 22849 .
vii
Norme internationale ISO 23509-1:2025(fr)
Géométrie des engrenages coniques et hypoïdes —
Partie 1:
Méthodes de base
1 Domaine d'application
Le présent document spécifie la macro géométrie des engrenages coniques.
Le terme «engrenages coniques» est utilisé pour désigner les engrenages coniques droits, hélicoïdaux,
spiroconiques, coniques Zerol ainsi que les engrenages hypoïdes. Lorsque le texte ne fait référence qu'à
certains de ces types d'engrenage, les formes spécifiques sont alors identifiées.
Il n'est pas prévu que le procédé d'usinage de la forme de denture souhaitée implique un procédé spécifique.
Il est, au contraire, de nature générale et applicable à toutes les méthodes de fabrication.
La géométrie pour le calcul des facteurs utilisés pour la capacité de charge des engrenages coniques, tel que
spécifié dans l'ISO 10300 (toutes les parties), est également incluse.
Le présent document est destiné à être utilisé par des concepteurs d'engrenages expérimentés, capables
de sélectionner des valeurs raisonnables pour les facteurs en fonction de leurs connaissances et de leur
expérience. Il ne s'adresse pas à un public d'ingénieurs au sens large.
L'Annexe A présente une structure de calcul applicable aux méthodes indiquées dans le présent document.
2 Références normatives
Les documents suivants sont cités dans le texte de sorte qu'ils constituent, pour tout ou partie de leur
contenu, des exigences du présent document. Pour les références datées, seule l'édition citée s'applique. Pour
les références non datées, la dernière édition du document de référence s'applique (y compris les éventuels
amendements).
ISO 1122-1, Vocabulaire des engrenages — Partie 1: Définitions géométriques
3 Termes, définitions et symboles
Pour les besoins du présent document, les termes et les définitions de l'ISO 1122-1 ainsi que les suivants
s'appliquent.
L'ISO et l'IEC tiennent à jour des bases de données terminologiques destinées à être utilisées en normalisation,
consultables aux adresses suivantes:
— ISO Online browsing platform: disponible à l'adresse https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: disponible à l'adresse https:// www .electropedia .org/
3.1 Termes et définitions
3.1.1
flanc convexe pignon en prise
par convention normale, flanc de pignon convexe en engrènement avec le flanc de roue concave
3.1.2
roue plate
roue plate virtuelle habituellement plane dont l’angle primitif de fonctionnement est 90° et qui par analogie
remplace dans les couples d’engrenages coniques, la crémaillère de base utilisée pour générer l'engrenage
cylindrique en développante
[5] [6]
Note 1 à l'article: Une figure d'une telle roue plate peut être trouvée dans ou .
3.1.3
rayon de l’outil
r
c0
rayon nominal de l’outil de taillage type tourteau ou de la meule assiette profilée utilisée pour tailler ou
meuler les dents des engrenages spiroconiques
3.1.4
flanc concave pignon en prise
par convention normale, flanc du pignon concave en engrènement avec le flanc convexe de la roue
3.1.5
largeur de denture
b
longueur des dents mesurée le long d'un élément du cône primitif de fonctionnement
3.1.6
saillie moyenne
h , h
am1 am2
hauteur par laquelle la dent d’une roue dentée se projette au-dessus du cône primitif de fonctionnement au
niveau de la génératrice moyenne du cône primitif de fonctionnement
3.1.7
facteur de saillie moyen
c
ham
facteur de répartition de la hauteur utile moyenne, h , entre les saillies moyennes de la roue et du pignon
mw
Note 1 à l'article: La saillie moyenne de l'engrenage est égale à c fois la hauteur utile moyenne.
ham
3.1.8
saillie moyenne à la corde
h , h
amc1 amc2
distance entre le sommet d'une dent d’une roue dentée et la corde sous-tendant l'arc d'épaisseur de dent
apparente au niveau de la génératrice moyenne du cône primitif de fonctionnement, dans un plan normal
par rapport à la direction longitudinale de la dent
3.1.9
creux moyen
h , h
fm1 fm2
hauteur de l'entredent au-dessous du cône primitif de fonctionnement au niveau de la génératrice moyenne
du cône primitif de fonctionnement
3.1.10
épaisseur de dent normale moyenne à la corde
s , s
mnc1 mnc2
épaisseur à la corde des dents de la roue au niveau de la génératrice moyenne du cône primitif de
fonctionnement dans un plan normal par rapport à la ligne de flanc (3.1.24)
3.1.11
épaisseur de dent circulaire normale moyenne
s , s
mn1 mn2
longueur de l'arc sur le cône primitif de fonctionnement entre les deux côtés de la dent au niveau de la
génératrice moyenne du cône primitif de fonctionnement, dans le plan normal par rapport à la ligne de flanc
(3.1.24)
3.1.12
point moyen
point où la géométrie de base est calculée
Note 1 à l'article: Le point moyen ne coïncide pas nécessairement avec le point central de la largeur de denture (3.1.5).
Note 2 à l'article: Dans toutes les méthodes énumérées dans le présent document, le terme «point moyen» désigne le
«point de calcul». Voir A.3 pour les points de calcul.
3.1.13
rayon de courbure moyen
ρ
mβ
rayon de courbure de la surface de la dent dans le sens longitudinal au niveau de la génératrice moyenne du
cône primitif de fonctionnement
3.1.14
hauteur de dent moyenne
h
m
hauteur de dent au niveau de la génératrice moyenne du cône primitif de fonctionnement
3.1.15
hauteur utile moyenne
h
mw
hauteur de l'engrènement de deux roues au niveau de la génératrice moyenne du cône primitif de
fonctionnement
3.1.16
nombre de groupes de lames
z
nombre de groupes de lames contenues dans la circonférence de l'outil de taillage
3.1.17
nombre de dents de la roue plate virtuelle
z
p
nombre de dents dans la circonférence totale de la roue plate (3.1.2)
Note 1 à l'article: Ce nombre n’est pas nécessairement un entier.
3.1.18
nombre de dents
z , z
1 2
nombre de dents contenues dans la circonférence totale du cône primitif de fonctionnement
3.1.19
jeu de battement normal extérieur
j
en
grandeur de réduction des épaisseurs de dent apparentes en vue de fournir le jeu de battement nécessaire à
l'assemblage
Note 1 à l'article: Elle est spécifiée au niveau de la génératrice extérieure du cône primitif de fonctionnement.
3.1.20
somme des angles de creux, largeur de rainure constante
Σθ
fC
somme des angles de creux du pignon et de la roue pour une largeur de rainure constante
3.1.21
somme des angles de creux
Σθ
f
somme des angles de creux du pignon et de la roue
3.1.22
somme des angles de creux pour une largeur de rainure modifiée
Σθ
fM
somme des angles de creux du pignon et de la roue pour une largeur de rainure modifiée
3.1.23
somme des angles de creux pour une hauteur de dent standard
Σθ
fS
somme des angles de creux du pignon et de la roue pour une hauteur de dent standard
3.1.24
ligne de flanc
courbe de la dent sur la surface primitive de fonctionnement
3.2 Symboles
Pour les besoins du présent document, les symboles et les indices donnés dans le Tableau 1 et le
Tableau 2 s'appliquent.
Tableau 1 — Symboles, leurs descriptions et unités
Symbole Description Unité
A variable intermédiaire —
a décalage hypoïde mm
b , b largeur de denture mm
1 2
b , b largeur de denture du point de calcul vers l'extérieur mm
e1 e2
b , b largeur de denture du point de calcul vers l'intérieur mm
i1 i2
c , c vide à fond de dent mm
1 2
c facteur de largeur de denture —
be2
c facteur de saillie de la roue moyen —
ham
d , d diamètre de tête extérieur mm
ae1 ae2
d , d diamètre de tête intérieur mm
ai1 ai2
d , d diamètre primitif de fonctionnement extérieur mm
e1 e2
d , d diamètre de pied extérieur mm
fe1 fe2
d , d diamètre de pied intérieur mm
fi1 fi2
d , d diamètre primitif de fonctionnement moyen mm
m1 m2
F force axiale N
ax
F , F force tangentielle au niveau du diamètre moyen N
mt1 mt2
F force radiale N
rad
f facteur d'influence de l'angle de pression limite —
αlim
h , h saillie extérieure mm
ae1 ae2
h , h saillie intérieure mm
ai1 ai2
h , h saillie moyenne mm
am1 am2
h , h saillie moyenne à la corde mm
amc1 amc2
h , h hauteur de dent extérieure mm
e1 e2
h , h creux extérieur mm
fe1 fe2
h , h creux intérieur mm
fi1 fi2
h , h creux moyen mm
fm1 fm2
h hauteur de dent intérieure mm
i1,2
h hauteur de dent moyenne mm
m
h hauteur utile moyenne mm
mw
TTabableleaauu 1 1 ((ssuuiitte)e)
Symbole Description Unité
h hauteur de dent total du pignon mm
t1
j jeu de battement normal extérieur mm
en
j jeu de battement apparent extérieur mm
et
j jeu de battement normal moyen mm
mn
j jeu de battement apparent moyen mm
mt
approximation du facteur de dimension hypoïde (l'indice indique la —
K , K , K
M1 M2 M3
méthode utilisée)
k facteur de vide à fond de dent —
c
k facteur de hauteur de dent —
d
facteur de saillie de la roue plate virtuelle de référence (par rapport —
k
hap
à m )
mn
facteur de creux de la roue plate virtuelle de référence (par rapport —
k
hfp
à m )
mn
k facteur d'épaisseur de dent apparente —
t
m module apparent extérieur mm
et
m module normal moyen mm
mn
−1
n vitesse du pignon min
P puissance kW
q modification d'angle °
k
R , R génératrice extérieure du cône primitif de fonctionnement mm
e1 e2
R , R génératrice intérieure du cône primitif de fonctionnement mm
i1 i2
R , R génératrice moyenne du cône primitif de fonctionnement mm
m1 m2
r rayon de l'outil mm
c0
s , s épaisseur de dent circulaire normale moyenne mm
mn1 mn2
s , s épaisseur de dent normale moyenne à la corde mm
mnc1 mnc2
s , s épaisseur de dent circulaire apparente moyenne mm
mt1 mt2
T couple du pignon Nm
distance du point intérieur du cône de tête au sommet du cône au mm
t , t
xi1 xi2
point d'intersection
distance du point extérieur du cône de tête au sommet du cône au mm
t , t
xo1 xo2
point d'intersection
t , t sommet primitif de fonctionnement au-delà du point d'intersection mm
z1 z2
t , t sommet du cône de tête au-delà du point d'intersection mm
zF1 zF2
t , t distance entre le point d'intersection et un point moyen le long de l'axe mm
zm1 zm2
t , t sommet du cône de pied au-delà du point d'intersection mm
zR1 zR2
u rapport d'engrenage —
u rapport équivalent —
a
W largeur de rainure moyenne de la roue mm
m2
x coefficient de déport —
hm1
coefficient de modification de l'épaisseur de dent (jeu de battement —
x , x
sm1 sm2
inclus)
x coefficient de modification de l'épaisseur de dent (théorique) —
smn
z nombre de groupes de lames —
z , z nombre de dents —
1 2
z nombre de dents de roue plate virtuelle —
p
α angle de pression nominal de conception flanc convexe pignon en prise °
dC
TTabableleaauu 1 1 ((ssuuiitte)e)
Symbole Description Unité
α angle de pression nominal de conception flanc concave pignon en prise °
dD
α angle de pression effectif flanc convexe pignon en prise °
eC
α angle de pression effectif flanc concave pignon en prise °
eD
α angle de pression normal généré flanc convexe pignon en prise °
nC
α angle de pression normal généré flanc concave pignon en prise °
nD
α angle de pression limite °
lim
β , β angle de spirale extérieur °
e1 e2
β , β angle de spirale intérieur °
i1 i2
β , β angle de spirale moyen °
m1 m2
Δb incrément de largeur de denture du pignon mm
x1
incrément le long de l'axe du pignon à partir du point de calcul vers mm
Δg
xi
l'intérieur
incrément le long de l'axe du pignon à partir du point de calcul vers mm
Δg
xe
l'extérieur
ΔK incrément du facteur de dimension hypoïde —
ΔΣ écart de l'angle des axes à partir de 90° °
δ , δ angle du cône de tête °
a1 a2
δ , δ angle du cône de pied °
f1 f2
δ , δ angle primitif de fonctionnement °
1 2
ε rapport de conduite —
β
η angle de décalage de la roue par rapport au plan axial °
η deuxième angle auxiliaire (voir Figure 15) °
θ , θ angle de saillie °
a1 a2
θ , θ angle de creux °
f1 f2
ϑ angle auxiliaire °
m
λ premier angle auxiliaire (voir Figure 15) °
λ' angle auxiliaire °
ν inclinaison de l'outil °
ξ angle auxiliaire °
ρ rayon du cercle de base épicycloïde mm
b
ρ rayon de courbure limite mm
lim
ρ rayon de courbure moyen de la denture dans le sens longitudinal mm
mβ
ρ entraxe roue plate virtuelle - outil de taillage mm
P0
Σ angle des axes °
Σθ somme des angles de creux °
f
Σθ somme des angles de creux pour une largeur de rainure constante °
fC
Σθ somme des angles de creux pour une hauteur de denture standard °
fS
Σθ somme des angles de creux pour une largeur de rainure modifiée °
fM
ζ angle de décalage du pignon au niveau du plan de tête °
o
angle de décalage du pignon dans le plan axial (Méthode 1, Méthode 2, °
ζ , ζ , ζ
m,M1 m,M2 m,M3
ou Méthode 3)
approximation de l'angle de décalage du pignon dans le plan axial °
ζ
mi,M2
(Méthode 2)
ζ , ζ , °
mp,M1 mp,M2
angle de décalage du pignon dans le plan primitif de fonctionnement
ζ (Méthode 1, Méthode 2, ou Méthode 3)
mp,M3
TTabableleaauu 1 1 ((ssuuiitte)e)
Symbole Description Unité
approximation de l'angle de décalage du pignon dans le plan primitif °
ζ
mpi,M1
de fonctionnement (Méthode 1)
valeur intermédiaire de l’angle de décalage du pignon dans le plan °
ζ' , ζ'
m,M1 m,M2
axial (Méthode 1, Méthode 2)
valeur intermédiaire de l’angle de décalage du pignon dans le plan °
ζ' , ζ'
mp,M1 mp,M2
primitif de fonctionnement (Méthode 1, Méthode 2)
°
ζ angle de décalage du pignon au niveau du plan de pied
R
φ Angle intermédiaire ou auxiliaire °
Tableau 2 — Indices courants
Indice Description
a de tête
b de base
C flanc convexe pignon en prise
D flanc concave pignon en prise
d nominal de conception
effectif, quand utilisé avec un angle de pression
e
extérieur, quand utilisé avec une référence géométrique
f de pied
intérieur, quand utilisé avec une référence géométrique
i
valeur approximative, quand utilisé en rapport avec l’angle de
décalage du pignon
lim limite
M1, M2, M3 Méthode 1, Méthode, Méthode 3
m moyen
n normal
o face plane
p plan primitif
R plan de pied
tangentiel quand utilisé avec une force
t
apparent
1 se réfère au pignon
2 se réfère à la roue
4 Nomenclature des engrenages hypoïdes et coniques
Les symboles, termes et définitions utilisés dans le présent document sont, dans la mesure du possible,
cohérents avec d'autres Normes internationales. Toutefois, en raison de certaines limitations, il est reconnu
que certains symboles, leurs termes et définitions, tels qu'utilisés dans le présent document, diffèrent de
ceux utilisés dans certains documents relatifs aux engrenages à dentures droites et hélicoïdales.
La nomenclature des engrenages coniques utilisée dans le présent document est illustrée à la Figure 1, vue
de la section axiale d'un engrenage conique et à la Figure 2, vue de la section transversale moyenne. La
nomenclature hypoïde est illustrée à la Figure 3.
Légende
1 angle extérieur
2 angle du cône complémentaire extérieur
3 génératrice du cône complémentaire extérieur
4 couronne extérieure
5 distance du point extérieur de tête à la face de référence arrière
6 angle de saillie, θ (θ )
a1 a2
7 angle de creux, θ , (θ )
f2 f1
8 angle de tête δ (δ )
a1 a2
9 largeur de denture, b (b )
2 1
10 angle avant
11 génératrice moyenne du cône primitif de fonctionnement, R (R )
m2 m1
12 point moyen P
13 distance de montage
14 génératrice extérieure du cône primitif de fonctionnement, R (R )
e2 e1
15 diamètre de tête extérieur, d (d )
ae2 ae1
16 angle primitif de fonctionnement, δ (δ )
1 2
17 sommet du cône primitif de fonctionnement
18 distance du point extérieur du cône de tête au point d'intersection, t (t )
xo1 xo2
19 diamètre primitif de fonctionnement extérieur, d (d )
e2 e1
20 angle de pied, δ (δ )
f1 f2
21 angle des axes, Σ
22 rayon équivalent primitif de fonctionnement
23 diamètre primitif de fonctionnement moyen, d (d )
m2 m1
24 pignon
25 roue
26 vide à fond de dent, c (c )
2 1
27 cône de tête
28 cône complémentaire extérieur (arrière)
29 cône complémentaire intérieur
30 face arrière
31 couronne intérieure
NOTE 1 Voir Figure 2 pour la section transversale moyenne, A-A.
NOTE 2 Par souci de clarté, les termes présents à la fois au niveau du pignon et de la roue ne sont affichés qu'une
seule fois. Le terme correspondant, qui n'est pas affiché, est fourni entre parenthèses
Figure 1 — Section axiale d’un engrenage conique droit, spiroconique, hélicoïdaux
Légende
1 hauteur de dent moyenne, h
m
2 point primitif de fonctionnement
3 vide à fond de dent, c (c )
1 2
4 épaisseur apparente de la dent moyenne, s (s )
mt1 mt2
5 pas apparent moyen
6 saillie à la corde moyenne, h (h )
amc1 amc2
7 épaisseur apparente de la dent à la corde moyenne
8 jeu apparent moyen, j (j )
mt2 mt1
9 hauteur de dent utile, h
mw
10 saillie, h (h )
am2 am1
11 creux, h (h )
fm2 fm1
12 rayon primitif de fonctionnement équivalent
Figure 2 — Section apparente moyenne d’un engrenage conique droit, spiro-conique, hélicoïdal
(Section A-A de la Figure 1)
Légende
1 distance du sommet du cône de tête au-delà du point d'intersection, t
zF1
2 distance du sommet du cône de pied au-delà du point d'intersection, t
zR1
3 distance du sommet primitif de fonctionnement au-delà du point d'intersection, t
z1
4 distance du point extérieur du cône de tête au point d'intersection, t (t )
xo1 xo2
5 distance du point intérieur du cône de tête au point d'intersection, t
xi1
6 diamètre de tête extérieur, d (d )
ae2 ae1
7 diamètre primitif de fonctionnement extérieur, d (d )
e2 e1
8 angle des axes, Σ
9 angle de pied, δ (δ )
f2 f1
10 angle de tête, δ (δ )
a2 a2
11 largeur de denture de la roue, b
12 décalage hypoïde, a
13 distance de montage
14 angle primitif de fonctionnement, δ (δ )
2 1
15 génératrice extérieure du cône primitif de fonctionnement, R (R )
e2 e1
16 largeur de denture du pignon, b
NOTE 1 Un sommet au-delà du point d'intersection prend une valeur positive lorsque ce point se situe dans le cône
respectif.
NOTE 2 Par souci de clarté, les termes présents à la fois au niveau du pignon et de la roue ne sont affichés qu'une
seule fois. Le terme correspondant, qui n'est pas affiché, est fourni entre parenthèses.
Figure 3 — Nomenclature hypoïde
5 Considérations générales relatives à la conception
5.1 Généralités
Le chargement, la vitesse, les exigences en matière d'exactitude, les limitations d'espace ainsi que les
conditions particulières de fonctionnement influencent la conception. Pour plus de détails, voir l'Annexe B,
les ouvrages de référence pour la fabrication des engrenages et l’ISO 10300 (toutes les parties).
Le terme «finition de précision» utilisé dans le présent document fait référence à une opération de finition
par usinage qui inclut la rectification, le «skiving» et la finition au tour. Toutefois, la forme de finition
courante appelée «rodage de la portée de denture» est spécifiquement non retenue comme forme de finition
de précision.
Il convient que les utilisateurs déterminent les méthodes de taillage disponibles chez le fabricant
d'engrenages avant d'aller plus avant. Les systèmes de taillage utilisés par les fabricants d'engrenages
coniques sont très dépendants du type de machine-outil qui sera utilisé.
5.2 Types d'engrenages coniques
5.2.1 Généralités
Les engrenages coniques permettent la transmission de puissance entre des axes, quels que soient l'angle et
la vitesse. Toutefois, le type d'engrenage le plus adapté à une application spécifique dépend des montages, de
l'espace disponible et des conditions de fonctionnement.
5.2.2 Engrenages coniques droits
Les engrenages coniques droits (voir Figure 4) correspondent à la forme la plus simple des engrenages
coniques. Le contact sur la roue menée commence au sommet de la dent et continue vers le pied. Ces
engrenages ont des dents droites et coniques qui, lorsqu'elles sont prolongées vers l'intérieur, convergent
généralement vers un point commun au niveau de l'axe.
Figure 4 — Engrenages coniques droits
5.2.3 Engrenages spiroconiques
Les engrenages spiroconiques (voir Figure 5) ont des dents obliques courbées sur lesquelles le contact
commence à une extrémité de la dent et se poursuit progressivement vers l'autre extrémité. Le contact
d'engrènement est similaire aux engrenages coniques droits mais compte tenu de l'action supplémentaire du
recouvrement des dents, le mouvement sera transmis avec plus de douceur que par les engrenages coniques
droits ou Zerol. Cette géométrie réduit le bruit et les vibrations, particulièrement décelables à des vitesses
élevées. Les surfaces de la denture des engrenages spiroconiques peuvent également subir une finition de
précision.
Figure 5 — Engrenages spiroconiques
5.2.4 Engrenages coniques Zerol
Les engrenages coniques Zerol (voir Figure 6), aussi bien que les engrenages spiroconiques dont l'angle de
spirale est nul, ont des dents courbées qui se trouvent dans la même direction générale que les dents des
engrenages coniques droits. Ils produisent la même poussée axiale sur les paliers, peuvent être utilisés dans
le même montage, présentent des caractéristiques de fonctionnement douces et sont fabriqués sur les mêmes
machines que les engrenages spiroconiques. La surface de la denture des engrenages Zerol peut également
subir une finition de précision. Les engrenages présentant un angle de spirale inférieur à 10° sont parfois
désignés par le terme «engrenages Zerol».
Figure 6 — Engrenages coniques Zerol
5.2.5 Engrenages hypoïdes
Les engrenages hypoïdes (voir Figure 7) sont similaires aux engrenages spiroconiques, si ce n'est que l'axe
du pignon est décalé au-dessus ou au-dessous de l'axe de la roue, voir B.3. Si le décalage est suffisant, les
arbres peuvent se croiser et un montage compact enjambant peut être utilisé sur la roue et le pignon. La
surface de la denture des engrenages hypoïdes peut également subir une finition de précision.
Figure 7 — Engrenages hypoïdes
5.2.6 Engrenages coniques hélicoïdaux
Les engrenages coniques hélicoïdaux (voir Figure 8) ont des dents qui sont obliques avec des éléments
linéaires rectilignes qui, si prolongés, ne croisent pas l'axe de la roue dentée. Elles ont généralement un angle
des axes de 90°. Les engrenages coniques hypoïdes hélicoïdaux ne sont pas couverts par le présent document.
Figure 8 — Engrenages coniques hélicoïdaux
5.3 Rapports
Les engrenages coniques peuvent être utilisés à la fois comme mécanismes d'entraînement multiplicateurs
et réducteurs de vitesse. Les rapports nécessaires doivent être déterminés à partir de la vitesse d'entrée
donnée et de la vitesse de sortie requ
...
Questions, Comments and Discussion
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