ISO 7870-6:2024
(Main)Control charts - Part 6: EWMA control charts for the process mean
Control charts - Part 6: EWMA control charts for the process mean
This document covers EWMA control charts, originally proposed by Roberts (1959)[16], as a statistical process control technique to detect small shifts in the process mean. It makes possible the faster detection of small to moderate shifts in the process mean. In this chart, the process mean is evaluated in terms of exponentially weighted moving average of all previous observations or averages. The EWMA control chart’s application is worthwhile in particular when - production rate is slow, - a minor or moderate shift in the process mean is vital to be detected, - sampling and inspection procedure is complex and time consuming, - testing is expensive, and - it involves safety risks. NOTE EWMA control charts are applicable for both variables and attributes data. The given examples illustrate both types (see 5.5, Annex A, Annex B and Annex C).
Cartes de contrôle — Partie 6: Cartes de contrôle EWMA pour la moyenne d'un processus
Le présent document traite des cartes de contrôle EWMA, proposées à l’origine par Roberts (1959)[16], comme technique de maîtrise statistique des procédés permettant de détecter des dérives/déréglages de petite amplitude dans la moyenne du processus. Elle permet de détecter plus rapidement des déréglages de petite et moyenne amplitude dans la moyenne du processus. Dans cette carte, la moyenne du processus est évaluée en termes de moyenne mobile pondérée exponentiellement de toutes les observations antérieures ou des moyennes antérieures. L’application de la carte de contrôle EWMA est utile, en particulier quand: — le taux de production est lent; — il est vital de détecter un décentrage faible ou moyen de la moyenne; — le mode opératoire d’échantillonnage et de contrôle est complexe et laborieux; — les essais sont onéreux; et — il y a des risques pour la sécurité. NOTE Les cartes de contrôle EWMA sont applicables à la fois pour des contrôles par mesures et par attributs. Les exemples fournis illustrent les deux types (voir 5.5, l’Annexe A, l’Annexe B et l’Annexe C).
General Information
Relations
Overview
ISO 7870-6:2024 specifies EWMA control charts (Exponentially Weighted Moving Average) for monitoring the process mean as part of statistical process control (SPC). The second edition replaces ISO 7870-6:2016 and documents the EWMA technique originally proposed by Roberts (1959). The standard explains how to construct EWMA charts that give greater weight to recent observations, improving detection speed for small to moderate shifts in the process mean while remaining applicable to both variables and attributes data.
Key topics and technical requirements
- Definition and formula for EWMA: z_i = λ x_i + (1 − λ) z_{i−1}, with guidance on the starting value z_0 (typically the target μ_0).
- Smoothing parameter (λ): selection guidance and impact on sensitivity (example weights given for λ = 0.25).
- Control limits and construction: procedures for calculating control limits (factor L, σ considerations) and plotting z-values; includes construction examples.
- Performance metrics: discussion of run length, Average Run Length (ARL), Maximum Run Length (MAXRL), and how ARL varies with shifts in the mean.
- Parameter selection: recommendations for choosing λ, L and subgroup size n (including n = 1 cases).
- Comparisons with other SPC charts: when to prefer EWMA vs Shewhart and CUSUM charts (advantages for detecting small shifts, combination strategies).
- Implementation procedure: step-by-step guidance for deploying EWMA charts in practice.
- Robustness: sensitivity of EWMA to non-normality and limitations.
- Examples and annexes: Annex A (application examples), Annex B (EWMA for proportion nonconforming), Annex C (EWMA for count of nonconformities).
- Reproducible calculations: tables and figures computed with the R-package SPC (Crowder algorithm); R-file available via the ISO standards site.
Applications and who should use it
EWMA control charts are particularly valuable when:
- production rate is slow or subgroup sizes are small (n = 1),
- detecting small or moderate shifts in the process mean is critical,
- sampling/inspection is time-consuming or expensive,
- testing involves safety or high risk.
Typical users:
- quality engineers and process control specialists,
- industrial statisticians and Six Sigma practitioners,
- regulated industries (pharmaceuticals, medical devices, aerospace, nuclear) where early detection of drift is vital,
- laboratories and manufacturers with costly or slow testing procedures.
Related standards
- ISO 7870 series (other control chart types)
- ISO 7870-4: CUSUM control charts (complementary approach for small shifts)
- ISO 3534-2: Vocabulary and symbols - applied statistics (normative reference)
Keywords: ISO 7870-6, EWMA control chart, exponentially weighted moving average, statistical process control, process mean, small shift detection, ARL, λ smoothing parameter, quality control.
Standards Content (Sample)
International
Standard
ISO 7870-6
Second edition
Control charts —
2024-07
Part 6:
EWMA control charts for the
process mean
Cartes de contrôle —
Partie 6: Cartes de contrôle EWMA pour la moyenne d'un
processus
Reference number
© ISO 2024
All rights reserved. Unless otherwise specified, or required in the context of its implementation, no part of this publication may
be reproduced or utilized otherwise in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, or posting on
the internet or an intranet, without prior written permission. Permission can be requested from either ISO at the address below
or ISO’s member body in the country of the requester.
ISO copyright office
CP 401 • Ch. de Blandonnet 8
CH-1214 Vernier, Geneva
Phone: +41 22 749 01 11
Email: copyright@iso.org
Website: www.iso.org
Published in Switzerland
ii
Contents Page
Foreword .iv
Introduction .v
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Terms and definitions . 1
4 Symbols and abbreviated terms. 2
5 EWMA for inspection by variables . 3
5.1 General .3
5.2 Weighted average explained .3
5.3 Control limits for EWMA control chart .4
5.4 Construction of EWMA control chart .5
5.5 Example .7
6 Choice of the control chart . 10
6.1 Shewhart control chart versus EWMA control chart .10
6.2 Average run length.11
6.3 Choice of parameters for EWMA control chart .11
6.3.1 Choice of λ .11
6.3.2 Choice of L . . . 12
z
6.3.3 Calculation for n . 12
6.3.4 Example . 13
7 Procedure for implementing the EWMA control chart .13
8 Sensitivity of the EWMA to non-normality . 14
9 Advantages and limitations . 14
9.1 Advantages . .14
9.2 Limitations .14
Annex A (informative) Application of the EWMA control chart .16
Annex B (informative) EWMA control chart for a proportion of nonconforming items .20
Annex C (informative) EWMA control charts for a number of nonconformities .22
Bibliography .24
iii
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards
bodies (ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through
ISO technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee
has been established has the right to be represented on that committee. International organizations,
governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely
with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
The procedures used to develop this document and those intended for its further maintenance are described
in the ISO/IEC Directives, Part 1. In particular, the different approval criteria needed for the different types
of ISO documents should be noted. This document was drafted in accordance with the editorial rules of the
ISO/IEC Directives, Part 2 (see www.iso.org/directives).
ISO draws attention to the possibility that the implementation of this document may involve the use of (a)
patent(s). ISO takes no position concerning the evidence, validity or applicability of any claimed patent
rights in respect thereof. As of the date of publication of this document, ISO had not received notice of (a)
patent(s) which may be required to implement this document. However, implementers are cautioned that
this may not represent the latest information, which may be obtained from the patent database available at
www.iso.org/patents. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
Any trade name used in this document is information given for the convenience of users and does not
constitute an endorsement.
For an explanation of the voluntary nature of standards, the meaning of ISO specific terms and expressions
related to conformity assessment, as well as information about ISO's adherence to the World Trade
Organization (WTO) principles in the Technical Barriers to Trade (TBT), see www.iso.org/iso/foreword.html.
This document was prepared by Technical Committee ISO/TC 69, Applications of statistical methods,
Subcommittee SC 4, Applications of statistical methods in product and process management.
This second edition cancels and replaces the first edition (ISO 7870-6:2016), which has been technically
revised.
A list of all parts in the ISO 7870 series can be found on the ISO website.
Any feedback or questions on this document should be directed to the user’s national standards body. A
complete listing of these bodies can be found at www.iso.org/members.html.
iv
Introduction
Shewhart control charts are the most widespread statistical control methods used for controlling a process,
but they are slow in signalling shifts of small magnitude in the process parameters. The exponentially weighted
[13]
moving average (EWMA) control chart makes possible faster detection of small to moderate shifts.
The Shewhart control chart is simple to implement and it rapidly detects shifts of major magnitude. However,
it is fairly ineffective for detecting shifts of small or moderate magnitude. It happens quite often that the
shift of the process is slow and progressive (in case of continuous processes in particular); this shift has to
be detected very early in order to react before the process deviates seriously from its target value. There are
two possibilities for improving the effectiveness of the Shewhart control charts with respect to small and
moderate shifts.
— The simplest, but not the most economical possibility is to increase the subgroup size. This may not
always be possible due to low production rate; time consuming or too costly testing. As a result, it may
not be possible to draw samples of size more than 1.
— The second possibility is to take into account the results preceding the control under way in order to try
to detect the existence of a shift in the production process. The Shewhart control chart takes into account
only the information contained in the last sample observation and it ignores any information given by
the entire sequence of points. This feature makes the Shewhart control chart relatively insensitive to
small process shifts. Its effectiveness can be improved by taking into account the former results.
Where it is desired to detect slow, progressive shifts, it is preferable to use specific charts which take into
account the past data and which are effective with a moderate control cost. Two very effective alternatives
to the Shewhart control chart in such situations are
a) Cumulative sum (CUSUM) control chart. This chart is described in ISO 7870-4. The CUSUM control chart
reacts more sensitively than the X-bar chart to a shift of the mean value in the range of half to two
sigma. If one plots the cumulative sum of deviations of successive averages from a specified target,
even minor, permanent shifts in the process mean will eventually lead to a sizable cumulative sum of
deviations. Thus, this chart is particularly well-suited for detecting such small permanent shifts that
may go undetected when using the X-bar chart.
b) Exponentially weighted moving average (EWMA) control chart which is covered by this document.
This chart is presented like the Shewhart control chart; however, instead of placing on the chart the
successive averages of the samples, one monitors a weighted average of the current average and of the
previous averages.
EWMA control charts are generally used for detecting small shifts in the process mean. They will detect
shifts of half sigma to two sigma much faster. They are, however, slower in detecting large shifts in the
process mean. EWMA control charts can also be preferred when the subgroups are of size n = 1.
The joint use of an EWMA control chart with a small value of smoothing parameter (λ) and a Shewhart
control chart has been recommended as a means of guaranteeing fast detection of both small and large
shifts. The here considered EWMA control chart monitors only the process mean; monitoring the process
variability requires the use of some other technique including special EWMA control charts.
The numbers in all tables and figures were calculated using the R-package SPC, (Knoth 2022), which makes
use of the algorithm proposed by Crowder (1987).
The R-file containing the calculations can be downloaded on https://standards.iso.org/iso/7870/-6/ed-2/en.
v
International Standard ISO 7870-6:2024(en)
Control charts —
Part 6:
EWMA control charts for the process mean
1 Scope
)[16]
This document covers EWMA control charts, originally proposed by Roberts (1959 , as a statistical
process control technique to detect small shifts in the process mean. It makes possible the faster detection
of small to moderate shifts in the process mean. In this chart, the process mean is evaluated in terms of
exponentially weighted moving average of all previous observations or averages.
The EWMA control chart’s application is worthwhile in particular when
— production rate is slow,
— a minor or moderate shift in the process mean is vital to be detected,
— sampling and inspection procedure is complex and time consuming,
— testing is expensive, and
— it involves safety risks.
NOTE EWMA control charts are applicable for both variables and attributes data. The given examples illustrate
both types (see 5.5, Annex A, Annex B and Annex C).
2 Normative references
The following documents are referred to in the text in such a way that some or all of their content constitutes
requirements of this document. For dated references, only the edition cited applies. For undated references,
the latest edition of the referenced document (including any amendments) applies.
ISO 3534-2, Statistics — Vocabulary and symbols — Part 2: Applied statistics
3 Terms and definitions
For the purposes of this document, the terms and definitions given in ISO 3534-2 apply.
ISO and IEC maintain terminology databases for use in standardization at the following addresses:
— ISO Online browsing platform: available at https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: available at https:// www .electropedia .org/
3.1
run length
number of samples taken up to the point at which a signal occurs
3.2
average run length
ARL
Mathematical expectation of the run length
3.3
maximum run length
MAXRL
95 %-percentile of the run length
4 Symbols and abbreviated terms
μ Target value for the mean of the process
U , L Upper rejectable value of the mean, lower rejectable value of the mean
μ μ
x Average of the sample i
i
R Range of the sample i
i
n Number of items in a sample (sample size)
z EWMA value for the sample i
i
z Initial value of EWMA series {z }
0 i
λ The smoothing parameter
L Factor to establish the control limit for z
z i
s Estimate of the standard deviation σ
σ Standard deviation of the distribution of X (the random variable to be monitored)
σ In-control standard deviation
σ Standard deviation of the averages of n individual observations;
x
σσ= / n
x
σ Standard deviation of z when i tends towards infinity
z i
δ Shift in the mean from the target value μ , expressed in number of standard deviations
δ Maximum acceptable shift in the mean from μ , expressed in number of standard deviations
1 0
p Proportion of nonconforming items of the process
p Target value for the proportion of nonconforming items of the process
p Upper refusable value of the proportion of nonconforming items
th
p Proportion of nonconforming items in the i sample
i
c Mean number of nonconformities
c Target value for the mean number of nonconformities
c Refusable mean of nonconformities
th
c Number of nonconformities in the i sample
i
U Upper control limit
CL
L Lower control limit
CL
ARL Average Run Length
ARL Average Run Length of the process in control
ARL Average Run Length of the process with shift
CL Centre line
MAXRL Maximum Run Length
5 EWMA for inspection by variables
5.1 General
An EWMA control chart plots exponentially weighted moving averages of past and current data in which
the values being averaged are assigned weights that decrease exponentially from the present into the past,
see Figure 1. Consequently, the average values are influenced more by recent process performance. The
exponentially weighted moving average is defined as Formula (1):
z = λx + (1 − λ) z (1)
i i i−1
Where 0 < λ ≤ 1 is a constant and the starting value (required with the first sample at i = 1) is the process
target, so that z = μ .
0 0
NOTE 1 When the EWMA control chart is used with rational subgroups of size n > 1 then x is simply replaced with x .
i i
NOTE 2 μ can be estimated by the average of preliminary data.
The EWMA control chart becomes an X chart for λ = 1.
5.2 Weighted average explained
To demonstrate that the EWMA is a weighted average of all previous observations or averages, the right-
hand side of Formula (1) in 5.1 can be substituted with z to obtain Formula (2):
i−1
zx=+λλ()11− λλxz +−()
[]
ii ii−−12
(2)
=+λλxx11−λλ+− zz
() ()
ii−1 i−2
Continuing to substitute recursively for z , where j = 2, 3, ., we obtain Formula (3):
i−j
i−1
j i
zx=−λλ()11+−()λ z (3)
i ij− 0
∑
j=0
For i = 1, z = λx + (1 − λ)μ .
1 1 0
j
The weights, λ(1 − λ) , decrease geometrically with the age of the observation or average. Furthermore, the
weights sum to unity:
i−1 i
11−−λ
()
j i i
λλ()1− +−()1 λ =λ + ()11−λ = (4)
∑
11−−()λ
j=0
If λ = 0,25, then the weight assigned to the current average is 0,25 and the weights given to the preceding
averages are 0,187 5; 0,140 6; 0,105 5 and so forth. These weights are shown in Figure 1. Because these
weights decline geometrically, the EWMA is sometimes called a geometric moving average (GMA), which is
[16].
the original name of the control chart
Key
X1 sample number
X2 age of the observation or average
10 – X1
Y weights λ(1 − λ)
λ = 0,1
λ = 0,25
Figure 1 — Weights of all 10 averages after having incorporated sample 10
Since the EWMA value can be viewed as a weighted average of all past and current observations, it is
very insensitive to the normality assumption. It is, therefore an ideal control chart to use with individual
observations.
5.3 Control limits for EWMA control chart
If the observations x are independent random variables with variance σ , then the variance of z is
i i
represented by Formula (5):
σλ
2 2i
σ = 11−−()λ (5)
z
i
n 2−λ
Therefore, the EWMA control chart would be constructed by plotting z versus the sample number i (or
i
time). The centre line and control limits for the EWMA control chart are as follows:
Centre line = μ
σλ
2i
UL=+μ 11−−λ (6)
()
CL 0 z
()2−λ
n
σλ
2i
LL=−μ 11−−()λ (7)
CL 0 z
()2−λ
n
The factor L refers to the distance of the control limits from the centre line and can be derived by setting
z
an appropriate in-control ARL (average run length) value. It is well-known that the common Shewhart
control chart with 3 sigma limits exhibits an in-control ARL of 370,4. To achieve the same value for an EWMA
control chart with control limits, see Formula (6) and Formula (7), one chooses factor L =2,715 and 2,864
z
for λ = 0,1 and 0,2, respectively. For other choices of λ see Table 4. Note that using just the Shewhart factor 3
(or other values accordingly) provides a quick and dirty approach to set EWMA limits, where the detection
performance is mostly better than that of the older Shewhart control chart.
No action is taken as long as z falls between these limits, and the process is considered to be out of control
i
as soon as z overshoots the control limits. In this case, an investigation is initiated to locate the assignable
i
cause, and the process can be stopped or adjusted. In the latter case, resume the EWMA control chart after
reinitializing it, i.e. by not taking into account the results obtained prior to this resetting, but by taking z as
the initial value.
2i
The term [1 – (1 – λ) ] approaches unity as i gets larger. This means that after the EWMA control chart has
been running for several time periods, the control limits will approach steady state values obtained using
Formula (8) and Formula (9):
Centre line = μ
σλ
UL=+μ (8)
CL 0 z
2−λ
()
n
σλ
LL=−μ (9)
CL 0 z
()2−λ
n
However, it is strongly recommended to use the exact control limits. This will greatly improve the
performance of the control chart in detecting an off-target process immediately after the EWMA control
chart is initiated.
NOTE For practical purposes, use the estimate of σ, denoted by s, estimated from the data.
5.4 Construction of EWMA control chart
To illustrate the construction of an EWMA control chart, a process with the following parameters calculated
from historical data (individual observations, i.e. sample size n = 1) is considered:
μ = 50
σ = 2,053 9
with λ chosen to be 0,3; so that
λ 03,
==0,4201 (10)
2−λ 17,
()
The control limits at steady-state are given, obtained using Formula (11) and Formula (12):
U = 50 + 2,925 (0,420 1) (2,053 9) = 52,523 8 (11)
CL
L = 50 – 2,925 (0,420 1) (2,053 9) = 47,476 2 (12)
CL
The factor L is picked from Table 2. The data consisting of 20 points as given in Table 1 are considered.
z
Table 1 — EWMA values
Sample X EWMA value, z = λ X + (1 − λ) z z = μ
i i i i−1, 0 0
1 52,0 50,600 0
2 47,0 49,520 0
3 53,0 50,564 0
4 49,3 50,184 8
5 50,1 50,159 4
6 47,0 49,211 6
7 51,0 49,748 1
8 50,1 49,853 7
9 51,2 50,257 6
10 50,5 50,330 3
11 49,6 50,111 2
12 47,6 49,357 8
13 49,9 49,520 5
14 51,3 50,054 3
15 47,8 49,378 0
16 51,2 49,924 6
17 52,6 50,727 2
18 52,4 51,229 1
19 53,6 51,940 3
20 52,1 51,988 2
Key
X sample
Y EWMA value
1 U = 52,523 8
CL
2 CL = 50
3 L = 47,476 2
CL
Figure 2 — EWMA control chart plot
The EWMA control chart in Figure 2 shows that the process is in control because all EWMA points lie
between the control limits.
For convenience, we provide factor L values for several choices of in-control ARL and of the smoothing
z 0
constant λ in case of constant (steady-state) limits, see Formula (8) and Formula (9). The numbers in Table 2
were calculated using the R package SPC, (Knoth 2022), which makes use of the algorithm proposed by
Crowder (1987).
Table 2 — L values for constant (steady-state) limits
z
λ ARL = 100 ARL = 200 ARL = 370,4 ARL = 500
0 0 0 0
0,02 1,467 1,827 2,135 2,278
0,05 1,879 2,216 2,490 2,615
0,1 2,148 2,454 2,701 2,814
0,15 2,279 2,567 2,801 2,907
0,2 2,360 2,635 2,859 2,962
0,25 2,414 2,681 2,898 2,998
0,3 2,453 2,713 2,925 3,023
0,4 2,504 2,754 2,959 3,054
0,5 2,534 2,777 2,978 3,071
0,75 2,568 2,802 2,997 3,087
1 2,576 2,807 3,000 3,090
5.5 Example
Consider the data in Table 3 (observations x ). The first 20 observations were drawn at random from a normal
i
distribution with mean μ = 10 and standard deviation σ = 1. The last 10 observations were drawn from a
normal distribution with mean μ = 11 and standard deviation σ = 1, i.e. after the process has experienced a
shift in the mean of one sigma.
An EWMA control chart with λ = 0,10 and L = 2,715 is applied to the data in Table 3 [differently to 5.4, the
z
control limits given in Formula (6) and Formula (7) are deployed].
The target value of the mean is μ = 10 and the standard deviation is σ = 1.
The calculations for EWMA control chart are summarized in Table 3 and the control chart is shown
in Figure 3.
To illustrate the calculations, the first observation, x = 9,45 is considered.
i
The first value of the EWMA statistic is shown in Formula (13):
zx=+λλ()10− z =×,,19 45+×09, 10
11 0
(13)
= 9,945 00
Therefore, z = 9,945 00 is the first value plotted on the control chart in Figure 3.
The second value of the EWMA is shown in Formula (14):
zx=+λλ()10− z =×,,17 99+×09,,9 945
22 1
(14)
= 9,749 50
The other values of the EWMA statistic are computed similarly.
The control limits are calculated following Formula (15) and Formula (16):
For period i = 1:
σλ
2i
UL=+μ 11−−λ
()
CL 0 z
()2−λ
n
01,
21×
=+10 2,715××1 11−−()01, (15)
20− ,1
(()
= 10,271 50
and
σλ
2i
LL=−μ 11−−()λ
CL 0 z
2−λ
()
n
01,
21×
=−10 2,715××1 11−−()01, (16)
(20− ,1))
= 9,728 50
For period i = 2, the limits are shown in Formula (17) and Formula (18):
σλ
2i
UL=+μ 11−−λ
()
CL 0 z
()2−λ
n
01,
22×
=+10 2,715××1 11−−()01, (17)
20− ,1
( ))
= 10,365 27
and
σλ
2i
LL=−μ 11−−()λ
CL 0 z
2−λ
()
n
01,
22×
=−10 2,715××1 11−−()01, (18)
(20− ,1))
= 9,634 73
The calculation of control limits are also summarized in Table 2 and plotted in Figure 3.
Table 3 — EWMA calculations
Sample x EWMA z U L
i i CL CL
1 9,45 9,945 00 10,271 50 9,728 50
2 7,99 9,749 50 10,365 27 9,634 73
3 9,29 9,703 55 10,426 36 9,573 64
4 11,66 9,899 20 10,470 06 9,529 94
5 12,16 10,125 28 10,502 68 9,497 32
6 10,18 10,130 75 10,527 62 9,472 38
7 8,04 9,921 67 10,547 00 9,453 00
8 11,46 10,075 51 10,562 20 9,437 80
9 9,20 9,987 96 10,574 22 9,425 78
10 10,34 10,023 16 10,583 77 9,416 23
11 9,03 9,923 84 10,591 40 9,408 60
12 11,47 10,078 46 10,597 51 9,402 49
13 10,51 10,121 61 10,602 41 9,397 59
TTabablele 3 3 ((ccoonnttiinnueuedd))
Sample x EWMA z U L
i i CL CL
14 9,40 10,049 45 10,606 35 9,393 65
15 10,08 10,052 51 10,609 52 9,390 48
16 9,37 9,984 26 10,612 08 9,387 92
17 10,62 10,047 83 10,614 14 9,385 86
18 10,31 10,074 05 10,615 81 9,884 19
19 8,52 9,918 64 10,617 15 9,382 85
20 10,84 10,010 78 10,618 24 9,381 76
21 10,90 10,099 70 10,619 12 9,380 88
22 9,33 10,022 73 10,619 84 9,380 16
23 12,29 10,249 46 10,620 41 9,379 59
24 11,50 10,374 51 10,620 88 9,379 12
25 10,60 10,397 06 10,621 26 9,378 74
26 11,08 10,465 35 10,621 56 9,378 44
27 10,38 10,456 82 10,621 81 9,378 19
28 11,62 10,573 14 10,622 01 9,377 99
29 11,31 10,646 82 10,622 17 9,377 83
30 10,52 10,634 14 10,622 30 9,377 70
It can be noted from Figure 3 that the control limits increase in width as i increases from i = 1, 2, …, until
they stabilize at the steady-state values given in Formula (19) and Formula (20):
σλ
UL=+μ
CL 0 z
()2−λ
n
01,
=+10 2,715××1 (19)
...
Norme
internationale
ISO 7870-6
Deuxième édition
Cartes de contrôle —
2024-07
Partie 6:
Cartes de contrôle EWMA pour la
moyenne d'un processus
Control charts —
Part 6: EWMA control charts for the process mean
Numéro de référence
DOCUMENT PROTÉGÉ PAR COPYRIGHT
© ISO 2024
Tous droits réservés. Sauf prescription différente ou nécessité dans le contexte de sa mise en œuvre, aucune partie de cette
publication ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun procédé, électronique ou mécanique,
y compris la photocopie, ou la diffusion sur l’internet ou sur un intranet, sans autorisation écrite préalable. Une autorisation peut
être demandée à l’ISO à l’adresse ci-après ou au comité membre de l’ISO dans le pays du demandeur.
ISO copyright office
Case postale 401 • Ch. de Blandonnet 8
CH-1214 Vernier, Genève
Tél.: +41 22 749 01 11
E-mail: copyright@iso.org
Web: www.iso.org
Publié en Suisse
ii
Sommaire Page
Avant-propos .iv
Introduction .v
1 Domaine d’application . 1
2 Références normatives . 1
3 Termes et définitions . 1
4 Symboles et termes abrégés . 2
5 EWMA pour le contrôle par variables . 3
5.1 Généralités .3
5.2 Explications relatives à la moyenne pondérée .3
5.3 Limites de contrôle de la carte de contrôle EWMA .5
5.4 Construction d’une carte de contrôle EWMA .6
5.5 Exemple .8
6 Choix de la carte de contrôle .11
6.1 Comparaison de la carte de contrôle de Shewhart et de la carte de contrôle EWMA.11
6.2 Période opérationnelle moyenne .11
6.3 Choix des paramètres de la carte de contrôle EWMA . 12
6.3.1 Choix de λ . 12
6.3.2 Choix de Lz . 12
6.3.3 Calcul de n . 13
6.3.4 Exemple .14
7 Procédure de mise en œuvre de la carte de contrôle EWMA . 14
8 Sensibilité de la carte EWMA en cas de non-normalité . 14
9 Avantages et limitations . 14
9.1 Avantages .14
9.2 Limitations .14
Annexe A (informative) Application de la carte de contrôle EWMA .16
Annexe B (informative) Carte de contrôle EWMA pour une proportion d’unités non conformes .20
Annexe C (informative) Cartes de contrôle EWMA pour un nombre de non-conformités .22
Bibliographie .24
iii
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d’organismes nationaux
de normalisation (comités membres de l’ISO). L’élaboration des Normes internationales est en général
confiée aux comités techniques de l’ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire
partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l’ISO participent également aux travaux. L’ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont
décrites dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier, de prendre note des différents
critères d’approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document
a été rédigé conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2
(voir www.iso.org/directives).
L’ISO attire l’attention sur le fait que la mise en application du présent document peut entraîner l’utilisation
d’un ou de plusieurs brevets. L’ISO ne prend pas position quant à la preuve, à la validité et à l’applicabilité de
tout droit de brevet revendiqué à cet égard. À la date de publication du présent document, l’ISO n’avait pas
reçu notification qu’un ou plusieurs brevets pouvaient être nécessaires à sa mise en application. Toutefois,
il y a lieu d’avertir les responsables de la mise en application du présent document que des informations
plus récentes sont susceptibles de figurer dans la base de données de brevets, disponible à l’adresse
www.iso.org/brevets. L’ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne pas avoir identifié tout ou partie de
tels droits de brevet.
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données pour
information, par souci de commodité, à l’intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un engagement.
Pour une explication de la nature volontaire des normes, la signification des termes et expressions
spécifiques de l’ISO liés à l’évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l’adhésion de
l’ISO aux principes de l’Organisation mondiale du commerce (OMC) concernant les obstacles techniques au
commerce (OTC), voir www.iso.org/avant-propos.
Le présent document a été élaboré par le comité technique ISO/TC 69, Application des méthodes statistiques,
sous-comité SC 4, Application de méthodes statistiques au management de produits et de processus.
Cette deuxième édition annule et remplace la première édition (ISO 7870-6:2016), qui a fait l’objet d’une
révision technique.
Une liste de toutes les parties de la série ISO 7870 se trouve sur le site web de l’ISO.
Il convient que l’utilisateur adresse tout retour d’information ou toute question concernant le présent
document à l’organisme national de normalisation de son pays. Une liste exhaustive desdits organismes se
trouve à l’adresse www.iso.org/fr/members.html.
iv
Introduction
Les cartes de contrôle de Shewhart sont les méthodes statistiques de contrôle les plus répandues pour
maîtriser un processus, mais elles mettent du temps à signaler des déréglages de faible amplitude dans les
[13]
paramètres de processus. La carte de contrôle à moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA)
permet la détection plus rapide de dérives/déréglages de petite et moyenne amplitude.
La carte de contrôle de Shewhart est simple à mettre en œuvre et elle détecte rapidement les déréglages de
grande amplitude. Elle est par contre assez peu efficace pour détecter les déréglages de petite ou moyenne
amplitude. Or il arrive assez souvent que le déréglage du processus soit lent et progressif (cas des procédés
continus en particulier); il faut détecter très tôt ce déréglage pour réagir avant que le processus ne s’écarte
fortement de sa valeur cible. Il y a deux possibilités pour améliorer l’efficacité de la carte de contrôle de
Shewhart vis-à-vis des déréglages de petite et moyenne amplitude.
— La plus simple, mais non la plus économique, consiste à augmenter l’effectif de l’échantillon. Ce n’est
pas toujours possible, car le taux de production peut être trop faible et les essais peuvent prendre du
temps ou être trop onéreux. Par conséquent, il n’est pas toujours possible de constituer des échantillons
comprenant plus de 1 unité.
— La seconde possibilité est de tenir compte des résultats précédant le contrôle en cours pour tenter de
déceler l’existence d’une dérive du processus de production. La carte de contrôle de Shewhart ne tient
compte que des informations contenues dans l’observation du dernier échantillon et elle ignore toute
information donnée par la séquence complète de points. Cette caractéristique fait que la carte de contrôle
de Shewhart est relativement peu sensible à de faibles déréglages du processus. Son efficacité peut être
améliorée en prenant en compte les résultats antérieurs.
Lorsqu’on veut détecter des dérives lentes et progressives, il est préférable d’utiliser des cartes spécifiques
qui tiennent compte des données antérieures et qui ont une bonne efficacité pour un coût de contrôle
modéré. Deux alternatives très efficaces à la carte de contrôle de Shewhart dans de telles situations sont:
a) la carte de contrôle des sommes cumulées (CUSUM). Cette carte est décrite dans l’ISO 7870-4. La carte
de contrôle CUSUM réagit de manière plus sensible que la carte X-bar en cas de dérive/déréglage de la
valeur moyenne dans la plage de 0,5 sigma à 2 sigma. Si l’on reporte la somme cumulée des écarts des
moyennes successives par rapport à une cible spécifiée, des déréglages permanents, même mineurs, de
la moyenne du processus finiront par conduire à une somme cumulée d’écarts quantifiable. Cette carte
est donc particulièrement adaptée pour détecter de tels déréglages permanents de petite amplitude
pouvant ne pas être décelés par une carte X-bar;
b) la carte de contrôle à moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA), qui est traitée dans le
présent document. Cette carte se présente comme la carte de contrôle de Shewhart; cependant, au lieu
de placer sur la carte les moyennes successives des échantillons, on suit une moyenne pondérée de la
moyenne du dernier échantillon et des moyennes des échantillons antérieurs.
Les cartes de contrôle EWMA sont généralement utilisées pour détecter des déréglages de petite amplitude
de la moyenne du processus. Elles détectent beaucoup plus rapidement des déréglages allant de 0,5 sigma
à 2 sigma. Elles mettent toutefois plus de temps à détecter les déréglages importants de la moyenne du
processus. Les cartes de contrôle EWMA peuvent aussi être conseillées lorsque les échantillons sont
d’effectif n = 1.
L’utilisation conjointe d’une carte de contrôle EWMA avec une petite valeur du paramètre de lissage (λ)
et d’une carte de contrôle de Shewhart est recommandée comme moyen de garantir la détection rapide à
la fois des déréglages de petite et grande amplitude. La carte de contrôle EWMA considérée ici surveille
uniquement la moyenne du processus; la surveillance de la variabilité du processus nécessite l’utilisation
d’autres techniques, notamment des cartes de contrôle EWMA spéciales.
Les valeurs indiquées dans tous les tableaux et figures ont été calculées à l’aide du package R de MSP
(Knoth 2022), qui utilise l’algorithme proposé par Crowder (1987).
Le fichier R contenant les calculs peut être téléchargé à l’adresse https://standards.iso.org/iso/7870/-6/ed-2/en.
v
Norme internationale ISO 7870-6:2024(fr)
Cartes de contrôle —
Partie 6:
Cartes de contrôle EWMA pour la moyenne d'un processus
1 Domaine d’application
[16]
Le présent document traite des cartes de contrôle EWMA, proposées à l’origine par Roberts (1959) ,
comme technique de maîtrise statistique des procédés permettant de détecter des dérives/déréglages de
petite amplitude dans la moyenne du processus. Elle permet de détecter plus rapidement des déréglages de
petite et moyenne amplitude dans la moyenne du processus. Dans cette carte, la moyenne du processus est
évaluée en termes de moyenne mobile pondérée exponentiellement de toutes les observations antérieures
ou des moyennes antérieures.
L’application de la carte de contrôle EWMA est utile, en particulier quand:
— le taux de production est lent;
— il est vital de détecter un décentrage faible ou moyen de la moyenne;
— le mode opératoire d’échantillonnage et de contrôle est complexe et laborieux;
— les essais sont onéreux; et
— il y a des risques pour la sécurité.
NOTE Les cartes de contrôle EWMA sont applicables à la fois pour des contrôles par mesures et par attributs. Les
exemples fournis illustrent les deux types (voir 5.5, l’Annexe A, l’Annexe B et l’Annexe C).
2 Références normatives
Les documents suivants cités dans le texte constituent, pour tout ou partie de leur contenu, des exigences du
présent document. Pour les références datées, seule l’édition citée s’applique. Pour les références non datées,
la dernière édition du document de référence s’applique (y compris les éventuels amendements).
ISO 3534-2, Statistique — Vocabulaire et symboles — Partie 2: Statistique appliquée
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et les définitions donnés dans l’ISO 3534-2 s’appliquent.
L’ISO et l’IEC tiennent à jour des bases de données terminologiques destinées à être utilisées en normalisation,
consultables aux adresses suivantes:
— ISO Online browsing platform: disponible à l’adresse https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: disponible à l’adresse https:// www .electropedia .org/
3.1
période opérationnelle
nombre d’échantillons prélevés jusqu’à l’apparition d’un signal
3.2
période opérationnelle moyenne
POM
espérance mathématique de la période opérationnelle
3.3
période opérationnelle maximale
POMAX
fractile à 95 % de la période opérationnelle
4 Symboles et termes abrégés
μ Valeur cible pour la moyenne du processus
U , L Valeur refusable supérieure de la moyenne, valeur refusable inférieure de la moyenne
μ μ
x Moyenne de l’échantillon i
i
R Étendue de l’échantillon i
i
n Nombre d’unités dans un échantillon (effectif des échantillons)
z Valeur EWMA de l’échantillon i
i
z Valeur initiale de la série EWMA {z }
0 i
λ Paramètre de lissage
L Facteur pour établir la limite de contrôle pour z
z i
s Estimation de l’écart-type σ
σ Écart-type de la distribution de X (variable aléatoire à surveiller)
σ Écart-type d’un processus maîtrisé
σ Écart-type des moyennes de n observations individuelles
x
σσ= / n
x
σ Écart-type de z quand i tend vers l’infini
z i
δ Décentrage de la moyenne par rapport à la valeur cible μ , exprimé en nombre d’écarts-types
δ Décentrage maximal acceptable de la moyenne par rapport à μ , exprimé en nombre d’écarts-
1 0
types
p Proportion d’unités non conformes dans le processus
p Valeur cible de la proportion d’unités non conformes dans le processus
p Valeur refusable supérieure de la proportion d’unités non conformes
ème
p Proportion d’unités non conformes dans le i échantillon
i
c Nombre moyen de non-conformités
c Valeur cible du nombre moyen de non-conformités
c Moyenne refusable de non-conformités
ème
c Nombre de non-conformités dans le i échantillon
i
U Limite de contrôle supérieure
CL
L Limite de contrôle inférieure
CL
CL Ligne centrale
POM Période opérationnelle moyenne
POM Période opérationnelle moyenne du processus maîtrisé
POM Période opérationnelle moyenne du processus déréglé
POMAX Période opérationnelle maximale
5 EWMA pour le contrôle par variables
5.1 Généralités
Une carte de contrôle EWMA reporte les moyennes mobiles pondérées exponentiellement des données
passées et présentes, et attribue aux valeurs moyennées des pondérations qui diminuent exponentiellement
du présent au passé; voir la Figure 1. Par conséquent, les valeurs moyennes sont davantage influencées par
la performance récente du processus. La moyenne mobile pondérée exponentiellement est définie par la
Formule (1):
z = λx + (1 − λ) z (1)
i i i−1
où 0 < λ ≤ 1 est une constante et la valeur de départ (requise pour le premier échantillon à i = 1) est la cible
du processus, de sorte que z = μ .
0 0
NOTE 1 Quand la carte de contrôle EWMA est utilisée avec des échantillons d’effectif n > 1, x est simplement
i
remplacé par x .
i
NOTE 2 μ peut être estimé par la moyenne des données préliminaires.
La carte de contrôle EWMA devient une carte X quand λ = 1.
5.2 Explications relatives à la moyenne pondérée
Pour démontrer que z est une moyenne pondérée de toutes les observations antérieures ou des moyennes
i
antérieures, remplacer z dans la partie droite de la Formule (1) en 5.1 pour obtenir la Formule (2):
i−1
zx=+λλ()11− λλxz+−()
[]
ii ii−−12
(2)
=+λλxx11−λλ+− z
() ()
ii−−1 i 2
En continuant à remplacer de manière récursive z , avec j = 2, 3, ., on obtient la Formule (3):
i−j
i−1
j i
zx=−λλ()11+−()λ z (3)
i ij− 0
∑
j=0
pour i = 1, z = λx + (1 − λ)μ .
1 1 0
j
Les pondérations λ(1 − λ) diminuent selon une progression géométrique en fonction de l’âge de l’observation
ou de la moyenne. En outre, la somme des pondérations converge vers 1:
i−1
i
11−−()λ
j i i
λλ()1− +−()1 λ =λ + ()11−λ = (4)
∑
11−−λ
()
j=0
Si λ = 0,25, alors la pondération attribuée à la moyenne de l’échantillon actuel est de 0,25 et les pondérations
attribuées aux moyennes antérieures sont de 0,187 5; 0,140 6; 0,105 5 et ainsi de suite. Ces pondérations
sont représentées à la Figure 1. Comme ces pondérations diminuent selon une progression géométrique, la
valeur EWMA est parfois appelée moyenne mobile géométrique (GMA), qui est le nom d’origine de la carte de
[16]
contrôle .
Légende
X1 numéro de l'échantillon
X2 âge de l'observation ou de la moyenne
10 – X1
Y pondérations λ(1 − λ)
λ = 0,1
λ = 0,25
Figure 1 — Pondérations des 10 moyennes après avoir incorporé l’échantillon 10
Étant donné que la valeur EWMA est une moyenne pondérée de toutes les observations présentes et passées,
elle est très peu sensible à l’hypothèse de normalité. C’est donc une carte de contrôle idéale pour des
observations individuelles.
5.3 Limites de contrôle de la carte de contrôle EWMA
Si les observations x sont des variables aléatoires indépendantes, avec une variance σ , alors la variance de
i
z est représentée par la Formule (5):
i
σλ
2i
σ = 11−−()λ (5)
z
i
n 2−λ
La carte de contrôle EWMA pourrait donc être construite en traçant une courbe de z en fonction du numéro
i
de l’échantillon i (ou en fonction du temps). La ligne centrale et les limites de contrôle de la carte de contrôle
EWMA sont les suivantes:
ligne centrale = μ :
σλ
2i
UL=+μ 11−−()λ (6)
CL 0 z
()2−λ
n
σλ
2i
LL=−μ 11−−λ (7)
()
CL 0 z
()2−λ
n
Le facteur L fait référence à la distance des limites de contrôle à la ligne centrale et peut être obtenu en
z
fixant une valeur appropriée pour la POM (période opérationnelle moyenne) sous contrôle. On sait que la
carte de contrôle de Shewhart avec des limites à 3 sigma présente une POM sous contrôle de 370,4. Pour
obtenir la même valeur pour une carte de contrôle EWMA avec des limites de contrôle [voir la Formule (6) et
la Formule (7)], on choisit le facteur L = 2,715 et 2,864 pour λ = 0,1 et 0,2, respectivement. Pour les autres
z
choix de λ, voir le Tableau 4. Notons que le fait d’utiliser simplement le facteur 3 de Shewhart (ou d’autres
valeurs) fournit une approche rapide et grossière pour fixer les limites de contrôle EWMA avec une
performance de détection généralement meilleure que celle de l’ancienne carte de contrôle de Shewhart.
Aucune action correctrice n’est effectuée tant que z est situé entre ces limites et l’on décide que le processus
i
est non maîtrisé dès que z sort de ces limites. Dans ce cas, une analyse est lancée pour identifier la cause
i
assignable, et le processus peut être arrêté ou ajusté. Dans ce dernier cas, on reprend la carte de contrôle
EWMA après l’avoir réinitialisée, c’est-à-dire qu’on ne tient pas compte des résultats obtenus avant ce
réglage. On prend z comme valeur initiale.
2i
Le terme [1 – (1 – λ) ] tend vers 1 au fur et à mesure que i augmente. Cela signifie qu’une fois que la carte
de contrôle EWMA a été utilisée sur plusieurs périodes de temps, les limites de contrôle sont proches des
valeurs en régime stationnaire données par la Formule (8) et la Formule (9):
ligne centrale = μ :
σλ
UL=+μ (8)
CL 0 z
2−λ
()
n
σλ
LL=−μ (9)
CL 0 z
()2−λ
n
Il est toutefois vivement recommandé d’utiliser les limites de contrôle exactes. Cela améliorera nettement la
performance de la carte de contrôle en matière de détection des processus hors cible immédiatement après
le démarrage de la carte de contrôle EWMA.
NOTE Pour des raisons pratiques, l’estimation de σ par s est calculée à partir des données.
5.4 Construction d’une carte de contrôle EWMA
Pour illustrer la construction d’une carte de contrôle EWMA, on considère un processus dont les paramètres
suivants ont été calculés à partir de données historiques (observations individuelles, c’est-à-dire effectif
d’échantillon n = 1):
μ = 50
σ = 2,053 9
avec λ pris égal à 0,3; de sorte que:
λ 03,
==0,4201 (10)
()2−λ 17,
Les limites de contrôle en régime stationnaire sont données par la Formule (11) et la Formule (12):
U = 50 + 2,925 (0,420 1) (2,053 9) = 52,523 8 (11)
CL
L = 50 – 2,925 (0,420 1) (2,053 9) = 47,476 2 (12)
CL
Le facteur L provient du Tableau 2. Les données consistant en 20 échantillons, comme indiqué dans le
z
Tableau 1, sont prises en compte.
Tableau 1 — Valeurs EWMA
Échantillon x Valeur EWMA, z = λ X + (1 − λ) z z = μ
i i i i−1, 0 0
1 52,0 50,600 0
2 47,0 49,520 0
3 53,0 50,564 0
4 49,3 50,184 8
5 50,1 50,159 4
6 47,0 49,211 6
7 51,0 49,748 1
8 50,1 49,853 7
9 51,2 50,257 6
10 50,5 50,330 3
11 49,6 50,111 2
12 47,6 49,357 8
13 49,9 49,520 5
14 51,3 50,054 3
15 47,8 49,378 0
16 51,2 49,924 6
17 52,6 50,727 2
18 52,4 51,229 1
19 53,6 51,940 3
20 52,1 51,988 2
Légende
X échantillon
Y valeur EWMA
1 U = 52,523 8
CL
2 CL = 50
3 L = 47,476 2
CL
Figure 2 — Tracé de la carte de contrôle EWMA
La carte de contrôle EWMA de la Figure 2 montre que le processus est maîtrisé, car tous les points EWMA
sont situés entre les limites de contrôle.
Pour des raisons pratiques, on fournit des valeurs du facteur L pour plusieurs choix de POM sous contrôle
z 0
et de la constante de lissage λ dans le cas de limites constantes (en régime stationnaire); voir la Formule (8)
et la Formule (9). Les valeurs indiquées dans le Tableau 2 ont été calculées à l’aide du package R de MSP
(Knoth 2022), qui utilise l’algorithme proposé par Crowder (1987).
Tableau 2 — Valeurs L pour des limites constantes (en régime stationnaire)
z
λ POM = 100 POM = 200 POM = 370,4 POM = 500
0 0 0 0
0,02 1,467 1,827 2,135 2,278
0,05 1,879 2,216 2,490 2,615
0,1 2,148 2,454 2,701 2,814
0,15 2,279 2,567 2,801 2,907
0,2 2,360 2,635 2,859 2,962
0,25 2,414 2,681 2,898 2,998
0,3 2,453 2,713 2,925 3,023
0,4 2,504 2,754 2,959 3,054
0,5 2,534 2,777 2,978 3,071
0,75 2,568 2,802 2,997 3,087
1 2,576 2,807 3,000 3,090
5.5 Exemple
On considère les données du Tableau 3 (observations x ). Les 20 premières observations ont été prélevées
i
au hasard dans une distribution normale avec une moyenne µ = 10 et un écart-type σ = 1. Les 10 dernières
observations ont été prélevées dans une distribution normale avec une moyenne µ = 11 et un écart-type
σ = 1, c’est-à-dire après que la moyenne du processus a dérivé d’un écart-type.
Une carte de contrôle EWMA est appliquée aux données du Tableau 3 avec λ = 0,10 et L = 2,715 [contrairement
z
à 5.4, on utilise ici les limites de contrôle indiquées par la Formule (6) et par la Formule (7)].
La valeur cible pour la moyenne est μ = 10 et l’écart-type est σ = 1.
Les calculs de la carte de contrôle EWMA sont résumés dans le Tableau 3 et la carte de contrôle est illustrée
à la Figure 3.
Pour illustrer les calculs, on part de la première observation, x = 9,45.
i
La première valeur de la statistique EWMA est donnée par la Formule (13):
zx=+λλ()10− z =×,,19 45+×09, 10
11 0
(13)
=9,94500
Par conséquent, z = 9,945 00 est la première valeur reportée sur la carte de contrôle de la Figure 3.
La deuxième valeur EWMA est donnée par la Formule (14):
zx=+λλ()10− z =×,,17 99+×09,,9 945
22 1
(14)
=9,74950
Les autres valeurs de la statistique EWMA sont calculées de manière similaire.
Les limites de contrôle sont calculées à l’aide de la Formule (15) et de la Formule (16):
pour la période i = 1:
σλ
2i
UL=+μ 11−−()λ
CL 0 z
2−λ
()
n
01,
21×
=+10 2,715××1 11−−0,11 (15)
()
()20− ,1
=10,27150
et
σλ
2i
LL=−μ 11−−λ
()
CL 0 z
()2−λ
n
01,
21×
=−10 2,715××1 11−−()0,11 (16)
20− ,1
()
=9,72850
Pour la période i = 2, les limites sont données par la Formule (17) et la Formule (18):
σλ
2i
UL=+μ 11−−λ
()
CL 0 z
()2−λ
n
01,
22×
=+10 2,715××1 11−−()0,11 (17)
20− ,1
()
=10,36527
et
σλ
2i
LL=−μ 11−−()λ
CL 0 z
2−λ
()
n
01,
22×
=−10 2,715××1 11−−()0,11 (18)
()20− ,1
=9,63473
Les calculs des limites de contrôle sont également résumés dans le Tableau 2 et illustrés à la Figure 3.
Tableau 3 — Calculs pour la carte EWMA
Échantillon x z EWMA U L
i i CL CL
1 9,45 9,945 00 10,271 50 9,728 50
2 7,99 9,749 50 10,365 27 9,634 73
3 9,29 9,703 55 10,426 36 9,573 64
4 11,66 9,899 20 10,470 06 9,529 94
5 12,16 10,125 28 10,502 68 9,497 32
6 10,18 10,130 75 10,527 62 9,472 38
7 8,04 9,921 67 10,547 00 9,453 00
8 11,46 10,075 51 10,562 20 9,437 80
9 9,20 9,987 96 10,574 22 9,425 78
10 10,34 10,023 16 10,583 77 9,416 23
11 9,03 9,923 84 10,591 40 9,408 60
12 11,47 10,078 46 10,597 51 9,402 49
13 10,51 10,121 61 10,602 41 9,397 59
14 9,40 10,049 45 10,606 35 9,393 65
15 10,08 10,052 51 10,609 52 9,390 48
16 9,37 9,984 26 10,612 08 9,387 92
17 10,62 10,047 83 10,614 14 9,385 86
18 10,31 10,074 05 10,615 81 9,884 19
19 8,52 9,918 64 10,617 15 9,382 85
20 10,84 10,010 78 10,618 24 9,381 76
21 10,90 10,099 70 10,619 12 9,380 88
22 9,33 10,022 73 10,619 84 9,380 16
23 12,29 10,249 46 10,620 41 9,379 59
24 11,50 10,374 51 10,620 88 9,379 12
25 10,60 10,397 06 10,621 26 9,378 74
26 11,08 10,465 35 10,621 56 9,378 44
27 10,38 10,456 82 10,621 81 9,378 19
TTabableleaauu 3 3 ((ssuuiitte)e)
Échantillon x z EWMA U L
i i CL CL
28 11,62 10,573 14 10,622 01 9,377 99
29 11,31 10,646 82 10,622 17 9,377 83
30 10,52 10,634 14 10,622 30 9,377 70
On remarque à la Figure 3 que les limites de contrôle s’élargissent au fur et à mesure que i augmente i = 1,
2, …, puis qu’elles se stabilisent aux valeurs en régime stationnaire données
...
Frequently Asked Questions
ISO 7870-6:2024 is a standard published by the International Organization for Standardization (ISO). Its full title is "Control charts - Part 6: EWMA control charts for the process mean". This standard covers: This document covers EWMA control charts, originally proposed by Roberts (1959)[16], as a statistical process control technique to detect small shifts in the process mean. It makes possible the faster detection of small to moderate shifts in the process mean. In this chart, the process mean is evaluated in terms of exponentially weighted moving average of all previous observations or averages. The EWMA control chart’s application is worthwhile in particular when - production rate is slow, - a minor or moderate shift in the process mean is vital to be detected, - sampling and inspection procedure is complex and time consuming, - testing is expensive, and - it involves safety risks. NOTE EWMA control charts are applicable for both variables and attributes data. The given examples illustrate both types (see 5.5, Annex A, Annex B and Annex C).
This document covers EWMA control charts, originally proposed by Roberts (1959)[16], as a statistical process control technique to detect small shifts in the process mean. It makes possible the faster detection of small to moderate shifts in the process mean. In this chart, the process mean is evaluated in terms of exponentially weighted moving average of all previous observations or averages. The EWMA control chart’s application is worthwhile in particular when - production rate is slow, - a minor or moderate shift in the process mean is vital to be detected, - sampling and inspection procedure is complex and time consuming, - testing is expensive, and - it involves safety risks. NOTE EWMA control charts are applicable for both variables and attributes data. The given examples illustrate both types (see 5.5, Annex A, Annex B and Annex C).
ISO 7870-6:2024 is classified under the following ICS (International Classification for Standards) categories: 03.120.30 - Application of statistical methods. The ICS classification helps identify the subject area and facilitates finding related standards.
ISO 7870-6:2024 has the following relationships with other standards: It is inter standard links to ISO 7870-6:2016. Understanding these relationships helps ensure you are using the most current and applicable version of the standard.
You can purchase ISO 7870-6:2024 directly from iTeh Standards. The document is available in PDF format and is delivered instantly after payment. Add the standard to your cart and complete the secure checkout process. iTeh Standards is an authorized distributor of ISO standards.
Questions, Comments and Discussion
Ask us and Technical Secretary will try to provide an answer. You can facilitate discussion about the standard in here.
Loading comments...