ISO 7870-6:2016

NORME ISO
INTERNATIONALE 7870-6
Première édition
2016-02-15
Cartes de contrôle —
Partie 6:
Cartes de contrôle de EWMA
Control charts —
Part 6: EWMA control charts
Numéro de référence
©
ISO 2016
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Sommaire Page
Avant-propos .iv
Introduction .v
1 Domaine d’application . 1
2 Références normatives . 1
3 Symboles et termes abrégés . 2
4 EWMA pour le contrôle par variables . 2
4.1 Généralités . 2
4.2 Explications relatives à la moyenne pondérée . 3
4.3 Limites de contrôle de la carte de contrôle EWMA . 4
4.4 Construction d’une carte de contrôle EWMA . 5
4.5 Exemple . 6
5 Choix de la carte de contrôle . 9
5.1 Comparaison de la carte de contrôle de Shewhart et de la carte contrôle EWMA . 9
5.2 Période opérationnelle moyenne .10
5.3 Choix des paramètres de la carte de contrôle EWMA .11
5.3.1 Choix de λ . 11
5.3.2 Choix de L .
z 11
5.3.3 Calcul de n . 11
5.3.4 Exemple .13
6 Procédure de mise en œuvre de la carte de contrôle EWMA .13
7 Sensibilité de la carte EWMA en cas de non-normalité .13
8 Avantages et limitations .13
8.1 Avantages .13
8.2 Limitations .13
Annexe A (informative) Application de la carte de contrôle EWMA .15
Annexe B (normative) Carte de contrôle EWMA pour contrôler une proportion d’unités
non conformes .19
Annexe C (normative) Cartes de contrôle EWMA pour un nombre de non-conformités .22
Annexe D (informative) Efficacité de la carte de contrôle .24
Bibliographie .28
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d’organismes
nationaux de normalisation (comités membres de l’ISO). L’élaboration des Normes internationales est
en général confiée aux comités techniques de l’ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude
a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales,
gouvernementales et non gouvernementales, en liaison avec l’ISO participent également aux travaux.
L’ISO collabore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui
concerne la normalisation électrotechnique.
Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont
décrites dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier de prendre note des différents
critères d’approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document a été
rédigé conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2 (voir www.
iso.org/directives).
L’attention est appelée sur le fait que certains des éléments du présent document peuvent faire l’objet de
droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L’ISO ne saurait être tenue pour responsable
de ne pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence. Les détails concernant
les références aux droits de propriété intellectuelle ou autres droits analogues identifiés lors de
l’élaboration du document sont indiqués dans l’Introduction et/ou dans la liste des déclarations de
brevets reçues par l’ISO (voir www.iso.org/brevets).
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données
pour information, par souci de commodité, à l’intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un
engagement.
Pour une explication de la signification des termes et expressions spécifiques de l’ISO liés à
l’évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l’adhésion de l’ISO aux principes
de l’OMC concernant les obstacles techniques au commerce (OTC), voir le lien suivant: Avant-propos —
Informations supplémentaires.
Le comité chargé de l’élaboration du présent document est l’ISO/TC 69, Application des méthodes
statistiques, sous-comité SC 4, Application de méthodes statistiques au management de processus.
L’ISO 7870 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Cartes de contrôle:
— Partie 1: Lignes directrices générales
— Partie 2: Cartes de contrôle de Shewhart
— Partie 3: Cartes de contrôle pour acceptation
— Partie 4: Cartes de contrôle des sommes cumulées (CUSUM)
— Partie 5: Cartes de contrôle particulières
— Partie 6: Carte de contrôle EWMA
Une future partie est prévue pour les techniques de cartes pour petites séries et pour petits lots
combinés.
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Introduction
Les cartes de contrôle de Shewhart sont les méthodes statistiques de contrôle les plus répandues pour
maîtriser un processus, mais elles mettent du temps à signaler des déréglages de faible amplitude dans
[10]
les paramètres de processus. La carte de contrôle à moyenne mobile pondérée exponentiellement
(EWMA) permet la détection plus rapide de dérives/déréglages de petite et moyenne amplitude.
La carte de contrôle de Shewhart est simple à mettre en œuvre et elle détecte rapidement les déréglages
de grande amplitude. Elle est par contre assez peu efficace pour détecter les déréglages de petite ou
moyenne amplitude. Or il arrive assez souvent que le déréglage du processus soit lent et progressif (cas
des procédés continus en particulier); il faut détecter très tôt ce déréglage pour réagir avant que le
processus ne s’écarte fortement de sa valeur cible. Il y a deux possibilités pour améliorer l’efficacité de
la carte de contrôle de Shewhart vis-à-vis des déréglages de petite et moyenne amplitude:
— la plus simple, mais non la plus économique, consiste à augmenter l’effectif de l’échantillon. Ce n’est
pas toujours possible car le taux de production peut être trop faible et les essais peuvent prendre
du temps ou être trop onéreux. Par conséquent, il n’est pas toujours possible de constituer des
échantillons comprenant plus de 1 ou 2 unités;
— la seconde possibilité est de tenir compte des résultats précédant le contrôle en cours pour tenter
de déceler l’existence d’une dérive du processus de production. La carte de contrôle de Shewhart
ne tient compte que des informations contenues dans l’observation du dernier échantillon et elle
ignore toute information donnée par la séquence complète de points. Cette caractéristique fait que
la carte de contrôle de Shewhart est relativement insensible à de faibles déréglages du processus.
Son efficacité peut être améliorée en prenant en compte les résultats antérieurs.
Lorsqu’on veut détecter des dérives lentes et progressives, il est préférable d’utiliser des cartes
spécifiques qui tiennent compte des données antérieures et qui ont une bonne efficacité pour un coût
de contrôle modéré. Deux alternatives très efficaces à la carte de contrôle de Shewhart dans de telles
situations sont:
a) la carte de contrôle des sommes cumulées (CUSUM). Cette carte est décrite dans l’ISO 7870-4.
La carte de contrôle CUSUM réagit de manière plus sensible que la carte X-bar en cas de
dérive/déréglage de la valeur moyenne dans la plage de 0,5 sigma à 2 sigma. Si l’on reporte la somme
cumulée des écarts des moyennes d’échantillon successives par rapport à une cible spécifiée, des
déréglages permanents, même mineurs, de la moyenne du processus finiront par conduire à une
somme cumulée d’écarts quantifiable. Cette carte est donc particulièrement adaptée pour détecter
de tels déréglages permanents de petite amplitude pouvant ne pas être décelés par une carte X-bar;
b) la carte de contrôle à moyenne mobile pondérée exponentiellement (EWMA), qui est traitée dans le
présent document. Cette carte se présente comme la carte de contrôle de Shewhart; cependant, au
lieu de placer sur la carte les moyennes successives des échantillons, on suit une moyenne pondérée
de la moyenne du dernier échantillon et des moyennes des échantillons antérieures.
Les cartes de contrôle EWMA sont généralement utilisées pour détecter des déréglages de petite
amplitude de la moyenne du processus. Elles détectent beaucoup plus rapidement des déréglages allant
de 0,5 sigma à 2 sigma. Elles mettent toutefois plus de temps à détecter les déréglages importants
de la moyenne du processus. Les cartes de contrôle EWMA peuvent aussi être conseillées lorsque les
échantillons sont d’effectif n = 1.
L’utilisation conjointe d’une carte de contrôle EWMA avec une petite valeur de lambda (λ) et d’une carte
de contrôle de Shewhart est recommandée comme moyen de garantir la détection rapide à la fois des
déréglages de petite et grande amplitude. La carte de contrôle EWMA surveille uniquement la moyenne
du processus; la surveillance de la variabilité du processus nécessite l’utilisation d’autres techniques.
NORME INTERNATIONALE ISO 7870-6:2016(F)
Cartes de contrôle —
Partie 6:
Cartes de contrôle de EWMA
1 Domaine d’application
La présente Norme internationale traite des cartes de contrôle EWMA comme technique de maîtrise
statistique des processus permettant de détecter des dérives/déréglages de petite amplitude dans la
moyenne du processus. Elle permet de détecter plus rapidement des déréglages de petite et moyenne
amplitude dans la moyenne du processus. Dans cette carte, la moyenne du processus est évaluée
en termes de moyenne mobile pondérée exponentiellement de toutes les moyennes antérieures
des échantillons. La carte EWMA pondère les échantillons par ordre décroissant selon une suite
géométrique, de sorte que les échantillons les plus récents sont pondérés plus fortement tandis que les
échantillons les plus anciens ont une très faible contribution en fonction du paramètre de lissage (λ).
NOTE 1 L’objectif de base est le même que pour la carte de contrôle de Shewhart décrite dans l’ISO 7870-2.
L’application de la carte de contrôle de Shewhart est utile dans les rares situations où:
— le taux de production est lent;
— le mode opératoire d’échantillonnage et de contrôle est complexe et laborieux;
— les essais sont onéreux; et
— il y a des risques pour la sécurité.
NOTE 2 Les cartes de contrôle pour les variables peuvent être construites pour des observations individuelles
faites à partir de la ligne de production plutôt que pour des échantillons d’observations. Cela est parfois nécessaire
lorsqu’il serait trop coûteux, peu pratique, voire impossible de soumettre à essai des échantillons d’observations
multiples. Par exemple, le nombre de réclamations client ou de retours de produits peut n’être disponible que
sur une base mensuelle; or, on voudrait mettre sous carte de contrôle ces chiffres pour déceler les problèmes
de qualité. Ces cartes sont également couramment utilisées dans les cas où des dispositifs d’essai automatisés
inspectent chaque unité individuelle qui est produite. Dans ce cas, on est souvent principalement intéressé par la
détection de déréglages de petite amplitude dans la qualité du produit (par exemple, une détérioration graduelle
de la qualité due à l’usure de la machine).
2 Références normatives
Les documents suivants, en tout ou partie, sont référencés de façon normative dans le présent document
et sont indispensables pour son application. Pour les références datées, seule l’édition citée s’applique.
Pour les références non datées, la dernière édition du document de référence s’applique (y compris les
éventuels amendements).
ISO 7870-1, Cartes de contrôle — Partie 1: Lignes directrices générales
ISO 7870-2, Cartes de contrôle — Partie 2: Cartes de contrôle de Shewhart
ISO 7870-4, Cartes de contrôle — Partie 4: Cartes de contrôle de l’ajustement de processus
3 Symboles et termes abrégés
μ Valeur cible pour la moyenne du processus
U , L Valeur refusable supérieure de la moyenne, valeur refusable inférieure de la moyenne
μ μ
Moyenne de l’échantillon i
x
i
N Nombre d’unités dans un échantillon (effectif des échantillons)
z valeur de moyenne mobile pondérée exponentiellement placée sur la carte de contrôle
i
z Valeur initiale de z
0 i
λ Paramètre de lissage
L Paramètre utilisé pour établir les limites de contrôle pour z (exprimé en nombre d’écarts-types de z)
z i
s Estimation de l’écart-type σ
σ Écart-type vrai de la distribution de x
σ Écart-type vrai de la loi binomiale pour P = p
0 0
Écart-type des moyennes de n observations individuelles
σ
x
σσ= / n
x
σ Écart-type de z quand i tend vers l’infini
z i
δ Déréglage relatif à la moyenne, exprimé en nombre d’écarts-types
δ Déréglage maximal acceptable de la moyenne, exprimé en nombre d’écarts-types
p Proportion d’unités non conformes dans le processus
p Valeur cible de la proportion d’unités non conformes dans le processus
p Valeur refusable supérieure de la proportion d’unités non conformes
ème
p Proportion d’unités non conformes dans le i échantillon
i
c Nombre moyen de non-conformités
c Valeur cible du nombre moyen de non-conformités
c Moyenne refusable de non-conformités
ème
c Nombre d’unités non conformes dans le i échantillon
i
U Limite de contrôle supérieure pour la carte de contrôle EWMA
CL
L Limite de contrôle inférieure pour la carte de contrôle EWMA. Si la L est négative, alors elle est
CL CL
prise égale à zéro
POM Période opérationnelle moyenne
POM Période opérationnelle moyenne du processus sous maîtrise
POM Période opérationnelle moyenne du processus de l’apparition de déréglage
CL Ligne centrale de la limite de contrôle
POMAX Période opérationnelle maximale (probabilité de dépassement de 5 %), exprimée en nombre entier
4 EWMA pour le contrôle par variables
4.1 Généralités
Une carte de contrôle EWMA reporte les moyennes mobiles géométriques des données du passé et
du présent, et attribue aux valeurs moyennées des pondérations qui diminuent exponentiellement du
présent au passé. Par conséquent, les valeurs moyennes sont davantage influencées par la performance
récente du processus. La moyenne mobile pondérée exponentiellement est définie par la Formule (1):
z = λx + (1 - λ) z (1)
i i i-1
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NOTE 1 Quand la carte de contrôle EWMA est utilisée avec des échantillons rationnels d’effectif n > 1, x est
i
simplement remplacé par x .
i
où 0 < λ < 1 est une constante et la valeur de départ (requise pour le premier échantillon à i = 1) est la
cible du processus, de sorte que z = μ .
0 0
NOTE 2 μ peut être estimé par la moyenne des données préliminaires.
La carte de contrôle EWMA devient une carte X quand λ = 1.
4.2 Explications relatives à la moyenne pondérée
Pour démontrer que la z EWMA est une moyenne pondérée de toutes les moyennes des échantillons
i
antérieurs, on peut remplacer la partie droite de la Formule (1) en 4.1 par z pour obtenir la Formule (2):
i-1
 
zx=+λλ11− λλxz+−
() ()
ii  ii−−12
 
(2)
=+λλxx11−λλ+− z
() ()
ii−−1 i 22
En continuant à remplacer de manière récursive z , avec j = 2, 3, …, t, on obtient la Formule (3):
i-j
i−1
j i
zx=−λλ11+−λ z (3)
() ()
∑
i ij− 0
j=0
Pour i = 1, z = λx + (1 – λ)μ .
1 1 0
j
Les pondérations λ(1 – λ) diminuent selon une suite géométrique en fonction de l’âge de la moyenne de
l’échantillon. En outre, la somme des pondérations converge vers 1 étant donné que:
 i 
i−1
 
11−−λ
()
j i
 
λλ1− =λ =−11−λ (4)
() ()
∑
 
11−−λ
()
 
j=0
 
 
Si λ = 0,2, alors la pondération attribuée à la moyenne de l’échantillon présent est de 0,2 et les
pondérations attribuées aux moyennes antérieures sont de 0,16; 0,128; 0,102 4 et ainsi de suite. Ces
pondérations sont représentées à la Figure 1. Comme ces pondérations diminuent selon une suite
géométrique, la valeur EWMA est parfois appelée moyenne mobile géométrique (GMA).
Légende
X âge de la moyenne de l’échantillon (EWMA λ = 0,2)
j
Y pondérations λ(1-λ)
Figure 1 — Pondérations des moyennes d’échantillons passés
Étant donné que la valeur EWMA peut être considérée comme une moyenne pondérée de toutes les
observations du présent et du passé, elle est très insensible à l’hypothèse de normalité. C’est donc une
carte de contrôle idéale pour des observations individuelles.
4.3 Limites de contrôle de la carte de contrôle EWMA
Si les observations x sont des variables aléatoires indépendantes, avec une variance σ , alors la variance
i
de z est représentée par la Formule (5):
i
 
 
2i
λ
22 

σσ= 11−−λ  (5)

()

z

 
i  
2−λ
 
 
La carte de contrôle EWMA pourrait donc être construite en traçant une courbe de z en fonction du
i
numéro de l’échantillon i (ou en fonction du temps). La ligne centrale et les limites de contrôle de la
carte de contrôle EWMA sont les suivantes:
Ligne centrale = μ
 
2i
σλ
 
UL=+μ 11−−λ (6)
()
CL 0 z
 
2−λ
n ()  
 
σλ 2i
LL=−μ 11−−λ  (7)
()
CL 0 z
 
2−λ
n ()  
Le facteur L est la largeur des limites de contrôle et sa valeur dépend du niveau de confiance. Dans le
z
cas des cartes X - R, les limites à 3σ sont tracées pour un niveau de confiance de 99,73 % (± 3σ). De
même, sur la carte de contrôle EWMA, ce niveau de confiance peut varier en fonction des besoins (par
exemple L = 2,7 conduit à un niveau de confiance de 99,307 %).
z
On ne fait rien tant que z est situé entre ces limites et l’on décide que le processus est hors maîtrise dès
i
que z sort de ces limites. Dans ce cas, on règle le processus et on reprend la carte de contrôle EWMA
i
après l’avoir réinitialisée, c’est-à-dire qu’on ne tient pas compte des résultats obtenus avant ce réglage.
On prend z comme valeur initiale.
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2i
Le terme [1 – (1 – λ) ] tend vers l’unité au fur et à mesure que i augmente. Cela signifie qu’une fois
que la carte de contrôle EWMA a été utilisée sur plusieurs périodes de temps, les limites de contrôle
avoisinent des valeurs en régime établi données par les Formules (8) et (9):
Ligne centrale = μ
σλ
UL=−μ (8)
CL 0 z
2−λ
n ()
σλ
LL=−μ (9)
CL 0 z
2−λ
n ()
Il est toutefois vivement recommandé d’utiliser les limites de contrôle exactes. Cela améliorera
nettement la performance de la carte de contrôle en matière de détection des processus hors cible
immédiatement après l’initialisation de la carte de contrôle EWMA.
NOTE Pour des raisons pratiques, l’estimation de σ par s est calculée à partir des données.
4.4 Construction d’une carte de contrôle EWMA
Pour illustrer la construction d’une carte de contrôle EWMA, on considère un processus dont les
paramètres suivants ont été calculés à partir de données historiques:
μ = 50
s = 2,053 9
avec λ pris égal à 0,3; de sorte que:
λ 03,
==0,4201 (10)
17,
2−λ
()
Les limites de contrôle en régime établi sont données par les Formules (11) et (12):
U = 50 + 3 (0,420 1)(2,053 9) = 52,588 5 (11)
CL
L = 50 - 3 (0,420 1)(2,053 9) = 47,411 5 (12)
CL
On considère les données consistant en 20 échantillons, comme indiqué dans le Tableau 1.
Tableau 1 — Calcul des valeurs EWMA
Échantillon x Valeurs EWMA
i
1 52,0 50,600 0
2 47,0 49,520 0
3 53,0 50,564 0
4 49,3 50,184 8
5 50,1 50,159 4
6 47,0 49,211 6
7 51,0 49,748 1
8 50,1 49,853 7
9 51,2 50,257 6
10 50,5 50,330 3
Tableau 1 (suite)
Échantillon x Valeurs EWMA
i
11 49,6 50,111 2
12 47,6 49,357 8
13 49,9 49,520 5
14 51,3 50,054 3
15 47,8 49,378 0
16 51,2 49,924 6
17 52,6 50,727 2
18 52,4 51,229 1
19 53,6 51,940 3
20 52,1 51,988 2
Légende
1 U = 52,588 5
CL
2 CL = 50
3 L = 47,411 5
CL
Figure 2 — Courbe de la valeur EWMA
La carte de contrôle EWMA de la Figure 2 montre que le processus est sous maîtrise car tous les points
EWMA sont situés entre les limites de contrôle.
4.5 Exemple
On considère les données du Tableau 2 (observations x ). Les 20 premières observations ont été
prélevées au hasard dans une distribution normale avec une moyenne µ = 10 et un écart-type σ = 1. Les
10 dernières observations ont été prélevées dans une distribution normale avec une moyenne µ = 11 et
un écart-type σ = 1, c’est-à-dire après que le processus a dérivé de la moyenne de 1 sigma.
Appliquer une carte de contrôle EWMA avec λ = 0,10 et L = 2,7 aux données du Tableau 2.
z
La valeur cible pour la moyenne est μ = 10 et l’écart-type est σ = 1.
Les calculs de la carte de contrôle EWMA sont résumés dans le Tableau 2 et la carte de contrôle est
illustrée à la Figure 3.
Pour illustrer les calculs, on considère les premières observations, x = 9,45.
i
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La première valeur de la statistique EWMA est donnée par la Formule (13):
zx=+λλ10− z =×,,19 45+×09, 10
()
11 0
(13)
=9,94500
Par conséquent, z = 9,945 00 est la première valeur reportée sur la carte de contrôle de la Figure 3.
La deuxième valeur EWMA est donnée par la Formule (14):
zx=+λλ10− z =×,,17 99+×09,,9 945
()
22 1
(14)
=9,74950
Les autres valeurs de la statistique EWMA sont calculées de manière similaire.
Les limites de contrôle sont calculées à l’aide des Formules (15) et (16):
Pour la période i = 1:
 
2i
σλ
 
UL=+μ 11−−λ
()
CL 0 z
 
2−λ
n ()  
 21× 
01,
 
=+10 27, ××1 11−−001, (15)
()
 
20− ,1
()  
=10,27000
et
 2i
σλ
 
LL=−μ 11−−λ
()
CL 0 z
 
2−λ
n ()  
 
21×
01,
 
=−10 27, ××1 11−−001, (16)
()
 
20− ,1
()  
=9,73000
Pour la période i = 2, les limites sont données par les Formules (17) et (18):
 
σλ 2i
UL=+μ 11−−λ 
()
CL 0 z
 
2−λ
n ()  
 
22×
01,
 
=+10 27, ××1 11−−001, (17)
()
 
20− ,1
()  
=10,36325
et
 
2i
σλ
 
LL=−μ 11−−λ
()
CL 0 z
 
2−λ
n ()  
 
01, 22×
=−10 27, ××1 11−−001,  (18)
()
 
20− ,1
()  
=9,63675
Les calculs des limites de contrôle sont également résumés dans le Tableau 2 et illustrés à la Figure 3.
Tableau 2 — Calculs de la valeur EWMA
Échantillon x z EWMA U L
i i CL CL
1 9,45 9,945 00 10,270 00 9,730 00
2 7,99 9,749 50 10,363 25 9,636 75
3 9,29 9,703 55 10,424 00 9,576 00
4 11,66 9,899 20 10,467 46 9,532 54
5 12,16 10,125 28 10,499 90 9,500 10
6 10,18 10,130 75 10,524 71 9,475 29
7 8,04 9,921 67 10,543 98 9,456 02
8 11,46 10,075 51 10,559 09 9,440 90
9 9,20 9,987 96 10,571 05 9,428 95
10 10,34 10,023 16 10,580 55 9,419 45
11 9,03 9,923 84 10,588 13 9,411 87
12 11,47 10,078 46 10,594 20 9,405 80
13 10,51 10,121 61 10,599 08 9,400 92
14 9,40 10,049 45 10,603 00 9,397 00
15 10,08 10,052 51 10,606 15 9,393 85
16 9,37 9,984 26 10,608 70 9,391 30
17 10,62 10,047 83 10,670 75 9,389 25
18 10,31 10,074 05 10,612 41 9,876 00
19 8,52 9,918 64 10,613 74 9,386 26
20 10,84 10,010 78 10,614 83 9,385 17
21 10,90 10,099 70 10,615 70 9,384 30
22 9,33 10,027 73 10,616 41 9,383 59
23 12,29 10,249 46 10,616 98 9,383 02
24 11,50 10,374 51 10,617 45 9,382 55
25 10,60 10,397 06 10,617 82 9,382 18
26 11,08 10,465 35 10,618 13 9,381 87
27 10,38 10,456 82 10,618 37 9,381 63
28 11,62 10,573 14 10,618 57 9,381 43
29 11,31 10,646 82 10,618 73 9,381 26
30 10,52 10,634 14 10,618 87 9,381 13
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On peut remarquer sur la Figure 3 que les limites de contrôle augmentent en largeur au fur et à mesure
que i augmente de i = 1, 2, …, puis qu’elles se stabilisent aux valeurs en régime établi données par les
Formules (19) et (20):
σλ
UL=+μ
CL 0 z
2−λ
n ()
01,
=+10 27, ××1 (19)
20− ,1
()
=10,61942
et
σλ
LL=−μ
CL 0 z
2−λ
n ()
01,
=−10 27, ××1 (20)
20− ,1
()
=9,38058
Légende
1 U = 10,62
CL
2 CL = 10,00
3 L = 9,38
CL
Figure 3 — Carte de contrôle EWMA
La carte de contrôle EWMA signale que l’observation 28 dépasse U . On en conclut donc que le
CL
processus est hors maîtrise.
5 Choix de la carte de contrôle
5.1 Comparaison de la carte de contrôle de Shewhart et de la carte contrôle EWMA
À la différence de la carte de Shewhart, il n’est pas possible de donner la probabilité de déceler un
déréglage dans le processus basé sur un échantillon car cette probabilité n’est pas constante. Elle
dépend du nombre d’échantillons. On peut calculer cette probabilité pour chaque échantillon, mais ces
probabilités sont trop nombreuses pour être utilisables dans la pratique.
L’efficacité de la procédure EWMA se juge donc d’après la POM, c’est-à-dire le nombre moyen
d’échantillons successifs nécessaires pour détecter un déréglage.
Si le processus est sous maîtrise, on souhaite que les fausses alarmes soient peu nombreuses,
c’est-à-dire que le nombre moyen d’échantillons avant une fausse alarme soit élevé (en général POM
entre 100 et 1 000).
Par contre, s’il y a un déréglage, on souhaite qu’il soit décelé le plus vite possible, c’est-à-dire que le
nombre d’échantillons se situant entre le moment du déréglage et celui du premier point hors des
limites de contrôle soit le plus faible possible (POM faible).
Pour des déréglages de faible ou moyenne importance, la procédure EWMA a une très bonne efficacité
comparée à la carte de contrôle de Shewhart: plus λ est faible, meilleure est l’efficacité. Par contre, la
carte de contrôle de Shewhart est plus efficace pour des déréglages brusques et élevés.
L’efficacité de la carte dépend de l’effectif des échantillons: elle est d’autant meilleure que n est grand
(voir l’Annexe D).
5.2 Période opérationnelle moyenne
Le Tableau 3 indique la POM et la POMAX de la carte en fonction du déréglage, δ n . Il est donc possible
d’obtenir l’efficacité de toute valeur de n.
Par exemple, la carte de contrôle EWMA avec λ = 0,5, L = 2,979 et n = 1 détecte un déréglage de
z
δ = 1 écart-type sur 14,5 échantillons en moyenne car δ n= 1, alors que la même carte avec n = 4 le
décèle en 3,2 échantillons car δ n= 2 .
Dans le Tableau 3, les valeurs de L pour les procédures EWMA ont été choisies pour que la période
z
opérationnelle moyenne (POM) soit égale à 370 (c’est-à-dire la même que celle de la carte de contrôle de
Shewhart), avec des limites de contrôle établies à ±3σ n quand le déréglage δ est égal à 0. On peut
donc comparer les chiffres des six colonnes directement puisqu’il s’agit de procédures de contrôle qui
ont le même nombre de fausses alarmes. Le Tableau 3 montre que l’efficacité pour détecter des faibles
déréglages est meilleure pour des petites valeurs de λ (par exemple la POM va de 14,9 à 7,6 pour δ n= 1
); et c’est l’inverse pour les déréglages importants (par exemple la POM va de 1,6 à 1,5 pour δ n= 3 ).
Le choix de λ et de L se fait de façon à obtenir une période opérationnelle moyenne que l’on se fixe a
z
priori comme objectif de qualité. On peut donc ainsi obtenir des cartes qui correspondent aux exigences
pratiques de l’industrie ou des services.
Tableau 3 — Comparaison des périodes opérationnelles moyennes des cartes de contrôle
EWMA et de Shewhart
Carte de
contrôle de Carte de contrôle EWMA
Déré-
Shewhart
glage
λ = 1,0 λ = 0,5 λ = 0,4 λ = 0,3 λ = 0,2 λ = 0,1
L = 3,0 L = 2,979 L = 2,961 L = 2,928 L = 2,864 L = 2,715
z z z z z z
POM POMAX POM POMAX POM POMAX POM POMAX POM POMAX POM POMAX
δ n
0,00 370,4 370,4 370,8 370,9 370 370,9
0,25 281,2 842 195,7 584 173,8 518 148,5 441 119,6 353 86,3 248
0,50 155,2 464 71,3 211 58,0 170 45,8 132 35,0 97 25,7 66
0,75 81,2 242 29,9 86 24,0 67 19,2 52 15,4 39 12,5 29
1,00 43,9 130 14,9 41 12,3 33 10,3 26 8,8 21 7,6 17
1,25 25,0 74 8,7 23 7,5 18 6,6 15 5,9 13 5,3 11
1,50 15,0 44 5,7 14 5,1 12 4,7 10 4,3 9 3,9 8
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Tableau 3 (suite)
Carte
...