ISO 5725-5:2025
(Main)Accuracy (trueness and precision) of measurement methods and results — Part 5: Alternative methods for the determination of the precision of a standard measurement method
Accuracy (trueness and precision) of measurement methods and results — Part 5: Alternative methods for the determination of the precision of a standard measurement method
This document describes the use of robust methods for analysing the results of precision experiments without using outlier tests to exclude data from the calculations, and in particular, the detailed use of several such methods. The robust methods described in this document allow the data to be analysed in such a way that it is not required to make decisions about outliers that affect the results of the calculations.
Exactitude (justesse et fidélité) des résultats et méthodes de mesure — Partie 5: Méthodes alternatives pour la détermination de la fidélité d'une méthode de mesure normalisée
Le présent document décrit l'utilisation des méthodes robustes pour analyser les résultats d'expériences de fidélité sans recourir à des tests de valeurs aberrantes pour exclure des données des calculs, et en particulier, l'utilisation détaillée d'une de ces méthodes. Les méthodes robustes décrites dans le présent document permettent d'analyser les données de telle façon que l'analyste des données n'a pas à prendre de décisions relatives aux valeurs aberrantes qui affectent les résultats de ces calculs.
General Information
Relations
Standards Content (Sample)
International
Standard
ISO 5725-5
Second edition
Accuracy (trueness and precision)
2025-10
of measurement methods and
results —
Part 5:
Alternative methods for the
determination of the precision of a
standard measurement method
Exactitude (justesse et fidélité) des résultats et méthodes de
mesure —
Partie 5: Méthodes alternatives pour la détermination de la
fidélité d'une méthode de mesure normalisée
Reference number
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Published in Switzerland
ii
Contents Page
Foreword .iv
Introduction .v
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Terms and definitions . 1
4 Symbols and abbreviations . 1
5 Robust methods for data analysis: Algorithms A and S . 3
5.1 Applications of robust methods of data analysis .3
5.2 Robust analysis: Algorithm A .5
5.3 Robust analysis: Algorithm S .7
5.4 Formulae: robust analysis for a particular level of a uniform-level design .8
5.5 Formulae: robust analysis for a particular level of a split-level design .9
5.6 Formulae: robust analysis for a particular level of an experiment on a heterogeneous
material .9
6 Robust methods for data analysis: Q method and Hampel estimator .10
6.1 Rationale for computationally intensive estimators .10
7 Robust statistical analysis of results by means of the Q/Hampel method in a one-way
replicated design .11
7.1 Introduction to the Q/Hampel method .11
7.2 Determination of the robust reproducibility standard deviation s using the
R
Q method .
7.3 Determination of the robust repeatability standard deviation s using the Q method .
r
*
7.4 Determination of the robust mean x using the Hampel estimator .
8 Robust statistical analysis of results by means of the Q/Hampel method in a staggered
nested design with two factors .13
8.1 Data layout and nomenclature. 13
8.2 Determination of the robust reproducibility standard deviation s using the
R
Q method .
8.3 Determination of the robust intermediate standard deviation using the Q method .14
8.4 Determination of the robust repeatability standard deviation s using the Q method .
r
*
8.5 Determination of the robust mean x using the Hampel estimator .
Annex A (normative) Determination of the robust mean using the Hampel estimator . 17
Annex B (informative) Derivations . 19
Annex C (informative) Examples .22
Bibliography .38
iii
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards
bodies (ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through
ISO technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee
has been established has the right to be represented on that committee. International organizations,
governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely
with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
The procedures used to develop this document and those intended for its further maintenance are described
in the ISO/IEC Directives, Part 1. In particular, the different approval criteria needed for the different types
of ISO document should be noted. This document was drafted in accordance with the editorial rules of the
ISO/IEC Directives, Part 2 (see www.iso.org/directives).
ISO draws attention to the possibility that the implementation of this document may involve the use of (a)
patent(s). ISO takes no position concerning the evidence, validity or applicability of any claimed patent
rights in respect thereof. As of the date of publication of this document, ISO had not received notice of (a)
patent(s) which may be required to implement this document. However, implementers are cautioned that
this may not represent the latest information, which may be obtained from the patent database available at
www.iso.org/patents. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
Any trade name used in this document is information given for the convenience of users and does not
constitute an endorsement.
For an explanation of the voluntary nature of standards, the meaning of ISO specific terms and expressions
related to conformity assessment, as well as information about ISO's adherence to the World Trade
Organization (WTO) principles in the Technical Barriers to Trade (TBT), see www.iso.org/iso/foreword.html.
This document was prepared by Technical Committee ISO/TC 69, Applications of statistical methods,
Subcommittee SC 6, Measurement methods and results.
This second edition cancels and replaces the first edition (ISO 5725-5:1998), which has been technically
revised. It also incorporates the Technical Corrigendum ISO 5725-5:1998/Cor.1:2005.
The main changes are as follows:
— alternative experimental designs (split-level and design for heterogeneous material) have been
transferred to ISO 5725-3;
— an additional robust approach, the Q method, which has improved breakdown properties, has been added.
A list of all parts in the ISO 5725 series can be found on the ISO website.
Any feedback or questions on this document should be directed to the user’s national standards body. A
complete listing of these bodies can be found at www.iso.org/members.html.
iv
Introduction
This document uses two terms, trueness and precision, to describe the accuracy of a measurement method.
Trueness refers to the closeness of agreement between the average value of a large number of test results
and the true or accepted reference value. Precision refers to the closeness of agreement between test results.
General consideration of these quantities is given in ISO 5725-1 and so is not repeated here. This document
should be read in conjunction with ISO 5725-1 because the underlying definitions and general principles are
given there.
ISO 5725-2 is concerned with estimating, by means of interlaboratory experiments, standard measures
of precision, namely the repeatability standard deviation and the reproducibility standard deviation. It
gives a basic method for doing this, including methods of calculation. This document describes alternative
calculation methods to this basic method:
— The basic method requires the preparation of a number of identical samples of the material for use in
the experiment. With heterogeneous materials this may not be possible, so that the use of the basic
method then gives estimates of the reproducibility standard deviation that are inflated by the variation
between the samples. The design for a heterogeneous material given in this document yields information
about the variability between samples which is not obtainable from the basic method; it may be used to
calculate an estimate of reproducibility from which the between-sample variation has been removed.
— The basic method requires tests for outliers to be used to identify data that should be excluded from
the calculation of the repeatability and reproducibility standard deviations. Excluding outliers can
sometimes have a large effect on the estimates of repeatability and reproducibility standard deviations,
but in practice, when applying the outlier tests, the statistical expert may have to use judgement to
decide which data to exclude. This document describes robust methods of data analysis that may be
used to calculate repeatability and reproducibility standard deviations from data containing outliers
without using tests for outliers to exclude data, so that the results are no longer affected by the statistical
expert’s judgement.
v
International Standard ISO 5725-5:2025(en)
Accuracy (trueness and precision) of measurement methods
and results —
Part 5:
Alternative methods for the determination of the precision of
a standard measurement method
1 Scope
This document describes the use of robust methods for analysing the results of precision experiments
without using outlier tests to exclude data from the calculations, and in particular, the detailed use of several
such methods. The robust methods described in this document allow the data to be analysed in such a way
that it is not required to make decisions about outliers that affect the results of the calculations.
2 Normative references
The following documents are referred to in the text in such a way that some or all of their content constitutes
requirements of this document. For dated references, only the edition cited applies. For undated references,
the latest edition of the referenced document (including any amendments) applies.
ISO 3534-1, Statistics — Vocabulary and symbols — Part 1: General statistical terms and terms used in
probability
ISO 5725-1, Accuracy (trueness and precision) of measurement methods and results — Part 1: General principles
and definitions
3 Terms and definitions
For the purposes of this document, the terms and definitions given in ISO 3534-1 and in ISO 5725-1 apply.
ISO and IEC maintain terminology databases for use in standardization at the following addresses:
— ISO Online browsing platform: available at https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: available at https:// www .electropedia .org/
4 Symbols and abbreviations
b
Correction factor used for reproducibility standard deviation in the Q method
p
c
Correction factor used for repeatability standard deviation in the Q method
p
D
Within-cell difference between measurement results (used with subscripts as required).
D Average of within-cell differences
dd… Interpolation nodes for each value y (Hampel estimator, non-iterative)
16 i
E{}
Expectation of a statistical variable
Gx
() Interpolation function (Q method, robust reproducibility standard deviation)
−1
Function returning a given quantile of Gx() (Q method, robust reproducibility standard deviation)
G ()
Gx()
Function of individual discontinuity points (Q method, robust reproducibility standard deviation)
1 i
Gx
()
Interpolation function (Q method, robust repeatability standard deviation)
−1
Function returning a given quantile of Gx() (Q method, robust repeatability standard deviation)
G () 2
Gx
() Function of individual discontinuity points (Q method, robust repeatability standard deviation)
2 i
Hx()
Cumulative distribution function of absolute between-laboratory differences (Q method)
Hx()
Cumulative distribution function of within-laboratory differences (Q method)
I{} Indicator function returning 1 when a condition (in {}) is met and 0 otherwise
i Identifier for a particular laboratory
j Identifier for a particular replicate observation
n Number of test results obtained in one laboratory at one level (i.e. per cell)
P
Probability
P
Probability used in calculation of adjustment factor for Algorithm S
ξ
p Number of laboratories participating in the interlaboratory experiment
p
Check value for solutions in non-iterative Hampel estimator
m
p′
Number of laboratories participating in an interlaboratory experiment (heterogeneous material)
SS Sum of squares
SS
Robust estimate of between-sample sum of squares (heterogeneous material)
H
SS
Robust estimate of repeatability sum of squares (heterogeneous material)
r
s Estimate of a standard deviation
s′
standard deviation of a subset of data items between limits calculated in Algorithm A
s* Robust estimate of standard deviation
s
Estimate of standard deviation of cell differences in a split-level design
D
s
Robust estimate of standard deviation of cell averages
d
s
Robust estimate of between-sample standard deviation for a heterogeneous material
H
s
Robust estimate of intermediate standard deviation
I1()
s
Estimate of between-laboratory standard deviation
L
s
Estimate of reproducibility standard deviation
R
s
Estimate of repeatability standard deviation
r
s
Estimate of standard deviation of cell averages for a level in a split-level design
y
t
Test sample number in an experiment for a heterogeneous material
u
Number of data items below a calculated threshold in Algorithm A
L
u
Number of data items above a calculated threshold in Algorithm A
U
th
w i item of data in Algorithm S
i
th
x i data point in a set of data
i
th
*
Updated value for i data point in iterative robust estimation
x
i
x* Robust estimate of mean value
x ’
Average of a subset of data items between limits calculated in Algorithm A
th
y i measurement result in a set of measurement results
i
y
Average of a set of measurement results
th
y
j measurement for laboratory i in a set of results grouped by laboratory
ij
th
y
k measurement on sample t in laboratory i at a particular level of a design for a heterogeneous
itk
material (adapted from ISO 5725-3)
ξ
Adjustment factor used in robust analysis (Algorithm S)
υ Number of degrees of freedom
σ True value of a standard deviation
−1 th
q quantile of the standard normal distribution
Φ ()q
ϕ
Limit used in robust analysis (Algorithm A)
η Limit factor used in robust analysis (Algorithm S)
ψ
Limit used in robust analysis (Algorithm S)
ψ q
() Influence function (Hampel estimator)
5 Robust methods for data analysis: Algorithms A and S
5.1 Applications of robust methods of data analysis
5.1.1 In ISO 5725-2, it is recommended that two tests for outliers (Cochran’s test and Grubbs’ test) should
be applied to the data obtained in a precision experiment, and any data that give rise to a test statistic in
one or other of these tests that exceeds the critical value of the test at the 1 % significance level should be
discarded (unless the statistical expert has good reason to retain the data). In practice, this procedure is
often not easy to apply. Consider the results of the outlier tests in Example C.2. These are given in Table C.4.
Laboratory 5 gives only one cell average (at Level 10) that is sufficiently extreme to be classed as an outlier
by Grubbs’ test, but gives three other stragglers, and a strong indication in Figure C.2 that something is
amiss in this laboratory. The statistical expert, in this situation, must decide between:
a) retaining all the data for Laboratory 5;
b) discarding only the data from Level 10 for Laboratory 5;
c) discarding all the data for Laboratory 5.
The decision will have a substantial influence on the calculated values for the repeatability and reproducibility
standard deviations. It is a common experience when analysing data from precision experiments to find
data that are on the borderline between stragglers and outliers, so that judgements may have to be made
that affect the results of the calculation. This can be unsatisfactory. The robust methods described in this
clause allow the data to be analysed in such a way that it is not required to make decisions that affect the
results of the calculations. Thus, if there is reason to expect that the results of a precision experiment will
contain outliers, robust methods may be preferred.
NOTE In this document, the statistical expert is the person designated to undertake analysis of the data and to
provide a report of the data analysis to the panel, as described in ISO 5725-2.
5.1.2 The basic model discussed in ISO 5725-2 contains the assumption that establishing a common value
for the repeatability standard deviation for all laboratories using the measurement method is justifiable.
In practice it is often found that some laboratories achieve poorer repeatability than others. Some
participants in a precision experiment might achieve poor repeatability when a measurement method is
subjected to an interlaboratory precision experiment for the first time, or when they have little experience
of the measurement method, and these are situations when the use of robust methods will be particularly
appropriate.
[10]
5.1.3 The object of using robust methods , when analysing the data from a precision experiment, is to
calculate values for the repeatability and reproducibility standard deviations in such a way that they are
not influenced by outlying data. If the participants in the experiment can be considered to be divided into
two classes, those that produce good-quality data, and those that produce poor-quality data, then the robust
methods should yield values for the repeatability and reproducibility standard deviations that are valid for
the good-quality-data class, and not affected by the poor-quality data (provided that the poor-quality-data
class is not too large).
5.1.4 The use of robust methods of data analysis does not affect the planning, organization or execution of
a precision experiment. The decision as to whether to use robust methods or methods that require outliers
to be discarded should be made by the statistical expert and reported to the panel.
When robust methods are used, data should be inspected visually for anomalies and the outlier tests and
consistency checks described in ISO 5725-2 should be applied to the data, and the causes of any outliers, or
patterns in the h and k statistics, should be investigated. However, data should not be discarded as a result
of these tests and checks unless the check identifies a clear deviation from the prescribed measurement or
test method. Additional statistical methods of identifying anomalous results or unexpected patterns may
be applied, including, for example, z-scores for laboratory means, or the graphical methods illustrated in
ISO 5725-2.
** * *
NOTE A z-score can be calculated as xx− /s where x is the mean for laboratory i, and x and s are
()
i i
respectively the robust mean and standard deviation of the laboratory means x as calculated by, for example,
i
* *
Algorithm A (see 5.2) or the Q/Hampel method (see 7.2 for s and 7.4 for x ).
5.1.5 The denominators in the h and k statistics are standard deviations that, according to the methods of
calculating these statistics described in ISO 5725-2, are calculated from the data as reported. If outliers are
present in the data then these will inflate the denominators and produce a distorted effect in the graphs of the
statistics. For example, if, at one level of an experiment, one laboratory gives a cell average that is an outlier,
and much more extreme than any other outlier at that level, then it will show up in a graph of h statistics as
giving an exceptionally large h for that level. However, the h statistics for all the other laboratories for that
level will be small, even if some of these other laboratories give outliers. The use of the overall average in
the calculation of the h statistics can give rise to a similar effect. The use of robust estimates of the standard
deviations as the denominators in the h and k statistics, and of robust estimates of the overall averages in
the calculation of the h statistics, avoids this distortion. It is therefore recommended that they are used for
this purpose.
5.1.6 The data from a precision experiment allow two types of statistic to be calculated:
a) cell averages, from which a standard deviation can be calculated that gives a measure of between-
laboratory variation;
b) standard deviations or ranges (or differences in a split-level design) within cells that are combined to
give a measure of within-laboratory variation.
The robust methods described here do not replace these cell averages, standard deviations or ranges or
differences, but provide alternative ways of combining them to obtain the statistics that are used to calculate
the repeatability and reproducibility standard deviations.
5.1.7 For example, with the data from one level of the uniform-level design considered in ISO 5725-2, the
first stage of the analysis is to calculate the average and standard deviation of the measurement results in
each cell. The cell averages are then used to calculate a standard deviation that is a measure of between-
laboratory variation. When the robust methods of this clause are used, this calculation is performed using
‘Algorithm A’ and cell averages are not excluded from the calculation as a result of applying Grubbs’ test.
Also in this design, the cell standard deviations are pooled to give an estimate of the repeatability standard
deviation. With robust analysis, this is performed using ‘Algorithm S’ and cell standard deviations are
not excluded as a result of applying Cochran’s test. With either approach (that described in ISO 5725-2
or that described here), the two measures are then used to calculate estimates of the repeatability and
reproducibility standard deviations in the same way.
5.1.8 The robust methods that are included in this document were chosen because they can be applied to
all the experimental designs given in ISO 5725-2, ISO 5725-3 and ISO 5725-4, and because the calculations
they require are relatively simple. It should be noted, however, that they provide a means of combining, in a
robust manner, cell averages, cell standard deviations and cell ranges. They do not combine individual test
results in a robust manner, i.e. they start with the arithmetic cell averages and the cell standard deviations.
There are robust methods that combine test results within cells in a robust manner, and they would be more
complicated to apply in practice.
5.2 Robust analysis: Algorithm A
5.2.1 This algorithm yields robust values of the average and standard deviation of the data to which it is
applied, and is applied to:
a) cell averages, in any design;
b) cell differences, in the split-level design.
5.2.2 Denote the p items of data by:
x , x , ., x , ., x
1 2 i p
Denote the robust average and robust standard deviation of these data by x* and s*.
5.2.3 Calculate initial values for x* and s* as given by Formulae (1) and (2):
*
xx==medianof ,,()ip12,,… (1)
i
**
sx=×1,,483 medianof −=xi()12,,…,p (2)
i
NOTE The factor of 1,483 is the inverse of the upper quartile for the standard normal distribution (1/0,674 5 =
1,483) and is the ratio of the standard deviation to the median absolute deviation for a normal distribution.
5.2.4 Update the values of x* and s* as in Formula (3).
Calculate:
φ = 1,5 s* (3)
*
For each x value (i = 1, 2, ., p), calculate updated values x following Formula (4):
i i
**
xx−<ϕϕif x −
i
* **
x = xx+>ϕϕif x + (4)
i i
x otherwise
i
Calculate the new values of x* and s* from Formulae (5) and (6):
p
**
xx= /p (5)
∑ i
i=1
p
** *
sx=−1,/134 xp−1 (6)
()
()
i
∑
i=1
NOTE The factor 1,134 is a correction factor calculated from the standard deviation for a standard normal
distribution with values outside ±15, treated as in Formula (4).
5.2.5 The robust estimates x* and s* may be derived by an iterative calculation, i.e. by repeating the
calculations in 5.2.4 several times, until the change in the estimates of x* and s* from one calculation to the
* *
-4
next is small (for example, a change of less than 10 of the previous estimate of either x and s ). This is a
simple method to program on a computer.
NOTE It can be useful to check that the results of iterative methods do not change materially with a smaller
convergence criterion.
5.2.6 An alternative method that does not involve iteration and so may be easier to apply if the calculations
are being done by hand, is derived by observing that Formulae (5) and (6) in 5.2.4 may be written as in
Formulae (7) and (8):
* *
′
xx=+15,/()uu− sp()−−uu (7)
UL LU
* 22
′
sp=−()uu−−11()sp//()− 1,,134 −+15 ()pu pu −4uu /()p−uuu− (8)
()
LU LU LU LU
where
u is the number of data items x for which x < x* − φ;
L i i
u is the number of data items x for which x > x* + φ;
U i i
*
x′ and s′ are the average and standard deviation of the ()pu−−u data items x for which xx−≤ϕ
LU i i
These may be used to calculate x* and s* directly if u and u are known. One approach is to try the various
L U
possibilities in a systematic order (i.e. try u =0 , u =0 ; then u =0 , u =1 ; then u =1 , u =0 ; then
L U L U L U
u =1 , u =1 ; and so on) until a valid solution is found in which the actual numbers of items of data more
L U
than 1,5 s* from x* equal the values of u and u used to calculate x* and s*. In practice, the statistical
L U
expert will be able to use graphical methods to identify the values that are likely to differ from x* by more
than 1,5 s*, and so find the solution by evaluating a small number of cases.
NOTE The derivation for Formulae (7) and (8) is included in Annex B.
5.2.7 A further possibility is to use the iterative method to find an approximate solution, then solve
Formulae (7) and (8) to find the exact solution. This approach is illustrated in examples 1 and 3 in Annex C.
5.3 Robust analysis: Algorithm S
5.3.1 This algorithm is applied to within-laboratory standard deviations (or within-laboratory ranges)
in any balanced design. It yields a robust pooled value of the standard deviations or ranges to which it is
applied.
5.3.2 Denote the p items of data by:
ww,,…,,ww
12 ip
(These may be ranges or standard deviations).
Denote the robust pooled value by w*, and the degrees of freedom associated with each w by ν. (When w is
i i
a range, ν = 1. When w is the standard deviation of n results, ν = n − 1.) Obtain the values of ξ and η required
i
by the algorithm from Table 1.
5.3.3 Calculate an initial value for w* as in Formula (9):
*
w = median of w (i = 1, 2, ., p) (9)
i
5.3.4 Update the value of w* as in Formula (10).
a) Calculate:
*
ψ =×η w (10)
*
b) For each wi()=…12,, ,p , calculate updated values w following Formula (11):
i i
ψψifw >
i
*
w = (11)
i
w otherwise
i
*
c) Calculate the new value of w from Formula (12):
p
**
ww=ξ /p (12)
()
∑ i
i=1
5.3.5 The robust estimate w* may be derived by an iterative calculation by repeating the calculations
in 5.3.4 several times, until the change in the estimate of w* from one calculation to the next is small (for
-4
example, 10 of the previous value). This is a simple method to program on a computer.
5.3.6 An alternative method, that does not involve iteration, and so may be easier to apply if the calculations
are being done by hand, is similar to that described in 5.2.6. Formula (12) in 5.3.4 may be written as in
Formula (13):
2 22
ξ
** *
w = × ′ wu+× ηw (13)
() () ()
i U
∑
p
where
∑′ is the summation over the w for which w ≤ψ
i i
u is the number of w for which w >ψ
U i i
Table 1 — Factors required for robust analysis: Algorithm S
Degrees of freedom ν Limit factor η
Adjustment factor ξ
1 1,645 1,097
2 1,517 1,054
3 1,444 1,039
4 1,395 1,032
5 1,359 1,027
6 1,332 1,024
7 1,310 1,021
8 1,292 1,019
9 1,277 1,018
10 1,264 1,017
NOTE The values of ξ and η are derived in annex B.
This may be solved by trying u =0 , u =1 , u =2 , and so on in turn, until a valid solution is obtained in
U U U
*
which the actual number of w that exceed η×w is equal to u . In practice the statistical expert will be able
i U
*
to use graphical methods to identify the ranges that are likely to exceed η×w and find the solution by
evaluating a small number of cases.
The approach that is used in the examples in Annex C is to use the iterative method to find an approximate
solution, then solve Formula (13) to find the exact solution.
5.4 Formulae: robust analysis for a particular level of a uniform-level design
5.4.1 With a uniform-level design as described in ISO 5725-2, for each level of the experiment, each
laboratory tests two or more identical samples of the same material. A robust estimate of the repeatability
standard deviation s for a level may be obtained by applying Algorithm S to the cell ranges or cell standard
r
deviations for the level to derive a robust value w* from Formula (12) in 5.3.4. If Algorithm S is applied to the
cell standard deviations, set s using Formula (14):
r
*
sw= (14)
r
If there are two measurement results per cell and Algorithm S is applied to the cell ranges, then
Formula (15) apply:
*
sw= /2 (15)
r
5.4.2 A robust estimate of the standard deviation of cell averages s for a level may be obtained by
d
applying Algorithm A to the cell averages for the level to obtain a robust value s* from Formula (6) in 5.2.4,
and then using Formula (16):
*
ss= (16)
d
5.4.3 The between-laboratory standard deviation s is then derived using Formula (17):
L
ss=− sn/ (17)
()
Ld r
where n is the number of measurement results per cell. If the expression under the square root is negative
then set as shown in Formula (18):
s =0 (18)
L
5.4.4 Calculate the reproducibility standard deviation for the level as given in Formula (19):
ss=+s (19)
Rr L
NOTE The formulae are applied in Example C.1.
5.5 Formulae: robust analysis for a particular level of a split-level design
5.5.1 In a split-level design, as described in ISO 5725-3, design, at each level of the experiment, each
participating laboratory is provided with two samples corresponding to two similar materials, and the
operators are told that the samples are not identical, but they are not told by how much the materials differ.
To obtain robust estimates of the repeatability and reproducibility standard deviations s and s for a
r R
particular level in a split-level design, using Algorithm S, proceed as follows:
*
a) Apply Algorithm S to the cell differences for the level to derive a robust value s from Formula (6), and
apply Formula (20) to determine the estimated standard deviation of cell differences s :
D
*
ss= (20)
D
b) Calculate s using Formula (21) (from ISO 5725-3):
r
ss= /2 (21)
r D
c) Calculate a robust estimate of the standard deviation of cell averages s for a particular level by
y
applying Algorithm A again to the cell averages for the level to derive a robust value s* from Formula (6),
and then set s using Formula (22):
y
*
ss= (22)
y
d) Calculate an estimate of the reproducibility standard deviation s for the level using Formula (23)
R
(adapted from ISO 5725-3):
ss=+ s /2 (23)
()
Ry r
NOTE The formulae are applied in Example C.2.
5.6 Formulae: robust analysis for a particular level of an experiment on a heterogeneous
material
5.6.1 With the design for a heterogeneous material, in the usual case when two samples are prepared for
each of p′ laboratories at each level, and two test results are obtained on each sample, robust estimates of the
repeatability and reproducibility standard deviations may be obtained by three applications of Algorithms
A and S as follows.
a) Apply Algorithm S to the between-test-result ranges to derive a robust value w* from Formula (12) in
5.3.4, and set as shown in Formula (24):
*
′
SS =2pw (24)
()
r
*
b) Apply Algorithm S to the between-sample ranges to derive another robust value w from Formula (12),
and set as shown in Formula (25):
*
′
SS =pw (25)
()
H
c) Apply Algorithm A to the cell averages to derive a robust value s* from Formula (6) in 5.2.4, and set as
shown in Formula (26):
*
ss= (26)
y
d) Use Formulae (27) to (29) (adapted from ISO 5725-3) to calculate estimates of the repeatability and
reproducibility standard deviations, and of the standard deviation s that measures variation between
H
the samples:
sS= Sp/'()4 (27)
rr
ss=+ SS −SS / 4p′ (28)
() ()
Ry rH
′′
sS= Sp//()28−SS ()p (29)
HH r
NOTE 1 This procedure is demonstrated in Example C.3.
NOTE 2 Calculations a) to c) can be set out conveniently in tabular form, with the first column of ranges or averages
entered in increasing order. This is shown in the examples in Annex C.
6 Robust methods for data analysis: Q method and Hampel estimator
6.1 Rationale for computationally intensive estimators
6.1.1 The robust estimators of the population mean and standard deviation described in 5.2 and 5.3
have proven to be useful in a wide variety of situations. However, these techniques can become unreliable
when more than 20 % of results are outliers, or where there are bimodal or asymmetric distributions.
ISO/IEC 17043 requires that these situations will be anticipated by design or will be detected by competent
review prior to performance evaluation, but there are occasions when this may not be possible.
6.1.2 The following paragraphs describe high-efficiency, high-breakdown methods for estimating
standard deviation and location (mean) that are useful for data with larger proportions of outliers and that
show lower variability than simpler estimators.
NOTE The theoretical breakdown point of the Hampel methods below is 50 %. It can accordingly be used when
over 20 % of the data at a particular level of the design might be erroneous outlying values.
7 Robust statistical analysis of results by means of the Q/Hampel method in a one-
way replicated design
7.1 Introduction to the Q/Hampel method
7.1.1 The method known as Q/Hampel is a highly robust and efficient method for estimating the standard
deviation of reproducibility and repeatability and the overall mean of results reported by different
laboratories. The Q/Hampel method uses the Q method described in 7.2 for the calculation of the robust
reproducibility standard deviation s and in 7.3 for the calculation of the robust repeatability standard
R
deviation s together with the finite step algorithm for the Hampel estimator described in 7.4 for the
r
*
calculation of the location parameter x . This clause describes its application to the one-way replicated
design designated the ‘basic design’ in ISO 5725-2.
7.2 Determination of the robust reproducibility standard deviation s using the Q method
R
7.2.1 The Q method produces a high-breakdown, high-efficiency estimate of the standard deviation
of interlaboratory study results reported by different laboratories. The Q method is not only robust against
outlying results, but also against a situation where many test results are equal, e.g. due to quantitative data
on a discontinuous scale or due to rounding distortions. In such a situation other Q-like methods can fail
because many pairwise differences are zero. The Q method can be used for interlaboratory studies both
with single results per participant (including a mean or median of replicates) and for replicates. The direct
use of replicates in the calculation improves the efficiency of the method. The calculation relies on the use of
pairwise differences within the data set and is therefore not dependent on an estimate of the mean or median
of the data. The method is known as Q/Hampel when it is used together with the finite step algorithm for the
Hampel estimator described in 7.4. The procedure is as follows:
a) Denote the reported measurement results, grouped by laboratory, by Formula (30):
yy,,……,,yy,,……,,yy, (30)
11 1nn21 2 pp1 n
12 p
LabL1 ab2
Labbp
b) Based on the measurement results as structured in Formula (30), calculate the cumulative distribution
function of all absolute between-laboratory differences given by Formula (31):
n n
2 1
i j
Hx()= I yy−≤x (31)
{}
1 ∑ ∑ ∑ ik jm
1≤
pp−1 nn
()
ij
1 if yy−≤x
ik jm
where I yy−≤x = denotes the indicator function.
{}
ik jm
0 otherwise
c) Denote the discontinuity points of Hx by Formula (32):
()
xx,,…<,wherexx <…< x . (32)
11rr2
d) Calculate for all positive discontinuity points xx,,… following Formula (33):
1 r
05, ⋅()Hx()+Hx() if i≥2
11ii−1
Gx = (33)
()
1 i
05,;⋅Hx() if ix=>10
11 1
and let as shown by Formula (34):
G 00= (34)
()
e) Calculate the function Gx() for all x out of the interval []0,x by linear interpolation between
1 r
discontinuity points 0<
12 r
f) Calculate the robust reproducibility standard deviation s by Formula (35):
R
−1
GH02,,50+⋅75 0
[]()
1 1
s = ⋅b (35)
Rp
−1
20Φ ,,625+⋅0 375 H ()0
[]
where H ()0 is calculated as in Formula (30) and is equal to zero unless there are exact ties in the data set,
−1 th
Φ ()q is the q quantile of the standard normal distribution, and where b is selected from Table 2 for a
p
particular number p of data points, 41≤≤p 2, or for p>12 ,b is calculated using Formula (36).
p
NOTE 1 This algorithm does not depend on a mean value; it can be used together with either a value from combined
participant results or a specified reference value.
NOTE 2 The correction factors b in Table 2 and the calculation for b for p > 12 were obtained as provided in
p p
reference Reference [13] from extensive simulation and subsequent regression analysis.
Table 2 — Correction factor b for 21≤≤p 2
p
p
4 5 6 7 8 9 10 11 12
b
p 0,756 9 0,842 9 0,870 3 0,895 0 0,909 0 0,921 1 0,931 3 0,938 4 0,944 6
For p>12 b is calculated using Formula (36)
, p
−1
1 1
b =+0,,2680 0 5810 +0,9998 (36)
p
2,3363
p
p
7.3 Determination of the robust repeatability standard deviation s using the Q method
r
7.3.1 The Q method can also be used for estimating the repeatability standard deviation s . The
r
calculation is not based on the pairwise differences between laboratories, but on the use of pairwise
differences within laboratories. The procedure is as follows:
a) Calculate the cumulative distribution function of all absolute within-laboratory differences as given by
Formula (37):
12p
Hx()= I yy−≤x (37)
{}
2 ∑ ∑ ji ji
j=1 1≤<≤iin
p 12 j
nn −1
()
jj
1 if yy−≤ x
ji ji
where I yy−≤ x = denotes the indicator function.
{}
ji ji
0 otherwise
b) Denote the discontinuity points of Hx by:
()
xx,,… , where xx<<…< x . (38)
1 r 12 r
c) Calculate for all positive discontinuity points xx,,… :
1 r
05, ⋅ Hx +Hx if i≥2
()() ()
22ii−1
Gx()= (39)
2 i
05,;⋅Hx() if ix=>10
21 1
and let as shown in Formula (40):
G 00= (40)
()
c) Calculate the function Gx() for all x out of the interval []0,x by linear interpolation between
2 r
discontinuity points 0<
12 r
e) Calculate the robust repeatability standard deviation s by Formula (41):
r
−1
GH05,,+⋅05 0
()()
2 2
s = ⋅c (41)
rp
−1
20Φ (),,75+⋅0250H ()
where H ()0 is calculated as in Formula (37) and is equal to zero unless there are exact ties in the data set,
−1 th
where Φ ()q is the q quantile of the standard normal distribution, where c is selected from Table 3 for
p
a particular number p of laboratories, 41≤≤p 2. For p>12 , apply formula (42) to determine c .
p
f) If s results in a value greater than s , set s equal to s .
r R R r
NOTE 1 The correction factors c are as provided in Reference [13] from extensive simulation.
p
Table 3 — Correction factor c for s and 41≤≤p 2
p r
p
4 5 6 7 8 9 10 11 12
c
p 0,921 2 0,946 9 0,947 9 0,960 7 0,960 6 0,968 6 0,968 9 0,973 5 0,973 7
For p>12 c is calculated from Formula (42):
, p
−1
1 1
2,,1251 ++0 3051 0,9999 podd
...
Norme
internationale
ISO 5725-5
Deuxième édition
Exactitude (justesse et fidélité) des
2025-10
résultats et méthodes de mesure —
Partie 5:
Méthodes alternatives pour la
détermination de la fidélité d'une
méthode de mesure normalisée
Accuracy (trueness and precision) of measurement methods and
results —
Part 5: Alternative methods for the determination of the precision
of a standard measurement method
Numéro de référence
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être demandée à l’ISO à l’adresse ci-après ou au comité membre de l’ISO dans le pays du demandeur.
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Case postale 401 • Ch. de Blandonnet 8
CH-1214 Vernier, Genève
Tél.: +41 22 749 01 11
E-mail: copyright@iso.org
Web: www.iso.org
Publié en Suisse
ii
Sommaire Page
Avant-propos .iv
Introduction .v
1 Domaine d'application . 1
2 Références normatives . 1
3 Termes et définitions . 1
4 Symboles et abréviations . 1
5 Méthodes robustes pour l'analyse des données: Algorithmes A et S . 3
5.1 Les applications des méthodes robustes d'analyse des données .3
5.2 Analyse robuste: Algorithme A .5
5.3 Analyse robuste: Algorithme S.7
5.4 Formules: Analyse robuste pour un niveau particulier d'un plan à niveau uniforme .8
5.5 Formules: analyse robuste pour un niveau particulier d'un plan à niveau fractionné .9
5.6 Formules: Analyse robuste pour un niveau particulier d'une expérience sur un
matériau hétérogène .10
6 Méthodes robustes pour l'analyse des données: Méthode Q et estimateur de Hampel .10
6.1 Justification des estimateurs à forte intensité de calcul .10
7 Analyse statistique robuste des résultats au moyen de la méthode Q/Hampel dans un
plan à répétition unique .11
7.1 Introduction à la méthode Q/Hampel .11
7.2 Détermination de l'écart-type de reproductibilité robuste s à l'aide de la méthode Q .
R
7.3 Détermination de l'écart-type de répétabilité robuste s à l'aide de la méthode Q .
r
*
7.4 Détermination de la moyenne robuste x à l'aide de l'estimateur de Hampel .
8 Analyse statistique robuste des résultats au moyen de la méthode Q/Hampel dans un
plan irrégulièrement emboîté à deux facteurs .13
8.1 Présentation des données et nomenclature . 13
8.2 Détermination de l'écart-type de reproductibilité robuste s à l'aide de la méthode Q .
R
8.3 Détermination de l'écart-type intermédiaire robuste à l'aide de la méthode Q . 15
8.4 Détermination de l'écart-type de répétabilité robuste s à l'aide de la méthode Q .
r
*
8.5 Détermination de la moyenne robuste x à l'aide de l'estimateur de Hampel .
Annexe A (normative) Détermination de la moyenne robuste à l'aide de l'estimateur de Hampel . 17
Annexe B (informative) Calculs . 19
Annexe C (informative) Exemples .22
Bibliographie .39
iii
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux
de normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général
confiée aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire
partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont
décrites dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier, de prendre note des différents
critères d'approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document
a été rédigé conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2
(voir www.iso.org/directives).
L'ISO attire l'attention sur le fait que la mise en application du présent document peut entraîner l'utilisation
d'un ou de plusieurs brevets. L'ISO ne prend pas position quant à la preuve, à la validité et à l'applicabilité
de tout droit de propriété revendiqué à cet égard. À la date de publication du présent document, l'ISO
n'avait pas reçu notification qu'un ou plusieurs brevets pouvaient être nécessaires à sa mise en application.
Toutefois, il y a lieu d'avertir les responsables de la mise en application du présent document que des
informations plus récentes sont susceptibles de figurer dans la base de données de brevets, disponible à
l'adresse www.iso.org/brevets. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne pas avoir identifié tout ou
partie de tels droits de brevet.
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données pour
information, par souci de commodité, à l'intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un engagement.
Pour une explication de la nature volontaire des normes, la signification des termes et expressions
spécifiques de l'ISO liés à l'évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l'adhésion de
l'ISO aux principes de l'Organisation mondiale du commerce (OMC) concernant les obstacles techniques au
commerce (OTC), voir www.iso.org/avant-propos.
Le présent document a été élaboré par le comité technique ISO/TC 69, Application des méthodes statistiques,
sous-comité SC 6, Méthodes et résultats de mesure.
Cette deuxième édition annule et remplace la première édition (ISO 5725-5:1998), qui a fait l'objet d'une
révision technique. Elle intègre également le Rectificatif technique ISO 5725-5:1998/Cor.1:2005.
Les principales modifications sont les suivantes:
— les plans d'expérience alternatifs (plan à niveau fractionné et plan pour matériaux hétérogènes) ont été
transférés dans l'ISO 5725-3;
— une approche robuste supplémentaire, la méthode Q, dont les propriétés de rupture sont améliorées, a
été ajoutée.
Une liste de toutes les parties de la série ISO 5725 se trouve sur le site web de l'ISO.
Il convient que l'utilisateur adresse tout retour d'information ou toute question concernant le présent
document à l'organisme national de normalisation de son pays. Une liste exhaustive desdits organismes se
trouve à l'adresse www.iso.org/fr/members.html.
iv
Introduction
Le présent document utilise deux termes, «justesse» et «fidélité», pour décrire l'exactitude d'une méthode
de mesure. La justesse se réfère à l'étroitesse de l'accord entre la valeur moyenne d'un grand nombre de
résultats d'essai et la valeur de référence vraie ou acceptée. La fidélité se réfère à l'étroitesse de l'accord
entre les résultats d'essai.
Les considérations générales sur ces grandeurs sont données dans l'ISO 5725-1 et ne sont donc pas répétées
ici. Il convient de lire le présent document conjointement avec l'ISO 5725-1, puisque les définitions sous-
jacentes et les principes généraux y sont donnés.
L'ISO 5725-2 concerne l'estimation, au moyen d'essais interlaboratoires, de mesures normalisées de la
fidélité, à savoir les écarts-types de répétabilité et de reproductibilité. Elle propose une méthode de base
pour ce faire, y compris des méthodes de calcul. Le présent document décrit des méthodes de calcul
alternatives à cette méthode de base:
— la méthode de base requiert la préparation d'un certain nombre d'échantillons identiques du matériau,
destinés à être utilisés dans l'expérience. Avec des matériaux hétérogènes, cela peut ne pas être possible,
et l'utilisation de la méthode de base donne alors des estimations de l'écart-type de reproductibilité
augmentées par la variation entre les échantillons. Le plan pour un matériau hétérogène donné dans le
présent document fournit une information sur la variabilité interéchantillons qu'on ne peut obtenir par
la méthode de base, et qui peut être utilisée pour calculer une estimation de la reproductibilité d'où est
éliminée la variation interéchantillons;
— la méthode de base requiert l'utilisation de tests de valeurs aberrantes afin d'identifier les données
qu'il convient d'exclure des calculs des écarts-types de répétabilité et de reproductibilité. L'exclusion
des valeurs aberrantes peut parfois avoir un effet important sur les estimations des écarts-types de
répétabilité et de reproductibilité, mais dans la pratique, en appliquant les tests de valeurs aberrantes,
l'expert statisticien peut avoir à exercer son jugement pour décider quelles données il doit exclure.
Le présent document décrit des méthodes robustes d'analyse des données permettant de calculer les
écarts-types de répétabilité et de reproductibilité à partir de données contenant des valeurs aberrantes
sans utiliser de tests de valeurs aberrantes afin d'exclure des données, de sorte que les résultats ne sont
plus affectés par le jugement de l'expert statisticien.
v
Norme internationale ISO 5725-5:2025(fr)
Exactitude (justesse et fidélité) des résultats et méthodes de
mesure —
Partie 5:
Méthodes alternatives pour la détermination de la fidélité
d'une méthode de mesure normalisée
1 Domaine d'application
Le présent document décrit l'utilisation des méthodes robustes pour analyser les résultats d'expériences
de fidélité sans recourir à des tests de valeurs aberrantes pour exclure des données des calculs, et en
particulier, l'utilisation détaillée d'une de ces méthodes. Les méthodes robustes décrites dans le présent
document permettent d'analyser les données de telle façon que l'analyste des données n'a pas à prendre de
décisions relatives aux valeurs aberrantes qui affectent les résultats de ces calculs.
2 Références normatives
Les documents suivants sont cités dans le texte de sorte qu'ils constituent, pour tout ou partie de leur
contenu, des exigences du présent document. Pour les références datées, seule l'édition citée s'applique. Pour
les références non datées, la dernière édition du document de référence s'applique (y compris les éventuels
amendements).
ISO 3534-1, Statistique — Vocabulaire et symboles — Partie 1: Termes statistiques généraux et termes utilisés
en calcul des probabilités
ISO 5725-1, Exactitude (justesse et fidélité) des résultats et méthodes de mesure — Partie 1: Principes généraux
et définitions
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et les définitions de l'ISO 3534-1 et de
l'ISO 5725-1 s'appliquent.
L'ISO et l'IEC tiennent à jour des bases de données terminologiques destinées à être utilisées en normalisation,
consultables aux adresses suivantes:
— ISO Online browsing platform: disponible à l'adresse https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: disponible à l'adresse https:// www .electropedia .org/
4 Symboles et abréviations
b
Facteur de correction utilisé pour l'écart-type de reproductibilité dans la méthode Q
p
c
Facteur de correction utilisé pour l'écart-type de répétabilité dans la méthode Q
p
D
Différence intracellule entre les résultats des mesures (utilisée avec les indices nécessaires).
D Moyenne des différences intracellules
dd… Nœuds d'interpolation pour chaque valeur y (estimateur de Hampel, non itératif)
16 i
E{}
Attente d'une variable statistique
Gx()
Fonction d'interpolation (méthode Q, écart-type de reproductibilité robuste)
−1
Fonction renvoyant un quantile donné de Gx() (méthode Q, écart-type de reproductibilité robuste)
G () 1
Gx
() Fonction des points de discontinuité individuels (méthode Q, écart-type de reproductibilité robuste)
1 i
Gx()
Fonction d'interpolation (méthode Q, écart-type de répétabilité robuste)
−1
Fonction renvoyant un quantile donné de Gx (méthode Q, écart-type de répétabilité robuste)
()
G () 2
Gx
()
Fonction des points de discontinuité individuels (méthode Q, écart-type de répétabilité robuste)
2 i
Hx()
Fonction de distribution cumulative des différences absolues interlaboratoires (méthode Q)
Hx
() Fonction de distribution cumulative des différences absolues intralaboratoires (méthode Q)
I{} Fonction indicatrice renvoyant 1 lorsqu'une condition (dans {}) est remplie et 0 dans le cas contraire
i Identifiant d'un laboratoire particulier
j Identifiant d'une observation répliquée particulière
n Nombre de résultats d'essai obtenus dans un laboratoire à un niveau (c'est-à-dire par cellule)
P
Probabilité
P
Probabilité utilisée dans le calcul du facteur d'ajustement pour l'algorithme S
ξ
p Nombre de laboratoires participant à l'expérience interlaboratoires
p
Valeur de vérification pour les solutions dans l'estimateur non itératif de Hampel
m
p′
Nombre de laboratoires participant à une expérience interlaboratoires (matériau hétérogène)
SS Somme des carrés
SS
Estimation robuste de la somme des carrés inter-échantillons (matériau hétérogène)
H
SS
Estimation robuste de la somme des carrés de la répétabilité (matériau hétérogène)
r
s Estimation d'un écart-type
s′
Écart-type d'un sous-ensemble de données entre les limites calculées dans l'algorithme A
s* Estimation robuste de l'écart-type
s
Estimation de l'écart-type des différences de cellules dans un plan à niveau fractionné
D
s
Estimation robuste de l'écart-type des moyennes de cellules
d
s
Estimation robuste de l'écart-type inter-échantillons pour un matériau hétérogène
H
s
Estimation robuste de l'écart-type intermédiaire
I1()
s
Estimation d'un écart-type interlaboratoires
L
s
Estimation d'un écart-type de reproductibilité
R
s
Estimation d'un écart-type de répétabilité
r
s
Estimation de l'écart-type des moyennes de cellules pour un plan à niveau fractionné
y
t
Nombre d'échantillons dans une expérience pour un matériau hétérogène
u
Nombre de données inférieures à un seuil calculé dans l'algorithme A
L
u
Nombre de données supérieures à un seuil calculé dans l'algorithme A
U
e
w i élément de données dans l'algorithme S
i
e
x i point de données dans un ensemble de données
i
* e
Valeur actualisée pour le i point de données dans l'estimation robuste itérative
x
i
x* Estimation robuste de la valeur moyenne
x ’
Moyenne d'un sous-ensemble de données entre les limites calculées dans l'algorithme A
e
y i résultat de mesure dans un ensemble de résultats de mesure
i
y
Moyenne d'un ensemble de résultats de mesure
e
y
j mesure pour le laboratoire i dans un ensemble de résultats regroupés par le laboratoire
ij
e
y
k mesure sur l'échantillon t dans le laboratoire i à un niveau particulier d'une conception pour
itk
un matériau hétérogène (adapté de l'ISO 5725-3)
ξ
Facteur d'ajustement utilisé en analyse robuste (algorithme S)
υ Nombre de degrés de liberté
σ Valeur vraie d'un écart-type
−1 e
q quantile de la distribution normale standard
Φ ()q
ϕ
Limite utilisée en analyse robuste (algorithme A)
η Facteur de limite utilisé en analyse robuste (algorithme S)
ψ
Limite utilisée en analyse robuste (algorithme S)
ψ q
() Fonction d'influence (estimateur de Hampel)
5 Méthodes robustes pour l'analyse des données: Algorithmes A et S
5.1 Les applications des méthodes robustes d'analyse des données
5.1.1 Dans l'ISO 5725-2, il est recommandé de pratiquer deux tests de valeurs aberrantes (les tests de
Cochran et de Grubbs) sur les données obtenues dans une expérience de fidélité, et il convient d'écarter
(à moins que l'expert statisticien ait une bonne raison de les retenir) toutes les données qui conduisent à
une statistique de test, dans l'un ou l'autre de ces tests, excédant la valeur critique du test au niveau de
signification de 1 %. Dans la pratique, cette procédure n'est souvent pas facile à appliquer. Prendre en
considération les résultats des tests de valeurs aberrantes dans l'Exemple C.2. Ils sont présentés dans le
Tableau C.4. Le laboratoire 5 donne une seule moyenne de cellule (au niveau 10) suffisamment extrême pour
être classée comme valeur aberrante par le test de Grubbs, mais trois autres valeurs douteuses, et une forte
indication à la Figure C.2 que quelque chose ne va pas dans ce laboratoire. Dans cette situation, l'expert
statisticien doit choisir entre:
a) retenir toutes les données du laboratoire 5;
b) écarter seulement les données au niveau 10 du laboratoire 5;
c) écarter toutes les données du laboratoire 5.
La décision aura une influence substantielle sur les valeurs calculées des écarts-types de répétabilité et de
reproductibilité. C'est une expérience courante, quand on analyse des données d'expériences de fidélité,
de trouver des données qui sont à la frontière entre valeurs douteuses et valeurs aberrantes, de sorte que
l'analyste des données peut devoir exercer un jugement qui affecte les résultats du calcul. Cela peut ne pas
être satisfaisant. Les méthodes robustes décrites dans cet article permettent d'analyser les données de telle
façon que l'analyste des données n'a pas à prendre de décisions qui affectent les résultats de ces calculs.
Ainsi, s'il y a des raisons de s'attendre à ce que les résultats d'une expérience de fidélité contiennent des
valeurs aberrantes, les méthodes robustes peuvent être préférées.
NOTE Dans le présent document, l'expert statisticien est la personne désignée pour entreprendre l'analyse des
données et pour fournir un rapport d'analyse des données au panel, comme décrit dans l'ISO 5725-2.
5.1.2 La méthode de base présentée dans l'ISO 5725-2 contient l'hypothèse qu'il est justifié d'établir une
valeur commune pour l'écart-type de répétabilité pour tous les laboratoires utilisant la méthode de mesure.
Dans la pratique, on constate souvent que certains laboratoires obtiennent une moins bonne répétabilité que
d'autres. Certains participants à une expérience de fidélité peuvent réaliser une mauvaise répétabilité quand
on soumet pour la première fois une méthode de mesure à une expérience de fidélité interlaboratoires, ou
lorsqu'ils ont peu d'expérience de la méthode de mesure, et ce sont des situations où l'utilisation de méthodes
robustes sera particulièrement appropriée.
[10]
5.1.3 L'objectif de l'emploi de méthodes robustes , quand on analyse les données d'une expérience de
fidélité, est de calculer les valeurs pour les écarts-types de répétabilité et de reproductibilité de telle façon
qu'elles ne sont pas influencées par des valeurs aberrantes. Si les participants à l'expérience peuvent être
considérés comme divisés en deux classes, ceux qui produisent des données de bonne qualité, et ceux qui
produisent des données de mauvaise qualité, alors les méthodes robustes conduiront à des valeurs pour
les écarts-types de répétabilité et de reproductibilité qui sont valables pour la classe des données de bonne
qualité, et non affectées par les données de mauvaise qualité (pourvu que la classe des données de mauvaise
qualité ne soit pas trop importante).
5.1.4 L'emploi de méthodes robustes d'analyse des données n'a pas d’incidence sur la planification,
l'organisation ou l'exécution d'une expérience de fidélité. Il convient que la décision d'utiliser des méthodes
robustes ou des méthodes qui exigent d'écarter les valeurs aberrantes soit prise par l'expert statisticien et
annoncée au panel.
Quand des méthodes robustes sont utilisées, il convient d'inspecter visuellement les données à la recherche
d'anomalies et d'appliquer aux données les tests de valeurs aberrantes et les vérifications de cohérence
décrits dans l'ISO 5725-2, et il convient de rechercher les causes de toute valeur aberrante ou configuration
dans les statistiques h et k. Toutefois, il convient de ne pas écarter les données à la suite de ces tests et
vérifications, à moins que la vérification n'identifie un écart manifeste par rapport à la méthode de mesure
ou d'essai prescrite. D'autres méthodes statistiques d'identification des résultats anormaux ou des modèles
inattendus peuvent être appliquées, y compris, par exemple, les scores z pour les moyennes de laboratoire,
ou les méthodes graphiques illustrées dans l'ISO 5725-2.
** * *
NOTE Un score z peut être calculé comme suit: xx− / s où x est la moyenne pour le laboratoire i, et x et s
()
i i
sont respectivement la moyenne robuste et l'écart-type des moyennes du laboratoire x tels que calculés, par exemple,
i
* *
par l'algorithme A (voir 5.2) ou la méthode Q/Hampel (voir 7.2 pour s et 7.4 pour x ).
5.1.5 Les dénominateurs des statistiques h et k sont des écarts-types qui, selon les méthodes de calcul de
ces statistiques décrites dans l'ISO 5725-2, sont calculés avec les données telles que présentées. Si des valeurs
aberrantes sont présentes parmi les données, elles augmenteront les dénominateurs et produiront un effet
déformant dans les graphiques de ces statistiques. Par exemple, si à un niveau de l'expérience, un laboratoire
donne une moyenne de cellule qui est une valeur aberrante, beaucoup plus extrême que toute autre valeur
aberrante à ce niveau, cela conduira sur le graphique des statistiques h à une valeur de h exceptionnellement
élevée pour ce niveau. Toutefois, les statistiques h pour tous les autres laboratoires pour ce niveau seront
petites, même si certains de ces autres laboratoires donnent des valeurs aberrantes. L'emploi de la moyenne
générale dans le calcul des statistiques h peut conduire à un effet semblable. L'emploi d'estimations robustes
des écarts-types comme dénominateurs dans les statistiques h et k et d'estimations robustes des moyennes
générales dans le calcul des statistiques h évite cette déformation. Il est recommandé de les utiliser à cette fin.
5.1.6 Les données d'une expérience de fidélité permettent de calculer deux types de statistique:
a) des moyennes de cellules, d'où on peut calculer un écart-type qui donne une mesure de la variation
interlaboratoires;
b) des écarts-types ou étendues (ou différences dans un plan à niveau fractionné) intracellules qui sont
combinés pour donner une mesure de la variation intralaboratoire.
Les méthodes robustes décrites ici fournissent des moyens alternatifs de combinaison des moyennes de
cellules, ou les écarts-types, étendues ou différences pour obtenir les statistiques utilisées pour calculer les
écarts-types de répétabilité et de reproductibilité.
5.1.7 Par exemple, avec les données provenant d'un niveau du plan à niveau uniforme présenté dans
l'ISO 5725-2, la première étape de l'analyse est de calculer la moyenne et l'écart-type des résultats de mesure
de chaque cellule. Les moyennes de cellules sont ensuite utilisées pour calculer un écart-type qui est une
mesure de la variation interlaboratoires. Quand on emploie les méthodes robustes du présent article, ce
calcul est effectué en utilisant l'«Algorithme A» et on n'exclut pas du calcul des moyennes de cellules à la
suite de l'application du test de Grubbs. Également dans ce plan, les écarts-types de cellules sont combinés
pour donner une estimation de l'écart-type de répétabilité. Avec l'analyse robuste, ceci est pratiqué en
utilisant l'«Algorithme S» et on n'exclut pas d'écarts-types de cellules à la suite de l'application du test de
Cochran. Avec l'une ou l'autre approche (celle décrite dans l'ISO 5725-2 ou celle décrite ici), les deux mesures
sont alors utilisées pour calculer de la même façon des estimations des écarts-types de répétabilité et de
reproductibilité.
5.1.8 Les méthodes robustes qui font partie du présent document sont choisies du fait qu'elles peuvent
s'appliquer à tous les plans d'expérience donnés dans l'ISO 5725-2, l'ISO 5725-3 et l'ISO 5725-4, et également
parce qu'elles demandent des calculs relativement simples. Il convient de noter cependant qu'elles fournissent
le moyen de combiner, de manière robuste, des moyennes de cellules, des écarts-types de cellules et des
étendues de cellules. Elles ne combinent pas de résultats individuels d'essai de manière robuste, c'est-à-dire
elles commencent par les moyennes arithmétiques de cellules et les écarts-types de cellules. Il existe des
méthodes robustes qui combinent des résultats d'essai intracellules de manière robuste mais, en pratique,
elles seraient plus compliquées à appliquer.
5.2 Analyse robuste: Algorithme A
5.2.1 Cet algorithme donne des valeurs robustes de la moyenne et de l'écart-type des données auxquelles
on l'applique, et est appliqué aux:
a) moyennes de cellules, quel que soit le plan;
b) différences de cellules, pour le plan à niveau fractionné.
5.2.2 Désigner les éléments de données p par:
x , x , …, x , ., x
1 2 i p
Désigner par x* et s* la moyenne robuste et l'écart-type robuste de ces données.
5.2.3 Calculez les valeurs initiales de x* et s* telles que données par les Formules (1) et (2):
*
xx==medianof ,,ip12,,… (1)
()
i
**
sx=×1,,483 medianof −=xi()12,,…, p (2)
i
NOTE Le facteur de 1,483 est l'inverse du quartile supérieur de la distribution normale standard
(1/0,674 5 = 1,483) et est le rapport de l'écart-type à l'écart absolu médian d'une distribution normale.
5.2.4 Mettre à jour les valeurs de x* et s* comme dans la Formule (3):
Calculer:
φ = 1,5 s* (3)
*
Pour chaque valeur x (i = 1, 2, ., p), calculer les valeurs mises à jour x en suivant la Formule (4):
i i
**
xx−<ϕϕsi x −
i
* **
x ={ xx+>ϕϕsi x + (4)
i i
x danslecascontraire
i
Calculer les nouvelles valeurs de x* et s* à partir des Formules (5) et (6):
p
**
xx= /p (5)
∑ i
i=1
p
** *
sx=−1,/134 xp−1 (6)
()
()
∑ i
i=1
NOTE Le facteur 1,134 est un facteur de correction calculé à partir de l'écart-type pour une distribution normale
standard, les valeurs en dehors de ±15, étant traitées comme dans la Formule 4.
5.2.5 Les estimations robustes x* et s* peuvent être déduites d'un calcul par itération, c'est-à-dire en
répétant plusieurs fois les calculs du 5.2.4, jusqu'à ce que le changement dans les estimations de x* et s* d'un
*
−4
calcul au suivant soit faible (par exemple, un changement de moins de 10 de l'estimation précédente de x
*
et de s ). C'est une méthode facile à programmer sur un ordinateur.
NOTE Il peut être utile de vérifier que les résultats des méthodes itératives ne changent pas de manière
significative avec un critère de convergence plus petit.
5.2.6 Une méthode alternative, qui n'implique pas d'itération, et peut ainsi être plus facile à appliquer si
les calculs sont faits à la main, découle du fait que les Formules (5) et (6) en 5.2.4 peuvent s'écrire tel que
dans les Formules (7) et (8):
* *
′
xx=+15,/()uu− sp()−−uu (7)
UL LU
* 22
sp=−uu−−11sp′ //− 1,,134 −+15 pu pu −4uu / p−uuu− (8)
()() () () ()
()
LU LU LU LU
où
u est le nombre de données x pour lesquelles x < x* − φ;
L i i
u est le nombre de données x pour lesquelles x > x* + φ;
U i i
*
x′ et s′ sont la moyenne et l'écart-type des éléments de données ()pu−−u x pour lesquels xx−≤ϕ .
LU i i
Ces relations peuvent être utilisées pour calculer directement x* et s* si u et u sont connus. Une approche
L U
consiste à essayer les différentes possibilités dans un ordre systématique (c'est-à-dire essayer u =0 , u =0 ;
L U
puis u =0 , u =1 ; puis u =1 , u =0; puis u =1 , u =1 ; et ainsi de suite) jusqu'à ce qu'une solution valable
L U L U L U
soit trouvée dans laquelle les nombres réels d'éléments de données situés à plus de 1,5 s* de x* sont égaux
aux valeurs de u et u utilisées pour calculer x* et s*. En pratique, l'expert statisticien pourra utiliser des
L U
méthodes graphiques pour identifier les valeurs qui, probablement, diffèrent de x* de plus de 1,5 s*, et ainsi
trouver la solution en évaluant un petit nombre de cas.
NOTE La dérivation des Formules (7) et (8) figure à l’Annexe B.
5.2.7 Une autre possibilité est d'utiliser la méthode itérative pour trouver une solution approchée, puis de
résoudre les équations des Formules (7) et (8) pour trouver la solution exacte. Cette approche est illustrée
dans les exemples 1 et 3 de l’Annexe C.
5.3 Analyse robuste: Algorithme S
5.3.1 Cet algorithme est appliqué aux écarts-types intralaboratoires (ou aux étendues intralaboratoires)
quel que soit le plan équilibré. Il produit une valeur groupée robuste des écarts-types ou des étendues
auxquels il est appliqué.
5.3.2 Désigner les éléments de données p par:
ww,,…,,ww
12 ip
(Ce peut être des étendues ou des écarts-types).
Désigner par w* la valeur combinée robuste et les degrés de liberté associés à chaque w par ν. (Lorsque w
i i
est une étendue, ν = 1. Quand w est l'écart-type de n résultats d'essai, ν = n − 1). Obtenir les valeurs de ξ et η
i
nécessaires pour l'algorithme dans le Tableau 1.
5.3.3 Calculer une valeur initiale de w* comme dans la Formule (9):
*
w = médiane de w (i = 1, 2, ., p) (9)
i
5.3.4 Mettre à jour la valeur de w* comme dans la Formule (10):
a) calculer:
*
ψ =×η w (10)
*
b) pour chaque wi=…12,, ,p , calculer les valeurs mises à jour w en suivant la Formule (11):
()
i i
ψψsiw >
i
*
w ={ (11)
i
w danslecascontraire
i
*
c) calculer la nouvelle valeur de w à partir de la Formule (12):
p
**
ww=ξ /p (12)
()
∑ i
i=1
5.3.5 L'estimation robuste w* peut être déduite par un calcul par itération, en répétant les calculs de
5.3.4 plusieurs fois jusqu'à ce que le changement de l'estimation de w* soit faible d'un calcul au suivant (par
−4
exemple, 10 de la valeur précédente). C'est une méthode facile à programmer sur un ordinateur.
5.3.6 Une méthode alternative, qui n'implique pas d'itération, et peut ainsi être plus facile à utiliser si les
calculs sont faits à la main, est semblable à celle décrite en 5.2.6. La Formule (12) en 5.3.4 peut être écrite
comme dans la Formule (13):
2 22
ξ
** *
′
w =×[]][∑ wu+× ηw (13)
() () ()
i U
p
où
∑′ est la sommation sur les w pour lesquels w ≤ψ
i i
u est le nombre de w pour lesquels w >ψ
U i i
Tableau 1 — Facteurs nécessaires pour l'analyse robuste: Algorithme S
Degrés de liberté Facteur de limite Facteur d'ajustement ξ
ν η
1 1,645 1,097
2 1,517 1,054
3 1,444 1,039
4 1,395 1,032
5 1,359 1,027
6 1,332 1,024
7 1,310 1,021
8 1,292 1,019
9 1,277 1,018
10 1,264 1,017
NOTE Les valeurs de ξ et de η sont démontrées dans l’Annexe B.
Ce problème peut être résolu en essayant tour à tour u =0 , u =1 , u =2, et ainsi de suite, jusqu'à ce que
U U U
*
l'on obtienne une solution valable dans laquelle le nombre réel de w qui dépassent η× w est égal à u . En
U
i
pratique, l'expert statisticien pourra utiliser des méthodes graphiques pour identifier les étendues qui,
*
probablement, dépassent η× w et trouver la solution en évaluant un petit nombre de cas.
L'approche utilisée dans les exemples de l’Annexe C est d'employer la méthode itérative pour trouver une
solution approchée, puis de résoudre l'équation de la Formule (13) pour trouver la solution exacte.
5.4 Formules: Analyse robuste pour un niveau particulier d'un plan à niveau uniforme
5.4.1 Avec un plan à niveau uniforme tel que décrit dans l'ISO 5725-2, pour chaque niveau de l'expérience,
chaque laboratoire soumet à l'essai deux ou plusieurs échantillons identiques du même matériau. Une
estimation robuste de l'écart-type de répétabilité s pour un niveau peut être obtenue en appliquant
r
l'algorithme S aux étendues ou écarts-types de cellules pour le niveau pour déduire de la Formule (12) en
5.3.4 une valeur robuste w*. Si on applique l'algorithme S aux écarts-types de cellules, définir s à l'aide de
r
la Formule (14):
*
sw= (14)
r
S'il y a deux résultats de mesure par cellule et qu'on applique l'algorithme S aux étendues de cellules, alors la
Formule (15) s'applique:
*
sw= /2 (15)
r
5.4.2 Une estimation robuste de l'écart-type des moyennes de cellules s pour un niveau peut être obtenue
d
en appliquant l'algorithme A aux moyennes de cellules pour le niveau pour déduire de la Formule (6) en 5.2.4
une valeur robuste s* puis en utilisant la Formule (16):
*
ss= (16)
d
5.4.3 L'écart-type interlaboratoires s est alors calculé en utilisant la Formule (17):
L
ss=− sn/ (17)
()
Ld r
où n est le nombre de résultats de mesure par cellule. Si l'expression sous le radical est négative, alors
prendre tel qu'indiqué dans la Formule (18):
s =0 (18)
L
5.4.4 Calculer l'écart-type de reproductibilité pour le niveau tel qu'indiqué dans la Formule (19):
ss=+s (19)
Rr L
NOTE Les formules sont appliquées dans l'Exemple C.1.
5.5 Formules: analyse robuste pour un niveau particulier d'un plan à niveau fractionné
5.5.1 Dans un plan à niveau fractionné, tel que décrit dans l'ISO 5725-3, à chaque niveau de l'expérience,
chaque laboratoire participant reçoit deux échantillons correspondant à deux matériaux similaires, et les
opérateurs sont informés que les échantillons ne sont pas identiques, mais ils ne sont pas informés de
l'ampleur de la différence entre les matériaux. Pour obtenir des estimations robustes des écarts-types de
répétabilité et de reproductibilité s et s pour un niveau particulier dans un plan à niveau fractionné, en
r R
utilisant l'algorithme S, procédez comme suit:
*
a) appliquer l'algorithme S aux différences de cellules pour le niveau afin d'obtenir une valeur robuste s à
partir de la Formule (6) et appliquer la Formule (20) pour déterminer l'écart-type estimé des différences
de cellules s :
D
*
ss= (20)
D
b) calculer s à l'aide de la Formule (21) (tirée de l'ISO 5725-3):
r
ss= /2 (21)
r D
c) calculer une estimation robuste de l'écart-type des moyennes de cellules s pour un niveau particulier
y
en appliquant à nouveau l'algorithme A aux moyennes de cellules pour le niveau afin d'obtenir une valeur
robuste s* à partir de la Formule (6) , puis définir s à l'aide de la Formule (22):
y
*
ss= (22)
y
d) calculer une estimation de l'écart-type de reproductibilité s pour le niveau à l'aide de la Formule (23)
R
(adaptée de l'ISO 5725-3):
ss=+ s /2 (23)
()
Ry r
NOTE Les formules sont appliquées dans l'Exemple C.2.
5.6 Formules: Analyse robuste pour un niveau particulier d'une expérience sur un matériau
hétérogène
5.6.1 Avec le plan pour un matériau hétérogène, dans le cas usuel où deux échantillons sont préparés pour
chacun des p′ laboratoires à chaque niveau, et où deux résultats d'essai sont obtenus sur chaque échantillon,
on peut obtenir des estimations robustes des écarts-types de répétabilité et de reproductibilité par trois
applications des algorithmes A et S:
a) appliquer l'algorithme S aux étendues entre résultats d'essai pour déduire de la Formule (12) en 5.3.4
une valeur robuste w* et poser tel qu'indiqué dans la Formule (24):
*
′
SS =2pw (24)
()
r
b) appliquer l'algorithme S aux étendues inter-échantillons pour déduire de la Formule (12) une autre
*
valeur robuste w et poser tel qu'indiqué dans la Formule (25):
*
′
SS =pw (25)
H ()
c) appliquer l'algorithme A aux moyennes de cellules pour déduire de la Formule (6) en 5.2.4 une valeur
robuste s* et poser tel qu'indiqué dans la Formule (26):
*
ss= (26)
y
d) utiliser les Formules (27) à (29) (adaptées de l'ISO 5725-3) pour calculer les estimations des écarts-
types de répétabilité et de reproductibilité, et de l'écart-type s qui mesure la variation inter-
H
échantillons:
′
sS= Sp/()4 (27)
rr
ss=+ SS −SS / 4p′ (28)
() ()
Ry rH
′′
sS= Sp//()28−SS ()p (29)
HH r
NOTE 1 Cette procédure est illustrée dans l'Exemple C.3.
NOTE 2 Les calculs a) à c) peuvent être présentés sous forme de tableau, avec la première colonne d'étendues ou de
moyennes par ordre croissant. L’Annexe C présente un exemple.
6 Méthodes robustes pour l'analyse des données: Méthode Q et estimateur
de Hampel
6.1 Justification des estimateurs à forte intensité de calcul
6.1.1 Les estimateurs robustes de la moyenne et de l'écart-type de la population décrits aux 5.2 et 5.3
se sont révélés utiles dans un grand nombre de situations. Toutefois, ces techniques peuvent devenir peu
fiables lorsque plus de 20 % des résultats sont aberrants ou lorsque les distributions sont bimodales ou
asymétriques. L'ISO/IEC 17043 exige que ces situations soient anticipées par la conception ou détectées par
un examen compétent avant l'évaluation des performances, mais il y a des cas où cela n'est pas possible.
6.1.2 Les paragraphes suivants décrivent des méthodes d'estimation de l'écart-type et de la localisation
(moyenne) à haute efficacité et à forte décomposition qui sont utiles pour les données comportant de
grandes proportions de valeurs aberrantes et qui présentent une variabilité plus faible que les estimateurs
plus simples.
NOTE Le point de rupture théorique des méthodes de Hampel ci-dessous est de 50 %. Il peut donc être utilisé
lorsque plus de 20 % des données à un niveau particulier du plan peuvent être des valeurs aberrantes erronées.
7 Analyse statistique robuste des résultats au moyen de la méthode Q/Hampel dans
un plan à répétition unique
7.1 Introduction à la méthode Q/Hampel
7.1.1 La méthode dite Q/Hampel est une méthode très robuste et efficace pour estimer l'écart-type de la
reproductibilité et de la répétabilité et la moyenne générale des résultats rapportés par différents
laboratoires. La méthode Q/Hampel utilise la méthode Q décrite en 7.2 pour le calcul de l'écart-type de
reproductibilité robuste s et en 7.3 pour le calcul de l'écart-type de répétabilité robuste s , ainsi que
R r
l'algorithme avec étape finie de l'estimateur de Hampel décrit en 7.4 pour le calcul du paramètre de
*
localisation x . Le présent article décrit son application au plan à répétition unique désigné comme «plan de
base» dans l'ISO 5725-2.
7.2 Détermination de l'écart-type de reproductibilité robuste s à l'aide de la méthode Q
R
7.2.1 La méthode Q produit une estimation, à forte décomposition et à haute efficacité, de l'écart-type des
résultats d'études interlaboratoires rapportés par différents laboratoires. La méthode Q n'est pas seulement
robuste contre les résultats aberrants, mais aussi contre une situation où de nombreux résultats de tests
sont égaux, par exemple en raison de données quantitatives sur une échelle discontinue ou de distorsions
d'arrondi. Dans une telle situation, les autres méthodes similaires à la méthode Q peuvent échouer,
car de nombreuses différences par paire sont nulles. La méthode Q peut être utilisée pour les études
interlaboratoires avec des résultats uniques par participant (y compris une moyenne ou une médiane des
répétitions) et pour les répétitions. L'utilisation directe de répétitions dans le calcul améliore l'efficacité de
la méthode. Le calcul repose sur l'utilisation de différences par paire au sein de l'ensemble de données et ne
dépend donc pas d'une estimation de la moyenne ou de la médiane des données. La méthode est connue sous
le nom de Q/Hampel lorsqu'elle est utilisée avec l'algorithme avec étape finie pour l'estimateur de Hampel
décrit au 7.4. Le mode opératoire est le suivant:
a) désigner les résultats de mesure rapportés, regroupés par laboratoire, par la Formule (30):
yy,,……,,yy,,……,,yy, (30)
11 1nn21 2 pp1 n
12 p
LabL1 ab2
Labbp
b) en se fondant sur les résultats de mesure tels que structurés dans la Formule (30) , calculer la fonction
de distribution cumulative de toutes les différences absolues interlaboratoires par la Formule (31):
2 1 n n
i j
Hx()= I yy−≤x (31)
{}
1 ∑∑∑ ik jm
11≤
pp()−1 nn
ij
1 si yy−≤ x
ik jm
où I yy−≤ x = désigne la fonction indicatrice.
{}
ik jm
0 danslecascontraire
c) désigner les points de discontinuité de Hx par la Formule (32):
()
xx,,…<,where xx <…< x. (32)
11rr2
d) calculer pour tous les points de discontinuité positifs xx,,… en suivant la Formule (33):
1 r
05, ⋅ Hx +Hx si i ≥2
()() ()
11ii−1
Gx()={ (33)
1 i
05,;⋅Hx si ix=>10
()
11 1
et laisser tel qu'indiqué par la Formule (34):
G 00= (34)
()
e) calculer la fonction Gx() pour tous les x de l'intervalle []0,x par interpolation linéaire entre les points
1 r
de discontinuité 0<<
12 r
f) calculer l'écart-type de reproductibilité robuste s par
...
Date: 2025-10-06
ISO 5725--5:2025(fr)
ISO/TC 69/SC 6
Secrétariat: JISC
Deuxième édition
2025-10
Exactitude (justesse et fidélité) des résultats et méthodes de
mesure —
Partie 5:
Méthodes alternatives pour la détermination de la fidélité d'une
méthode de mesure normalisée
Accuracy (trueness and precision) of measurement methods and results — Part 5: Alternative methods for
the determination of the precision of a standard measurement method
ICS: 03.120.30; 17.020
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E-mail: copyright@iso.org
Website: www.iso.orgWeb:
Publié en Suisse
iii
Sommaire
Avant-propos . v
Introduction . vi
1 Domaine d'application . 1
2 Références normatives . 1
3 Termes et définitions . 1
4 Symboles et abréviations . 1
5 Méthodes robustes pour l'analyse des données: Algorithmes A et S . 3
5.1 Les applications des méthodes robustes d'analyse des données . 3
5.2 Analyse robuste: Algorithme A . 5
5.3 Analyse robuste: Algorithme S . 7
5.4 Formules: Analyse robuste pour un niveau particulier d'un plan à niveau uniforme . 8
5.5 Formules: analyse robuste pour un niveau particulier d'un plan à niveau fractionné . 9
5.6 Formules: Analyse robuste pour un niveau particulier d'une expérience sur un matériau
hétérogène . 9
6 Méthodes robustes pour l'analyse des données: Méthode Q et estimateur de Hampel . 10
6.1 Justification des estimateurs à forte intensité de calcul . 10
7 Analyse statistique robuste des résultats au moyen de la méthode Q/Hampel dans un
plan à répétition unique . 11
7.1 Introduction à la méthode Q/Hampel . 11
7.2 Détermination de l'écart-type de reproductibilité robuste 𝒔𝒔𝒔𝒔 à l'aide de la méthode Q . 11
7.3 Détermination de l'écart-type de répétabilité robuste 𝒔𝒔𝒔𝒔 à l'aide de la méthode Q . 12
7.4 Détermination de la moyenne robuste 𝒙𝒙∗ à l'aide de l'estimateur de Hampel . 13
8 Analyse statistique robuste des résultats au moyen de la méthode Q/Hampel dans un
plan irrégulièrement emboîté à deux facteurs . 14
8.1 Présentation des données et nomenclature . 14
8.2 Détermination de l'écart-type de reproductibilité robuste 𝒔𝒔𝒔𝒔 à l'aide de la méthode Q . 14
8.3 Détermination de l'écart-type intermédiaire robuste à l'aide de la méthode Q. 15
8.4 Détermination de l'écart-type de répétabilité robuste 𝒔𝒔𝒔𝒔 à l'aide de la méthode Q . 16
8.5 Détermination de la moyenne robuste 𝒙𝒙* à l'aide de l'estimateur de Hampel . 16
Annexe A (normative) Détermination de la moyenne robuste à l'aide de l'estimateur de Hampel18
Annexe B (informative) Calculs . 21
Annexe C (informative) Exemples . 25
Bibliographie . 42
iv
PageAvant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux de
normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général confiée
aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire partie du
comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont décrites
dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier, de prendre note des différents critères
d'approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document a été rédigé
conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2
(voir www.iso.org/directives).
L'ISO attire l'attention sur le fait que la mise en application du présent document peut entraîner l'utilisation
d'un ou de plusieurs brevets. L'ISO ne prend pas position quant à la preuve, à la validité et à l'applicabilité de
tout droit de propriété revendiqué à cet égard. À la date de publication du présent document, l'ISO n'avait pas
reçu notification qu'un ou plusieurs brevets pouvaient être nécessaires à sa mise en application. Toutefois, il
y a lieu d'avertir les responsables de la mise en application du présent document que des informations plus
récentes sont susceptibles de figurer dans la base de données de brevets, disponible à
l'adresse www.iso.org/brevets. L'ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne pas avoir identifié tout ou
partie de tels droits de brevet.
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données pour
information, par souci de commodité, à l'intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un engagement.
Pour une explication de la nature volontaire des normes, la signification des termes et expressions spécifiques
de l'ISO liés à l'évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l'adhésion de l'ISO aux
principes de l'Organisation mondiale du commerce (OMC) concernant les obstacles techniques au
commerce (OTC), voir www.iso.org/avant-propos.
Le présent document a été élaboré par le comité technique ISO/TC 69, Application des méthodes statistiques,
sous-comité SC 6, Méthodes et résultats de mesure.
Cette deuxième édition annule et remplace la première édition (ISO 5725--5:1998), qui a fait l'objet d'une
révision technique. Elle intègre également le Rectificatif technique ISO 5725--5:1998/Cor.1:2005.
Les principales modifications sont les suivantes:
— — les plans d'expérience alternatifs (plan à niveau fractionné et plan pour matériaux hétérogènes) ont
été transférés dans l'ISO 5725--3;
— — une approche robuste supplémentaire, la méthode Q, dont les propriétés de rupture sont améliorées,
a été ajoutée.
Une liste de toutes les parties de la série ISO 5725 se trouve sur le site web de l'ISO.
Il convient que l'utilisateur adresse tout retour d'information ou toute question concernant le présent
document à l'organisme national de normalisation de son pays. Une liste exhaustive desdits organismes se
trouve à l'adresse www.iso.org/fr/members.html.
v
Introduction
Le présent document utilise deux termes, «justesse» et «fidélité», pour décrire l'exactitude d'une méthode de
mesure. La justesse se réfère à l'étroitesse de l'accord entre la valeur moyenne d'un grand nombre de résultats
d'essai et la valeur de référence vraie ou acceptée. La fidélité se réfère à l'étroitesse de l'accord entre les
résultats d'essai.
Les considérations générales sur ces grandeurs sont données dans l'ISO 5725--1 et ne sont donc pas répétées
ici. Il convient de lire le présent document conjointement avec l'ISO 5725--1, puisque les définitions sous-
jacentes et les principes généraux y sont donnés.
L'ISO 5725--2 concerne l'estimation, au moyen d'essais interlaboratoires, de mesures normalisées de la
fidélité, à savoir les écarts-types de répétabilité et de reproductibilité. Elle propose une méthode de base pour
ce faire, y compris des méthodes de calcul. Le présent document décrit des méthodes de calcul alternatives à
cette méthode de base:
— — la méthode de base requiert la préparation d'un certain nombre d'échantillons identiques du matériau,
destinés à être utilisés dans l'expérience. Avec des matériaux hétérogènes, cela peut ne pas être possible,
et l'utilisation de la méthode de base donne alors des estimations de l'écart-type de reproductibilité
augmentées par la variation entre les échantillons. Le plan pour un matériau hétérogène donné dans le
présent document fournit une information sur la variabilité interéchantillons qu'on ne peut obtenir par la
méthode de base, et qui peut être utilisée pour calculer une estimation de la reproductibilité d'où est
éliminée la variation interéchantillons;
— — la méthode de base requiert l'utilisation de tests de valeurs aberrantes afin d'identifier les données
qu'il convient d'exclure des calculs des écarts-types de répétabilité et de reproductibilité. L'exclusion des
valeurs aberrantes peut parfois avoir un effet important sur les estimations des écarts-types de
répétabilité et de reproductibilité, mais dans la pratique, en appliquant les tests de valeurs aberrantes,
l'expert statisticien peut avoir à exercer son jugement pour décider quelles données il doit exclure. Le
présent document décrit des méthodes robustes d'analyse des données permettant de calculer les écarts-
types de répétabilité et de reproductibilité à partir de données contenant des valeurs aberrantes sans
utiliser de tests de valeurs aberrantes afin d'exclure des données, de sorte que les résultats ne sont plus
affectés par le jugement de l'expert statisticien.
vi
Exactitude (justesse et fidélité) des résultats et méthodes de mesure
— —
Partie 5:
Méthodes alternatives pour la détermination de la fidélité d'une
méthode de mesure normalisée
1 Domaine d'application
Le présent document décrit l'utilisation des méthodes robustes pour analyser les résultats d'expériences de
fidélité sans recourir à des tests de valeurs aberrantes pour exclure des données des calculs, et en particulier,
l'utilisation détaillée d'une de ces méthodes. Les méthodes robustes décrites dans le présent document
permettent d'analyser les données de telle façon que l'analyste des données n'a pas à prendre de décisions
relatives aux valeurs aberrantes qui affectent les résultats de ces calculs.
2 Références normatives
Les documents suivants sont cités dans le texte de sorte qu'ils constituent, pour tout ou partie de leur contenu,
des exigences du présent document. Pour les références datées, seule l'édition citée s'applique. Pour les
références non datées, la dernière édition du document de référence s'applique (y compris les éventuels
amendements).
ISO 3534--1, Statistique — Vocabulaire et symboles — Partie 1: Termes statistiques généraux et termes utilisés
en calcul des probabilités
ISO 5725--1, Exactitude (justesse et fidélité) des résultats et méthodes de mesure — Partie 1: Principes généraux
et définitions
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et les définitions de l'ISO 3534--1 et de l'ISO 5725--
1 s'appliquent.
L'ISO et l'IEC tiennent à jour des bases de données terminologiques destinées à être utilisées en normalisation,
consultables aux adresses suivantes:
— — ISO Online browsing platform: disponible à l'adresse https://www.iso.org/obp
— — IEC Electropedia: disponible à l'adresse https://www.electropedia.org/
4 Symboles et abréviations
𝑏𝑏 Facteur de correction utilisé pour l'écart-type de reproductibilité dans la méthode Q
𝑝𝑝
𝑐𝑐 Facteur de correction utilisé pour l'écart-type de répétabilité dans la méthode Q
𝑝𝑝
𝐷𝐷 Différence intracellule entre les résultats des mesures (utilisée avec les indices nécessaires).
¯
𝐷𝐷 Moyenne des différences intracellules
𝑑𝑑 …𝑑𝑑 Nœuds d'interpolation pour chaque valeur 𝑦𝑦 (estimateur de Hampel, non itératif)
1 6 𝑖𝑖
𝐸𝐸{} Attente d'une variable statistique
𝐺𝐺 (𝑥𝑥) Fonction d'interpolation (méthode Q, écart-type de reproductibilité robuste)
−1
Fonction renvoyant un quantile donné de 𝐺𝐺 (𝑥𝑥) (méthode Q, écart-type de reproductibilité
𝐺𝐺 ()
robuste)
𝐺𝐺 (𝑥𝑥 ) Fonction des points de discontinuité individuels (méthode Q, écart-type de reproductibilité
1 𝑖𝑖
robuste)
𝐺𝐺 (𝑥𝑥) Fonction d'interpolation (méthode Q, écart-type de répétabilité robuste)
−1
Fonction renvoyant un quantile donné de 𝐺𝐺 (𝑥𝑥) (méthode Q, écart-type de répétabilité robuste)
𝐺𝐺 ()
𝐺𝐺 (𝑥𝑥 ) Fonction des points de discontinuité individuels (méthode Q, écart-type de répétabilité robuste)
2 𝑖𝑖
𝐻𝐻 (𝑥𝑥) Fonction de distribution cumulative des différences absolues interlaboratoires (méthode Q)
𝐻𝐻 (𝑥𝑥) Fonction de distribution cumulative des différences absolues intralaboratoires (méthode Q)
I{} Fonction indicatrice renvoyant 1 lorsqu'une condition (dans {}) est remplie et 0 dans le cas
contraire
i Identifiant d'un laboratoire particulier
j Identifiant d'une observation répliquée particulière
n Nombre de résultats d'essai obtenus dans un laboratoire à un niveau (c'est-à-dire par cellule)
𝑃𝑃 Probabilité
𝑃𝑃 Probabilité utilisée dans le calcul du facteur d'ajustement pour l'algorithme S
𝜉𝜉
p Nombre de laboratoires participant à l'expérience interlaboratoires
𝑝𝑝 Valeur de vérification pour les solutions dans l'estimateur non itératif de Hampel
𝑚𝑚
′
𝑝𝑝 Nombre de laboratoires participant à une expérience interlaboratoires (matériau hétérogène)
SS Somme des carrés
𝑆𝑆𝑆𝑆 Estimation robuste de la somme des carrés inter-échantillons (matériau hétérogène)
H
𝑆𝑆𝑆𝑆 Estimation robuste de la somme des carrés de la répétabilité (matériau hétérogène)
𝑟𝑟
s Estimation d'un écart-type
′
𝑠𝑠 Écart-type d'un sous-ensemble de données entre les limites calculées dans l'algorithme A
s* Estimation robuste de l'écart-type
𝑠𝑠 Estimation de l'écart-type des différences de cellules dans un plan à niveau fractionné
D
𝑠𝑠 Estimation robuste de l'écart-type des moyennes de cellules
d
𝑠𝑠 Estimation robuste de l'écart-type inter-échantillons pour un matériau hétérogène
H
𝑠𝑠 Estimation robuste de l'écart-type intermédiaire
I(1)
𝑠𝑠 Estimation d'un écart-type interlaboratoires
L
𝑠𝑠 Estimation d'un écart-type de reproductibilité
𝑅𝑅
𝑠𝑠 Estimation d'un écart-type de répétabilité
𝑟𝑟
𝑠𝑠 Estimation de l'écart-type des moyennes de cellules pour un plan à niveau fractionné
𝑦𝑦
𝑡𝑡 Nombre d'échantillons dans une expérience pour un matériau hétérogène
𝑢𝑢 Nombre de données inférieures à un seuil calculé dans l'algorithme A
L
𝑢𝑢 Nombre de données supérieures à un seuil calculé dans l'algorithme A
U
e
w i élément de données dans l'algorithme S
i
e
x i point de données dans un ensemble de données
i
∗
e
𝑥𝑥 Valeur actualisée pour le i point de données dans l'estimation robuste itérative
𝑖𝑖
x* Estimation robuste de la valeur moyenne
’𝑥𝑥’ Moyenne d'un sous-ensemble de données entre les limites calculées dans l'algorithme A
e
y i résultat de mesure dans un ensemble de résultats de mesure
i
𝑦𝑦¯ Moyenne d'un ensemble de résultats de mesure
e
𝑦𝑦 j mesure pour le laboratoire i dans un ensemble de résultats regroupés par le laboratoire
𝑖𝑖𝑖𝑖
e
𝑦𝑦 k mesure sur l'échantillon t dans le laboratoire i à un niveau particulier d'une conception pour
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
un matériau hétérogène (adapté de l'ISO 5725--3)
𝜉𝜉 Facteur d'ajustement utilisé en analyse robuste (algorithme S)
υ Nombre de degrés de liberté
σ Valeur vraie d'un écart-type
−1
e
q quantile de la distribution normale standard
𝛷𝛷 (𝑞𝑞)
𝜑𝜑 Limite utilisée en analyse robuste (algorithme A)
η Facteur de limite utilisé en analyse robuste (algorithme S)
𝜓𝜓 Limite utilisée en analyse robuste (algorithme S)
𝜓𝜓(𝑞𝑞) Fonction d'influence (estimateur de Hampel)
5 Méthodes robustes pour l'analyse des données: Algorithmes A et S
5.1 Les applications des méthodes robustes d'analyse des données
5.1.1 5.1.1 Dans l'ISO 5725--2, il est recommandé de pratiquer deux tests de valeurs aberrantes (les tests
de Cochran et de Grubbs) sur les données obtenues dans une expérience de fidélité, et il convient d'écarter (à
moins que l'expert statisticien ait une bonne raison de les retenir) toutes les données qui conduisent à une
statistique de test, dans l'un ou l'autre de ces tests, excédant la valeur critique du test au niveau de signification
de 1 %. Dans la pratique, cette procédure n'est souvent pas facile à appliquer. Prendre en considération les
résultats des tests de valeurs aberrantes dans l'Exemple C.2C.2. Ils sont présentés dans le 0Tableau C.4. Le
laboratoire 5 donne une seule moyenne de cellule (au niveau 10) suffisamment extrême pour être classée
comme valeur aberrante par le test de Grubbs, mais trois autres valeurs douteuses, et une forte indication à la
0Figure C.2 que quelque chose ne va pas dans ce laboratoire. Dans cette situation, l'expert statisticien doit
choisir entre:
a) a) retenir toutes les données du laboratoire 5;
b) b) écarter seulement les données au niveau 10 du laboratoire 5;
c) c) écarter toutes les données du laboratoire 5.
La décision aura une influence substantielle sur les valeurs calculées des écarts-types de répétabilité et de
reproductibilité. C'est une expérience courante, quand on analyse des données d'expériences de fidélité, de
trouver des données qui sont à la frontière entre valeurs douteuses et valeurs aberrantes, de sorte que
l'analyste des données peut devoir exercer un jugement qui affecte les résultats du calcul. Cela peut ne pas
être satisfaisant. Les méthodes robustes décrites dans cet article permettent d'analyser les données de telle
façon que l'analyste des données n'a pas à prendre de décisions qui affectent les résultats de ces calculs. Ainsi,
s'il y a des raisons de s'attendre à ce que les résultats d'une expérience de fidélité contiennent des valeurs
aberrantes, les méthodes robustes peuvent être préférées.
NOTE Dans le présent document, l'expert statisticien est la personne désignée pour entreprendre l'analyse des
données et pour fournir un rapport d'analyse des données au panel, comme décrit dans l'ISO 5725--2.
5.1.2 5.1.2 La méthode de base présentée dans l'ISO 5725--2 contient l'hypothèse qu'il est justifié d'établir
une valeur commune pour l'écart-type de répétabilité pour tous les laboratoires utilisant la méthode de
mesure. Dans la pratique, on constate souvent que certains laboratoires obtiennent une moins bonne
répétabilité que d'autres. Certains participants à une expérience de fidélité peuvent réaliser une mauvaise
répétabilité quand on soumet pour la première fois une méthode de mesure à une expérience de fidélité
interlaboratoires, ou lorsqu'ils ont peu d'expérience de la méthode de mesure, et ce sont des situations où
l'utilisation de méthodes robustes sera particulièrement appropriée.
[ [10] ]
5.1.3 5.1.3 L'objectif de l'emploi de méthodes robustes Error! Reference source not found. , , quand
on analyse les données d'une expérience de fidélité, est de calculer les valeurs pour les écarts-types de
répétabilité et de reproductibilité de telle façon qu'elles ne sont pas influencées par des valeurs aberrantes. Si
les participants à l'expérience peuvent être considérés comme divisés en deux classes, ceux qui produisent
des données de bonne qualité, et ceux qui produisent des données de mauvaise qualité, alors les méthodes
robustes conduiront à des valeurs pour les écarts-types de répétabilité et de reproductibilité qui sont valables
pour la classe des données de bonne qualité, et non affectées par les données de mauvaise qualité (pourvu que
la classe des données de mauvaise qualité ne soit pas trop importante).
5.1.4 5.1.4 L'emploi de méthodes robustes d'analyse des données n'a pas d’incidence sur la planification,
l'organisation ou l'exécution d'une expérience de fidélité. Il convient que la décision d'utiliser des méthodes
robustes ou des méthodes qui exigent d'écarter les valeurs aberrantes soit prise par l'expert statisticien et
annoncée au panel.
Quand des méthodes robustes sont utilisées, il convient d'inspecter visuellement les données à la recherche
d'anomalies et d'appliquer aux données les tests de valeurs aberrantes et les vérifications de cohérence décrits
dans l'ISO 5725--2, et il convient de rechercher les causes de toute valeur aberrante ou configuration dans les
statistiques h et k. Toutefois, il convient de ne pas écarter les données à la suite de ces tests et vérifications, à
moins que la vérification n'identifie un écart manifeste par rapport à la méthode de mesure ou d'essai
prescrite. D'autres méthodes statistiques d'identification des résultats anormaux ou des modèles inattendus
peuvent être appliquées, y compris, par exemple, les scores z pour les moyennes de laboratoire, ou les
méthodes graphiques illustrées dans l'ISO 5725--2.
∗ ∗ ∗ ∗
NOTE Un score z peut être calculé comme suit: (𝑥𝑥 −𝑥𝑥 ) 𝑠𝑠 où 𝑥𝑥 est la moyenne pour le laboratoire i, et 𝑥𝑥 et 𝑠𝑠
⁄
𝑖𝑖 𝑖𝑖
sont respectivement la moyenne robuste et l'écart-type des moyennes du laboratoire 𝑥𝑥 tels que calculés, par exemple,
𝑖𝑖
∗ ∗
par l'algorithme A (voir 5.25.2)) ou la méthode Q/Hampel (voir 7.27.2 pour 𝑠𝑠 et 7.47.4 pour ).𝑥𝑥 ).
5.1.5 5.1.5 Les dénominateurs des statistiques h et k sont des écarts-types qui, selon les méthodes de
calcul de ces statistiques décrites dans l'ISO 5725--2, sont calculés avec les données telles que présentées. Si
des valeurs aberrantes sont présentes parmi les données, elles augmenteront les dénominateurs et produiront
un effet déformant dans les graphiques de ces statistiques. Par exemple, si à un niveau de l'expérience, un
laboratoire donne une moyenne de cellule qui est une valeur aberrante, beaucoup plus extrême que toute
autre valeur aberrante à ce niveau, cela conduira sur le graphique des statistiques h à une valeur de h
exceptionnellement élevée pour ce niveau. Toutefois, les statistiques h pour tous les autres laboratoires pour
ce niveau seront petites, même si certains de ces autres laboratoires donnent des valeurs aberrantes. L'emploi
de la moyenne générale dans le calcul des statistiques h peut conduire à un effet semblable. L'emploi
d'estimations robustes des écarts-types comme dénominateurs dans les statistiques h et k et d'estimations
robustes des moyennes générales dans le calcul des statistiques h évite cette déformation. Il est recommandé
de les utiliser à cette fin.
5.1.6 5.1.6 Les données d'une expérience de fidélité permettent de calculer deux types de statistique:
a) a) des moyennes de cellules, d'où on peut calculer un écart-type qui donne une mesure de la
variation interlaboratoires;
b) b) des écarts-types ou étendues (ou différences dans un plan à niveau fractionné) intracellules
qui sont combinés pour donner une mesure de la variation intralaboratoire.
Les méthodes robustes décrites ici fournissent des moyens alternatifs de combinaison des moyennes de
cellules, ou les écarts-types, étendues ou différences pour obtenir les statistiques utilisées pour calculer les
écarts-types de répétabilité et de reproductibilité.
5.1.7 5.1.7 Par exemple, avec les données provenant d'un niveau du plan à niveau uniforme présenté dans
l'ISO 5725--2, la première étape de l'analyse est de calculer la moyenne et l'écart-type des résultats de mesure
de chaque cellule. Les moyennes de cellules sont ensuite utilisées pour calculer un écart-type qui est une
mesure de la variation interlaboratoires. Quand on emploie les méthodes robustes du présent article, ce calcul
est effectué en utilisant l'«Algorithme A» et on n'exclut pas du calcul des moyennes de cellules à la suite de
l'application du test de Grubbs. Également dans ce plan, les écarts-types de cellules sont combinés pour donner
une estimation de l'écart-type de répétabilité. Avec l'analyse robuste, ceci est pratiqué en utilisant
l'«Algorithme S» et on n'exclut pas d'écarts-types de cellules à la suite de l'application du test de Cochran. Avec
l'une ou l'autre approche (celle décrite dans l'ISO 5725--2 ou celle décrite ici), les deux mesures sont alors
utilisées pour calculer de la même façon des estimations des écarts-types de répétabilité et de reproductibilité.
5.1.8 5.1.8 Les méthodes robustes qui font partie du présent document sont choisies du fait qu'elles
peuvent s'appliquer à tous les plans d'expérience donnés dans l'ISO 5725--2, l'ISO 5725--3 et l'ISO 5725--4, et
également parce qu'elles demandent des calculs relativement simples. Il convient de noter cependant qu'elles
fournissent le moyen de combiner, de manière robuste, des moyennes de cellules, des écarts-types de cellules
et des étendues de cellules. Elles ne combinent pas de résultats individuels d'essai de manière robuste, c'est-
à-dire elles commencent par les moyennes arithmétiques de cellules et les écarts-types de cellules. Il existe
des méthodes robustes qui combinent des résultats d'essai intracellules de manière robuste mais, en pratique,
elles seraient plus compliquées à appliquer.
5.2 Analyse robuste: Algorithme A
5.2.1 5.2.1 Cet algorithme donne des valeurs robustes de la moyenne et de l'écart-type des données
auxquelles on l'applique, et est appliqué aux:
a) a) moyennes de cellules, quel que soit le plan;
b) b) différences de cellules, pour le plan à niveau fractionné.
5.2.2 5.2.2 Désigner les éléments de données p par:
x , x , …, x , ., x
1 2 i p
Désigner par x* et s* la moyenne robuste et l'écart-type robuste de ces données.
5.2.3 5.2.3 Calculez les valeurs initiales de x* et s* telles que données par les 0Formules (1) et 0(2)::
(1)
(2)
∗
𝑥𝑥 = median of 𝑥𝑥 , (𝑖𝑖 = 1, 2, … , 𝑝𝑝) (1)
𝑖𝑖
* *
𝑠𝑠 = 1,483 × median of |𝑥𝑥 −𝑥𝑥 |, (𝑖𝑖 = 1, 2, … , 𝑝𝑝) (2)
𝑖𝑖
NOTE Le facteur de 1,483 est l'inverse du quartile supérieur de la distribution normale standard (1/0,674 5 = 1,483)
et est le rapport de l'écart-type à l'écart absolu médian d'une distribution normale.
5.2.4 5.2.4 Mettre à jour les valeurs de x* et s* comme dans la 0Formule (3)::
Calculer:
φ = 1,5 s* (3)
*
Pour chaque valeur x (i = 1, 2, ., p), calculer les valeurs mises à jour 𝑥𝑥 en suivant la 0Formule (4)::
i
𝑖𝑖
(4)
* *
𝑥𝑥 −𝜑𝜑 si 𝑥𝑥 <𝑥𝑥 −𝜑𝜑
𝑖𝑖
*
* *
𝑥𝑥 = { (4)
𝑥𝑥 +𝜑𝜑 si 𝑥𝑥 >𝑥𝑥 +𝜑𝜑
𝑖𝑖 𝑖𝑖
𝑥𝑥 dans le cas contraire
𝑖𝑖
Calculer les nouvelles valeurs de x* et s* à partir des 0Formules (5) et 0(6)::
𝑝𝑝
∗ ∗
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 𝑝𝑝 (5)
� ⁄
𝑖𝑖
𝑖𝑖=1
(6)
𝑝𝑝
∗ ∗ ∗ 2
𝑠𝑠 = 1,134�� (𝑥𝑥 −𝑥𝑥 )⁄(𝑝𝑝− 1) (6)
𝑖𝑖
𝑖𝑖=1
NOTE Le facteur 1,134 est un facteur de correction calculé à partir de l'écart-type pour une distribution normale
standard, les valeurs en dehors de ±1,5 étant traitées comme dans la 0Formule 4.
5.2.5 5.2.5 Les estimations robustes x* et s* peuvent être déduites d'un calcul par itération, c'est-à-dire en
répétant plusieurs fois les calculs du 5.2.45.2.4,, jusqu'à ce que le changement dans les estimations de x* et s*
−4
d'un calcul au suivant soit faible (par exemple, un changement de moins de 10 de l'estimation précédente de
∗ ∗
𝒙𝒙 et de ).𝒔𝒔 ). C'est une méthode facile à programmer sur un ordinateur.
NOTE Il peut être utile de vérifier que les résultats des méthodes itératives ne changent pas de manière significative
avec un critère de convergence plus petit.
5.2.6 5.2.6 Une méthode alternative, qui n'implique pas d'itération, et peut ainsi être plus facile à
appliquer si les calculs sont faits à la main, découle du fait que les 0Formules (5) et 0(6) en 05.2.4 peuvent
s'écrire tel que dans les 0Formules (7) et 0(8)::
(7)
(8)
* ′ *
𝑥𝑥 =𝑥𝑥 + 1,5(𝑢𝑢 −𝑢𝑢 )𝑠𝑠 /(𝑝𝑝−𝑢𝑢 −𝑢𝑢 ) (7)
U L L U
* 2 ′ 2 2 2
(𝑠𝑠 ) = (𝑝𝑝−𝑢𝑢 −𝑢𝑢 − 1)(𝑠𝑠 ) /[(𝑝𝑝− 1)/1, 134 − 1, 5 (𝑝𝑝𝑢𝑢 +𝑝𝑝𝑢𝑢 − 4𝑢𝑢𝑢𝑢 )/(𝑝𝑝−𝑢𝑢 −𝑢𝑢 )] (8)
L U L U L U L U
où
𝑢𝑢 est le nombre de données xi pour lesquelles xi < x* − φ;
L
𝑢𝑢 est le nombre de données xi pour lesquelles xi > x* + φ;
U
∗
x′ et s′ sont la moyenne et l'écart-type des éléments de données (𝑝𝑝−𝑢𝑢 −𝑢𝑢 )xi pour lesquels .|𝑥𝑥 −𝑥𝑥 |≤𝜑𝜑.
𝐿𝐿 𝑈𝑈 𝑖𝑖
Ces relations peuvent être utilisées pour calculer directement x* et s* si 𝑢𝑢 et 𝑢𝑢 sont connus. Une approche
L U
consiste à essayer les différentes possibilités dans un ordre systématique (c'est-à-dire essayer , ;𝑢𝑢 = 0, 𝑢𝑢 =
L U
0; puis , ;𝑢𝑢 = 0, 𝑢𝑢 = 1; puis , ;𝑢𝑢 = 1, 𝑢𝑢 = 0; puis , ;𝑢𝑢 = 1, 𝑢𝑢 = 1; et ainsi de suite) jusqu'à ce qu'une
L U L U L U
solution valable soit trouvée dans laquelle les nombres réels d'éléments de données situés à plus de 1,5 s* de
x* sont égaux aux valeurs de 𝑢𝑢 et 𝑢𝑢 utilisées pour calculer x* et s*. En pratique, l'expert statisticien pourra
L U
utiliser des méthodes graphiques pour identifier les valeurs qui, probablement, diffèrent de x* de plus de
1,5 s*, et ainsi trouver la solution en évaluant un petit nombre de cas.
NOTE La dérivation des 0Formules (7) et 0(8) figure à l’Annexe Bl’Annexe B.
5.2.7 5.2.7 Une autre possibilité est d'utiliser la méthode itérative pour trouver une solution approchée,
puis de résoudre les équations des 0Formules (7) et 0(8) pour trouver la solution exacte. Cette approche est
illustrée dans les exemples 1 et 3 de l’Annexe Cl’Annexe C.
5.3 Analyse robuste: Algorithme S
5.3.1 5.3.1 Cet algorithme est appliqué aux écarts-types intralaboratoires (ou aux étendues
intralaboratoires) quel que soit le plan équilibré. Il produit une valeur groupée robuste des écarts-types ou
des étendues auxquels il est appliqué.
5.3.2 5.3.2 Désigner les éléments de données p par:
𝑤𝑤 , 𝑤𝑤 , … , 𝑤𝑤 , 𝑤𝑤
1 2 𝑖𝑖 𝑝𝑝
(Ce peut être des étendues ou des écarts-types).
Désigner par w* la valeur combinée robuste et les degrés de liberté associés à chaque w par ν. (Lorsque w est
i i
une étendue, ν = 1. Quand w est l'écart-type de n résultats d'essai, ν = n − 1). Obtenir les valeurs de ξ et η
i
nécessaires pour l'algorithme dans le 0Tableau 1.
5.3.3 5.3.3 Calculer une valeur initiale de w* comme dans la 0Formule (9)::
∗
𝑤𝑤 = médiane de w (i = 1, 2, ., p) (9)
i
5.3.4 5.3.4 Mettre à jour la valeur de w* comme dans la 0Formule (10)::
a) a) calculer:
∗
𝜓𝜓 =𝜂𝜂 ×𝑤𝑤 (10)
*
b) b) pour chaque ,𝑤𝑤 (𝑖𝑖 = 1, 2, … , 𝑝𝑝), calculer les valeurs mises à jour 𝑤𝑤 en suivant la
𝑖𝑖
𝑖𝑖
0Formule (11)::
(11)
𝜓𝜓 si 𝑤𝑤 >𝜓𝜓
𝑖𝑖
*
c) 𝑤𝑤 = {
𝑖𝑖
𝑤𝑤 dans le cas contraire
𝑖𝑖
(11)
*
c) calculer la nouvelle valeur de 𝑤𝑤 à partir de la 0Formule (12)::
(12)
𝑝𝑝
∗ ∗
5.3.5 𝑤𝑤 =𝜉𝜉 (𝑤𝑤 )⁄𝑝𝑝
��
𝑖𝑖
𝑖𝑖=1
(12)
5.3.5 L'estimation robuste w* peut être déduite par un calcul par itération, en répétant les calculs du
paragraphe 5.3.4de 5.3.4 plusieurs fois jusqu'à ce que le changement de l'estimation de w* soit faible d'un
−4
calcul au suivant (par exemple, 10 de la valeur précédente). C'est une méthode facile à programmer sur un
ordinateur.
5.3.6 5.3.6 Une méthode alternative, qui n'implique pas d'itération, et peut ainsi être plus facile à utiliser
si les calculs sont faits à la main, est semblable à celle décrite en 05.2.6. La 0Formule (12) en 05.3.4 peut
être écrite comme dans la 0Formule (13)::
(13)
𝜉𝜉
* 2 ′ * 2 ∗ 2
(𝑤𝑤 ) = [ ] × [∑ (𝑤𝑤 ) +𝑢𝑢 × (𝜂𝜂𝑤𝑤 ) ] (13)
𝑖𝑖 U
𝑝𝑝
où
∑′ est la sommation sur les 𝑤𝑤 pour lesquels 𝑤𝑤 ≤𝜓𝜓
𝑖𝑖 𝑖𝑖
𝑢𝑢 est le nombre de 𝑤𝑤 pour lesquels 𝑤𝑤 >𝜓𝜓
U 𝑖𝑖 𝑖𝑖
Tableau 1 — Facteurs nécessaires pour l'analyse robuste: Algorithme S
Degrés de liberté Facteur de limite Facteur d'ajustement 𝜉𝜉
𝜈𝜈 𝜂𝜂
1 1,645 1,097
2 1,517 1,054
3 1,444 1,039
4 1,395 1,032
5 1,359 1,027
6 1,332 1,024
7 1,310 1,021
8 1,292 1,019
9 1,277 1,018
10 1,264 1,017
NOTE Les valeurs de 𝜉𝜉 et de 𝜂𝜂 sont démontrées dans l’Annexe Bl’Annexe B.
Ce problème peut être résolu en essayant tour à tour , , ,𝑢𝑢 = 0, 𝑢𝑢 = 1, 𝑢𝑢 = 2, et ainsi de suite, jusqu'à ce que
U U U
∗
l'on obtienne une solution valable dans laquelle le nombre réel de wi qui dépassent 𝜂𝜂 ×𝑤𝑤 est égal à .𝑢𝑢 . En
U
pratique, l'expert statisticien pourra utiliser des méthodes graphiques pour identifier les étendues qui,
∗
probablement, dépassent 𝜂𝜂 ×𝑤𝑤 et trouver la solution en évaluant un petit nombre de cas.
L'approche utilisée dans les exemples de l’Annexe Cl’Annexe C est d'employer la méthode itérative pour
trouver une solution approchée, puis de résoudre l'équation de la 0Formule (13) pour trouver la solution
exacte.
5.4 Formules: Analyse robuste pour un niveau particulier d'un plan à niveau uniforme
5.4.1 5.4.1 Avec un plan à niveau uniforme tel que décrit dans l'ISO 5725--2, pour chaque niveau de
l'expérience, chaque laboratoire soumet à l'essai deux ou plusieurs échantillons identiques du même matériau.
Une estimation robuste de l'écart-type de répétabilité 𝒔𝒔 pour un niveau peut être obtenue en appliquant
𝒔𝒔
l'algorithme S aux étendues ou écarts-types de cellules pour le niveau pour déduire de la 0Formule (12) en
05.3.4 une valeur robuste w*. Si on applique l'algorithme S aux écarts-types de cellules, définir 𝒔𝒔 à l'aide de
𝒔𝒔
la 0Formule (14)::
∗
𝑠𝑠 =𝑤𝑤 (14)
𝑟𝑟
S'il y a deux résultats de mesure par cellule et qu'on applique l'algorithme S aux étendues de cellules, alors la
0Formule (15) s'applique:
*
𝑠𝑠 =𝑤𝑤 / 2 (15)
𝑟𝑟 √
5.4.2 5.4.2 Une estimation robuste de l'écart-type des moyennes de cellules 𝒔𝒔 pour un niveau peut être
𝒅𝒅
obtenue en appliquant l'algorithme A aux moyennes de cellules pour le niveau pour déduire de
la 0Formule (6) en 05.2.4 une valeur robuste s* puis en utilisant la 0Formule (16)::
∗
𝑠𝑠 =𝑠𝑠 (16)
d
5.4.3 5.4.3 L'écart-type interlaboratoires 𝒔𝒔 est alors calculé en utilisant la 0Formule (17)::
𝑳𝑳
2 2
𝑠𝑠 = 𝑠𝑠 − (𝑠𝑠 𝑛𝑛) (17)
� ⁄
L 𝑟𝑟
d
où n est le nombre de résultats de mesure par cellule. Si l'expression sous le radical est négative, alors prendre
tel qu'indiqué dans la 0Formule (18)::
𝑠𝑠 = 0 (18)
L
5.4.4 5.4.4 Calculer l'écart-type de reproductibilité pour le niveau tel qu'indiqué dans la 0Formule (19)::
2 2
𝑠𝑠 =�𝑠𝑠 +𝑠𝑠 (19)
𝑅𝑅 𝑟𝑟
L
NOTE Les formules sont appliquées dans l'Exemple C.1C.1.
5.5 Formules: analyse robuste pour un niveau particulier d'un plan à niveau fractionné
5.5.1 5.5.1 Dans un plan à niveau fractionné, tel que décrit dans l'ISO 5725--3, à chaque niveau de
l'expérience, chaque laboratoire participant reçoit deux échantillons correspondant à deux matériaux
similaires, et les opérateurs sont informés que les échantillons ne sont pas identiques, mais ils ne sont pas
informés de l'ampleur de la différence entre les matériaux. Pour obtenir des estimations robustes des écarts-
types de répétabilité et de reproductibilité 𝒔𝒔 et 𝒔𝒔 pour un niveau particulier dans un plan à niveau fractionné,
𝒔𝒔 𝒔𝒔
en utilisant l'algorithme S, procédez comme suit:
a) a) appliquer l'algorithme S aux différences de cellules pour le niveau afin d'obtenir une valeur
∗
robuste 𝑠𝑠 à partir de la 0Formule (6) et appliquer la 0Formule (20) pour déterminer l'écart-type estimé
des différences de cellules :𝑠𝑠 :
D
∗
𝑠𝑠 =𝑠𝑠 (20)
D
b) b) calculer 𝑠𝑠 à l'aide de la 0Formule (21) (tirée de l'ISO 5725--3):
r
𝑠𝑠 =𝑠𝑠 / 2 (21)
𝑟𝑟 D √
c) c) calculer une estimation robuste de l'écart-type des moyennes de cellules 𝑠𝑠 pour un niveau
𝑦𝑦
particulier en appliquant à nouveau l'algorithme A aux moyennes de cellules pour le niveau afin d'obtenir
une valeur robuste s* à partir de la 0Formule (6) , puis définir 𝑠𝑠 à l'aide de la 0Formule (22)::
𝑦𝑦
∗
𝑠𝑠 =𝑠𝑠 (22)
𝑦𝑦
d) d) calculer une estimation de l'écart-type de reproductibilité 𝑠𝑠 pour le niveau à l'aide de
R
la 0Formule (23) (adaptée de l'ISO 5725--3):
2 2
𝑠𝑠 = 𝑠𝑠 + (𝑠𝑠 2) (23)
� ⁄
𝑅𝑅 𝑦𝑦 𝑟𝑟
NOTE Les formules sont appliquées dans l'Exemple C.2C.2.
5.6 Formules: Analyse robuste pour un niveau particulier d'une expérience sur un
matériau hétérogène
5.6.1 5.6.1 Avec le plan pour un matériau hétérogène, dans le cas usuel où deux échantillons sont préparés
pour chacun des p′ laboratoires à chaque niveau, et où deux résultats d'essai sont obtenus sur chaque
échantillon, on peut obtenir des estimations robustes des écarts-types de répétabilité et de reproductibilité
par trois applications des algorithmes A et S:
a) a) appliquer l'algorithme S aux étendues entre résultats d'essai pour déduire de la 0Formule (12)
en 5.3.45.3.4 une valeur robuste w* et poser tel qu'indiqué dans la 0Formule (24)::
′ ∗ 2
𝑆𝑆𝑆𝑆 = 2𝑝𝑝 (𝑤𝑤 ) (24)
𝑟𝑟
b) b) appliquer l'algorithme S aux étendues inter-échantillons pour déduire de la 0Formule (12) une
∗
autre valeur robuste 𝑤𝑤 et poser tel qu'indiqué dans la 0Formule (25)::
′ ∗ 2
𝑆𝑆𝑆𝑆 =𝑝𝑝 (𝑤𝑤 ) (25)
H
c) c) appliquer l'algorithme A aux moyennes de cellules pour déduire de la 0Formule (6) en
5.2.45.2.4 une valeur robuste s* et poser tel qu'indiqué dans la 0Formule (26)::
*
𝑠𝑠 =𝑠𝑠 (26)
𝑦𝑦
d) d) utiliser les 0Formules (27) à 0(29) (adaptées de l'ISO 5725--3) pour calculer les estimations
des écarts-types de répétabilité et de reproductibilité, et de l'écart-type 𝑠𝑠 qui mesure la variation inter-
H
échantillons:
2 ′
𝑠𝑠 =𝑆𝑆𝑆𝑆 /(4𝑝𝑝 ) (27)
𝑟𝑟 𝑟𝑟
(28)
(29)
2 ′
𝑠𝑠 =𝑠𝑠 + (𝑆𝑆𝑆𝑆 −𝑆𝑆𝑆𝑆 )/(4𝑝𝑝 ) (28)
𝑅𝑅 𝑦𝑦 𝑟𝑟 𝐻𝐻
2 ′ ′
𝑠𝑠 =𝑆𝑆𝑆𝑆 /(2𝑝𝑝 )−𝑆𝑆𝑆𝑆 /(8𝑝𝑝 ) (29)
H H 𝑟𝑟
NOTE 1 Cette procédure est illustrée dans l'Exemple C.3C.3.
NOTE 2 Les calculs a) à c) peuvent être présentés sous forme de tableau, avec la première colonne d'étendues ou de
moyennes par ordre croissant. L’Annexe CL’Annexe C présente un exemple.
6 Méthodes robustes pour l'analyse des données: Méthode Q et estimateur
de Hampel
6.1 Justification des estimateurs à forte intensité de calcul
6.1.1 6.1.1 Les estimateurs robustes de la moyenne et de l'écart-type de la population décrits aux 5.25.2
et 5.35.3 se sont révélés utiles dans un grand nombre de situations. Toutefois, ces techniques peuvent devenir
peu fiables lorsque plus de 20 % des résultats sont aberrants ou lorsque les distributions sont bimodales ou
asymétriques. L'ISO/IEC 17043 exige que ces situations soient anticipées par la conception ou détectées par
un examen compétent avant l'évaluation des performances, mais il y a des cas où cela n'est pas possible.
6.1.2 6.1.2 Les paragraphes suivants décrivent des méthodes d'estimation de l'écart-type et de la
localisation (moyenne) à haute efficacité et à forte décomposition qui sont utiles pour les données comportant
de grandes proportions de valeurs aberrantes et qui présentent une variabilité plus faible que les estimateurs
plus simples.
NOTE Le point de rupture théorique des méthodes de Hampel ci-dessous est de 50 %. Il peut donc être utilisé
lorsque plus de 20 % des données à un niveau particulier du plan peuvent être des valeurs aberrantes erronées.
7 Analyse statistique robuste des résultats au moyen de la méthode Q/Hampel dans
un plan à répétition unique
7.1 Introduction à la méthode Q/Hampel
7.1.1 7.1.1 La méthode dite Q/Hampel est une méthode très robuste et efficace pour estimer l'écart-type
de la reproductibilité et de la répétabilité et la moyenne générale des résultats rapportés par différents
laboratoires. La méthode Q/Hampel utilise la méthode Q décrite au 7.2en 7.2 pour le calcul de l'écart-type de
reproductibilité robuste 𝒔𝒔 et au 7.3en 7.3 pour le calcul de l'écart-type de répétabilité robuste ,𝒔𝒔 , ainsi que
𝒔𝒔 𝒔𝒔
l'algorithme avec étape finie de l'estimateur de Hampel décrit au 7.4en 7.4 pour le calcul du paramètre de
∗
localisation .𝒙𝒙 . Le présent article décrit son application au plan à répétition unique désigné comme «plan de
base» dans l'ISO 5725--2.
7.2 Détermination de l'écart-type de reproductibilité robuste 𝒔𝒔 à l'aide de la méthode Q
𝒔𝒔
7.2.1 7.2.1 La méthode Q produit une estimation, à forte décomposition et à haute efficacité, de l'écart-
type des résultats d'études interlaboratoires rapportés par différents laboratoires. La méthode Q n'est pas
seulement robuste contre les résultats aberrants, mais aussi contre une situation où de nombreux résultats de
tests sont égaux, par exemple en raison de données quantitatives sur une échelle discontinue ou de distorsions
d'arrondi. Dans une telle situation, les autres méthodes similaires à la méthode Q peuvent échouer, car de
nombreuses différences par paire sont nulles. La méthode Q peut être utilisée pour les études
interlaboratoires avec des résultats uniques par participant (y compris une moyenne ou une médiane des
répétitions) et pour les répétitions. L'utilisation directe de répétitions dans le calcul améliore l'efficacité de la
méthode. Le calcul repose sur l'utilisation de différences par paire au sein de l'ensemble de données et ne
dépend donc pas d'une estimation de la moyenne ou de la médiane des données. La méthode est connue sous
le nom de Q/Hampel lorsqu'elle est utilisée avec l'algorithme avec étape finie pour l'estimateur de Hampel
décrit au 07.4. Le mode opératoire est le suivant:
a) a) désigner les résultats de mesure rapportés, regroupés par laboratoire, par la 0Formule (30)::
(30)
b) 𝑦𝑦 , … ,𝑦𝑦 , 𝑦𝑦 , … ,𝑦𝑦 , … ,𝑦𝑦 , … ,𝑦𝑦
11 1𝑛𝑛 21 2𝑛𝑛 𝑝𝑝1 𝑝𝑝𝑛𝑛
1 2 𝑝𝑝
︸ ︸
︸
𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 1 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 2
𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑝𝑝
(30)
b) en se fondant sur les résultats de mesure tels que structurés dans la 0Formule (30) , calculer la fonction
de distribution cumulative de toutes les différences absolues interlaboratoires par la 0Formule (31)::
(31)
𝑛𝑛
𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑗𝑗
2 1
𝐻𝐻 (𝑥𝑥) = � � � I{|𝑦𝑦 −𝑦𝑦 |≤𝑥𝑥} (31)
1 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑚𝑚
𝑝𝑝(𝑝𝑝−1) 𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖 𝑗𝑗
𝑚𝑚=1
1≤𝑖𝑖<𝑖𝑖≤𝑝𝑝 𝑖𝑖=1
1 si |𝑦𝑦 −𝑦𝑦 |≤𝑥𝑥
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑚𝑚
où I{|𝑦𝑦 −𝑦𝑦 |≤𝑥𝑥} = { } désigne la fonction indi
...
Questions, Comments and Discussion
Ask us and Technical Secretary will try to provide an answer. You can facilitate discussion about the standard in here.
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