ISO 12131-1:2001

SLOVENSKI STANDARD
SIST ISO 12131-1:2002
01-marec-2002
'UVQLOHåDML$NVLDOQLKLGURGLQDPLþQLGUVQLOHåDML]QHSRPLþQLPLEOD]LQLFDPL
GHO3UHUDþXQEOD]LQLF
Plain bearings -- Hydrodynamic plain thrust pad bearings under steady-state conditions -
- Part 1: Calculation of thrust pad bearings
Paliers lisses -- Butées hydrodynamiques à patins géométrie fixe fonctionnant en régime
stationnaire -- Partie 1: Calcul des butées à segments
Ta slovenski standard je istoveten z: ISO 12131-1:2001
ICS:
21.100.10 Drsni ležaji Plain bearings
SIST ISO 12131-1:2002 en
2003-01.Slovenski inštitut za standardizacijo. Razmnoževanje celote ali delov tega standarda ni dovoljeno.

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SIST ISO 12131-1:2002

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SIST ISO 12131-1:2002
INTERNATIONAL ISO
STANDARD 12131-1
First edition
2001-04-15
Plain bearings — Hydrodynamic plain
thrust pad bearings under steady-state
conditions
Part 1:
Calculation of thrust pad bearings
Paliers lisses — Paliers de butées hydrodynamiques à patins géométrie
fixe fonctionnant en régime stationnaire
Partie 1: Calcul des butées à segments
Reference number
ISO 12131-1:2001(E)
©
ISO 2001

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ISO 12131-1:2001(E)
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ISO 12131-1:2001(E)
Contents Page
Foreword.iv
1 Scope .1
2 Normative references .1
3 Fundamentals, assumptions and premises.1
4 Symbols and units.3
5 Calculation procedure.6
5.1 Loading operations.6
5.2 Load carrying capacity.8
5.3 Frictional power .8
5.4 Lubricant flow rate .9
5.5 Heat balance.10
5.6 Minimum lubricant film thickness and specific bearing load .13
5.7 Operating conditions .13
5.8 Further influence factors .13
Annex A (normative) Examples of calculation.15
Bibliography.25
© ISO 2001 – All rights reserved iii

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ISO 12131-1:2001(E)
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards bodies (ISO
member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through ISO technical
committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee has been established has
the right to be represented on that committee. International organizations, governmental and non-governmental, in
liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely with the International Electrotechnical
Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
International Standards are drafted in accordance with the rules given in the ISO/IEC Directives, Part 3.
Draft International Standards adopted by the technical committees are circulated to the member bodies for voting.
Publication as an International Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting a vote.
Attention is drawn to the possibility that some of the elements of this part of ISO 12131 may be the subject of
patent rights. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
International Standard ISO 12131-1 was prepared by Technical Committee ISO/TC 123, Plain bearings,
Subcommittee SC 4, Methods of calculation of plain bearings.
ISO 12131 consists of the following parts, under the general title Plain bearings — Hydrodynamic plain thrust pad
bearings under steady-state conditions:
� Part 1: Calculation of thrust pad bearings
� Part 2: Functions for the calculation of thrust pad bearings
� Part 3: Guide values for the calculation of thrust pad bearings
Annex A forms a normative part of this part of ISO 12131.
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INTERNATIONAL STANDARD ISO 12131-1:2001(E)
Plain bearings — Hydrodynamic plain thrust pad bearings under
steady-state conditions
Part 1:
Calculation of thrust pad bearings
1 Scope
The aim of this part of ISO 12131 is to achieve designs of plain bearings that are reliable in operation, by the
application of a calculation method for oil-lubricated hydrodynamic plain bearings with complete separation of the
[1]
thrust collar and plain bearing surfaces by a film of lubricant .
This part of ISO 12131 applies to plain thrust bearings with incorporated wedge and supporting surfaces having
any ratio of wedge surface length l to length of one pad L. It deals with the value l /L=0,75 asthisvalue
wed wed
[2]
represents the optimum ratio . The ratio of width to length of one pad can be varied in the range B/L=0,5 to 2.
The calculation method described in this part of ISO 12131 can be used for other incorporated gap shapes, e.g.
plain thrust bearings with integrated baffle, when for these types the numerical solutions of Reynolds' differential
equation are known.
The calculation method serves for designing and optimizing plain thrust bearings e.g. for fans, gear units, pumps,
turbines, electrical machines, compressors and machine tools. It is limited to steady-state conditions, i.e. load and
angular speed of all rotating parts are constant under continuous operating conditions. Dynamic operating
conditions are not included.
2 Normative references
The following normative documents contain provisions which, through reference in this text, constitute provisions of
this part of ISO 12131. For dated references, subsequent amendments to, or revisions of, any of these publications
do not apply. However, parties to agreements based on this part of ISO 12131 are encouraged to investigate the
possibility of applying the most recent editions of the normative documents indicated below. For undated
references, the latest edition of the normative document referred to applies. Members of ISO and IEC maintain
registers of currently valid International Standards.
ISO 3448:1992, Industrial liquid lubricants — ISO viscosity classification
ISO 12131-2:2001, Plain bearings — Hydrodynamic plain thrust pad bearings under steady-state conditions —
Part 2: Functions for the calculation of thrust pad bearings
ISO 12131-3, Plain bearings — Hydrodynamic plain thrust pad bearings under steady-state conditions — Part 3:
Guide values for the calculation of thrust pad bearings
3 Fundamentals, assumptions and premises
The calculation is always carried out with the numerical solutions of Reynolds' differential equation for sliding
surfaces with finite width, taking into account the physically correct boundary conditions for the generation of
pressure.
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SIST ISO 12131-1:2002
ISO 12131-1:2001(E)
��pp� � �h
�� � �
33
+= 6���U� (1)
hh
�� � �
�� � �
��xx �z �z �x
[1] [2]
See for the derivation of Reynolds' differential equation and for the numerical solution.
For the solution of equation (1), the following idealizing assumptions and premises are used, the reliability of which
[3]
has been sufficiently confirmed by experiment and in practice .
a) The lubricant corresponds to a Newtonian fluid.
b) All lubricant flows are laminar.
c) The lubricant adheres completely to the sliding surfaces.
d) The lubricant is incompressible.
e) The lubrication clearance gap is completely filled with lubricant.
f) Inertia effects and gravitational and magnetic forces of the lubricant are negligible.
g) The components forming the lubrication clearance gap are rigid or their deformation is negligible; their surfaces
are completely even.
h) The lubricant film thickness in the radial direction (z-coordinate) is constant.
i) Fluctuations in pressure within the lubricant film normal to the sliding surfaces (y-coordinate) are negligible.
j) There is no motion normal to the sliding surfaces (y-coordinate).
k) The lubricant is isoviscous over the entire lubrication clearance gap.
l) The lubricant is fed in at the widest lubrication clearance gap; the magnitude of the lubricant feed pressure is
negligible as compared to the lubricant film pressures themselves.
m) The pad shape of the sliding surfaces is replaced by rectangles.
The boundary conditions for the solution of Reynolds' differential equation are the following.
1) The gauge pressure of the lubricant at the feeding point is p(x =0, z)=0.
2) The feeding of the lubricant is arranged in such a way that it does not interfere with the generation of
pressure in the lubrication clearance gap.
3) The gauge pressure of the lubricant at the lateral edges of the plain bearing is p(x, z=0,5 B)=0.
4) The gauge pressure of the lubricant is p(x = L, z) = 0 at the end of the pressure field.
The application of the principle of similarity in hydrodynamic plain bearing theory results in dimensionless
parameters of similarity for such characteristics as load carrying capacity, friction behaviour and lubricant flow rate.
The use of parameters of similarity reduces the number of necessary numerical solutions of Reynolds' differential
equation which are compiled in ISO 12131-2. In principle, other solutions are also permitted provided they satisfy
the conditions given in this part of ISO 12131 and have the corresponding numerical accuracy.
ISO 12131-3, contains guide values according to which the calculation result is to be oriented in order to ensure the
functioning of the plain bearings.
In special cases, guide values deviating from ISO 12131-3, may be agreed for specific applications.
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ISO 12131-1:2001(E)
4 Symbols and units
See Table 1 and Figure 1.
Table 1 — Symbols and units
Symbol Designation Unit
2
A Heat emitting surface of the bearing housing m
B Width of one pad m
c Specific heat capacity of the lubricant (p = constant) J/(kg�K)
p
C Wedge depth m
wed
D Mean sliding diameter (diameter of thrust bearing ring) m
D Inside diameter of thrust bearing ring m
i
D Outside diameter of thrust bearing ring m
o
f * Characteristic value of friction 1
f * Characteristic value of friction for thrust pad bearing 1
B
F Bearing force (nominal load) N
F* Characteristic value of load carrying capacity 1
F * Characteristic value of load carrying capacity for thrust pad bearing 1
B
F Bearing force (load) under stationary conditions N
st
h Local lubricant film thickness (clearance gap height) m
h Minimum permissible lubricant film thickness during operation m
lim
h Minimum permissible lubricant film thickness in the transition into mixed lubrication m
lim, tr
h Minimum lubricant film thickness (minimum clearance gap height) m
min
2
k Heat transfer coefficient related to the product B � L � Z W/(m �K)
2
k External heat transfer coefficient (reference surface A)W/(m �K)
A
l Wedge length m
wed
L Length of one pad in circumferential direction m
M Mixing factor 1
�1
N Rotational frequency (speed) of thrust collar s
p Local lubricant film pressure Pa
p Specific bearing load p = F/(B� L� Z)Pa
P Frictional power in the bearing or heat flow rate generated by it W
f
p Maximum permissible specific bearing load Pa
lim
P Heat flow rate to the environment W
th, amb
P Heat flow rate in the lubricant W
th, L
3
Q Lubricant flow rate m /s
3
Q* Characteristic value of lubricant flow rate m /s
3
Q Relative lubricant flow rate Q = B � h � U � Z m /s
0
0 min
3
Q Lubricant flow rate at the inlet of the clearance gap (circumferential direction) m /s
1
Q* Characteristic value of lubricant flow rate at the inlet of the clearance gap 1
1
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Table 1 — (continued)
Symbol Designation Unit
3
Q
Lubricant flow rate at the outlet of the clearance gap (circumferential direction) m /s
2
* *
Q* Characteristic value of lubricant flow rate Q � Q at the outlet of the clearance gap 1
2
1 3
3
Q
Lubricant flow rate at the sides (perpendicular to circumferential direction) m /s
3
Q* Characteristic value of lubricant flow rate at the sides 1
3
Re Reynolds number 1
Rz Average peak-to-valley roughness height of thrust collar �m
T Ambient temperature �C
amb
T Bearing temperature �C
B
T Effective lubricant film temperature �C
eff
T Lubricant temperature at the inlet of the bearing �C
en
T Lubricant temperature at the outlet of the bearing �C
ex
T
Maximum permissible bearing temperature �C
lim
T Lubricant temperature at the inlet of the clearance gap �C
1
T Lubricant temperature at the outlet of the clearance gap �C
2
U Sliding velocity relative to mean diameter of bearing ring m/s
w Velocity of air surrounding the bearing housing m/s
amb
x
Coordinate in direction of motion (circumferential direction) m
y Coordinate in direction of lubrication clearance gap (axial) m
z Coordinate perpendicular to the direction of motion (radial) m
Z Number of pads 1
� Dynamic viscosity of the lubricant Pa�s
� Effective dynamic viscosity of the lubricant Pa�s
eff
3
Density of the lubricant kg/m
�
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ISO 12131-1:2001(E)
Key
1 Wedge surface
2 Thrust collar
3 Supporting surface
4 Lubrication groove
5 Thrust bearing ring
Figure 1 — Schematic view of a thrust pad bearing (bearing with incorporated wedge
and supporting surfaces)
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5 Calculation procedure
5.1 Loading operations
5.1.1 General
Calculation means the mathematical determination of the correct functioning using operational parameters (see
Figure 2) which can be compared with guide values. Thereby, the operational parameters determined under
varying operation conditions shall be permissible as compared to the guide values. For this purpose, all continuous
operating conditions shall be investigated.
5.1.2 Wear
Safety against wear is given if complete separation of the mating bearing parts is achieved by the lubricant.
Continuous operation in the mixed lubrication range results in premature loss of functioning. Short-time operation in
the mixed lubrication range such as starting up and running down machines with plain bearings, is unavoidable and
can result in bearing damage after frequent occurrence. When subjected to heavy load, an auxiliary hydrostatic
arrangement may be necessary for starting up or running down at a low speed. Running-in and adaptive wear to
compensate for surface geometry deviations from the ideal geometry are permissible as long as these are limited in
time and locality and occur without overload effects. In certain cases, a specific running-in procedure may be
beneficial. This can also be influenced by the selection of the material. Attention is drawn to the fact that in the case
of this bearing design, wear can lead to a rapid decrease in the load carrying capacity.
5.1.3 Mechanical loading
The limits of mechanical loading are given by the strength of the bearing material. Slight permanent deformation is
permissible as long as it does not impair correct functioning of the plain bearing.
5.1.4 Thermal loading
The limits of thermal loading result not only from the thermal stability of the bearing material but also from the
viscosity-temperature relationship and the ageing tendency of the lubricant.
5.1.5 Outside influences
Calculation of correct functioning of plain bearings presupposes that the operating conditions are known for all
cases of continuous operation. In practice, however, additional disturbing influences frequently occur which are
unknown at the design stage and cannot always be computed. Therefore, the application of an appropriate safety
margin between the operational parameters and the permissible guide values is recommended. Disturbing
influences are, e.g.:
� spurious forces (out-of-balance, vibrations, etc.);
� deviations from the ideal geometry (machining tolerances, deviations during assembly, etc.);
� lubricants contaminated by solid, liquid and gaseous foreign matters;
� corrosion, electric erosion, etc.
Information as to further influence factors is given in 5.8.
The applicability of this part of ISO 12131 for which laminar flow in the lubrication clearance gap is a necessary
condition, is to be checked by the Reynolds' number:
���Uh
min
Re = u (2)
Re
cr
�
eff
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ISO 12131-1:2001(E)
Figure 2 — Scheme of calculation (flow chart)
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For wedge-shaped gaps with h /C = 0,8 a critical Reynolds' number of Re =600 canbeassumedas guide
cr
min wed
[4]
value according to .
Starting from the known bearing dimensions and operating data the plain bearing calculation comprises:
� the relationship between load carrying capacity and lubricant film thickness;
� the frictional power;
� the lubricant flow rate;
� the heat balance.
These shall be interdependent. The solution is obtained using an iterative method, the sequence of which is
summarized in the calculation flow chart in Figure 2.
For optimization of individual parameters, parameter variation can be performed; modification of the calculation
sequence is possible.
5.2 Load carrying capacity
The parameter for the load carrying capacity is the dimensionless characteristic value of load carrying capacity F*:
2
Fh�
min
*
= (3)
F
2
UL��� �B�Z
eff
Firstly, the minimum lubricant film thickness h as well as the effective viscosity � are still unknown in
min eff
equation (3). In order to avoid a double iteration via the minimum lubricant film thickness h and the effective
min
* [5]
bearing temperature T , the characteristic value of load carrying capacity F according to is modified as follows
eff
to be the characteristic value of load carrying capacity for the calculation of thrust pad bearings:
2
��
C
wed
**
= � (4)
FF
B
��
��
h
min
[6]
The function =fB(/ ; /)L is explained in ISO 12131-2 on the basis of the findings in . Approximate
F hC
B min wed
functions are also given there.
5.3 Frictional power
The losses due to friction in a hydrodynamic plain thrust bearing are given by the characteristic value of friction f *
which is defined as follows:
h
* min
f = � (5)
P
f
2
��� BL� �Z
U
eff
The characteristic value of friction f * is also modified as follows to be the characteristic value of friction for thrust
*
[5]
pad bearings f according to :
B
C
** wed
ff= � (6)
B
h
min
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ISO 12131-1:2001(E)
Thus the frictional power is calculated as follows:
2
��� BL� �Z
U
* eff
= f � (7)
P
f
B
C
wed
*
The characteristic value of friction for thrust pad bearings f can be taken from ISO 12131-2 as a function of the
B
film thickness ratio h /C and of the ratio B/L and with this, the frictional power loss P can be calculated.
min wed f
5.4 Lubricant flow rate
The lubricant fed to the bearing forms a solid lubricant film separating the sliding surfaces. At the same time, the
lubricant has the task to dissipate the frictional heat developing in the bearing. See Figure 3.
Key
1 Wedge surface
2 Supporting surface
Figure 3 — Schematic view of the lubricant balance and heat balance of one pad
Due to the rotational motion of the thrust collar, the lubricant is carried, with increasing pressure, in the direction of
the converging clearance gap. Thereby part of the lubricant is forced out at the sides of each pad. It is assumed
that the lateral portions approximately have the same size.
In Figure 3:
Q = Q + Q (8)
1 2 3
with
*
Q = Q � Q (9)
1 1 0
*
Q = Q � Q (10)
3 3 0
Q = Q – Q (11)
2 1 3
Q = B� h � U� Z (12)
min
0
* *
The relative values of Q = Q /Q and Q = Q /Q can be taken from ISO 12131-2 as a function of the geometry
1 1 0 3 3 0
(B/L and l /L = 0,75) and the arising relative lubricant film thickness h /C . Approximate functions are also
wed min wed
given there.
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SIST ISO 12131-1:2002
ISO 12131-1:2001(E)
It is assumed that the lubricant forced out at the sides of the pads, Q , has the temperature (T + T )/2 and the
3 1 2
lubricant forced out at the ends, Q , has the temperature T .
2 2
5.5 Heat balance
5.5.1 General
The thermal condition of the plain bearing results from the heat balance.
The heat flow P arising from the frictional power P in the bearing is dissipated via the bearing housing to the
th, f f
environment and via the lubricant emerging from the bearing. In practical applications, one of the two kinds of heat
dissipation is predominant. Additional safety is given to the design by neglecting the other kind of heat dissipation.
The following assumptions can be made.
a) With pressureless lubricated bearings (self-lubrication, natural cooling) heat dissipation to the environment
mostly takes place by convection:
P = P
f th, amb
b) With pressure-lubricated bearings (recirculating lubrication) heat dissipation mostly takes place via the
lubricant (recooling):
P = P
f th, L
5.5.2 Heat dissipation by convection
Heat dissipation by convection [5.5.1 a)] takes place by thermal conduction and lubricant recirculation in the
bearing housing and subsequently by radiation and convection from the surface of the housing to the environment.
[7]
According to the complex processes during the heat dissipation can be summarized as follows:
P = k � A� (T � T ) (13)
th, amb A B amb
with
2 2
k =15W/(m ����K) to 20 W/(m ����K)
A
or when the bearing housing is subjected to an air-flow at a velocity of w � 1,2 m/s
amb
=7 + 12 (14)
kw
A amb
2
where w is expressed in m/s and k in W/(m ����K).
amb A
NOTE Thereby, the factor k accounts for the thermal conduction in the bearing housing as well as for the convection and
A
radiation from the bearing housing to the environment. That part of the frictional heat arising in the bearing, which is dissipated via
the shaft, is neglected here due to its very small amount in most cases.
By equating P from equation (7) and P from equation (13) and with
f th, amb
kA�
A
k= (15)
BL��Z
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ISO 12131-1:2001(E)
the effective bearing temperature is obtained as follows
2
��
U
* eff
=+� (16)
f
TT
eff amb
B
k �
C
wed
In this case, the bearing temperature is
T = T (17)
B eff
If the heat-emitting surface A of the bearing housing is not known exactly, the following can be substituted as an
approximation:
for cylindrical housings
�
2
A��2 �DD�� B (18)
HHH
4
for bearings in the machine structure
A =(15to20)� B� L� Z (19)
where
B is the axial housing width, in metres;
H
D is the housing outside diameter, in metres.
H
5.5.3 Heat dissipation by recirculating lubrication
In case of recirculating lubrication, heat dissipation takes place via the lubricant [5.5.1 b)].
P =�� c � Q(T � T ) (20)
th, L p ex en
For mineral lubricants, the volume specific heat capacity amounts to
6 3
�� c = 1,8� 10 J/(m ����K)
p
Mixing processes in the lubrication recess.
Since a thrust pad bearing consists of a certain number of separate pads it is necessary to consider not only the
lubricant flow rate of one single pad but also the lubricant flow rate of the complete bearing and thus the mutual
influence of the lubricant flow rate. The lubricant forced out at the end of the pads Q (accordingtoFigure3) is
2
mixed with newly fed lubricant in the following oil recess, i.e. the lubricant temperature T at the inlet of the
1
lubrication clearance gap is higher by �T than that of the newly fed lubricant with temperature T (see Figure 4).
1 en
When determining the temperature difference
�T = T � T (21)
1 1 en
an empirical factor shall be introduced because a purely theoretical consideration of this mixing problem has not yet
led to satisfying results.
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ISO 12131-1:2001(E)
A mixing factor M can be introduced as follows in order to achieve conformity with the experience gathered up to
[5]
now (see ):
*
QQ
22
�TT� ��= ��T (22)
12 2
**
MQ��(1�M)� Q
M+��QQ(1M)�
3
3
for QW Q and Q*W Q* respectively.
3 3
Figure 4 — Graphical representation of the temperature distribution in the lubricant film
To explain the mixing factor we shall examine at the limiting values. A mixing factor M = 0 means that there is no
mixing in the lubrication recesses, i.e. the lubricant flow rate Q forced out of the lubrication clearance gaps
2
completely enters the following lubrication clearance gap. With this assumption a high lubricant flow rate Q would
be ineffective as the largest part of this newly fed lubricant would flow out of the lubrication recesses in a radial
direction without influencing the operational parameters. A mixing factor M=1 means “complete” mixing in the
lubrication precesses. 0,4 u Mu 0,6 can be introduced as an empirical value. It is a function of the design and
cannot be definitely indicated.
The total amount of lubricant to be fed to the thrust bearing can be determined from a given amount of heating
�T = T – T (23)
ex en
P
f *
Q= =QQ� (24)
0
��� �T
c
p
By experience the value for�T is chosen in the range of 10 K to 30 K.
With
�T = T � T (25)
2 2 1
itcanbewritten:
P = c ��� (Q + 0,5� Q )��T (26)
th, L p 2 3 2
The following relationship is the product of equations (24) and (26) for the temperature rise in the lubrication
clearance gap:
**
��TTQQ��
��== (27)
2
*** *
QQ+0,5��Q 0,5�Q
231 3
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ISO 12131-1:2001(E)
�T
*
1
with�T= the effective bearing temperature can be determined as follows:
�T
2
*
T = T +�T + 0,5��T = T + (�T +0,5)��T (28)
eff en 1 2 en 2
The bearing temperature is in this case
*
T = T = T +�T + �T = T +(�T +1)��T (29)
B 2 en 1 2 en 2
The permissibility of the values calculated for T and T in accordance with 5.5.1 and 5.5.2 shall be checked by
B 2
comparison with the guide values T in accordance with ISO 12131-3.
lim
5.6 Minimum lubricant film thickness and specific bearing load
After calculation of the thermal steady-state condition, the minim
...

NORME ISO
INTERNATIONALE 12131-1
Première édition
2001-04-15
Paliers lisses — Butées hydrodynamiques
à patins géométrie fixe fonctionnant en
régime stationnaire
Partie 1:
Calcul des butées à segments
Plain bearings — Hydrodynamic plain thrust pad bearings under
steady-state conditions
Part 1: Calculation of thrust pad bearings
Numéro de référence
ISO 12131-1:2001(F)
©
ISO 2001

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ISO 12131-1:2001(F)
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ISO 12131-1:2001(F)
Sommaire Page
Avant-propos.iv
1 Domaine d'application.1
2Références normatives .1
3 Principes fondamentaux, hypothèses et suppositions .2
4 Symboles et unités .3
5Méthode de calcul.6
5.1 Opérations de charge.6
5.2 Portance.8
5.3 Puissance de frottement .8
5.4 Débit de lubrifiant .9
5.5 Bilan thermique.10
5.6 Épaisseur minimale du film d'huile et charge spécifique du palier.13
5.7 Conditions de fonctionnement.13
5.8 Autres facteurs d'influence.14
Annexe A (normative) Exemples de calcul.15
Bibliographie .25
© ISO 2001 – Tous droits réservés iii

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ISO 12131-1:2001(F)
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux de
normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général confiéeaux
comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude aledroit de fairepartie ducomité
technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non gouvernementales, en
liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec la Commission
électrotechnique internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les Normes internationales sont rédigées conformément aux règles données dans les Directives ISO/CEI, Partie 3.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux comités membres pour
vote. Leur publication comme Normes internationales requiert l'approbation de 75 % au moins des comités
membres votants.
L’attention est appelée sur le fait que certains des éléments delaprésente partie de l’ISO 12131 peuvent faire
l’objet de droits de propriété intellectuelle ou de droits analogues. L’ISO ne saurait être tenue pour responsable de
ne pas avoir identifié de tels droits de propriété et averti de leur existence.
La Norme internationale ISO 12131-1 a étéélaborée par le comité technique ISO/TC 123, Paliers lisses, sous-
comité SC 4, Méthodes de calcul des paliers lisses.
L'ISO 12131 comprend les parties suivantes, présentées sous le titre général Paliers lisses — Butées
hydrodynamiques à patins géométrie fixe fonctionnant en régime stationnaire:
� Partie 1: Calcul des butées à segments
� Partie 2: Fonctions pour le calcul des butées à segments
� Partie 3: Paramètres opérationnels admissibles pour le calcul des butées à segments
L’annexe A constitue un élément normatif de la présentepartiedel’ISO 12131.
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NORME INTERNATIONALE ISO 12131-1:2001(F)
Paliers lisses — Butées hydrodynamiques à patins géométrie fixe
fonctionnant en régime stationnaire
Partie 1:
Calcul des butées à segments
1 Domaine d'application
L'objet de la présente partie de l’ISO 12131 est de réaliser des modèles de paliers lisses qui soient fiables en
fonctionnement par l'application d'une méthode de calcul pour les paliers lisses hydrodynamiques lubrifiés à l'huile
[1]
avec séparation complète du collet de butée et des surfaces du palier lisse par un film de lubrifiant .
La présente partie de l’ISO 12131 s'applique aux paliers de butée lisses à cale intégrée et surfaces d'appui, qui ont
un rapport de longueur de surface de cale l et de longueur de patin L quelconque. Elle traite de préférencedela
wed
[2]
valeur l /L = 0,75 dans la mesure où cette valeur représente le rapport optimum . Le rapport de la largeur et de
wed
la longueur d'un patin peut varier dans la plage B/L=0,5 à 2.
La méthode de calcul décritedanslaprésentepartiede l’ISO 12131 peut être utilisée pour d'autres formes de jeu
intégré, par exemple paliers de butée lissesavecdéflecteur intégré, lorsqu'il existe des solutions numériques de
l'équation différentielle de Reynolds pour ces types de formes.
La méthode de calcul permet de concevoir et d'optimiser les paliers de butée lisses, par exemple pour les
ventilateurs, groupes d'engrenages, pompes, turbines, machines électriques, compresseurs et machines-outils.
Elle se limite aux conditions de régime permanent, c'est-à-dire que la charge et la vitesse angulaire de toutes les
parties tournantes sont constantes dans des conditions de fonctionnement continu. Les conditions de
fonctionnement dynamique ne sont pas incluses.
2Références normatives
Les documents normatifs suivants contiennent des dispositions qui, par suite de la référence qui y est faite,
constituent des dispositions valables pour la présente partie de l'ISO 12131. Pour les références datées, les
amendements ultérieurs ou les révisions de ces publications ne s’appliquent pas. Toutefois, les parties prenantes
aux accords fondés sur la présente partie de l'ISO 12131 sont invitées à rechercher la possibilité d'appliquer les
éditions les plus récentes des documents normatifs indiqués ci-après. Pour les références non datées, la dernière
édition du document normatif en référence s’applique. Les membres de l'ISO et de la CEI possèdent le registre des
Normes internationales en vigueur.
ISO 3448:1992, Lubrifiants liquides industriels — Classification ISO selon la viscosité
ISO 12131-2:2001, Paliers lisses — Butées hydrodynamiques à patins géométrie fixe fonctionnant en régime
stationnaire — Partie 2: Fonctions pour le calcul des butées à segments
ISO 12131-3, Paliers lisses — Butées hydrodynamiques à patins géométrie fixe fonctionnant en régime
stationnaire — Partie 3: Paramètres opérationnels admissibles pour le calcul des butées à segments
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ISO 12131-1:2001(F)
3 Principes fondamentaux, hypothèses et suppositions
Le calcul est toujours effectué avec les solutions numériques de l'équation différentielle de Reynolds pour les
surfaces glissantes à largeur finie, en tenant compte des conditions aux limites physiquement correctes pour la
génération de la pression.
��pp� � �h
�� ��
33
hh�� 6���U� (1)
�� ��
�� ��
��xx �z �z �x
[1] [2]
Il est fait référence par exemple à pour la dérivation de l'équation différentielle de Reynolds et à pour la
solution numérique.
Pour la solution de l'équation (1), on utilise les hypothèses et suppositions idéales suivantes, dont la fiabilité est
[3]
suffisamment confirmée par l'expérience et la pratique :
a) le lubrifiant correspond à un fluide newtonien;
b) tous les écoulements de lubrifiant sont laminaires;
c) le lubrifiant adhère complètement aux surfaces de glissement;
d) le lubrifiant est incompressible;
e) le jeu de lubrification est entièrement rempli de lubrifiant;
f) les effets d'inertie, les forces de gravitation et magnétiques du lubrifiant sont négligeables;
g) les composants constituant le jeu de lubrification sont rigides ou leur déformation est négligeable; leurs
surfaces sont entièrement à niveau;
h) l'épaisseur du film d'huile dans le sens radial (coordonnée z) est constante;
i) les variations de pression du film d'huile perpendiculaire aux surfaces de glissement (coordonnée y) sont
négligeables;
j) absence de déplacement perpendiculairement aux surfaces de glissement (coordonnée y);
k) le lubrifiant est isovisqueux sur tout le jeu de lubrification;
l) le lubrifiant est injecté dans le jeu de lubrification le plus grand; la grandeur de la pression d'alimentation du
lubrifiant est négligeable par comparaison aux pressions du film d'huile;
m) la forme du patin des surfaces de glissement est remplacée par des rectangles.
Les conditions aux limites pour la résolution de l'équation différentielle de Reynolds sont les suivantes:
1) la pression au manomètre du lubrifiant au point d'alimentation est p(x=0, z)=0;
2) l'introduction du lubrifiant s'effectue de sorte qu'il n'interfère pas sur la génération de la pression dans le
jeu de lubrification
3) la pression au manomètre du lubrifiant au niveau des bords latéraux du palier lisse est p(x, z=0,5 B)=0;
4) la pression au manomètre du lubrifiant est p(x = L, z)=0 à l'extrémité du champ de pression.
L'application du principe de similarité dans la théorie des paliers lisses hydrodynamiques produit des paramètres
de similarité non dimensionnés pour des caractéristiques telles que la portance, le comportement au frottement et
le débit de lubrifiant.
2 © ISO 2001 – Tous droits réservés

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ISO 12131-1:2001(F)
L'utilisation des paramètres de similarité réduit le nombre de solutions numériques nécessaires de l'équation
différentielle de Reynolds, compilées dans l'ISO 12131-2. En principe, d'autres solutions sont également admises
lorsqu'elles satisfont les conditions données dans la présente partie de l’ISO 12131 et ont la précision numérique
correspondante.
L'ISO 12131-3 contient les valeurs indicatives selon lesquelles le résultat des calculs doit être orienté afin de
garantir le fonctionnement des paliers lisses.
Dans les cas particuliers, les valeurs indicatives qui s'écartent de l'ISO 12131-3 peuvent faire l'objet d'un accord
pour les applications spécifiques.
4 Symboles et unités
Voir Tableau 1 et Figure 1.
Tableau 1 — Symboles et unités
Symbole Terme Unité
2
A Surface émettrice de chaleur du corps du palier m
B Largeur d'un patin m
c .
Chaleur massique du lubrifiant (p = constante)
p
J/(kg K)
C
wed Profondeur de la cale m
D Diamètre moyen de glissement (diamètredelabaguedupalierdebutée) m
D
Diamètre intérieur de la bague du palier de butéem
i
D
Diamètre extérieur de la bague du palier de butéem
o
f * Valeur caractéristique de frottement 1
f *
Valeur caractéristique de frottement du palier de butée à patin 1
B
F Force du palier (charge nominale) N
F* Valeur caractéristique de la portance 1
F *
Valeur caractéristique de la portance du palier de butée à patin 1
B
F
Force du palier (charge) dans des conditions de régime stationnaire N
st
h
Épaisseur locale du film d'huile (hauteur de jeu) m
h
Épaisseur minimale admissible du film d'huile en cours de fonctionnement m
lim
h
Épaisseur minimale admissible du film d'huile dans la transition vers une lubrification mixte m
lim, tr
h
Épaisseur minimale du film d'huile (hauteur minimale de jeu) m
min
k Coefficient de transmission thermique lié au produit B � L � Z 2.
W/(m K)
k
2.
A Coefficient de transmission thermique externe (surface de référence A)
W/(m K)
l
Longueur de la cale m
wed
L
Longueur d'un patin dans le sens périphérique m
M Facteur de mélange 1
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ISO 12131-1:2001(F)
Tableau 1 — (Suite)
Symbole Terme Unité
� 1
N Fréquence de rotation (vitesse) du collet de butée
s
p Pression locale du film d'huile Pa
p Charge spécifique du palier p = F/(B � L � Z) Pa
P
Puissance de frottement sur le palier ou flux thermique engendré par celle-ci W
f
p Charge spécifique maximale admissible du palier Pa
lim
P
th, amb Flux thermique dans l'environnement W
P
Flux thermique dans le lubrifiant W
th, L
3
Q Débit de lubrifiant m /s
3
Q* Valeur caractéristique du débit de lubrifiant m /s
3
Q
m /s
0 Débit relatif de lubrifiantQB��h �U�Z
0min
3
Q
Débit de lubrifiant à l'entrée du jeu (sens périphérique) m /s
1
Q*
Valeur caractéristique du débit de lubrifiant à l'entréedu jeu 1
1
3
Q
Débit de lubrifiant à la sortie du jeu (sens périphérique) m /s
2
**
Q*
1
2
Valeur caractéristique du débit de lubrifiantQQ– à la sortie du jeu
13
3
Q
Débit de lubrifiant sur les côtés (perpendiculaire au sens périphérique) m /s
3
Q*
Valeur caractéristique du débit de lubrifiant sur les côtés1
3
Re Nombre de Reynolds 1
Rz Hauteur de la rugosité moyenne crête-à-creux du collet de butée �m
T
Température ambiante °C
amb
T
Température du palier °C
B
T
Température effective du film d'huile °C
eff
T
en Température du lubrifiant à l'entréedupalier °C
T
Température du lubrifiant à la sortie du palier °C
ex
T
Température maximale admissible du palier °C
lim
T
1 Température du lubrifiant à l'entréedujeu °C
T
Température du lubrifiant à la sortie de jeu °C
2
U Vitesse de glissement par rapport au diamètre moyen de la bague du palier m/s
w
Vitesse de l'air environnant le corps du palier m/s
amb
x Coordonnée dans le sens du mouvement (sens périphérique) m
y Coordonnée dans le sens du jeu de lubrification (sens axial) m
z Coordonnée perpendiculaire au sens du mouvement (sens radial) m
Z
Nombre de patins 1
�
Viscosité dynamique du lubrifiant Pa�s
� Viscosité dynamique effective du lubrifiant Pa�s
eff
3
�
Masse volumique du lubrifiant kg/m
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ISO 12131-1:2001(F)
Légende
1 Surface de la cale
2 Collet de butée
3 Surface d'appui
4 Rainure de lubrification
5 Bague de palier de butée
Figure 1 — Représentation schématique d'un palier de butée à patin (palier à cale intégrée
et surfaces d'appui)
© ISO 2001 – Tous droits réservés 5

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ISO 12131-1:2001(F)
5Méthode de calcul
5.1 Opérations de charge
5.1.1 Généralités
Le calcul signifie la détermination mathématique du bon fonctionnement à l'aide des paramètres de fonctionnement
(voir Figure 2) qui peuvent être comparés aux valeurs indicatives. De ce fait, l'utilisation des paramètres de
fonctionnement déterminés dans des conditions de fonctionnement variables doit être admise par comparaison aux
valeurs indicatives. À cet effet, toutes les conditions de fonctionnement continu doivent être analysées.
5.1.2 Usure
La sécurité contre l'usure est obtenue si le lubrifiant assure une séparation complète des parties conjuguées du
palier. Un fonctionnement continu dans la plage de lubrification mixte entraîne une perte prématuréede
fonctionnement. Un fonctionnement de courte durée dans la plage de lubrification mixte tel que le démarrage et le
ralentissement de machines à paliers lisses, est inévitable et peut entraîner un endommagement du palier aprèsde
fréquentes utilisations. Lorsqu'il est soumis à une lourde charge, un dispositif hydrostatique auxiliaire peut s'avérer
nécessaire pour un démarrage ou une décélération à faible vitesse. Le rodage et une usure adaptative pour
compenser les écarts géométriques de surface par rapport à une géométrie idéale sont admis dans la mesure où
ils sont limités dans le temps et dans l'espace et se produisent sans effets de surcharge. Dans certains cas, une
procédure spécifique de rodage peut être bénéfique. Ceci peut également être influencé par la sélection du
matériau. Il convient d'attirer l'attention sur le fait que dans le cas de ce type de palier, l'usure peut entraîner une
chute rapide de la portance.
5.1.3 Charge mécanique
Les limites de la charge mécanique sont données par la résistance du matériau pour palier. Les déformations
légères permanentes sont admises dans la mesure où elles n'altèrent pas le bon fonctionnement du palier lisse.
5.1.4 Charge thermique
Les limites de la charge thermique sont dues à la stabilité thermique du matériau pour palier mais également à la
relation viscosité-température ainsi qu'à la tendance au vieillissement du lubrifiant.
5.1.5 Influences extérieures
Le calcul du bon fonctionnement des paliers lisses présuppose de connaître les conditions de fonctionnement pour
tous les cas de fonctionnement continu. Toutefois, dans la pratique, d'autres influences perturbatrices, qui ne sont
pas connues au moment de la conception, et qui ne peuvent pas toujours être calculées,sontfréquentes. Par
conséquent, l'application d'une marge de sécurité appropriée entre les paramètres de fonctionnement et les
valeurs indicatives admissibles est recommandée. Les influences perturbatrices sont, par exemple:
� les forces parasites (balourd, vibrations, etc.);
� les écarts par rapport à une géométrie idéale (tolérances d'usinage, écarts lors du montage, etc.);
� les lubrifiants contaminés par des corps étrangers solides, liquides et gazeux;
� la corrosion, l'érosion électrique, etc.
Les informations telles que celles relatives à d'autres facteurs d'influence sont données en 5.8.
6 © ISO 2001 – Tous droits réservés

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ISO 12131-1:2001(F)
Figure 2 — Plan de calcul (organigramme)
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ISO 12131-1:2001(F)
L'applicabilité de la présente partie de l’ISO 12131 pour laquelle l'écoulement laminaire dans le jeu de lubrification
est une condition nécessaire, doit être vérifiée par le nombre de Reynolds:
���Uh
min
Re = u (2)
Re
cr
�
eff
Pour les jeux à coin avec h /C = 0,8, un nombre de Reynolds critique de Re = 600 peut être pris comme
min wed cr
[4]
valeur indicative selon .
Le calcul du palier lisse comprend, en commençant par les dimensions du palier et les données de fonctionnement
connues:
� la relation entre la portance et l'épaisseur du film d'huile;
� la puissance de frottement;
� le débit de lubrifiant;
� le bilan thermique.
Tous ces éléments sont interdépendants. On obtient la solution en utilisant une méthode par itération, dont la
séquence est résumée dans l'organigramme de calcul de la Figure 2.
Pour l'optimisation des paramètres individuels, on peut varier les paramètres et il est possible de modifier la
séquence de calcul.
5.2 Portance
Le paramètre de portance est la valeur caractéristique non dimensionnéedelaportance F*:
2
Fh�
min
*
= (3)
F
2
UL��� �B�Z
eff
La valeur de l'épaisseur minimale du film d'huile h ainsi que celle de la viscosité effective � ne sont pas
min eff
connues dans l'équation (3). Pour éviter toute double itération par l'épaisseur minimale du film d'huile h et la
min
[5]
température effective du palier T , la valeur caractéristique de la portance F* selon est modifiéedela manière
eff
suivante afin d'êtrelavaleurcaractéristique de la portance pour le calcul des paliers de butée à patin:
2
��
C
wed
**
= � (4)
FF
B
��
��h
min
*
[6]
La fonction =(fB/ ; /L) est expliquée sur la base de dans l'ISO 12131-2. Les fonctions
F hC
B min wed
approchées y sont également données.
5.3 Puissance de frottement
Les pertes dues au frottement sur un palier de butée lisse hydrodynamique sont données par la valeur
*
caractéristique de frottement f définiede lamanière suivante:
h
*
min
f =P � (5)
f
2
��BL� �Z
�
U
eff
*
La valeur caractéristique de frottement f est également modifiée delamanière suivante afin d'être la valeur
*
[5]
caractéristique de frottement pour les paliers de butée à patin selon .
f
B
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ISO 12131-1:2001(F)
C
**
wed
ff= � (6)
B
h
min
Ainsi, la puissance de frottement est calculéedelamanière suivante:
2
��� BL� �Z
U
* eff
= � (7)
f
P
f
B
C
wed
*
La valeur caractéristique de frottement pour les paliers de butée à patin peut être celle donnéedans
f
B
l'ISO 12131-2 en fonction du rapport d'épaisseur du film h /C et du rapport B/L, et ainsi la perte de puissance
min wed
de frottement P peut être calculée.
f
5.4 Débit de lubrifiant
Le lubrifiant injecté dans le palier forme un film d'huile solide séparant les surfaces de glissement. En même temps,
le lubrifiant doit dissiper la chaleur de frottement qui se développe dans le palier. Voir Figure 3.
Légende
1 Surface de la cale
2 Surface d'appui
Figure 3 — Représentation schématique de l'équilibre du lubrifiant et du bilan thermique d'un patin
En raison du mouvement de rotation du collet de butée, le lubrifiant est dirigé, avec augmentation de la pression,
vers le jeu convergent. Ainsi, une partie du lubrifiant est expulsée dechaquecôté des patins. On suppose que les
parties latérales ont approximativement la même dimension.
À la Figure 3:
QQQ�� (8)
12 3
avec
*
QQ��Q (9)
11 0
*
(10)
QQ��Q
33 0
QQ��Q (11)
21 3
QB��h �U�Z (12)
0min
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ISO 12131-1:2001(F)
* *
Les valeurs relatives de Q = Q /Q et Q = Q / Q peuvent être celles données dans l'ISO 12131-2 en fonction
1 1 0 3 3 0
de la géométrie (B/L et l /L = 0,75) et de l'épaisseur relative toujours plus grande du film d'huile h /C .Les
wed min wed
fonctions approchées y sont également données.
Il est supposé que le lubrifiant expulsé de chaque côté des patins, Q ,a la température (T + T )/2 et que le
3 1 2
lubrifiant expulsé aux extrémités, Q ,alatempérature T .
2 2
5.5 Bilan thermique
5.5.1 Généralités
L'état thermique du palier lisse découle du bilan thermique.
Le flux thermique P dûà la puissance de frottement P sur le palier est dissipé dans l'environnement par
th, f f
l'intermédiaire du corps de palier et par le lubrifiant provenant du palier. Dans les applications pratiques, l'un des
deux types de dissipation thermique est prédominant. Une sécurité supplémentaire est garantie pour la conception,
en ne tenant pas compte de l'autre type de dissipation thermique. Les hypothèses suivantes peuvent être émises:
a) avec les paliers lubrifiés sans pression (autolubrification, refroidissement naturel) la dissipation thermique dans
l'environnement se produit la plupart du temps par convection:
P = P
f th, amb
b) avec les paliers lubrifiés sous pression (lubrification par recirculation), la dissipation thermique se produit la
plupart du temps par le lubrifiant (nouveau refroidissement):
P = P
f th, L
5.5.2 Dissipation thermique par convection
La dissipation thermique par convection [5.5.1 a)] se produit par conduction thermique et recirculation du lubrifiant
dans le corps du palier, puis par rayonnement et convection à partir de la surface du logement vers
[7]
l'environnement. Selon , les processus complexes intervenant au cours de la dissipation thermique peuvent être
résumés delamanière suivante:
P = k � A � (T � T ) (13)
th, amb A B amb
avec
2 2
k =15W/(m ��K) à 20 W/(m ��K)
�� ��
A
ou lorsque le corps du palier est soumis à un débit d'air à une vitesse de w � 1,2 m/s
amb
k =7 +12 w (14)
A amb
2
où w est exprimé en m/s et k en W/(m ����K).
amb A
NOTE Ainsi, le facteur k tient compte de la conduction thermique dans le corps du palier ainsi que de la convection et du
A
rayonnement du corps du palier dans l'environnement. Cette partie de la chaleur de frottement dans le palier, qui est dissipée
par l'intermédiaire de l'arbre, est négligée dans ce cas en raison de son très faible volume dans la plupart des cas.
En égalisant P de l'équation (7) et P de l'équation (13) et avec
f th, amb
kA�
A
k= (15)
BL��Z
10 © ISO 2001 – Tous droits réservés

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ISO 12131-1:2001(F)
on obtient la température effective du palier
2
��
U
* eff
=+f � (16)
TT
eff amb
B
kC�
wed
Dans ce cas, la température du palier est la suivante:
T = T (17)
B eff
Si la surface émettrice de chaleur A du corps du palier n'est pas connue de manière précise, la formule suivante
peut être substituée comme calcul approché:
pour les logements cylindriques:
�
2
A��2 �DD�� B (18)
HHH
4
pour les paliers dans la structure de la machine
A =(15 à 20) � B � L � Z (19)
où
B est la largeur axiale du logement, en mètres;
H
D est le diamètre extérieur du logement, en mètres.
H
5.5.3 Dissipation thermique par recirculation de lubrification
Dans le cas de la lubrification par recirculation, la dissipation thermique se produit par l'intermédiaire du lubrifiant
[5.5.1 b)].
P =�� c � Q(T � T ) (20)
th, L p ex en
Pour les lubrifiants minéraux, la chaleur massique en volume équivaut à
6 3.
�� c = 1,8 � 10 J/(m K)
p
Processus de mélange dans la retraite de lubrification.
Dans la mesure où un palier de butée à patin comprend un certain nombre de patins séparés, il s'avère nécessaire
de prendre en compte le débit de lubrifiant d'un seul patin ainsi que le débit de lubrifiant du palier complet, et donc
l'influence mutuelle du débit de lubrifiant. Le lubrifiant expulséà l'extrémité des patins Q (selon la Figure 3) est
2
mélangéà un lubrifiant récemment injecté dans la retraite d'huile suivante, c'est-à-dire que la température du
lubrifiant T à l'entrée du jeu de lubrification est supérieuredelavaleur �T à la température du lubrifiant
1 1
récemment injecté avec la température T (voir Figure 4).
en
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Figure 4 — Représentation schématique de la répartition de la température dans le film d'huile
Pour déterminer la différence de température
�T = T � T (21)
1 1 en
un facteur empirique doit être introduit dans la mesure où une considération purement théorique du mélange n'a
pas encore produit de résultats satisfaisants.
Le facteur de mélange M peut être introduit de la manière suivante afin d'être en conformité avec l'expérience
[5]
acquise jusqu'à présent (voir ):
*
QQ
22
��T= �T = ��T (22)
12 2
**
MQ��+��1 M� Q
M+��QQ�1M ��
3
3
* *
pour QW Q et Q W Q respectivement.
3 3
Pour expliquer le facteur de mélange, regardons les valeurs limites. Un facteur de mélange M = 0 signifie qu'il ne
se produit aucun mélange dans les retraites de lubrification, c'est-à-dire que le débit de lubrifiant Q expulsé des
2
jeux de lubrification pénètre entièrement dans le jeu de lubrification suivant. Avec cette hypothèse, un débit de
lubrifiant élevé Q serait inefficace dans la mesure où la plus grande partie de ce lubrifiant nouvellement injecté
s'écoulerait hors des retraites de lubrification dans le sens radial sans exercer aucune influence sur les paramètres
de fonctionnement. Un facteur de mélange M = 1 signifie une lubrification «complète» dans les retraites de
lubrification. Un facteur 0,4 u Mu 0,6 peut être introduit comme valeur empirique. Il est fonction du modèle en
présence et ne peut être indiqué de manière certaine.
La quantité totale de lubrifiant devant être injectée dans le palier de butéepeut être déterminée à partir d'une
qu
...