ISO 10928:1997
(Main)Plastics piping systems — Glass-reinforced thermosetting plastics (GRP) pipes and fittings — Methods for regression analysis and their use
Plastics piping systems — Glass-reinforced thermosetting plastics (GRP) pipes and fittings — Methods for regression analysis and their use
Systèmes de canalisation en matières plastiques — Tubes et raccords plastiques thermodurcissables renforcés de verre (PRV) — Méthodes pour une analyse de régression et leurs utilisations
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INTERNATIONAL IS0
STANDARD
10928
First edition
1997-08-01
Plastics piping systems - Glass-reinforced
thermosetting plastics (GRP) pipes and
fittings -
Methods for regression analysis
and their use
Syst&mes de canalisation en mat&es plastiques - Tubes et raccords
plastiques thermodurcissables renforcks de verre (PRV) - M&hodes pour
une analyse de kgression et leurs utilisations
Referetice number
IS0 10928:1997(E)
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IS0 10928: 1997(E)
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Contents
1
1 Scope
2 Principle 1
1
3 Procedures for determining the functional relationships
1
3.1 Linear relationships - Methods A and B
12
3.2 Second order polynomial relationships - Method C
16
4 Application of methods to product design and testing
16
4.1 General
17
4.2 Design
4.3 Examples for validation of calculation procedures
22
for design
4.4 Procedures for verifying conformance to product design
27
and performance values
4.5 Examples for validation of calculation procedures for
32
design or product performance verification
Annex A Mathematical procedures 37
37
A.1 Matrix system
A.2 38
Substitution system
0 IS0 1997
All rights reserved. Unless otherwise specified, no part of this publication may be reproduced
or utilized in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying and
microfilm, without permission in writing from the publisher.
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Internet central @ iso.ch
x.400 c=ch; a=400net; p=iso; o=isocs; s=central
Printed in Switzerland
ii
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@ IS0
IS0 10928:1997(E)
Foreword
IS0 (the International Organization for Standardization) is a worldwide
federation of national standards bodies (IS0 member bodies). The work of
preparing International Standards is normally carried out through IS0
technical committees. Each member body interested in a subject for which a
technical committee has been established has the right to be represented on
International
that committee. organizations, governmental and non-
governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. IS0
collaborates closely with the International Electrotechnical Commission
(IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
Standards adopted by the technical committees are
Draft International
circulated to the member bodies for voting. Publication as an International
Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting a
vote.
Standard IS0
International 10928 was prepared by Technical Committee
ISO/TC 138, Plastics pipes, fittings and valves for the transport of
fluids, Subcommittee SC 6, Reinforced plastics pipes and fittings for all
applications.
This International Standard is technically identical to EN 705:1994.
Annex A of this International Standard is for information only.
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ISOlO928:1997(E) @ IS0
Introduction
This standard has been prepared to describe the procedures intended for
analysing the regression of test data, usually with respect to time, and
the use of the results in design and assessment of conformity with
performance requirements. Its applicability has been limited to use with
data obtained from tests carried out on samples. The referring standards
require estimates to be made of the long-term properties of the pipe for
such parameters as circumferential tensile strength, deflection and creep.
The committee investigated a range of statistical techniques that could be
used to analyse the test data produced by tests that were destructive. Many
of these simple techniques required the logarithms of the data to
a> be normally distributed;
produce a regression line having a negative slope; and
b)
c) have a sufficiently high regression correlation (see table 1).
Whilst the last two conditions can be satisfied, analysis has shown that
there is a skew to the distribution and hence this primary condition is not
satisfied. Further investigation into techniques that can handle skewed
distributions resulted in the adoption of the covariance method for
analysis of such data for this standard.
The results from non-destructive tests, such as creep or changes in
deflection with time, often satisfy these three conditions and hence
using time as the independent variable, can also be
simpler procedures,
used in accordance with this standard.
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IS0 10928: 1997(E)
Plastics piping systems - Glass-reinforced
thermosetting plastics (GRP) pipes and fittings -
Methods for regression analysis and their use
1 Scope
This standard specifies procedures suitable for the analysis of data which,
when converted into logarithms of the values, have either a normal or a
skewed distribution. It is intended for use with the test methods and
referring standards for glass-reinforced plastics pipes or fittings for the
analysis of properties as a function of, usually, time. However it can be
used for the analysis of any other data.
For use depending upon the nature of the data, three methods are specified.
The extrapolation using these techniques typically extends the trend from
data gathered over a period of approximately 10000 h, to a prediction of
the property at 50 years.
2 Principle
Data are analysed for regression using methods based on least squares
analysis which can accommodate the incidence of a skew and/or a normal
distribution and the applicability of a first order or a second order
polynomial relationship.
The three methods of analysis used comprise the following:
- method A: covariance using a first order relationship;
- method B: least squares with time as the independent variable using
a first order relationship;
- method C: least squares with time as the independent variable using
a second order relationship.
The methods include statistical tests for the correlation of the data and
the suitability for extrapolation.
3 Procedures for determining the functional relationships
3.1 Linear relationships - Methods A and B
3.1.1 Procedures common to methods A and B
Use method A (see 3.1.2) or method B (see 3.1.3) to fit a straight line of
the form
a+bxx . . . (1)
Y=
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where:
is the logarithm (lg) of the property being investigated;
Y
a is the intercept on the y axis;
b is the slope;
x is the logarithm (lg) of the time, in hours.
3.1.2 Method A - Covariance method
3.1.2.1 General
For method A calculate the following variables in accordance with 3.1.2.2
to 3.1.2.5:
C(yi - Yj2
. . . (2)
Qy =
n
C(Xi - X)2
. . . (3)
Q x =
n
C{ (Xi - X) X (yi - Y> }
. . .
(4)
Q
xy =
n
where:
is the sum of the squared residuals parallel to the y axis
QY
divided by n;
is the sum of the squared residuals parallel to the x axis
Q X
divided by n;
is the sum of the squared residuals perpendicular to the line,
Q
XY
divided by n;
Y is the arithmetic mean of the y data, i.e.
CYi
y=-
;
n
X is the arithmetic mean of the x data, i.e.
CXi
x=-
;
n
are individual values;
Xi/ Yi
n is the total number of results (pairs of readings for xi, vi).
2
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IS0 10928:1997(E)
is greater than zero the slope of the line is positive and
NOTE : If the value of Qxy
if the value of Qxy is less than zero then the slope is negative.
3.1.2.2 Suitability of data
Calculate the squared, r2, and the linear coefficient of correlation, r,
using the following equations:
Q
XY
=
r2 . . .
(5)
Q
X
x QY
r = . . .
1 (r2) Of5 1 6)
If the value of r2 or r is less than the applicable minimum value given in
table 1 as a function of n, consider the data unsuitable for analysis.
Table 1: Minimum values for the squared, r2, and linear
coefficient of correlation, r, for acceptable
data from n pairs of data
I
Min'mum values Mi imum values
3 Y
r r r r
(n - 2) (n - 2)
I /I I
I II I
0,6177 1
11 0,6416 / 0,801O II 23 0,3816
I
12 0,6084 ' 0,780O 0,3689 0,6074 -
I
13 0,5781 0,7603 II 24 25 0,3569 0,5974
I
14 0,5506 1 0,742O II 30 0,307o 0,5541 1
I
I II I
15 0,525O 0,7246 II 40 35 0,2693 0,5189 1
I
16 0,5018 0,7084 0,2397 0,4896 1
I
17 0,4805 0,6932 II 45 0,216O 0,4648 1
I
0,6787
18 0,4606 II 50 0,1965 0,4433 1
I
I
0,6652 II 60 0,1663
19 0,4425 0,4078 1
20 0,4256 0,6524 II 70 OJ443 0,3799 1
I
II 80 0,1273
21 0,4099 0,6402 ~ 0,3568 1
I
22 0,3953 0,6287 II 90 0,1139 0,3375
II 100 0,103l / 0,3211 1
I
NOTE : In table 1 and elsewhere in this tandard, the
5
equations and corresponding values for r and r are
2
iven, for convenience of use in conjunction with
I
I 9
I reference data published elsewhere in terms of only r
I
or r.
I I
3.1.2.3 Functional relationships
To find a and b for the functional relationship line
. . .
a+bxx (1)
Y=
3
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first set
QY
r=-
. . . (7,
Q X
then calculate a and b using the following equations:
b = -(r)of5
. . .
(8)
a=Y-bxX . . . i9j
3.1.2.4 Calculation of variances
If tU is the applicable time to failure, then set
= lg tu . . .
XU (10)
Using equations (ll), (12) and (13) respectively, calculate for i = 1 to n
the following sequence of statistics:
-
the best fit xi' for true xi;
- the best fit yi' for true yi; and
- the error variance, ag2 for x.
r X Xi + b x (yi - a)
I
=
0 . .
(11)
Xi
2xr
I
= a + b X Xi’ . . .
(12)
Yi
+ r X C(Xi - Xi')"}
(c(Yi - yi'j2
ag2 = . . .
(13)
2) x r
(n -
Calculate the following quantities:
b x 06~
E= . . .
(14)
2 x Qxy
2x rxbx 062
D= . . .
(15)
n x Qxy
Calculate the variance C of the slope b using the following equation:
C= Dx (l+E) . . .
(16)
3.1.2.5 Check for the suitability of data for extrapolation
If it is intended to extrapolate the line, calculate T using the following
equation:
---------------------- Page: 8 ----------------------
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b b
T= . . .
(17)
(variance of b)Ot5 = Cot5
If the absolute value ITI (i.e. ignoring signs) of T is equal to or greater
than the applicable value for Student's t, tv, shown in table 2 for (n - 2)
dearees of freedom then consider the data suitable for extraDolation.
-I
L
Table 2: Percentage points of Student's t distribution
(upper 2,s % points; two sided 5 % level of
confidence; t, for 97,s %)
// Student's/ Degree TFizzqDegree
of t value II of t value II of t value 11
II
11 freedom II freedom II freedom
(n - 2) (n - 2) b - a
57 h7 tv ii
II
II
II
II
12,7062 11 36 2,0281 [I 71 1,9939 11
4,3027 11 37 2,0262 11 72 1,9935 II
3,1824 38 2,0244
73 1,993o
2,7764 39 2,0227 74 1,9925
II II II
2,5706 11 40 2,021l 11 75 1,992l [I
._
II II II
41
6 2,4469 2,0195 76 1,9917 --
7 2,3646 42 2,0181 77 1,9913
/I II II
8
2,306O 11 43 2,0167 11 78 1,9908 11
9 2,2622 11 44 2,0154 11 79 I,9905 ii
2,2281
10 45 2,014l 80 1,990l
/I II II
11 2,201o 11
46 2,0129 II 81 1,9897
II
12 2,1788 11 47 2,0112 II 82 1,9893
II
13 2,1604 48 2,0106 1 83 1,989O
I
14 2,1448 49 2,0096 1 84 1,9886
/I
II
15 2,1315 11
50 2,0086 11 85 1,9883
II
II II
II
16 2,1199 51 2,0076 86 1,9879 11
17 2,1098 52 2,0066 87
1,9876 11
I/
II
18 2,1009 II 53
2,0057 11 88 1,9873
19 2,093o 11 54 2,0049 11 89 1,987O
20 2,086O 55 2,004O 90 1,9867
/I /I
21 2,0796 11 56 2,0032 11 91 1,9864
22 2,0739 11 57 2,0025 11
92 1,986l
23 2,0687 58 2,0017 93 1,9858
24 59 2,OOlO
2,0639 94 1,9855
II II
25 2,0595 11 60 2,0003 11 95 1,9853
II II
26 2,0555 61 1,9996 96 1,985O
27 2,0518 62 1,999o 97 1,9847
II II
28 2,0484 11 63 1,9983 11 98 1,9845
2,0452 11 64 1,9977 II 99 1,9842
29
30 2,0423 65 1,997l 100 1,984O 1
II I
I/
31 2,0395 11 66 1,9966 11
32 2,0369 11 67 1,996O 11
33 2,0345 68 1,9955
34 2,0322 69 1,9949
II II
35 2,0301 11 70 1,9944 11
I __
__
I
I’
5
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IS0 10928: 1997(E) @ wso
3.1.2.6 Validation of statistical procedures by an example calculation
The data given in table 3 together with the results given in this example
are for use to verify that the other statistical procedures as adopted by
users will produce results similar to those obtained from the equations
For the purposes of example, the property in
given in this standard.
question is represented by V, the values for which are of a typical
Because of rounding errors, it is
magnitude and in no particular units.
unlikely that the results will agree exactly, so for the calculation
procedure to be acceptable, the results obtained for r, r2, b, a, and the
shall agree to within rf: 0,l % of the values given in
mean value of V, I&,
this example, as applicable. The values of other statistics are provided to
assist checking of the procedure.
6
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IS0 10928: 1997(E)
Table 3: Basic data for example calculation
and statistical analysis validation
I I
I I
I 4 v
(lg t?me)
I
I
h (time in h)
I 1 1 30,8 1 1,4886 1 5184 3,7147
3,3483
3,3464
4,0913
I I
I I
4,0374
4,0913
4,0382
3,9494
3,6204
3,9494
2,9435
1 12 1 32,9 1 1,5172 1 4110 3,6138
1 13 / 32,9 j 1,5172 / 1301 3,1143
1 14 1 32,9 1 1,5172 1 3816 3,5816
1 15 1 32,9 ] 1,5172 1 669 2,8254
/ 16 j 33,6 / 1,5263 / 1430 3,1553
17 1 33,6 1 1,5263 1 2103 3,3228
18 1 33,6 1 1,5263 1
589 2,7701
3,233O
;z ) z',:: 1 ;~z~ 1 z;:
3,1136
I I I
21 I 35,0 I 1,544l I 272
2,4346
2,6493
;z / z:: 1 GWEN / :::
2,6684
24 1 35,0 1 1,5441 1 684 2,8351
2,017O
~ ;; / g:; / ;2;; / :4""2
2,1523
204 2,3096
/ 28 1 3614 1 115611 1 209 2,3201
1 29 / 38,5 1 1,5855 /
9 0,9542
1 30 1 38,5 1 1,5855 1 1,1139
13
131138,511,58551 17
1,2304
132138,511,58551 17 1,2304
1 Means: Y = 1,530l; X= 2,9305
Sums of squares
=
0,79812;
Q x
0,00088;
Qy =
-0,02484.
Q xy =
7
---------------------- Page: 11 ----------------------
@ IS0
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Coefficient of correlation
=
r2 0,87999;
=
r 0,93808.
Functional relationships
=
r 0,00110;
b = -0,03317;
=
a 1,62731.
Calculated variances (see 3.1.2.4)
E = 3,5202 x 10-2;
D = 4,8422 x W6;
50127 x 10e6 (the variance of b);
c =
cqj2 = 5,271l x 10B2 (the error variance for x) .
Check of the suitability for extrapolation (see 3.1.2.5)
=
n 32;
tv = 2,0423;
T = -0,03317/(5,0127 x 10-6)of5 = -148167;
T = 14,8167 > 2,0423.
I I
The estimated mean values for V at various times are given in table 4 and
shown in figure 1.
Estimated mean values,
Table 4:
V mf for V
time
vm
h
I
I I
OJ 45,76
LO 42,39
I l&O 1 39,28 I
100,o I 36,39
I
I
1000 33,71
10000 31,23
I 100000 I 28,94 I
I 438000 I 27,55 I
---------------------- Page: 12 ----------------------
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IS0 10928: 1997(E)
Values-
27,55
I
25 I
I I I I I
IO-' IO0 IO'
IO2 IO3 IO4 IO5 IO6
Time [hl
Figure 1: Regression line from the results in table 4
3.1.3 Method B - Regression with time as the independent variable
3.1.3.1 General
For method B calculate the following variables:
= C(yi - Y)2
. . . (18)
SY
(The sum of the squared residuals parallel to the y axis)
= C(Xi - X)2
SX . . .
(19)
(The sum of the squared residuals parallel to the x axis)
S c( (Xi - X> x (yi - Y> } . . .
xy = (20)
(The sum of the squared residuals perpendicular to the line)
where:
Y is the arithmetic mean of the y data, i.e.
Wi
y=-
;
n
9
---------------------- Page: 13 ----------------------
IS0 10928:1997(E) @ IS0
is the arithmetic mean of the x data, i.e.
CXi
x=-
;
n
are individual values;
xi/ Yi
n is the total number of results (pairs of readings for xi, yi).
NOTE : If the value of Sxy is greater than zero the slope of the line is positive and
if the value of Sxy is less than zero then the slope is negative.
3.1.3.2 Suitability of data
Calculate the squared, r2, and the linear coefficient of correlation, r,
using the following equations:
s 2
XY
=
r2 . * . (21)
sx x sy
r = (r2)Of5 . . . (22)
I I
If the value of r2, or r,
is less than the applicable minimum value given
in table 1 as a function of n, consider the data unsuitable for analysis.
3.1.3.3 Functional relationships
Calculate a and b for the functional relationship line [see equation (I)],
using the following equations:
S
b=?
. . . (23)
SX
a=Y-bxX . . .
(24)
3.1.3.4 Check for the suitability of data for extrapolation
calculate M using the following
If it is intended to extrapolate the line,
equation:
S2 t2 X x x sy - s,y2)
(S
V
Jf=X-
. . .
(25)
2) x sy2
s 2 (n -
XY
where:
tV is the applicable value for Student's t determined from table 2.
If M is equal to or less than zero consider the data unsuitable for
extrapolation.
10
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IS0 10928:1997(E)
3.1.3.5 Validation of statistical procedures by an example calculation
Use the data given in table 5 for the calculation procedures described
in 3.1.3.2 to 3.1.3.4 to ensure that the statistical procedures to be used
in conjunction with this method will give results for r, r2, a, b and Vm to
within + 0,l % of the values given in this example.
Table 5: Basic data for example calculation and
statistical validation
I I I
I i- I
Y
n Time V
(IgXt, (lg v>
I I
h
1 (tinh) 1
I I I I
I I I I I I
3,8521
1 OJO -l,oooo 7114
2 0,27 -0,5686 6935 3,841O
I I
1
I 3 I 0150 1 -0,301o 1 6824 1 3,8341
I 0 I 6698 1 3,8259 1
I 4 I l,oo
I 5 I 3,28 0,5159 6533 3,815l
I 6 I 7128 1 0,8621 1 6453 1 3,8098 1
1 3,7999 1
I 7 I 2&O 1 1,301o 1 6307
I 8 9 I 45,9 72,0 1,8573 1,6618 6199 6133 3,7877 3,7923
166
2,2201 1 5692 1 3,7552 1
I ILo I I
I I I I I
I
5393 5508 3,741o 3,7318
I 11 12 I 219 384 2,3404 2,5843
504
2,7024 1 5364 1 3,7295 1
I IL3 I I
1 3,716O 1
IL4 I 3000 I 3,4771 1 5200
I
15 10520 4,022O 4975 3,6968
X= 1,445o Y= 3,7819 1
I Means:
Sums of squares
sx = 31,6811;
sy =
0,0347;
S -1,0242.
xy =
Coefficient of correlation
r2 =
0,9556;
r =
0,9775.
Functional relationships (see 3.1.3.3)
a = 3,8286;
b =
-0,0323.
11
---------------------- Page: 15 ----------------------
ISOlO928:1997(E)
Check of the suitability for extrapolation (see 3.1.3.4)
t, = 2,1604;
M
= 942,21.
The estimated mean values, Vm, for V at various times are given in table 6.
Table 6: Estimated mean
values, Vm, for V
I I I
Time
I I I
vm
h
7259
011
6739
LO
6256
10,o
100,o 5808
1000 5391
10000 5005
, 100000 4646
/ 438000 4428
- Method C
3.2 Second order polynomial relationships
3.2.1 General
This method fits a curved line of the form
c + d x x + e x x2 . . . (26)
Y=
where:
is the logarithm (lg) of the property being investigated;
Y
c is the intercept on the y axis;
d, e are the coefficients to the two orders of x;
X
is the logarithm (lg) of the time, in hours.
3.2.2 Variables
For method C calculate the following variables:
CXi (sum of all individual x data);
CXi2 (sum of all squared x data);
CXi3 (sum of all x data to the third power);
CXi4 (sum of all x data to the fourth power);
(sum of all individual y data);
cYi
(cyi) 2 (squared sum of all individual y data);
(sum of all squared y data);
CYi2
12
---------------------- Page: 16 ----------------------
IS0 10928: 1997(E)
II (Xixyi > (sum of all products Xiyi);
C (Xi2 xyi > (sum of all products Xi2yi);
SX = C(Xi - Xj2
(sum of the squared residuals parallel
to the x axis for the linear part);
= C(Xi2 - X2)2
S (sum of the squared residuals parallel
xx
to the x axis for the quadratic part);
Sy = C(yi - YJ2 (sum of the squared residuals parallel
to the y axis);
= C[(Xi
S - X>x(yi y) 1 (sum of the squared residuals
XY
perpendicular to the line for the linear
part) ;
= C [ (Xi2
S - X21x(yi - Y)l (sum of the squared residuals
-Y
perpendicular to the line for the
quadratic part).
where:
Y is the arithmetic mean of the y data, i.e.
n
X is the arithmetic mean of the x data,
i.e.
CXi
x=-.
n
3.2.3 Solution system
Determine c, d and e (see 3.2.1) using the following matrix:
=cxn + e X CXi2
+ d X CXi . . .
CYi Wa)
C(XiXyi) = C X CXi + d x EXi2 + e X CXi3
. . . (27b)
= c X CXi2 + d X Xxi3 + e X CXi4 . . .
C (Xi2 xyi > (27~)
NOTE: Examples showing the procedures that can be used are detailed
in annex A.
13
---------------------- Page: 17 ----------------------
IS0 10928: 1997(E)
3.2.4 Suitability of data
Calculate the squared, r2, and the linear coefficient of correlation, r,
using the following equations:
CXCyi + dxC(xixyi) + exC(xi2xyi) - [(C~i)~/n]
r2 =
. . . (28)
Cyi2 -
[ (Cyi) 2/d
r = . . .
1 (r2) Ot5 1 (29)
If the value of r2, or r, is less than the applicable minimum value given
in table 1 as a function of n, consider the data unsuitable for analysis.
3.2.5 Check for the suitability of data for extrapolation
If it is intended to extrapolate the line, calculate M using the following
equation:
S2
tv2x (&x5; - &y2+ &xx+ - &xy2 1
X &X2
ME-+--
. . . (30)
S S 2)xSy2
b -
XY2 -Y2
If M is equal to or less than zero consider the data unsuitable for
extrapolation
3.2.6 Validation of statistical procedures by an example calculation
Use the data given in table 5 for the calculation procedures described
in 3.2.2 to 3.2.5 to ensure that the statistical procedures to be used in
conjunction with this method will give results for r, r2, a, b and Vm to
within + 0,l % of the values given in this example (n = 15).
Sums of squares and other variables
CXi = 21,671;
CXi2 =
62,989;
CXi3 =
180,623;
CXi4 =
584,233;
Cyi = 56,728;
(Cyi)2 = 3218,09;
Cyi2 = 214,574;
CXiyi =
80,932;
CXi2yi =
235,175;
=
31,681;
SX
14
---------------------- Page: 18 ----------------------
IS0 10928: 1997(E)
=
S 386,638;
xx
sy =
0,347;
=
S -1,0242;
XY
=
S -3,0418.
-Y
Solution system (see 3.2.3)
=
c 3,8288;
=
d
-0,0262;
=
e
-o/0022.
Coefficient of correlation (see 3.2.4)
=
r2
0,9647;
=
r 0,9822.
Check of the suitability for extrapolation (see 3.2.5)
=
2,1604;
tv
M = 15859,6.
The estimated mean values, Vm,
for V at various times are given in table 7
and shown in figure 2.
Table 7: Estimated mean values,
V ml for V
Time
vm
h
I 011 1 7125 1
6742
LO
10,o 6315
100,o 5856
I
I 5375 1
1000
I
10000 4884
100000 4393
I 4091 I
I 438000
I
15
---------------------- Page: 19 ----------------------
ISO10928:1997(E)
Values
6000
IO2 IO3
Time [h]
Figure 2: Regression line from the results in table 7
4 Application of methods to product design and testing
4.1 General
The referring standards specify limiting requirements for the properties
and performance of a product. Some of these are based on destructive tests,
for example hoop tensile strength, whilst others are based on actual or
derived physical properties, such as stiffness.
Where the physical property being determined enables both method B and
method C to be used then both procedures shall be performed. The value for
r2 and/or r determined for each procedure shall be compared and the value
for the property determined using the procedure with the highest r2 or r
value shall be taken as the value for the property. If the referring
a method then only that procedure
standard specifies for such properties
shall be performed.
many of these properties need an extrapolated long-term
In either case,
50 years) value for comparison with the requirement. This
(e.g.
extrapolated value is determined by inserting, as necessary, the values for
determined in accordance with 3.1 or 3.2 as appropriate,
a, b, c, d and e,
(31) or (32) respectively.
into equation
16
---------------------- Page: 20 ----------------------
@ IS0
IS0 10928: 1997(E)
a+bx tL . . . (31)
lg Y =
c + d x tL + e x tL2 . . . (32)
lg Y =
where:
is the logarithm (lg) of the long-term period, in hours,
CL
[for 50 years (438000 h), tL = 5,641471.
Solving the equation, (31) or (32), for y gives the extrapolated value for
comparison with the requirement specified in the referring standard.
For supplementary procedures, where relevant, for the application of the
results to derive design requirements, see 4.2 and the worked examples
given in 4.3 to enable validation of any calculation facilities used.
For their use for testing products, to predict and verify the ability of a
product to conform to a specified requirement, see 4.4 and the examples
given in 4.5 to enable validation of any calculation facilities used.
The wording of 4.2 to 4.5 is appropriate to specification limits in terms
of minimum values, long-term performance at 50 years and short-term
performance at 6 min. For limits comprising maximum values or other time
periods, appropriate adjustments are necessary.
In conjunction with sampling requirements and limits on the acceptable
levels, if any, on the quantity of non-conforming products to be specified
by referring standards and in certification or quality plans, as
appropriate, these methods can be used for quality control purposes.
4.2 Design
4.2.1 Regression values
4.2.1.1 Derived long-term values
from initial short-term tests on pipe
Where it is assumed that,
representative of such a design, the mean value of the property being
and the estimated standard deviation, 0, of the initial
investigated, VO+,,
the procedures for designing a pipe to conform to a
test results are known,
requirement of a referring standard are as follows.
17
---------------------- Page: 21 ----------------------
IS0 10928: 1997(E)
If a safety factor, E'S, is specified, calculate the minimum long-term
(50 years) value for the property, V5O,min., (see figure 41, using the
following equation:
. . . (33)
V5O,min.= FS x V5O,s,min.
otherwise:
. . .
(34)
V5O,min.= V5O,s,min.
where:
is the specified minimum long-term (50 years) requirement.
V5O,s,min.
4.2.1.2 Regression ratio (see figure 3)
using the following equation:
Calculate the regression ratio,
RR1
extrapolated long-term (50 year) property value
. . .
RR = (35)
extrapolated short-term (6 min) property value
v50
RR = - . . . (35)
V6
where both the 50 year and the 6 min extrapolated property values are
calculated using equation (31) or (32), as applicable, except that for the
6 min value the logarithm of 0,l h (6 min), i.e. -1, is used in place
of 5,64147.
18
---------------------- Page: 22 ----------------------
IS0 10928: 1997(E)
Property
l Initial test results
+ Long-term test results
Regression ratio: RR= V50/V6
c= vo/v,
I
I
I
I I I
I I
+- I I
50 years
Time
0,l h
Extrapolated values
Figure 3:
4.2.1.3 Factor C (see figure 3)
which relates the extrapolated 6 min value to the
Calculate the factor C,
test result for the initial tests on the pipes, using the following
equation:
initial property value VO
= . . . (36)
c=
v6
extrapolated 6 min property value
19
---------------------- Page: 23 ----------------------
IS0 10928:1997(E)
4.2.2 Initial values
Property
$ VO,d
Key:
I,96 0
/\
L min is the minimum line
V
6,min
V
0,min Z= (F, - 1) X V50,s,min
VSO,s,min
I I
I I
I I I
50 years
Time
0,l h
Derived values
Figure 4:
4.2.2 .l Minimum initial property value (VO min )
.
I
Derive the minimum initial property value, V0,min.I using the following
equation:
C x V50,min.
. . .
(37)
VO,min. =
RR
where:
C is calculated using equation (36);
is calculated using equation (33) or (34);
V50,min.
is calculated using equation (35).
RR
4.2.2.2 Property design values
Derive the design value for the initial property, vo,d, using the following
equation:
. . . (38)
VO,d = VO,min. + 1196 X 0
20
---------------------- Page: 24 ----------------------
ISO10928:1997( E)
where:
0 is the standard deviation of the short-term test results for
this property.
The factor I,96 assumes that a 2,5 % failure criteria is acceptable. Where
other percentage failure criteria are specified in the referring standard
then the relevant factor obtained from standard statistical references
shall be substituted for 1,96.
NOTE: Where the standard deviation can be expected to increase with an increase in
mean property values, and vice versa,
then the design property values for different
levels of the property can be obtained using a constant coefficient of variation.
Determine the short-term (6 min) and long-term (50 years) design property
values, and hence the design line as follows:
- determine the estimated 6 min design property value, v6 & using the
I
following equation:
vo,d
V6,d = . . . (39)
c
where:
C is determined in accordance with 4.2.1.3;
-
determine the estimated 50 years property value, V50 & using the
I
following equation:
. . .
ho,d = RR x V6,d (40)
where:
is the regression ratio determined in accordance with 4.2.1.2;
RR
-
if applicable (see 4.1), determine the equation for the linear design
line as follows:
ad + (b x lg t) . . e
lg vt,d = (41)
where:
is the design property value at a given time t;
vt,d
b is the slope of both the minimum and the mean linear
regression lines;
L
is the constant of the linear design line;
ad
21
---------------------- Page: 25 ----------------------
IS0 10928: 1997(E)
where:
a i- 8d . . . (42)
ad =
where:
is the constant of the property value mean linear line [see
a
equation (1) 1;
Vo,d
. . .
6d = (43)
lg -
VO,m
determine the equation for the second order
- if applicable (see 4.11,
design curve as follows:
(cl x lg t) + {e x (lg t,"} . . .
lg vt,d = cd + (44)
where:
is the design property value at a given time t;
vt,d
d, e are the coefficients of both the design curve and the mean
second order regression curve;
is the constant of the second order design curve;
cd
where:
cd = c +
...
NORME ISO
INTERNATIONALE 10928
Première édition
1997-08-01
Systèmes de canalisation en matières
plastiques - Tubes et raccords plastiques
thermodurcissables renforcés de verre
(PRV) - Méthodes pour une analyse de
régression et leurs utilisations
Plastics piping systems - Glass-reinforced thermosetting plastics (GRP)
pipes and fittings - Methods for regression analysis and their use
Numéro de référence
ISO 10928: 1997(F)
---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO 10928:1997(F)
Page
Sommaire
1
1 Domaine d’application
1
2 Principes
1
3 Procédures de détermination de relations fonctionnelles
1
3.1 Relations linéaires - Méthodes A et B
11
3.2 Relations polynomiales de second ordre - Méthode C
15
4 Application des méthodes à la conception et au contrôle du produit
15
4.1 Généralités
16
4.2 Conception
20
4.3 Exemples pour la validation des méthodes de calcul de conception
4.4 Méthodes pour vérifier la conformité avec le calcul du produit et les valeurs
24
de performance
4.5 Exemples pour la validation des méthodes de calcul ou la vérification de la
28
performance du produit
33
Annexe A Procédés mathématiques
33
A.1 Système de matrices
33
A.2 Système de substitution
0 ISO 1997
Droits de reproduction resetvés. Sauf prescription différente, aucune partie de cette publi-
cation ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun pro-
cédé, électronique ou mécanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans l’accord
écrit de l‘éditeur.
Organisation internationale de normalisation
Case postale 56 l CH-121 1 Genève 20 l Suisse
Internet central @ iso.ch
x.400 c=ch; a=400net; p=iso; o=isocs; s=central
Imprimé en Suisse
ii
---------------------- Page: 2 ----------------------
ISO 10928: 1997(F)
Avant-propos
LIS0 (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d’organismes
nationaux de normalisation (comités membres de I’ISO). L’élaboration des Normes internationales
est en général confiée aux comités techniques de I’ISO. Chaque comité membre intéressé par une
étude a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations
internationales, gouvernementales et non gouvernementales, en liaison avec I’ISO participent
également aux travaux. L’ISO collabore étroitement avec la Commission électrotechnique
internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux
comités membres pour vote. Leur publication comme Normes internationales requiert
l’approbation de 75 % au moins des comités membres votants.
La Nome internationale ISO 10928 a été élaborée par le comité technique ISO/TC 138, Tubes,
raccords et robinetterie en matières plastiques pour le transport des fluides, sous-comité SC 6,
Tubes et raccords en matières plastiques renforcées pour toutes applications.
La présente Norme internationale est techniquement identique à I’EN 7051994.
L’annexe A de la présente Norme internationale est donnée uniquement à titre d’information.
---------------------- Page: 3 ----------------------
OS0 10928: 1997(F)
Introduction
Cette norme a été élaborée pour décrire les méthodes destinées à analyser la régression de
données d’essai, généralement en tenant compte du temps, et de l’utilisation des résultats en
conception et en vérification de conformité à des exigences de performance. Son domaine
d’application a été limité à l’usage de données obtenues à partir d’essais menés sur des
échantillons. Les normes de référence requièrent des estimations sur les propriétés à long terme
du tuyau pour des paramètres tels que la résistance à la traction circonférentielle, la déflexion et le
fluage.
Le comité a étudié un champ de techniques statistiques qui peuvent être utilisées pour analyser
les données d’essai provenant de tests destructifs. Beaucoup de ces techniques simples
requièrent que les logarithmes des données:
a) soient normalement distribués;
b) produisent une ligne de régression à pente négative; et
c) aient une corrélation de régression suffisamment élevée (voir tableau 1).
Pour autant que les deux dernières conditions soient satisfaites, l’analyse a montré qu’il y a une
dispersion de la distribution d’où non-satisfaction à la première condition. Une étude ultérieure des
techniques qui prennent en compte des distributions dispersées mènent à l’utilisation de la
méthode de covariance pour l’analyse de telles données dans cette norme.
Les résultats provenant de tests non destructifs, comme le fluage ou des changements de
déflexion avec le temps, remplissent souvent ces trois conditions, et donc des méthodes plus
simples utilisant le temps comme variable indépendante, peuvent également être utilisées en
accord avec cette norme.
---------------------- Page: 4 ----------------------
ISO 10928: 1997(F)
NORME INTERNATIONALE @ IS0
Systèmes de canalisation en matières plastiques - Tubes et
raccords plastiques thermodurcissables renforcés de verre
(PRV) - Méthodes pour une analyse de régression et leurs
utilisations
1 Domaine d’application
Cette norme prescrit les méthodes adaptées à l’analyse de données qui, lorsque converties en
logarithmes des valeurs, ont une distribution normale ou dispersée. Elle est faite pour être utilisée
avec les méthodes d’essai et les normes de référence pour les tuyaux ou raccords plastiques
renforcés de verre, pour l’analyse de propriétés comme fonction du temps, en général. Bien
qu’elle puisse aussi être utilisée pour l’analyse d’autres données.
Trois méthodes sont prescrites selon la nature des données. L’extrapolation utilisant ces
techniques prolonge habituellement la tendance d’évolution à partir de données rassemblées sur
une période d’environ 10 000 h, jusqu’à une prévision de la propriété à 50 ans.
2 Principes
Les données sont analysées pour une régression utilisant des méthodes basées sur les résidus
au carré qui peuvent s’adapter à l’incidence d’une distribution dispersée et/ou normale et à
l’application d’une relation polynomiale du premier ou du second ordre.
Les trois méthodes d’analyse utilisées comprennent les suivantes:
- méthode A: covariance utilisant une relation du premier ordre;
- méthode B: résidus au carré avec le temps comme variable indépendante utilisant une
relation du premier ordre;
- méthode C: résidus au carré avec le temps comme variable indépendante utilisant une
relation du second ordre.
Les méthodes comprennent des essais statistiques pour la corrélation des données et la capacité
d’extrapolation.
3 Procédures de détermination de relations fonctionnelles
3.1 Relations linéaires - Méthodes A et B
3.1.1 Procédure commune aux méthodes A et B
Utiliser la méthode A (voir 3.1.2) ou la méthode B (voir 3.1.3) pour s’adapter à une droite de la
forme
y=a+bx . . .
(1)
---------------------- Page: 5 ----------------------
0 ISO
ISO 10928: 1997(F)
où:
y est le logarithme (Ig) de la propriété recherchée;
a est l’intersection avec l’axe des y;
b est la pente;
x est le logarithme (Ig) du temps, en heures.
Méthode de la covariance
3.1.2 Méthode A -
3.1.2.1 Généralités
Pour la méthode A, calculer les variables suivantes, selon 3.1.2.2 à 3.1.2.5 suivant le cas:
WYi -y>*
. . .
(2)
QY= n
X(xi - X)*
. . .
Q
(3)
X=
n
Wxi - x>(Yi - Ul
Q . . .
(4)
xy =
n
où:
est la somme des résidus au carré parallèles à l’axe des y divisée par n;
QY
Q est la somme des résidus au carré parallèles à l’axe des x divisée par n;
X
est la somme des résidus au carré perpendiculaires à la droite divisée par n;
Qv
Y est la moyenne arithmétique des données y, c’est-à-dire :
EY
i l
=-
Y
I
X est la moyenne arithmétique des données x, c’est-à-dire :
CX
i l
=-
X
n ’
4, )~i sont des valeurs individuelles;
n est le nombre total des résultats (paires de lectures pour 3, n).
NOTE - Si la valeur de Q, est supérieure à zéro’ lla pente de la droite est positive et si cette
valeur est négative, alors la pente est négative.
---------------------- Page: 6 ----------------------
0 os0 ISO 10928: 1997(F)
3.1.2.2 Adéquation des données
Calculer le carré, r? et le coefficient linéaire de corrélation, r, en utilisant les équations suivantes:
Qxy2
=-
r*
. . .
(5)
QxQy
r= 1 (r*)Oq
. . .
0
Si la valeur de r2 ou rest inférieure à la valeur minimale applicable donnée dans le tableau 1 en
fonction de n, considérer les données comme inadéquates pour l’analyse.
Tableau 1 - Valeurs minimales du carré, r29 et du coefficient linéaire de corrélation, r,
acceptables à partir de n paires de données
Valeurs minimales Valeurs minimales
r2 r (n - 2) r2 r
(n - 2)
11 0,6416 0,801O 23 0,3816 0,6177
12 0,6084 0,780O 24 0,3689 0,6074
0,3569 0,5974
13 0,5781 0,7603 25
14 0,5506 0,742O 30 0,307o 0,554l
15 0,525O 0,7246 35 0,2693 0,5189
0,5018 0,7084 40 0,2397 0,4896
16
17 0,4805 0,6932 45 0,216O 0,4648
0,4606 0,6787 50 0,1965 0,4433
18
19 0,4425 0,6652 60 0,1663 0,4078
0,6524 70 0,1443 0,3799
20 0,4256
21 0,4099 0,6402 80 0,1273 0,3568
0,6287 90 0,1139 0,3375
22 0,3953
100 0,1031 0,321l
NOTE - Dans ce tableau et partout dans cette norme, les équations et valeurs
correspondantes pour r2 et r sont données pour une facilité d’utilisation en conjonction
avec des données de référence publiées ailleurs en termes de r2 ou de r seulement.
Relations fonctionnelles
3.1.2.3
Pour trouver a et b dans la droite de relation fonctionnelle
y= a+ bx . . .
(1)
d’abord établir
Q
Y
=-
F
. . .
(7)
Q
X
---------------------- Page: 7 ----------------------
ISO 10928: 1997(F)
0 os0
.
puis calculer a et b en utilisant les équations suivantes:
=-
b (Iy5 . . .
(8)
a= Y-bX . . .
(9)
3.1.2.4 Calcul des variantes
Si tu est le temps à appliquer à la rupture, établir
. . .
kJ f
xu= u (10)
En utilisant les équations (1 l), (12) et (13) respectivement, calculer pour i = 1 à n la séquence
statistique suivante:
- meilleure corrélation 3’ pour la vraie valeur 3;
- meilleure corrélation J$ pour la vraie valeur yi; et
- la variance d’erreur, o&* pour x.
rXi + b(yi - a)
Xi’ =
. . .
(11)
2r
=a+b+’
. . .
yi’ (12)
2 {Z(yi - yi’ )* + IX(Xi - Xi’)*}
qj =
. . .
(13)
(n - 2)r
Calculer les quantités suivantes:
E hi*
=-
. . .
(14)
2Q
XY
2m6*
-
-
D
. . .
(15)
nQxy
Calculer la variante C de la pente b en utilisant l’équation suivante:
C=D(l+Q . . .
(16)
3.1.2.5 Vérification de l’adéquation des données pour l’extrapolation
Si l’on veut extrapoler la droite, calculer Ten utilisant l’équation suivante:
b b
T
. . .
(17)
= (variante de b)Oy5 = p
Si la valeur absolue 1 Ti (c’est-à-dire en ne tenant pas compte des signes) de Test égale à ou est
plus grande que la valeur applicable du “t de Studenf’, tv, telle qu’indiquée dans le tableau 2 pour
(n - 2) degrés de liberté, considérer alors les données adéquates pour l’extrapolation.
4
---------------------- Page: 8 ----------------------
ISO 10928:1997(F)
0 ISO
Tableau 2 - Points de pourcentage de la distribution du “f de Studenf’ (2,5 % points
supérieurs; niveau de confiance de 5 % en deux intervalles voisins; t, pour 97,5 %)
Valeur du Degré de Valeur du Degré de Valeur du
Degré de
liberté **t de Studeni’ liberté **t de Studenf’
liberté “t de Studeni’
(n - 2)
4 4 4
(n - 2) (n-2)
36 2,0281 71 1,9939
12,7062
4,3027 37 2,0262 72 1,9935
3,1824 38 2,0244 73 1,993o
2,7764 39 2,0227 74 1,9925
2,5706 40 2,0211 75 1,9921
2,4469 41 2,0195 76 1,9917
6
7 2,3646 42 2,0181 77 1,9913
2,306O 43 2,0167 78 1,9908
8
2,2622 44 2,0154 79 1,9905
9
2,2281 45 2,0141 80 1,9901
10
2,201o 46 2,0129 81 1,9897
11
12 2,1788 47 2,0112 82 1,9893
13 2,1604 48 2,0106 83 1,989O
2,1448 49 2,0096 84 1,9886
14
15 2,1315 50 2,0086 85 1,9883
16 2,1199 51 2,0076 86 1,9879
17 2,1098 52 2,0066 87 1,9876
1,9873
18 2,1009 53 2,0057 88
19 2,093o 54 2,0049 89 1,987O
20 2,086O 55 2,004O 90 1,9867
21 2,0796 56 2,0032 91 1,9864
22 2,0739 57 2,0025 92 1,9861
1,9858
23 2,0687 58 2,0017 93
1,9855
24 2,0639 59 2,OOlO 94
25 2,0595 60 2,0003 95 1,9853
26 2,0555 61 1,9996 96 1,985O
27 2,0518 62 1,999o 97 1,9847
63 1,9845
28 2,0484 1,9983 98
64 1,9842
29 2,0452 1,9977 99
30 2,0423 65 1,9971 100 1,984O
31 2,0395 66 1,9966
32 2,0369 67 1,996O
2,0345 68 1,9955
33
69 1,9949
34 2,0322
l
70 1,9944
35 2,0301
---------------------- Page: 9 ----------------------
0 ISO
ISO 10928: 1997(F)
3.1.2.6 Validation des procédures statistiques grâce & un exemple de calcul
Les données du tableau 3, avec les résultats donnés de cet exemple, sont donnés afin de vérifier
que d’autres procédures statistiques qui seraient adoptées par les utilisateurs, produiront des
résultats semblables à ceux obtenus à partir des équations données dans cette norme. Comme
exemple, la propriété en question est représentée par V, dont les valeurs sont d’une amplitude
courante et sans unité particulière. À cause des erreurs dues aux arrondissages, il est peu
probable que les résultats concordent exactement; afin que la procédure de calcul soit acceptable,
*, b, a, et la valeur moyenne de V, Vm, devront coïncider à =f: 0,l %
les résultats obtenus pour r, r
avec des valeurs éventuellement données dans cet exemple. Les valeurs des autres statistiques
sont fournies pour permettre la vérification de la procédure.
Tableau 3 - Données de base pour calcul d’un exemple et validation d’analyse statistique
---------------------- Page: 10 ----------------------
ISO 10928: 1997(F)
Sommes des carrés
= 0,79812;
Q
X
Q = 0,00088;
Y
= -0,02484.
Q
v
Coefficient de corrélation
r*
= 0,87999;
r = 0,93808.
Relations fonctionnelles
r = 0,00110;
b = -0,03317;
a = 1,62731.
Variantes calculées (voir 3.1.2.4)
E = 3,5202 . lO-*;
D = 4,8422 . 10-6;
C = 5,0127 . 1 O-6 (la variante de 6);
5,2711 . 10’* (la variante d’erreur pour x).
qj* =
Contrôle par extrapolation (voir 3.1.2.5)
n = 32;
t = 2,0423;
V
T = -0,03317/(5,0127 . 1 O-6)0,5 = -14,8167;
1 TI = 14,8167 > 2,0423.
Les valeurs moyennes estimées pour V, à différentes dates, sont données dans le tableau 4 et
indiquées sur la figure 1.
Tableau 4 -
Valeurs moyennes estimées, lJm, pour V
---------------------- Page: 11 ----------------------
ISO 10928: 1997(F)
Valeurs
35
27,55
25 I
I I I 1 I
10-l
10° 10' 102 103 104 105 106
Temps, h
Figure 1 - Droite de régression à partir des résultats d’essai du tableau 4
3.1.3 Méthode B - Régression avec le temps comme variable indépendante
3.1.3.1 Généralités
Pour la méthode B, calculer les variables suivantes:
S . . .
y = an - Y)*
(18)
(La somme des résidus au carré parallèles à l’axe des y)
S x = X(xi - x)2
. . .
(19)
(La somme des résidus au carré parallèles à l’axe des x)
(La somme des résidus au carré perpendiculaires à la droite)
où:
est la moyenne arithmétique des données y, c’est-à-dire
Y
XY
i l
=-
Y
n ’
X est la moyenne arithmétique des données x’ c’est-à-dire
---------------------- Page: 12 ----------------------
@ ISO
ISO 10928: 1997(F)
CX
i l
=-
X
n ’
3, yi sont des valeurs isolées;
n est le nombre total des résultats (paires de lectures pour 3, n).
NOTE - Si la valeur de S, est supérieure à zéro, la pente de la droite est positive et si cette
valeur est négative, alors la pente est négative.
3.1.3.2 Adéquation des données
le carré, r*, et le coefficient linéaire de corré
Calculer ilation, r, en utilisant les équations suivantes:
s 2
r* ‘Y
=-
l . .
(21)
sxsy
r = 1 (r*)O,5 1 mm.
(22)
Si la valeur de r*, ou de rj est inférieure à la valeur minimale appropriée, donnée dans le tableau 1
comme une fonction de n, considérer les données comme inadéquates pour l’analyse.
3.1.3.3 Relations fonctionnelles
Calculer a et b pour la droite de relation fonctionnelle [voir l’équation (l)], en utilisant les équations
suivantes:
S
XY
=-
b mm.
(23)
S
X
a= Y-6X mm.
(24)
3.1.3.4 Vérification de l’adéquation des données pour l’extrapolation
Si l’on veut extrapoler la droite, calculer M en utilisant l’équation suivante:
tv2 x (S, x sy - sxy*>
S2
X
=--
M
mm.
(25)
s * (n - 2) x Sy2
XY
où:
tv est la valeur appropriée pour le “t de Student” déterminée à partir du tableau 2.
Si M est égale ou inférieure à zéro, considérer les données inadéquates pour l’extrapolation.
---------------------- Page: 13 ----------------------
ISO 10928: 1997(F)
0 ISO
3.1.3.5 Validation des procédures statistiques grâce à un exemple de calcul
Utiliser les données détaillées dans le tableau 5 pour les procédures de calcul décrites de 3.1.3.2
à 3.1.3.4 afin de s’assurer que les méthodes statistiques qui seront utilisées conjointement avec
cette méthode, donneront des résultats pour rp r*p
a, b et Vm avec un écart de * OJ % des valeurs
données dans cet exemple.
Tableau 5 - Données de base pour le calcul d’un exemple et validation statistique
X
(Ig 0
Temps V
h (ten h)
0,lO
-1 ,oooo 7114
3,852l
0,27 -0,5686
6935 3,841O
0,50
-0,301o 6824
3,8341
1 ,oo 0 6698
3,8259
3,28 0,5159
6533 3,8151
7,28 0,8621
6453 3,8098
20,o
l,3010 6307
3,7999
45,9 1,6618 6 199
3,7923
72,0 1,8573
6133 3,7877
166
2,2201 5692
3,7552
219
2,3404 5508 3,741o
384 2,5843
5393 3,7318
504 2,7024
5364 3,7295
3000 3,4771 5200
3,716O
10520 4,022O
4975 3,6968
Moyennes: x= 1,445o
Y= 3,7819
Somme des carrés
S = 31,6811;
X
S = 0,0347;
Y
S = -1,0242.
v
Coefficient de corrélation
r* = 0,9556;
r = 0,9775.
Relations fonctionnelles (voir 3.1.3.3)
a = 3,8286;
= -0,0323.
b
10
---------------------- Page: 14 ----------------------
ISO 10928:1997(F)
0 os0
Contrôle de l’adéquation à l’extrapolation (voir 3.1.3.4)
t = 2,1604;;
V
M = 942,21 l
Les valeurs moyennes estimées, VmI pour Vi à des dates différentes, sont données dans le
tableau 6.
Tableau 6 - Valeurs moyennes estimées, vm, pour V
3.2 Relations polynomiales de second ordre - Méthode C
3.2.1 Généralités
Cette méthode s’adapte à une courbe de la forme
mm.
y= c+ dx+ ex*
(26)
où:
y est le logarithme (Ig) de la propriété étudiée;
C est l’intersection sur l’axe des y;
d, e sont les coefficients des deux ordres de x;
X est le logarithme (Ig) du temps, en heures.
3.2.2 Variables
Pour la méthode C, calculer les variables suivantes:
CX (somme de toutes les valeurs individuelles de x);
i
.2
XX (somme de toutes les valeurs de x au carré);
I
.3
CX (somme de toutes es valeurs de xau cube);
I
.4
XX (somme de toutes es valeurs de x à la puissance
A
quatre);
i
es valeurs individuelles de y);
(somme de toutes
EY
i
---------------------- Page: 15 ----------------------
0 ISO
ISO 10928: 1997(F)
(carré de la somme de toutes les valeurs isolées de y);
@Y) i*
.2
(somme de toutes les valeurs de y au carré);
ÇY
1
(somme de tous les produits 3~);
Wip/i)
(somme de tous les produits 4*yi);
wq*yi)
s, = z(+ - x)2 (somme des résidus au carré parallèles à l’axe des x
pour la partie linéaire);
z(xf - XL)2 (somme des résidus au carré parallèles à l’axe des x
S
xx=
pour la partie quadratique);
(somme des résidus au carré parallèles à l’axe des y);
sy = qv, - Y)*
(somme des résidus au carré perpendiculaires à la
S
x)p = Wxi - x)(H - VI
courbe pour la partie linéaire);
(somme des résidus au carré perpendiculaires à la
S
wj* - myi - Y)1
=Y=
courbe pour la partie quadratique).
où:
Y est la moyenne arithmétique des données y, c’est-à-dire :
XY i .
=-
Y
n ’
X est la moyenne arithmétique des données x, c’est-à-dire
CX
i
=-
X
n l
3.2.3 Système de solution
Déterminer c, d, et e (voir 3.2.1) en utilisant la matrice suivante:
= cn + CET + eZ+* . . . (27a)
CY i
= CD~ + CE+* + eZ*3 mm. (27b)
WiYi)
E(+*H) = CXdXi* + CE+’ + dCXi4 mm. (27~)
NOTE - Des exemples montrant les procédés pouvant être utilisés sont détaillés dans
l’annexe A.
3.2.4 Adéquation des données
Calculer le carré, r*, et le coefficient de corrélation linéaire’ ry en utilisant les formules suivantes:
12
---------------------- Page: 16 ----------------------
0 PS0 ISO 10928: 1997(F)
r2 CzYi + ~(+Vi) + eWj*yJ - [(WJ*ln]
-
-
. mm
(28)
;r;yi* - [Wi)*W
r = 1 (r*)Op51
mm.
(29)
Si la valeur de r29 ou de r, est inférieure à la valeur appropriée, donnée dans le tableau 1 comme
une fonction de n, considérer la donnée comme inadéquate pour l’analyse.
3.2.5 Vérification de l’adéquation des données pour l’extrapolation
Si l’on veut extrapoler la droite, calculer M en utilisant l’équation suivante:
S2 s * t,*(s,sy - sxy2 + sxxsy - &)(y*)
--
M . mm
(30)
=G+ sxyy2
(n - 2)S,*
Si M est égale ou inférieure à zéro, considérer les données comme inadéquates pour
l’extrapolation.
3.2.6 Validation des procédures statistiques grâce à un exemple de calcul
Utiliser les données détaillées dans le tableau 5 pour les procédures de calcul décrites de 3.2.2
à 3.2.5 afin de s’assurer que les méthodes statistiques qui seront utilisées conjointement avec
cette méthode, donneront des résultats pour r, r*,
a, b et Vm avec un écart de * 0,l % des valeurs
données dans cet exemple (n = 15).
Somme des carrés et autres variables
CX = 21,671;
i
.2
CX = 62,989;
I
.3
CX = 180,623;
I
.4
CX
= 584,233;
I
= 56,728;
EY i
i2-
-
3218,09;
FY)
.2
= 214,574;
EY
I
l =
80,932;
=jYl
çxj*vi = 235,175;
S = 31,681;
X
S = 386,638;
xx
S 0,347;
Y =
S -1,0242;
v =
S -3’0418.
=Y=
13
---------------------- Page: 17 ----------------------
0 ISO
ISO 10928: 1997(F)
Système de solution (voir 3.2.3)
c = 3,8288;
-
-0,0262;
d -
e = -0,0022.
Coefficient de corrélation (voir 3.2.4)
r* = 0,9647;
r = 0,9822.
Vérification de l’adéquation de l’extrapolation (voir 3.2.5)
t 2,1604;
v =
M = 15859,6.
Les valeurs moyennes estimées, Vm, pour V, à des dates différentes, sont données dans le
tableau 7 et indiquées sur la figure 2.
Tableau 7 - Valeurs moyennes estimées, Vm, pour V
Valeurs
9000
6000
10' 110' 10" 104
Temps, h
Figure 2 urbe de régression à partir des résultats d’essais du tableau 7
14
---------------------- Page: 18 ----------------------
0 os0 ISO 10928: 1997(F)
Application des méthodes à la conception et au contrôle du produit
4
4.1 Généralités
La norme de référence fixe des conditions limitatives requises, en ce qui concerne les propriétés
et la performance d’un produit. Certaines d’entre elles sont basées sur des essais destructifs, par
exemple la contrainte en traction circonférentielle, tandis que d’autres sont basées sur des
propriétés physiques véritables ou dérivées, telles que la rigidité.
Lorsque la propriété physique devant être déterminée, autorise l’utilisation des deux Méthodes B
et C, alors les deux procédures seront entreprises.
Les valeurs pour r* et/ou rdéterminées par chaque procédure seront comparées et les valeurs
pour la propriété déterminées en utilisant la procédure donnant les valeurs r* ou r les plus élevées
seront prises comme valeur pour la propriété. Si la norme de référence ne spécifie qu’une seule
méthode pour la propriété, alors seule cette procédure sera entreprise.
Dans chaque cas, plusieurs de ces propriétés ont besoin d’une valeur extrapolée à long terme
(par exemple 50 ans) pour la comparer avec l’exigence. Cette valeur extrapolée est déterminée en
introduisant, si nécessaire, les valeurs pour a, 6, c, cf’ et e, déterminées selon 3.1 ou 3.2, dans les
équations (31) ou (32) respectivement.
Igy=a+btL mm.
(31)
Ig y= c+ dtL + etL*
mm.
(32)
où:
fi est le logarithme (Ig) de la période à long terme, en heures, [pour 50 ans (438 000 h),
tL = 5,64147].
La résolution de l’équation, (31) ou (32), pour y, donne la valeur extrapolée pour la comparaison
avec l’exigence spécifiée dans la norme de référence.
Pour des procédures supplémentaires, si cela est significatif, concernant l’application des résultats
d’où dériveraient des exigences de conception (voir 4.2 et les exemples étudiés, cités en 4.3) pour
permettre la validation de tous les moyens de calcul utilisés.
En ce qui concerne leur utilisation pour l’essai du produit afin de prédire et vérifier sa capacité à
être conforme à l’exigence spécifiée, voir 4.4 et les exemples étudiés, cités en 4.5, pour permettre
la validation de tous les moyens de calcul utilisés.
Le texte de 4.2 à 4.5 est approprié aux limites de la spécification, en termes de valeurs minimales,
de performance à long terme à 50 ans et de performance à court terme à 6 min. Pour des limites
comprenant des valeurs maximales ou d’autres durées, des ajustements appropriés sont
nécessaires.
Ces méthodes peuvent être utilisées à des fins de contrôle de qualité si, conjointement avec les
exigences d’échantillonnage et les limites des niveaux acceptables des quantités de produits non
conformes, s’il y en a, coïncident avec les données spécifiées dans la norme de référence et dans
la certification ou les plans de qualité.
15
---------------------- Page: 19 ----------------------
ISO B0928:1997(F)
4.2 Conception
4.2.1 Valeurs de régression
4.2.1 .l Valeurs dérivées à long terme
S’il est présumé que, à partir des essais initiaux à court terme sur le tube type d’une telle
conception, la valeur moyenne de la propriété étudiée, VO,~, et l’écart-type estimé, 0, des
résultats des essais initiaux sont connus, les méthodes pour concevoir un tube, afin de satisfaire à
l’exigence de la norme de référence, sont comme suit.
Si le coefficient de sécurité, FS, est spécifié, calculer la valeur minimale de conception à long
(voir figure 4), en utilisant l’équation suivante:
terme (50 ans) pour la propriété, V~O min
9
. . .
(33)
bO,min = FS hO,s,min
sinon:
. . .
(34)
bO,min = bO,s,min
où:
V50 s min est la condition minimale à long terme (50 ans) spécifiée.
1 Y
Taux de régression (voir figure 3)
4.2.1.2
Calculer le taux de régression, RR, en utilisant l’équation suivante:
valeur extrapolée de la propriété à long terme (50 ans)
. . .
RR =
(35)
valeur extrapolée de la propriété à court terme (6 min)
= v50
..m
(35)
RR
v6
où les valeurs extrapolées de la propriété pour à la fois 50 ans et 6 min sont calculées en utilisant
l’équation (31) ou (32), si elle est applicable, sauf que pour la valeur à 6 min, le logarithme de
0,l h (6 min), c’est-à-dire -1, est utilisé à la place de 5,64147.
Coefficient C (voir figure 3)
4.2.1.3
Calculer le coefficient C, qui met en relation la valeur extrapolée à 6 min et les résultats des
premiers essais sur les tuyaux, en utilisant l’équation suivante:
valeur de la première propriété
- Vo
- =-
C . . .
(36)
valeur extrapolée de la propriété 6 min v6
16
---------------------- Page: 20 ----------------------
ISO 10928:1997(F)
0 os0
Propriété
-
l Résultats des essais instantanés
.@ vo
l
j- Résultats des essais à long terme
‘V
R*6
Taux de régression: RR= V&/Ve
’ -.
N
I
N
c= v,/v,
*
Il
N
N
I
\
D
-\
D
I
I
I
I
I
I
D
B
I
N
l
\
I *
\
P
I
*
N
I
I -4
B vs01
I
I
I
I
Temps
50 ans
0,l h
- Valeurs extrapolées
Figure 3
Propriétb
VO,d
Légende:
1,960 -
Lmin est la droite minimale
z= (F, - 1) x V50,s,min
VE>O,s,min
1 I 1 I I I
50 ans
0,l h Temps
Figure 4 - Valeurs dérivées
17
---------------------- Page: 21 ----------------------
ISO 10928: 1997(F) @ ISO
4.2.2 Valeurs initiales
4.2.2.1 Valeur minimale de la propriété initiale (Vo min)
9
en utilisant l’équation suivante:
Dériver la valeur minimale de la propriété initiale, Vo min,
9
c l 40 min
9
. . .
V
(37)
0,min =
RR
où:
C est calculé en utilisant l’équation (36);
V~O min est calculé en utilisant l’équation (33) OU (34);
9
est calculé en utilisant l’équation (35).
RR
4.2.2.2 Valeur définie de la propriété initiale
en utilisant l’équation suivante:
Dériver la valeur définie pour la propriété initiale, Vo d,
9
. . .
(38)
Où:
a est l’écart-type des résultats des essais instantanés pour cette propriété.
Le facteur 1,96 admet qu’un critère d’erreur de 2,5 % est acceptable. Si d’autres pourcentages de
critère d’erreur sont mentionnés dans la norme de référence, le facteur approprié obtenu de
références statistiques normatives devra alors être remplacé par 1,96.
NOTE - Là où l’on peut s’attendre à ce que l’écart-type augmente avec l’augmentation des
valeurs de la propriété moyenne, et vice versa, alors les valeurs de la propriété calculée,
pour différents niveaux de la propriété, peuvent être obtenues en utilisant un coefficient de
variation constant.
Déterminer les valeurs de calcul de la propriété à court terme (6 min) et à long terme (50 ans), et
donc la droite de calcul comme indiqué à la figure 7, comme suit:
- déterminer la valeur de calcul estimée à 6 min de la propriété, Vs d, en utilisant l’équation
9
suivante:
‘0 d
. . .
(39)
b9d = 7
où:
C est déterminé conformément à 4.2.1.3;
- déterminer la valeur estimée à 50 ans de la propriété, V50 & en utilisant l’équation suivante:
>
. . .
v50 d = RR v69d (40)
9
où:
RR est le taux de régression déterminé conformément à 4.2.1.2;
18
---------------------- Page: 22 ----------------------
0 ISO
ISO 10928:1997(F)
- selon le cas (voir 4.1), déterminer l’équation de la droite de calcul définie comme suit:
Ig vt d = ad -+ (b l Ig t)
. . .
(41)
9
où:
V, r( est la valeur de calcul de la propriété à un temps donné t;
bl,“est la pente à la fois de la d Iroite de régression minimale et de la droite de régression
moyenne;
ad est la constante de la droite linéaire de calcul;
où:
ad = a + sd
. . .
(42)
où:
a est la constante de la droite moyenne de la valeur de la propriété [voir équation (l)];
vO,d
ad =Ig- . . .
v09m
- selon le cas (voir 4.1), déterminer l’équation de la courbe de calcul comme suit:
Ig 4 d = cd + (d l Ig t) + {e l (Ig t)*} . . .
(44)
9
où:
4 d est la valeur de calcul de la propriété à un temps tdonné;
...
NORME ISO
INTERNATIONALE 10928
Première édition
1997-08-01
Systèmes de canalisation en matières
plastiques - Tubes et raccords plastiques
thermodurcissables renforcés de verre
(PRV) - Méthodes pour une analyse de
régression et leurs utilisations
Plastics piping systems - Glass-reinforced thermosetting plastics (GRP)
pipes and fittings - Methods for regression analysis and their use
Numéro de référence
ISO 10928: 1997(F)
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ISO 10928:1997(F)
Page
Sommaire
1
1 Domaine d’application
1
2 Principes
1
3 Procédures de détermination de relations fonctionnelles
1
3.1 Relations linéaires - Méthodes A et B
11
3.2 Relations polynomiales de second ordre - Méthode C
15
4 Application des méthodes à la conception et au contrôle du produit
15
4.1 Généralités
16
4.2 Conception
20
4.3 Exemples pour la validation des méthodes de calcul de conception
4.4 Méthodes pour vérifier la conformité avec le calcul du produit et les valeurs
24
de performance
4.5 Exemples pour la validation des méthodes de calcul ou la vérification de la
28
performance du produit
33
Annexe A Procédés mathématiques
33
A.1 Système de matrices
33
A.2 Système de substitution
0 ISO 1997
Droits de reproduction resetvés. Sauf prescription différente, aucune partie de cette publi-
cation ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun pro-
cédé, électronique ou mécanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans l’accord
écrit de l‘éditeur.
Organisation internationale de normalisation
Case postale 56 l CH-121 1 Genève 20 l Suisse
Internet central @ iso.ch
x.400 c=ch; a=400net; p=iso; o=isocs; s=central
Imprimé en Suisse
ii
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ISO 10928: 1997(F)
Avant-propos
LIS0 (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d’organismes
nationaux de normalisation (comités membres de I’ISO). L’élaboration des Normes internationales
est en général confiée aux comités techniques de I’ISO. Chaque comité membre intéressé par une
étude a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations
internationales, gouvernementales et non gouvernementales, en liaison avec I’ISO participent
également aux travaux. L’ISO collabore étroitement avec la Commission électrotechnique
internationale (CEI) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques sont soumis aux
comités membres pour vote. Leur publication comme Normes internationales requiert
l’approbation de 75 % au moins des comités membres votants.
La Nome internationale ISO 10928 a été élaborée par le comité technique ISO/TC 138, Tubes,
raccords et robinetterie en matières plastiques pour le transport des fluides, sous-comité SC 6,
Tubes et raccords en matières plastiques renforcées pour toutes applications.
La présente Norme internationale est techniquement identique à I’EN 7051994.
L’annexe A de la présente Norme internationale est donnée uniquement à titre d’information.
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OS0 10928: 1997(F)
Introduction
Cette norme a été élaborée pour décrire les méthodes destinées à analyser la régression de
données d’essai, généralement en tenant compte du temps, et de l’utilisation des résultats en
conception et en vérification de conformité à des exigences de performance. Son domaine
d’application a été limité à l’usage de données obtenues à partir d’essais menés sur des
échantillons. Les normes de référence requièrent des estimations sur les propriétés à long terme
du tuyau pour des paramètres tels que la résistance à la traction circonférentielle, la déflexion et le
fluage.
Le comité a étudié un champ de techniques statistiques qui peuvent être utilisées pour analyser
les données d’essai provenant de tests destructifs. Beaucoup de ces techniques simples
requièrent que les logarithmes des données:
a) soient normalement distribués;
b) produisent une ligne de régression à pente négative; et
c) aient une corrélation de régression suffisamment élevée (voir tableau 1).
Pour autant que les deux dernières conditions soient satisfaites, l’analyse a montré qu’il y a une
dispersion de la distribution d’où non-satisfaction à la première condition. Une étude ultérieure des
techniques qui prennent en compte des distributions dispersées mènent à l’utilisation de la
méthode de covariance pour l’analyse de telles données dans cette norme.
Les résultats provenant de tests non destructifs, comme le fluage ou des changements de
déflexion avec le temps, remplissent souvent ces trois conditions, et donc des méthodes plus
simples utilisant le temps comme variable indépendante, peuvent également être utilisées en
accord avec cette norme.
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ISO 10928: 1997(F)
NORME INTERNATIONALE @ IS0
Systèmes de canalisation en matières plastiques - Tubes et
raccords plastiques thermodurcissables renforcés de verre
(PRV) - Méthodes pour une analyse de régression et leurs
utilisations
1 Domaine d’application
Cette norme prescrit les méthodes adaptées à l’analyse de données qui, lorsque converties en
logarithmes des valeurs, ont une distribution normale ou dispersée. Elle est faite pour être utilisée
avec les méthodes d’essai et les normes de référence pour les tuyaux ou raccords plastiques
renforcés de verre, pour l’analyse de propriétés comme fonction du temps, en général. Bien
qu’elle puisse aussi être utilisée pour l’analyse d’autres données.
Trois méthodes sont prescrites selon la nature des données. L’extrapolation utilisant ces
techniques prolonge habituellement la tendance d’évolution à partir de données rassemblées sur
une période d’environ 10 000 h, jusqu’à une prévision de la propriété à 50 ans.
2 Principes
Les données sont analysées pour une régression utilisant des méthodes basées sur les résidus
au carré qui peuvent s’adapter à l’incidence d’une distribution dispersée et/ou normale et à
l’application d’une relation polynomiale du premier ou du second ordre.
Les trois méthodes d’analyse utilisées comprennent les suivantes:
- méthode A: covariance utilisant une relation du premier ordre;
- méthode B: résidus au carré avec le temps comme variable indépendante utilisant une
relation du premier ordre;
- méthode C: résidus au carré avec le temps comme variable indépendante utilisant une
relation du second ordre.
Les méthodes comprennent des essais statistiques pour la corrélation des données et la capacité
d’extrapolation.
3 Procédures de détermination de relations fonctionnelles
3.1 Relations linéaires - Méthodes A et B
3.1.1 Procédure commune aux méthodes A et B
Utiliser la méthode A (voir 3.1.2) ou la méthode B (voir 3.1.3) pour s’adapter à une droite de la
forme
y=a+bx . . .
(1)
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0 ISO
ISO 10928: 1997(F)
où:
y est le logarithme (Ig) de la propriété recherchée;
a est l’intersection avec l’axe des y;
b est la pente;
x est le logarithme (Ig) du temps, en heures.
Méthode de la covariance
3.1.2 Méthode A -
3.1.2.1 Généralités
Pour la méthode A, calculer les variables suivantes, selon 3.1.2.2 à 3.1.2.5 suivant le cas:
WYi -y>*
. . .
(2)
QY= n
X(xi - X)*
. . .
Q
(3)
X=
n
Wxi - x>(Yi - Ul
Q . . .
(4)
xy =
n
où:
est la somme des résidus au carré parallèles à l’axe des y divisée par n;
QY
Q est la somme des résidus au carré parallèles à l’axe des x divisée par n;
X
est la somme des résidus au carré perpendiculaires à la droite divisée par n;
Qv
Y est la moyenne arithmétique des données y, c’est-à-dire :
EY
i l
=-
Y
I
X est la moyenne arithmétique des données x, c’est-à-dire :
CX
i l
=-
X
n ’
4, )~i sont des valeurs individuelles;
n est le nombre total des résultats (paires de lectures pour 3, n).
NOTE - Si la valeur de Q, est supérieure à zéro’ lla pente de la droite est positive et si cette
valeur est négative, alors la pente est négative.
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0 os0 ISO 10928: 1997(F)
3.1.2.2 Adéquation des données
Calculer le carré, r? et le coefficient linéaire de corrélation, r, en utilisant les équations suivantes:
Qxy2
=-
r*
. . .
(5)
QxQy
r= 1 (r*)Oq
. . .
0
Si la valeur de r2 ou rest inférieure à la valeur minimale applicable donnée dans le tableau 1 en
fonction de n, considérer les données comme inadéquates pour l’analyse.
Tableau 1 - Valeurs minimales du carré, r29 et du coefficient linéaire de corrélation, r,
acceptables à partir de n paires de données
Valeurs minimales Valeurs minimales
r2 r (n - 2) r2 r
(n - 2)
11 0,6416 0,801O 23 0,3816 0,6177
12 0,6084 0,780O 24 0,3689 0,6074
0,3569 0,5974
13 0,5781 0,7603 25
14 0,5506 0,742O 30 0,307o 0,554l
15 0,525O 0,7246 35 0,2693 0,5189
0,5018 0,7084 40 0,2397 0,4896
16
17 0,4805 0,6932 45 0,216O 0,4648
0,4606 0,6787 50 0,1965 0,4433
18
19 0,4425 0,6652 60 0,1663 0,4078
0,6524 70 0,1443 0,3799
20 0,4256
21 0,4099 0,6402 80 0,1273 0,3568
0,6287 90 0,1139 0,3375
22 0,3953
100 0,1031 0,321l
NOTE - Dans ce tableau et partout dans cette norme, les équations et valeurs
correspondantes pour r2 et r sont données pour une facilité d’utilisation en conjonction
avec des données de référence publiées ailleurs en termes de r2 ou de r seulement.
Relations fonctionnelles
3.1.2.3
Pour trouver a et b dans la droite de relation fonctionnelle
y= a+ bx . . .
(1)
d’abord établir
Q
Y
=-
F
. . .
(7)
Q
X
---------------------- Page: 7 ----------------------
ISO 10928: 1997(F)
0 os0
.
puis calculer a et b en utilisant les équations suivantes:
=-
b (Iy5 . . .
(8)
a= Y-bX . . .
(9)
3.1.2.4 Calcul des variantes
Si tu est le temps à appliquer à la rupture, établir
. . .
kJ f
xu= u (10)
En utilisant les équations (1 l), (12) et (13) respectivement, calculer pour i = 1 à n la séquence
statistique suivante:
- meilleure corrélation 3’ pour la vraie valeur 3;
- meilleure corrélation J$ pour la vraie valeur yi; et
- la variance d’erreur, o&* pour x.
rXi + b(yi - a)
Xi’ =
. . .
(11)
2r
=a+b+’
. . .
yi’ (12)
2 {Z(yi - yi’ )* + IX(Xi - Xi’)*}
qj =
. . .
(13)
(n - 2)r
Calculer les quantités suivantes:
E hi*
=-
. . .
(14)
2Q
XY
2m6*
-
-
D
. . .
(15)
nQxy
Calculer la variante C de la pente b en utilisant l’équation suivante:
C=D(l+Q . . .
(16)
3.1.2.5 Vérification de l’adéquation des données pour l’extrapolation
Si l’on veut extrapoler la droite, calculer Ten utilisant l’équation suivante:
b b
T
. . .
(17)
= (variante de b)Oy5 = p
Si la valeur absolue 1 Ti (c’est-à-dire en ne tenant pas compte des signes) de Test égale à ou est
plus grande que la valeur applicable du “t de Studenf’, tv, telle qu’indiquée dans le tableau 2 pour
(n - 2) degrés de liberté, considérer alors les données adéquates pour l’extrapolation.
4
---------------------- Page: 8 ----------------------
ISO 10928:1997(F)
0 ISO
Tableau 2 - Points de pourcentage de la distribution du “f de Studenf’ (2,5 % points
supérieurs; niveau de confiance de 5 % en deux intervalles voisins; t, pour 97,5 %)
Valeur du Degré de Valeur du Degré de Valeur du
Degré de
liberté **t de Studeni’ liberté **t de Studenf’
liberté “t de Studeni’
(n - 2)
4 4 4
(n - 2) (n-2)
36 2,0281 71 1,9939
12,7062
4,3027 37 2,0262 72 1,9935
3,1824 38 2,0244 73 1,993o
2,7764 39 2,0227 74 1,9925
2,5706 40 2,0211 75 1,9921
2,4469 41 2,0195 76 1,9917
6
7 2,3646 42 2,0181 77 1,9913
2,306O 43 2,0167 78 1,9908
8
2,2622 44 2,0154 79 1,9905
9
2,2281 45 2,0141 80 1,9901
10
2,201o 46 2,0129 81 1,9897
11
12 2,1788 47 2,0112 82 1,9893
13 2,1604 48 2,0106 83 1,989O
2,1448 49 2,0096 84 1,9886
14
15 2,1315 50 2,0086 85 1,9883
16 2,1199 51 2,0076 86 1,9879
17 2,1098 52 2,0066 87 1,9876
1,9873
18 2,1009 53 2,0057 88
19 2,093o 54 2,0049 89 1,987O
20 2,086O 55 2,004O 90 1,9867
21 2,0796 56 2,0032 91 1,9864
22 2,0739 57 2,0025 92 1,9861
1,9858
23 2,0687 58 2,0017 93
1,9855
24 2,0639 59 2,OOlO 94
25 2,0595 60 2,0003 95 1,9853
26 2,0555 61 1,9996 96 1,985O
27 2,0518 62 1,999o 97 1,9847
63 1,9845
28 2,0484 1,9983 98
64 1,9842
29 2,0452 1,9977 99
30 2,0423 65 1,9971 100 1,984O
31 2,0395 66 1,9966
32 2,0369 67 1,996O
2,0345 68 1,9955
33
69 1,9949
34 2,0322
l
70 1,9944
35 2,0301
---------------------- Page: 9 ----------------------
0 ISO
ISO 10928: 1997(F)
3.1.2.6 Validation des procédures statistiques grâce & un exemple de calcul
Les données du tableau 3, avec les résultats donnés de cet exemple, sont donnés afin de vérifier
que d’autres procédures statistiques qui seraient adoptées par les utilisateurs, produiront des
résultats semblables à ceux obtenus à partir des équations données dans cette norme. Comme
exemple, la propriété en question est représentée par V, dont les valeurs sont d’une amplitude
courante et sans unité particulière. À cause des erreurs dues aux arrondissages, il est peu
probable que les résultats concordent exactement; afin que la procédure de calcul soit acceptable,
*, b, a, et la valeur moyenne de V, Vm, devront coïncider à =f: 0,l %
les résultats obtenus pour r, r
avec des valeurs éventuellement données dans cet exemple. Les valeurs des autres statistiques
sont fournies pour permettre la vérification de la procédure.
Tableau 3 - Données de base pour calcul d’un exemple et validation d’analyse statistique
---------------------- Page: 10 ----------------------
ISO 10928: 1997(F)
Sommes des carrés
= 0,79812;
Q
X
Q = 0,00088;
Y
= -0,02484.
Q
v
Coefficient de corrélation
r*
= 0,87999;
r = 0,93808.
Relations fonctionnelles
r = 0,00110;
b = -0,03317;
a = 1,62731.
Variantes calculées (voir 3.1.2.4)
E = 3,5202 . lO-*;
D = 4,8422 . 10-6;
C = 5,0127 . 1 O-6 (la variante de 6);
5,2711 . 10’* (la variante d’erreur pour x).
qj* =
Contrôle par extrapolation (voir 3.1.2.5)
n = 32;
t = 2,0423;
V
T = -0,03317/(5,0127 . 1 O-6)0,5 = -14,8167;
1 TI = 14,8167 > 2,0423.
Les valeurs moyennes estimées pour V, à différentes dates, sont données dans le tableau 4 et
indiquées sur la figure 1.
Tableau 4 -
Valeurs moyennes estimées, lJm, pour V
---------------------- Page: 11 ----------------------
ISO 10928: 1997(F)
Valeurs
35
27,55
25 I
I I I 1 I
10-l
10° 10' 102 103 104 105 106
Temps, h
Figure 1 - Droite de régression à partir des résultats d’essai du tableau 4
3.1.3 Méthode B - Régression avec le temps comme variable indépendante
3.1.3.1 Généralités
Pour la méthode B, calculer les variables suivantes:
S . . .
y = an - Y)*
(18)
(La somme des résidus au carré parallèles à l’axe des y)
S x = X(xi - x)2
. . .
(19)
(La somme des résidus au carré parallèles à l’axe des x)
(La somme des résidus au carré perpendiculaires à la droite)
où:
est la moyenne arithmétique des données y, c’est-à-dire
Y
XY
i l
=-
Y
n ’
X est la moyenne arithmétique des données x’ c’est-à-dire
---------------------- Page: 12 ----------------------
@ ISO
ISO 10928: 1997(F)
CX
i l
=-
X
n ’
3, yi sont des valeurs isolées;
n est le nombre total des résultats (paires de lectures pour 3, n).
NOTE - Si la valeur de S, est supérieure à zéro, la pente de la droite est positive et si cette
valeur est négative, alors la pente est négative.
3.1.3.2 Adéquation des données
le carré, r*, et le coefficient linéaire de corré
Calculer ilation, r, en utilisant les équations suivantes:
s 2
r* ‘Y
=-
l . .
(21)
sxsy
r = 1 (r*)O,5 1 mm.
(22)
Si la valeur de r*, ou de rj est inférieure à la valeur minimale appropriée, donnée dans le tableau 1
comme une fonction de n, considérer les données comme inadéquates pour l’analyse.
3.1.3.3 Relations fonctionnelles
Calculer a et b pour la droite de relation fonctionnelle [voir l’équation (l)], en utilisant les équations
suivantes:
S
XY
=-
b mm.
(23)
S
X
a= Y-6X mm.
(24)
3.1.3.4 Vérification de l’adéquation des données pour l’extrapolation
Si l’on veut extrapoler la droite, calculer M en utilisant l’équation suivante:
tv2 x (S, x sy - sxy*>
S2
X
=--
M
mm.
(25)
s * (n - 2) x Sy2
XY
où:
tv est la valeur appropriée pour le “t de Student” déterminée à partir du tableau 2.
Si M est égale ou inférieure à zéro, considérer les données inadéquates pour l’extrapolation.
---------------------- Page: 13 ----------------------
ISO 10928: 1997(F)
0 ISO
3.1.3.5 Validation des procédures statistiques grâce à un exemple de calcul
Utiliser les données détaillées dans le tableau 5 pour les procédures de calcul décrites de 3.1.3.2
à 3.1.3.4 afin de s’assurer que les méthodes statistiques qui seront utilisées conjointement avec
cette méthode, donneront des résultats pour rp r*p
a, b et Vm avec un écart de * OJ % des valeurs
données dans cet exemple.
Tableau 5 - Données de base pour le calcul d’un exemple et validation statistique
X
(Ig 0
Temps V
h (ten h)
0,lO
-1 ,oooo 7114
3,852l
0,27 -0,5686
6935 3,841O
0,50
-0,301o 6824
3,8341
1 ,oo 0 6698
3,8259
3,28 0,5159
6533 3,8151
7,28 0,8621
6453 3,8098
20,o
l,3010 6307
3,7999
45,9 1,6618 6 199
3,7923
72,0 1,8573
6133 3,7877
166
2,2201 5692
3,7552
219
2,3404 5508 3,741o
384 2,5843
5393 3,7318
504 2,7024
5364 3,7295
3000 3,4771 5200
3,716O
10520 4,022O
4975 3,6968
Moyennes: x= 1,445o
Y= 3,7819
Somme des carrés
S = 31,6811;
X
S = 0,0347;
Y
S = -1,0242.
v
Coefficient de corrélation
r* = 0,9556;
r = 0,9775.
Relations fonctionnelles (voir 3.1.3.3)
a = 3,8286;
= -0,0323.
b
10
---------------------- Page: 14 ----------------------
ISO 10928:1997(F)
0 os0
Contrôle de l’adéquation à l’extrapolation (voir 3.1.3.4)
t = 2,1604;;
V
M = 942,21 l
Les valeurs moyennes estimées, VmI pour Vi à des dates différentes, sont données dans le
tableau 6.
Tableau 6 - Valeurs moyennes estimées, vm, pour V
3.2 Relations polynomiales de second ordre - Méthode C
3.2.1 Généralités
Cette méthode s’adapte à une courbe de la forme
mm.
y= c+ dx+ ex*
(26)
où:
y est le logarithme (Ig) de la propriété étudiée;
C est l’intersection sur l’axe des y;
d, e sont les coefficients des deux ordres de x;
X est le logarithme (Ig) du temps, en heures.
3.2.2 Variables
Pour la méthode C, calculer les variables suivantes:
CX (somme de toutes les valeurs individuelles de x);
i
.2
XX (somme de toutes les valeurs de x au carré);
I
.3
CX (somme de toutes es valeurs de xau cube);
I
.4
XX (somme de toutes es valeurs de x à la puissance
A
quatre);
i
es valeurs individuelles de y);
(somme de toutes
EY
i
---------------------- Page: 15 ----------------------
0 ISO
ISO 10928: 1997(F)
(carré de la somme de toutes les valeurs isolées de y);
@Y) i*
.2
(somme de toutes les valeurs de y au carré);
ÇY
1
(somme de tous les produits 3~);
Wip/i)
(somme de tous les produits 4*yi);
wq*yi)
s, = z(+ - x)2 (somme des résidus au carré parallèles à l’axe des x
pour la partie linéaire);
z(xf - XL)2 (somme des résidus au carré parallèles à l’axe des x
S
xx=
pour la partie quadratique);
(somme des résidus au carré parallèles à l’axe des y);
sy = qv, - Y)*
(somme des résidus au carré perpendiculaires à la
S
x)p = Wxi - x)(H - VI
courbe pour la partie linéaire);
(somme des résidus au carré perpendiculaires à la
S
wj* - myi - Y)1
=Y=
courbe pour la partie quadratique).
où:
Y est la moyenne arithmétique des données y, c’est-à-dire :
XY i .
=-
Y
n ’
X est la moyenne arithmétique des données x, c’est-à-dire
CX
i
=-
X
n l
3.2.3 Système de solution
Déterminer c, d, et e (voir 3.2.1) en utilisant la matrice suivante:
= cn + CET + eZ+* . . . (27a)
CY i
= CD~ + CE+* + eZ*3 mm. (27b)
WiYi)
E(+*H) = CXdXi* + CE+’ + dCXi4 mm. (27~)
NOTE - Des exemples montrant les procédés pouvant être utilisés sont détaillés dans
l’annexe A.
3.2.4 Adéquation des données
Calculer le carré, r*, et le coefficient de corrélation linéaire’ ry en utilisant les formules suivantes:
12
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0 PS0 ISO 10928: 1997(F)
r2 CzYi + ~(+Vi) + eWj*yJ - [(WJ*ln]
-
-
. mm
(28)
;r;yi* - [Wi)*W
r = 1 (r*)Op51
mm.
(29)
Si la valeur de r29 ou de r, est inférieure à la valeur appropriée, donnée dans le tableau 1 comme
une fonction de n, considérer la donnée comme inadéquate pour l’analyse.
3.2.5 Vérification de l’adéquation des données pour l’extrapolation
Si l’on veut extrapoler la droite, calculer M en utilisant l’équation suivante:
S2 s * t,*(s,sy - sxy2 + sxxsy - &)(y*)
--
M . mm
(30)
=G+ sxyy2
(n - 2)S,*
Si M est égale ou inférieure à zéro, considérer les données comme inadéquates pour
l’extrapolation.
3.2.6 Validation des procédures statistiques grâce à un exemple de calcul
Utiliser les données détaillées dans le tableau 5 pour les procédures de calcul décrites de 3.2.2
à 3.2.5 afin de s’assurer que les méthodes statistiques qui seront utilisées conjointement avec
cette méthode, donneront des résultats pour r, r*,
a, b et Vm avec un écart de * 0,l % des valeurs
données dans cet exemple (n = 15).
Somme des carrés et autres variables
CX = 21,671;
i
.2
CX = 62,989;
I
.3
CX = 180,623;
I
.4
CX
= 584,233;
I
= 56,728;
EY i
i2-
-
3218,09;
FY)
.2
= 214,574;
EY
I
l =
80,932;
=jYl
çxj*vi = 235,175;
S = 31,681;
X
S = 386,638;
xx
S 0,347;
Y =
S -1,0242;
v =
S -3’0418.
=Y=
13
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0 ISO
ISO 10928: 1997(F)
Système de solution (voir 3.2.3)
c = 3,8288;
-
-0,0262;
d -
e = -0,0022.
Coefficient de corrélation (voir 3.2.4)
r* = 0,9647;
r = 0,9822.
Vérification de l’adéquation de l’extrapolation (voir 3.2.5)
t 2,1604;
v =
M = 15859,6.
Les valeurs moyennes estimées, Vm, pour V, à des dates différentes, sont données dans le
tableau 7 et indiquées sur la figure 2.
Tableau 7 - Valeurs moyennes estimées, Vm, pour V
Valeurs
9000
6000
10' 110' 10" 104
Temps, h
Figure 2 urbe de régression à partir des résultats d’essais du tableau 7
14
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0 os0 ISO 10928: 1997(F)
Application des méthodes à la conception et au contrôle du produit
4
4.1 Généralités
La norme de référence fixe des conditions limitatives requises, en ce qui concerne les propriétés
et la performance d’un produit. Certaines d’entre elles sont basées sur des essais destructifs, par
exemple la contrainte en traction circonférentielle, tandis que d’autres sont basées sur des
propriétés physiques véritables ou dérivées, telles que la rigidité.
Lorsque la propriété physique devant être déterminée, autorise l’utilisation des deux Méthodes B
et C, alors les deux procédures seront entreprises.
Les valeurs pour r* et/ou rdéterminées par chaque procédure seront comparées et les valeurs
pour la propriété déterminées en utilisant la procédure donnant les valeurs r* ou r les plus élevées
seront prises comme valeur pour la propriété. Si la norme de référence ne spécifie qu’une seule
méthode pour la propriété, alors seule cette procédure sera entreprise.
Dans chaque cas, plusieurs de ces propriétés ont besoin d’une valeur extrapolée à long terme
(par exemple 50 ans) pour la comparer avec l’exigence. Cette valeur extrapolée est déterminée en
introduisant, si nécessaire, les valeurs pour a, 6, c, cf’ et e, déterminées selon 3.1 ou 3.2, dans les
équations (31) ou (32) respectivement.
Igy=a+btL mm.
(31)
Ig y= c+ dtL + etL*
mm.
(32)
où:
fi est le logarithme (Ig) de la période à long terme, en heures, [pour 50 ans (438 000 h),
tL = 5,64147].
La résolution de l’équation, (31) ou (32), pour y, donne la valeur extrapolée pour la comparaison
avec l’exigence spécifiée dans la norme de référence.
Pour des procédures supplémentaires, si cela est significatif, concernant l’application des résultats
d’où dériveraient des exigences de conception (voir 4.2 et les exemples étudiés, cités en 4.3) pour
permettre la validation de tous les moyens de calcul utilisés.
En ce qui concerne leur utilisation pour l’essai du produit afin de prédire et vérifier sa capacité à
être conforme à l’exigence spécifiée, voir 4.4 et les exemples étudiés, cités en 4.5, pour permettre
la validation de tous les moyens de calcul utilisés.
Le texte de 4.2 à 4.5 est approprié aux limites de la spécification, en termes de valeurs minimales,
de performance à long terme à 50 ans et de performance à court terme à 6 min. Pour des limites
comprenant des valeurs maximales ou d’autres durées, des ajustements appropriés sont
nécessaires.
Ces méthodes peuvent être utilisées à des fins de contrôle de qualité si, conjointement avec les
exigences d’échantillonnage et les limites des niveaux acceptables des quantités de produits non
conformes, s’il y en a, coïncident avec les données spécifiées dans la norme de référence et dans
la certification ou les plans de qualité.
15
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ISO B0928:1997(F)
4.2 Conception
4.2.1 Valeurs de régression
4.2.1 .l Valeurs dérivées à long terme
S’il est présumé que, à partir des essais initiaux à court terme sur le tube type d’une telle
conception, la valeur moyenne de la propriété étudiée, VO,~, et l’écart-type estimé, 0, des
résultats des essais initiaux sont connus, les méthodes pour concevoir un tube, afin de satisfaire à
l’exigence de la norme de référence, sont comme suit.
Si le coefficient de sécurité, FS, est spécifié, calculer la valeur minimale de conception à long
(voir figure 4), en utilisant l’équation suivante:
terme (50 ans) pour la propriété, V~O min
9
. . .
(33)
bO,min = FS hO,s,min
sinon:
. . .
(34)
bO,min = bO,s,min
où:
V50 s min est la condition minimale à long terme (50 ans) spécifiée.
1 Y
Taux de régression (voir figure 3)
4.2.1.2
Calculer le taux de régression, RR, en utilisant l’équation suivante:
valeur extrapolée de la propriété à long terme (50 ans)
. . .
RR =
(35)
valeur extrapolée de la propriété à court terme (6 min)
= v50
..m
(35)
RR
v6
où les valeurs extrapolées de la propriété pour à la fois 50 ans et 6 min sont calculées en utilisant
l’équation (31) ou (32), si elle est applicable, sauf que pour la valeur à 6 min, le logarithme de
0,l h (6 min), c’est-à-dire -1, est utilisé à la place de 5,64147.
Coefficient C (voir figure 3)
4.2.1.3
Calculer le coefficient C, qui met en relation la valeur extrapolée à 6 min et les résultats des
premiers essais sur les tuyaux, en utilisant l’équation suivante:
valeur de la première propriété
- Vo
- =-
C . . .
(36)
valeur extrapolée de la propriété 6 min v6
16
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ISO 10928:1997(F)
0 os0
Propriété
-
l Résultats des essais instantanés
.@ vo
l
j- Résultats des essais à long terme
‘V
R*6
Taux de régression: RR= V&/Ve
’ -.
N
I
N
c= v,/v,
*
Il
N
N
I
\
D
-\
D
I
I
I
I
I
I
D
B
I
N
l
\
I *
\
P
I
*
N
I
I -4
B vs01
I
I
I
I
Temps
50 ans
0,l h
- Valeurs extrapolées
Figure 3
Propriétb
VO,d
Légende:
1,960 -
Lmin est la droite minimale
z= (F, - 1) x V50,s,min
VE>O,s,min
1 I 1 I I I
50 ans
0,l h Temps
Figure 4 - Valeurs dérivées
17
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ISO 10928: 1997(F) @ ISO
4.2.2 Valeurs initiales
4.2.2.1 Valeur minimale de la propriété initiale (Vo min)
9
en utilisant l’équation suivante:
Dériver la valeur minimale de la propriété initiale, Vo min,
9
c l 40 min
9
. . .
V
(37)
0,min =
RR
où:
C est calculé en utilisant l’équation (36);
V~O min est calculé en utilisant l’équation (33) OU (34);
9
est calculé en utilisant l’équation (35).
RR
4.2.2.2 Valeur définie de la propriété initiale
en utilisant l’équation suivante:
Dériver la valeur définie pour la propriété initiale, Vo d,
9
. . .
(38)
Où:
a est l’écart-type des résultats des essais instantanés pour cette propriété.
Le facteur 1,96 admet qu’un critère d’erreur de 2,5 % est acceptable. Si d’autres pourcentages de
critère d’erreur sont mentionnés dans la norme de référence, le facteur approprié obtenu de
références statistiques normatives devra alors être remplacé par 1,96.
NOTE - Là où l’on peut s’attendre à ce que l’écart-type augmente avec l’augmentation des
valeurs de la propriété moyenne, et vice versa, alors les valeurs de la propriété calculée,
pour différents niveaux de la propriété, peuvent être obtenues en utilisant un coefficient de
variation constant.
Déterminer les valeurs de calcul de la propriété à court terme (6 min) et à long terme (50 ans), et
donc la droite de calcul comme indiqué à la figure 7, comme suit:
- déterminer la valeur de calcul estimée à 6 min de la propriété, Vs d, en utilisant l’équation
9
suivante:
‘0 d
. . .
(39)
b9d = 7
où:
C est déterminé conformément à 4.2.1.3;
- déterminer la valeur estimée à 50 ans de la propriété, V50 & en utilisant l’équation suivante:
>
. . .
v50 d = RR v69d (40)
9
où:
RR est le taux de régression déterminé conformément à 4.2.1.2;
18
---------------------- Page: 22 ----------------------
0 ISO
ISO 10928:1997(F)
- selon le cas (voir 4.1), déterminer l’équation de la droite de calcul définie comme suit:
Ig vt d = ad -+ (b l Ig t)
. . .
(41)
9
où:
V, r( est la valeur de calcul de la propriété à un temps donné t;
bl,“est la pente à la fois de la d Iroite de régression minimale et de la droite de régression
moyenne;
ad est la constante de la droite linéaire de calcul;
où:
ad = a + sd
. . .
(42)
où:
a est la constante de la droite moyenne de la valeur de la propriété [voir équation (l)];
vO,d
ad =Ig- . . .
v09m
- selon le cas (voir 4.1), déterminer l’équation de la courbe de calcul comme suit:
Ig 4 d = cd + (d l Ig t) + {e l (Ig t)*} . . .
(44)
9
où:
4 d est la valeur de calcul de la propriété à un temps tdonné;
...
Questions, Comments and Discussion
Ask us and Technical Secretary will try to provide an answer. You can facilitate discussion about the standard in here.