ISO 11095:1996
(Main)Linear calibration using reference materials
Linear calibration using reference materials
Outlines the general principles needed to calibrate a measurement system and to maintain that system in a state of statistical control. Provides a basic method for estimating a linear calibration function, a control method for extended use of a calibration function and two alternative methods to the basic method.
Étalonnage linéaire utilisant des matériaux de référence
La présente Norme internationale a pour objet: a) d'exposer les grandes lignes des principes généraux d'étalonnage d'un système de mesurage et de maintien de ce système de mesurage («étalonné» en état de maîtrise statistique; b) de fournir une méthode de base pour estimer une fonction d'étalonnage linéaire selon l'une des deux hypothèses relatives à la variabilité des mesurages, pour contrôler l'hypothèse de linéarité de la fonction d'étalonnage et les hypothèses touchant la variabilité des mesurages, et pour estimer la valeur d'une nouvelle grandeur inconnue en modifiant les valeurs mesurées obtenues sur cette grandeur par la fonction d'étalonnage; c) de fournir une méthode de contrôle pour un usage élargi d'une fonction d'étalonnage pour déceler si la fonction d'étalonnage a besoin d'être mise à jour 1007, et pour évaluer l'incertitude des valeurs mesurées après modification par la fonction d'étalonnage; d) de fournir deux variantes de la méthode de base, dans des conditions particulières; e) d'illustrer par un exemple la méthode de base et la méthode de contrôle. La présente Norme internationale s'applique aux systèmes de mesurage pour lesquels on dispose de matériaux de référence. La présente Norme internationale s'applique aux systèmes de mesurage ayant une fonction d'étalonnage supposée linéaire. Elle propose une méthode d'examen de l'hypothèse de linéarité. Si l'on sait que la fonction d'étalonnage est non linéaire, la présente Norme internationale ne s'applique pas sauf en utilisant la «technique de l'encadrement» décrite en 8.3. La présente Norme internationale ne fait pas de distinction entre les divers types de MR et considère que les valeurs acceptées des MR choisis pour l'étalonnage du système de mesurage sont justes.
General Information
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Standards Content (Sample)
ISO
TERNATIONAL
11095
STANDARD
First edition
1996-02-0 ’1
Linear calibration using reference materials
Etalonnage /inkaire utilisant des matbriaux de rbfbence
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Contents
Page
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .*. 1
1 Scope . . . . . . . . . . . . . . . .*.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Normative references
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .s. 1
3 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
......................................... 2
4 General principles .
............................................... 2
5 Basic method .
................................................. 4
6 The Steps of the basic method
................................. 10
7 Control method . .
.................................... 13
8 Two alternatives to the basic method
16
9 Example .
Annexes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
A List of Symbols and abbreviations
B Basic method when the number of replicates is not constant 27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
C Bibliography
o ISO 1996
All nghts r-eserved. Uniess otherwise specified, no part of this publication may be reproduced
or utilized in any form or by any means, electronie or mechanicac, including photocopying and
mtcrofilm, without Permission in writing from the publisher.
International Organization for Standardization
Case Postale 56 l CH-l 211 Geneve 20 l Switzerland
Printed in SwitzerIand
ii
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0 ISO
ISO 11095:1996(E)
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide
federation of national Standards bodies (ISO member bedies). The work
of preparing International Standards is normally carried out through ISO
technical committees. Esch member body interested in a subject for
which a technical committee has been established has the right to be
represented on that committee. International organizations, governmental
and non-governmental, in Ciaison with ISO, also take part in the work. ISO
collaborates closely with the International Electrotechnical Commission
(IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
Draft International Standards adopted by the technical committees are
circulated to the member bodies for voting. Publication as an International
Standard requires approval by at least 75 % of the member bodies casting
a vote.
International Standard ISO 11095 was prepared by Technical Committee
ISO/TC 69, Applications of sfafistical methods, Subcommittee SC 6,
Measurement methods and results.
Annexes A and B form an integral part of this International Standard. An-
nex C is for information only.
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@Zl ISO
ISO 11095:1996(E)
Introduction
Calibration is an essential part of most measurement procedures. lt is a
set of operations which establish, under specified conditions, the re-
lationship between values indicated by a measurement System and the
corresponding accepted values of some “Standards ”. In this International
Standard, the Standards are reference materials.
A reference material (RM) is a substance or an artifact for which one or
more properties are established sufficiently well to validate a measure-
ment System. There exist several kinds of RMs:
a) an internal reference material is an RM developed by a user for his/her
own internal use;
an external ref erence material is an RM provided by someone other
b)
tha n the User;
a certif ied reference material is an RM issued and certified by an or-
d
ganization recognized as competent to do so.
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ISO 11095:1996(E)
INTERNATIONAL STANDARD 0 ISO
Linear calibration using reference materials
lt is applicable to measurement Systems with an as-
1 Scope
sumed linear calibration function. lt offers a method
for examining the assumption of Iinearity. If it is
This International Standard: known that the calibration function is nonlinear, then
this International Standard is not applicable unless one
outlines the general principles needed to calibrate
a) uses the “bracketing technique” described in 8.3.
a measurement System and to maintain that
This International Standard does not make a dis-
“calibrated” measurement System in a state of
tinction among the various types of RMs and consid-
statistical control;
ers that the accepted values of the RMs selected to
calibrate the measurement System are without error.
b) provides a basic method
- for estimating a linear calibration function un-
2 Normative references
der either one of two assumptions relating to
the variability of the measurements,
The following Standards contain provisions which,
through reference in this text, constitute provisions
- for checking the assumption of linearity of the
of this International Standard. At the time of publica-
calibration function and the assumptions on
tion, the editions indicated were valid. All Standards
the variability of the measurements, and
are subject to revision, and Parties to agreements
based on this International Standard are encouraged
- for estimating the value of a new unknown
to investigate the possibility of applying the most re-
quantity by transforming the measured values
cent editions of the Standards indicated below.
obtained on that quantity with the calibration
Members of IEC and ISO maintain registers of cur-
function;
rently valid International Standards.
c) provides a control method for extended use of a
ISO 3534-1 :1993, Statistics - Vocabulary and sym-
calibration function
bols - Part 7: Probability and general statistical
terms.
- for detecting when the calibration function
needs to be updated, and
ISO 3534-2:1993, Statistics - Vocabulary and sym-
bols - Part 2: Statistical quality control.
- for estimating the uncertainty of the measured
values after transformation with the calibration
ISO Guide 30:1992, Terms and definitions used in
function;
connection with reference ma terials.
d) provides two alternatives to the basic method
3 Definitions
under special conditions;
e) illustrates the basic method and the control For the purposes of this International Standard, the
method with an example. definitions given in ISO 3534-1 and ISO 3534-2 and
the following definition apply.
This International Standard is applicable to measure-
3.1 reference material: A substance or an artifact
ment Systems for which reference materials are
for which one or more properties are established suf-
available.
1
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a 1FJ-J
ISO 11095:1996(E)
and easy method to “recalibrate” a System that has
ficiently weil to be used to validate a measurement
been studied more thoroughly during previous exper-
System.
iments. If linearity is in question, then a second
alternative tan be used, called “bracketing ”.
4 General principles
The basic method and the one-Point method are
Calibration is a procedure that determines the sys-
based on the assumption that the effort invested in
tematic differente that may exist between a
calibration will be valid over a period of stability of the
measurement System and a “reference” System rep-
process. To study the period over which the cali-
resented by the reference materials and their ac-
bration is valid, a control method has to be in place.
cepted values. In this International Standard, the term
The control method is designed to detect whether
System (measurement System or reference System)
changes have taken place in the System that justify
is used to represent not only a measuring instrument
an investigation and/or a recalibration. The control
but also the set of procedures, Operators and en-
method also provides a simple way to determine the
vironment conditions associated with that instrument.
precision of the values that have been transformed
with a given calibration function.
The output of a calibration procedure is a calibration
function that is used to make transformations of fu-
The bracketing method is labour intensive but may
ture measurement results. In this International Stan-
provide greater accuracy in the determination of the
dard, the term “transformation” refers to
values of unknown quantities. This method consists
of surrounding as tightly as possible (bracketingj each
- either a correction of the future measurements if
unknown quantity by two RMs and extracting a
both the accepted values of the reference ma-
transformed value for the unknown quantity from
terials (RMs) and the observed values have the
measurements of both the unknown quantity and the
Same units,
values of the two RMs. Only short-term stability of
the measurement process is assumed (stability during
- or a translation from the units of the observed
the measurement of the unknown quantity and of the
measurements to the units of the RMs.
two RMs). Linearity is assumed solely in the interval
between the values of the two RMs.
The validity of the calibration function depends on two
conditions:
5 Basic method
a) that the measurements from which the calibration
function was calculated are representative of the
5.1 General
normal conditions under which the measurement
System operates; and
This clause describes how to estimate and use a lin-
ear calibration function when several (more than two)
b) that the measurement System is in a state of
*
RMs are available. The availability of several RMs al-
control.
lows the linearity of the calibration function to be
verified.
The calibration experiment must be designed to en-
Sure that Point a) is met. The control method deter-
mines, as soon as possible, when the System has to
5.2 Assumptions
be considered out of control.
5.2.1 lt is assumed that there is no error in the ac-
The procedure in this International Standard is only
cepted values of the RMs (this assumption will not
applicable to measurement Systems which are linearly
be checked ,in this International Standard). In practice,
related to their reference Systems. To check whether
accepted values of RMs are quoted with their uncer-
the assumption of linearity is valid, more than two
tainties. The assumption of no error in the accepted
RMs must be used during the calibration experiment.
values of the RMs tan be considered valid if the un-
This is illustrated in the basic method. Using several
certainties are small compared to the magnitude of
RMs, the basic method provides a strategy and tech-
the errors in the measured values of these RMs (see
niques to analyse the data collected during the cali-
ref. [IJ.
bration experiment. lf linearity is not in question, then
an alternative method, simpler than the basic method,
NOTE 1 In situations where the RMs have been treated
tan be used to estimate a linear calibration function
chemically or, in some instances physically, before Instru-
based on one Point. This “one-Point calibration”
ment readings are taken, this International Standard may
method (following a Zero-level transformation) does
underestimate the uncertainty associated with the trans-
not allow for any test of assumptions, but it is a quick formation of a new measurement result.
2
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5.2.2 The calibration function is assumed to be linear The number of replicates should be the same for all
RMs.
(this assumption will be examined).
The time and conditions at which the replicates are
5.2.3 Repeated measurements of a given RM are
taken should cover as wide a range as is necessary
assumed to be independent and normally distributed,
to ensure that all operating conditions are rep-
with variance referred to as “residual variance” (the
resented.
independence and normality assumptions will not be
checked in this International Standard). The Square
5.4 Strategy for analysing the data
root of the residual variance is referred to as the re-
sidual Standard deviation.
5.4.1 Plot the data to check
5.2.4 The residual Standard deviation is assumed to
a) the state of control of the measurement System
be either constant or proportional to the accepted
during the calibration experiment,
value of the RM (this assumption will be examined).
b) the assumption of linearity, and
5.3 Calibration experiment
cj the variability of the measurements as a function
of the accepted values of the RMs. .
5.3.1 Experimental conditions
5.4.2 Estimate the linear calibration function under
Experimental conditions should be the Same as the
the assumption of constant residual Standard devi-
normal operating conditions of the measurement
ation.
System; i.e. if, for example, more than one Operator
uses the measuring equipment then there should be
more than one Operator represented in the calibration 5.4.3 Plot the calibration function and the residuals.
experiment.
The residuals plot is a strong indicator of departure
from either the assumption of linearity or from the
assumption of constant residual Standard deviation. If
5.3.2 Choice of RMs
the assumption of constant residual Standard devi-
ation does hold, skip step 5.4.4 and continue with
The range of values spanned by the selected RMs
step 5.4.5. Otherwise, execute step 5.4.4.
should include (as far as is possible) the range of val-
ues encountered during normal operating conditions
of the measurement System.
5.4.4 Estimate the linear calibration function under
the assumption of proportional residual Standard de-
The composition of the selected RMs should be as
viation and plot the calibration function and the re-
close as possible to the composition of the targeted
siduals.
material to be*measured.
5.4.5 Evaluate the lack of fit of the calibration func-
The values of the RMs should be distributed approxi-
tion. If the variability due to lack of fit is large relative
mately equidistantly over the range of values en-
to the variability due to replication of measurements,
countered during normal operating conditions of the
investigate the procedures followed during the cali-
measurement System.
bration experiment and re-examine the assumption
of linearity of the calibration function. If the assump-
5.3.3 Number of RMs, N
tion of linearity does not hold, then an alternative is
to use the bracketing technique described in 8.3.
The number of RMs used to assess the calibration
function should be at least 3.
NOTE 2 There exist other techniques, beyond the scope
of this International Standard, that allow the fitting of a
For an initial assessment of the calibration function, a
quadratic or polynomial curve to the data (see refs. [Z] and
number larger than 3 is recommended (at least 3 over
VI)*
any subinterval where there is a doubt about the lin-
earity of the calibration function).
5.4.6 Transform future measured values with the
calibration function.
5.3.4 Number of replicates, K
The next clause describes the six Steps of this strat-
egy. Clause 9 illustrates the basic method with an
Esch RM should be measured at least twice (as many
replicates as is possible in practice is recommended). example.
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If the Causes for one or a very few outliers are found,
6 The Steps of the basic method
and if these Causes do not affect the remaining
measurements, then the outliers tan be eliminated.
6.1 Plot of the data collected during the The calibration experiment then becomes unbalanced;
i.e. there is an unequal number of measurements K,!
calibration experiment
instead of K for each RM. Estimation of the calibration
Figure 1 Shows a plot of the measured values versus function tan still proceed with the formulae given in
the corresponding accepted values of the RMs. 6.2, 6.4 and 6.5 replaced by the ones in annex B.
Figure 1 as weil as figures 2 to 5 are obtained from
Figure 1 also allows an early diagnosis’ of the as-
simulated data. The purpose of these five Plots is to
sumption of linearity of the calibration function, as
illustrate the type of information one tan extract from
weil as a first look at the assumption of constant re-
such Plots. A complete example is treated in
sidual Standard deviation. The linearity of the cali-
clause 8 with data, Plots and analysis.
bration function tan be visually checked by visualizing .
The major purpose of the plot shown as figure 1 is to a straight line through the data plotted in figure 1
unusual behaviour of the (there seems to be some curvature in the data of fig-
detect visually any
ure 1). The assumption of constant residual Standard
measurement System during the calibration exper-
deviation tan be checked by looking at the spread of
iment, and to identify potential outliers. If possible,
the Points in figure 1 for a given RM. If it appears that
label the Order of the data Points and look for obvious
this spread increases with the accepted values of the
time trends. If some of the data are considered sus-
picious, or if a time trend is obvious, then an investi- RMs, then the assumption of constant residual stan-
gation shall take place to discover Causes of dard deviation is probably not correct (this does not
irregularities. As soon as the Causes of irregularities seem to be the case for figure 1). A more sophisti-
are removed, the calibration experiment should be cated plot to check the assumptions of Iinearity and
of constant residual Standard deviation is presented in
repeated and new data should be collected to estab-
63 . .
lish a calibration function.
x Replicate 1
n Replicate 2
0 Replicate 3
70
Outlier?
Investigate
i!!i
--L
3 5
Accepted vahes of RMs
hg. phosphorus content, o/io of total weig Rt)
Figure 1 - Schematic diagram of data collected during the calibration experiment
---------------------- Page: 8 ----------------------
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6.2 Estimation of the linear calibration
function under the assumption of constant
n= 1
residual Standard deviation
N
2
Cxn - x)
c
6.2.1 Model
The assumptions of linearity of the calibration function
p, = y - $p
and of constant residual Standard deviation are cap-
SSE
tured by the model
(NK - 2)
Ynk = ß0 + ßlx,, + %k
where
is the accepted value of the nth RM
Xn
1 N
=-
x
(n = 1 , . . . . N-J;
N c xn
n=l
Es the L?’ measurement 0% the nth
hk
RM (k = 1 j . .I K);
Yd
k=l
represents the expected value of
ßo + ßl-5,
the measurements of the nth RM;
1 N
Y=, Y,-
c
is the deviation between &k and
%k
n=l
the expected value of the
measurement of the nth RM NK=NxK
(these deviations are assumed to
be independent and normally dis-
tributed with mean 0 and with
e
nk = Ynk - Gn
variance 0 ’);
’ are three Parameters to be esti-
ßot ß1 and 0
SSE = 9, F, (enk)
mated from the data collected
n=l k=l
during calibration:
is the intercept of the
ßo
calibration function,
6.3 Plots of the calibration function and of
is its slope,
ß 1 the residuals
2
a is a measure of the
Figures 2 and 3 are recommended to test departures
precision of the
from the assumptions embedded in the model of
measurement System.
62 . .
6.2.2 Estimates of the Parameters
6.3.1 Plot of the calibration function
Estimates of the Parameters ßo, ß1 and CJ’ tan be ob-
In figure2 the estimated calibration function is added
tained by using the formulae below or by running a
to figure 1.
linear regression Software package with two columns
of equal length as input, one for y and one for X.
The plot shown as figure2 primarily allows a check
of the calculations given in 6.2.2. lt also provides a
NOTE 3 Estimates of Parameters in this International
visual check of the assumption of linearity of the cali-
Standard have a Symbol A to differentiate them from the
bration function.
Parameters themselves which are unknown.
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x Replicate 1
A Replicate 2
0 Replicate 3
70.
2; 50
QTn
u-m
0 0,
gP2 40
s 6
Accepted values of RMs
(e.g. phosphorus content, % of total weight)
Figure 2 - Schematic diagram of a calibration curve
x Replicate 1
A Replicate 2
0 Replicate 3
10 20
30 40 SO
Fitted values, pn
Figure 3 -
Schematic diagram of a plot of residuals versus fitted values
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6.3.2 Plot of the residuals versus the fitted values of the normality assumption and a plot of the residuals
against time allows a check of the assumption of in-
dependence of the measurements. Further infor-
The plot of the residuals enk versus the fitted values
mation tan be found in ref. [3].
Gn (figure3) is a powerful tool to detect departure from
the two assumptions of linearity and of constant re-
sidual Standard deviation. If these two assumptions
6.4 Estimation of the calibration function
hold, then figure3 should display a plot of randomly
distributed Points centred around Zero. Departure
under the assumption of proportional
from the assumption of Iinearity is indicated by a
residual Standard deviation and plot of the
systematic Pattern between the residuals and the fit-
calibration function and the residuals
ted values (as is the case in figure3). Departure from
the assumption of constant residual Standard devi-
6.4.1 Model
ation is indicated by a dispersion in the data that in-
creases or decreases with the fitted values. In
An alternate model to the one given in step 6.2.1 is
figure 3, the dispersion of the residuals for any fitted
one where the calibration function is linear but the
value is almost constant throughout. Therefore, the
residual Standard deviation increases with the ac-
assumption of constant residual Standard deviation is
cepted values of the RMs. This is captured in the
tenable in this Situation.
model
NOTE 4 Figure8 illustrates the Situation where the as-
Ynk = YO + ?lxn + qnk
sumption of constant residual Standard deviation is not ten-
able.
lf the assumption of constant residual Standard devi-
is the accepted value of the nth RM
xn
ation does not hold, then the data collected during the
(n = 1 , . . . . N);
calibration experiment must be re-analysed. A plot of
the Standard deviation of the replicated measure-
is the kfh measurement of the nth
Ynk
ments of an RM versus the accepted value of that RM
RM (k = 1, . . . . K);
will indicate whether the assumption of proportional
represents the expected value of
residual Standard deviation is tenable. See figure 9 for YO + Ylxn ’
the measurement of the nth RM;
such a Plot.
is the deviation between y,.,k and
qnk
If the assumption of proportional residual Standard
a)
the expected measurement of the
deviation seems to hold, then the data tan be re-
nth RM (these deviations are as-
analysed according to step 6.4.
sumed to be independent and
normally distributed with mean 0
b) lf the assumption of proportional residual Standard
and with a variance proportional to
deviation does not hold but there exists a model
2
x,); i.e.
relating the residual Standard deviation to the ac-
cepted values of the RMs (for example inverse 2 2
var(ynk) = xn z
va $qnk) =
proportionality), then an approach similar to the
one presented in step 6.4 tan be used.
are three Parameters to be esti-
yol yl and 2’
mated from the data collected
If the assumption of linearity does not hold, then an
during calibration:
alternative is to use the bracketing technique de-
scribed in 8.3.
are, respectively,
Yo and 71
the intercept and
NOTE 5 There exist other techniques, beyond the scope
the slope of the
of this International Standard, that allow the fitting of a
calibration
func-
quadratic or polynomial curve to these data (see refs. [Z]
tion,
and [3]).
2
z is a measure of the
Finally, testing the assumptions of independence and
relative precision
of normality of the && values is beyond the scope of
of the measure-
this International Standard. These two assumptions
ment System.
are crucial to the validity of step 6.5 and tan also be
checked by studying the residuals. For example, a This model tan be transformed into a model equiv-
normal probability plot of the residuals allows a check alent to the one given in 6.2.1; i.e. with errors having
7
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constant variance. The transformation consists of div-
iding by xn both sides of the equation
Ynk = 70 + ?jxn + qnk
This gives
n=l
Ynk 70 qnk
-=-
x +Yl+.
xn n n
u - z,
or, equivalently,
nk = ‘nk
Z N K
= 71 + YOwn + &nk
nk
WSSE = 7, 7, (U,k)
where n=l k=l
6.4.3 Plot of the calibration function and
residuals
Wn = 1 IX,
As in 6.3, two Plots are recommended:
E
nk - - qnklxn
a) a plot of the estimated calibration function
The new model tan be analysed as in 6.2 after making
$ = v. + Y^,x with the data of figure 1;
the correct Substitutions of terms.
b) a plot of the weighted residuals L$k versus the
6.4.2 Estimates of the Parameters
weighted fitted values in.
The interpretation of these Plots is the Same as that
The estimates of the Parameters yo, y1 and Z’ tan be
for figures 2 and 3.
obtained by using the formula below or by running a
weighted linear regression Software package with
three columns of equal length as input, one for y, one
6.5 Evaluation of the lack of fit of the
for X, and one for the weights ( = I/x'). The same
calibration function
Outputs tan also be obtained by using a linear re-
gression Software package without weights but with
6.5.1 General
the two input columns being z and W.
A comparison between
N
4
- W) (Zn. - Z)
Cwn
c
- the variability due to lack of fit of the model
n=l
Po = selected either in 6.2 or in 6.4 and
N
2
Cwn - w)
c
- the variability of the pure error representing the
n=l
inability of the System to repeat measurements
pl = z - i;()w
exactly
AZ WSSE
is carried out after constructing an ANOVA table. Such
z =
(NK- 2)
a comparison Es possible because the measurements
of each RM have been replicated.
where
The selection of the significance level a depends on
NK=NxK
particular applications and is left to the user of this
International Standard.
Ynk
=-
znk
xn
6.5.2 Model with constant residual Standard
1
=- deviation (defined in 6.2)
wn x
n
6.5.2.1 The ANOVA table shown as table 1 tan be
1 N
w=-
obtained by using the formulae below or as an output
c
N wn
n=l of most linear regression Software packages.
---------------------- Page: 12 ----------------------
0 ISO
ISO 11095:1996(E)
Table 1 - ANOVA table to compare lack of fit and pure error under the assumption of eonstant residual
Standard deviation
SSR = SST - SSE
Residuaf
SSE - SSP
Lack of fit
N-2 SSE - SSP
2; =
N-2
A2 SSP
Pure error NK-N SSP
o P =m
Total NK-1 SST
SST = : c (J,~ - y)2
n=fR=l
SSP = c : (y& - y,,.)2
tt=lk=l
SSE is defined in 6.2.2.
6.5.2.2 The variability due to pure error is estimated ation was used, then the ANOVA table is constructed
$. This variability is independent of the model as shown in table2.
by
(y = po + &x) fitted to the data. The variability due to
The same test, interpretation, conclusions and re-
lack of fit is estimated by $. A test of the validity
marks apply to gr/$ as to $$z described in 6.5.2.2.
of the model defined in 6.2.1 is carried out by com-
4
A2 A2
where
paring Ft1 -,,(N - 2; NK - N)
q lap to
Ft1 +(N - 2; NK - IV) is the (1 - a)-quantile of the
F-distribution with N - 2 and NK - N degrees of free-
6.6 Transformation of future measured
dom.
values with the calibration function
a) If $/$z is not larger than FC, -,,(N - 2; NK - N),
Once a calibration experiment has been carried out,
then there is no evidente to reject the linear
measured values of new unknown quantities (in op-
model.
Position to Standards which have known or accepted
values) will be transformed via the calibration function.
b) If $/$z is larger than FC, -,,(N - 2; NK - N), then
Transforming these measured values will result in a
potential Causes for a large variability due to lack
Single value X; that estimates the true value of the
of fit relative to the pure error variability should be
unknown quantity. The transformation depends on
investigated. One common Cause is the inad-
the assumption made concerning the residual vari-
equacy of the linear assumption of the calibration
ante and is implemented as follows.
function (see figures 2 and 3). Another possible
Cause may be the conditions under which the
A new unknown quantity is measured I) times, re-
calibration experiment was performed (e.g. repli-
sulting in p measurements yol, yo2, . . . . yol,. The mean
cations may not have been genuine repeats but
b of these p measurements is obtained as
F
just repetitions of the same reading).
1’
1
6.5.3 Model with proportional residual Standard
3) = p
YOk
c
deviation (defined in 6.4) k=l
If the model with proportional residual Standard devi-
f p = 1, then y. = yo,.
---------------------- Page: 13 ----------------------
ISO 11095:1996(E)
Table 2 - ANOVA table to compare la
...
NORME
ISO
INTERNATIONALE 11095
Première édition
1996-02-01
Étalonnage linéaire utilisant des matériaux
de référence
Linear calibra tion using re ference ma terials
Numéro de référence
ISO 11095:1996(F)
---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO 11095:1996(F)
Sommaire
Page
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Domaine d’application
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Références normatives
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Définitions
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Principes généraux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5 Méthode de base
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
6 Étapes de la méthode de base
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7 Méthode de contrôle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
8 Deux variantes de la méthode de base
16
9 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Annexes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
A Liste des symboles et abréviations
B Méthode de base lorsque le nombre de répliques n’est pas
28
constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
C Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 ISO 1996
Droits de reproduction réservés. Sauf prescription différente, aucune partie de cette publi-
cation ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun pro-
cédé, électronique ou mécanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans l’accord
écrit de l’éditeur.
Organisation internationale de normalisation
Case Postale 56 l CH-l 211 Genève 20 l Suisse
Imprimé en Suisse
ii
---------------------- Page: 2 ----------------------
0 ISO
60 11095:1996(F)
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération
mondiale d’organismes nationaux de normalisation (comités membres de
I’ISO). L’élaboration des Normes internationales est en général confiée aux
comités techniques de I’ISO. Chaque comité membre intéressé par une
étude a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les
organisations internationales, gouvernementales et non gouvernemen-
tales, en liaison avec I’ISO participent également aux travaux. L’ISO colla-
bore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (CEI)
en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques
sont soumis aux comités membres pour vote. Leur publication comme
Normes internationales requiert l’approbation de 75 % au moins des co-
mités membres votants.
La Norme internationale ISO 11095 a été élaborée par le comité technique
lSO/TC 69, Application des méthodes statistiques, sous-comité SC 6,
Méthodes et résultats de mesure.
rante résente Norme interna-
Les annexes A et B font partie intég de la p
unjqu emen t à titre d’information.
tionale. L’annexe C est donnée
. . .
III
---------------------- Page: 3 ----------------------
0 ISO
ISO 11095:1996(F)
Introduction
L’étalonnage est un élément essentiel de la plupart des méthodes de
mesurage. Il s’agit d’un ensemble d’opérations établissant, dans des
conditions spécifiées, la relation entre des valeurs données par un sys-
tème de mesurage et les valeurs correspondantes acceptées de certains
((étalons). Dans la présente Norme internationale, les étalons sont des
matériaux de référence.
Un matériau de référence (MR) est une substance ou un artefact pour le-
quel une ou plusieurs caractéristiques sont suffisamment bien établies
pour valider un système de mesurage. II existe divers types de MR:
a) un matériau de référence interne est un Ml3 mis au point par un utili-
sateur pour ses propres besoins internes;
b) un matériau de référence externe est un MR fourni par quelqu’un
d’autre que l’utilisateur;
U n matériau de référence certifié est un MR diffusé et certifié par une
d
0 rganisation reconnue compétente.
---------------------- Page: 4 ----------------------
ISO 11095:1996(F)
NORME INTERNATIONALE 0 KO
Étalonnage linéaire utilisant des matériaux de
référence
La présente Norme internationale s’applique aux sys-
1 Domaine d’application
tèmes de mesurage pour lesquels on dispose de ma-
tériaux de référence.
La présente Norme internationale s’applique aux sys-
tèmes de mesurage ayant une fonction d’étalonnage
La présente Norme internationale a pour objet:
supposée linéaire. Elle propose une méthode d’exa-
men de l’hypothèse de linéarité. Si l’on sait que la
a) d’exposer les grandes lignes des principes géné-
fonction d’étalonnage est non linéaire, la présente
raux d’étalonnage d’un système de mesurage et
Norme internationale ne s’applique pas sauf en utili-
de maintien de ce système de mesurage
sant la ((technique de l’encadrement)) décrite en 8.3.
((étalonné)) en état de maîtrise statistique;
La présente Norme internationale ne fait pas de dis-
b) de fournir une méthode de base
tinction entre les divers types de MR et considère que
les valeurs acceptées des MR choisis pour I’étalon-
- pour estimer une fonction d’étalonnage liné-
nage du système de mesurage sont justes.
aire selon l’une des deux hypothèses relatives
à la variabilité des mesurages,
2 Références normatives
- pour contrôler l’hypothèse de linéarité de la
Les normes suivantes contiennent des dispositions
fonction d’étalonnage et les hypothèses tou-
qui, par suite de la référence qui en est faite, consti-
chant la variabilité des mesurages, et
tuent des dispositions valables pour la présente
- pour estimer la valeur d’une nouvelle grandeur Norme internationale. Au moment de la publication,
inconnue en modifiant les valeurs mesurées les éditions indiquées étaient en vigueur. Toute
obtenues sur cette grandeur par la fonction norme est sujette à révision et les parties prenantes
d’étalonnage; des accords fondés sur la présente Norme internatio-
nale sont invitées à rechercher la possibilité d’appli-
c) de fournir une méthode de contrôle pour un usage
quer les éditions les plus récentes des normes
élargi d’une fonction d’étalonnage
indiquées ci-après. Les membres de la CEI et de I’ISO
possèdent le registre des’ Normes internationales en
- pour déceler si la fonction d’étalonnage a be-
vigueur à un moment donné.
soin d’être mise à jour, et
ISO 3534-l :1993, Statistique - Vocabulaire et sym-
- pour évaluer l’incertitude des valeurs mesu-
boles - Partie 7 : Probabilité et termes statistiques
rées après modification par la fonction d’éta-
généraux.
lonnage;
ISO 3534-2:1993, Statistique - Vocabulaire et sym-
d) de fournir deux variantes de la méthode de base,
boles - Partie 2: Maîtrise statistique de la qualité.
dans des conditions particulières;
ISO Guide 30:1992, Termes et définitions utilisés en
e) d’illustrer par un exemple la méthode de base et
rapport avec les matériaux de référence.
la méthode de contrôle.
1
---------------------- Page: 5 ----------------------
0 ISO
ISO 11095:1996(F)
linéaire avec leurs systèmes de référence. II faut uti-
3 Définitions
liser plus de deux MR au cours de l’expérience d’éta-
lonnage afin de contrôler si l’hypothèse de linéarité
Pour les besoins de la présente Norme internationale,
est valide, ce qu’illustre la méthode de base.
les définitions données dans I’ISO 3534-l et
I’ISO 3534-2 et la définition suivante s’appliquent.
En utilisant plusieurs MR, la méthode de base fournit
une stratégie et des techniques pour analyser les
31 . matériau de référence: Substance ou artefact
données collectées au cours de l’expérience d’éta-
pour lequel une ou plusieurs caractéristiques sont
lonnage. Si la linéarité ne fait aucun doute, on peut
suffisamment bien établies pour être utilisées dans la
utiliser une autre méthode plus simple que la mé-
validation d’un système de mesurage.
thode de base pour évaluer une fonction d’étalonnage
reposant sur un point. Cette méthode ((d’étalonnage
en un point)) (suivant une transformation du niveau
zéro) ne permet pas de test d’hypothèse mais
constitue une méthode facile et rapide pour
4 Principes généraux
w-éétalonnew un système étudié de manière plus
approfondie au cours d’expériences antérieures. Si la
L’étalonnage est une méthode qui détermine la diffé-
linéarité est problématique, on peut faire appel à une
rence systématique qui peut exister entre un système
seconde solution appelée ((encadrement )).
de mesurage et un système de «référence» repré-
senté par les matériaux de référence et leurs valeurs
La méthode de base et la méthode en un point repo-
acceptées. Dans la présente Norme internationale, le
sent sur l’hypothèse que le travail consacré à I’éta-
terme (système» (système de mesurage ou système
lonnage restera valide sur une certaine période de
de référence) n’est pas utilisé pour représenter seu-
stabilité du processus. Une méthode de contrôle doit
lement un instrument de mesurage mais également
être en place afin d’étudier la période au cours de la-
l’ensemble des méthodes, des opérateurs et des
quelle l’étalonnage est valide. La méthode de contrôle
conditions associés à cet instrument.
est conçue pour détecter si des changements se sont
produits dans le système, justifiant une recherche
Le résultat d’une méthode d’étalonnage est une
et/ou un réétalonnage. La méthode de contrôle fournit
fonction d’étalonnage utilisée pour modifier les résul-
également un moyen simple de déterminer la fidélité
tats des mesurages ultérieurs. Dans la présente
des valeurs transformées par une fonction d’étalon-
Norme internationale, le terme ((modification)) signifie
nage donnée.
- soit une correction des mesurages ultérieurs si les
La méthode de l’encadrement nécessite un travail
valeurs acceptées des matériaux de référence
important mais peut assurer une plus grande exacti-
les valeurs observées ont les mêmes uni-
(MR) et
tude dans la détermination des valeurs de quantités
tés,
inconnues. La méthode consiste à entourer chaque
quantité inconnue d’aussi près que possible (enca-
- soit une conversion des unités des mesurages
drer) de deux MR et à extraire une valeur transformée
observés dans les unités des MR.
de l’inconnue à partir de mesurages de cette inconnue
et des valeurs des deux MR. On suppose seulement
La validité de la fonction d’étalonnage dépend de deux
une stabilité à court terme du processus de mesurage
conditions, à savoir:
(stabilité au cours du mesurage de l’inconnue et des
deux MR). La linéarité n’est supposée que dans I’in-
les mesurages servant à calcu Ier la fon ction
a)
tervalle entre les valeurs des deux MR.
d’étalonnage SO nt représ entatifs des candi tions
normales dans lesquelles fonctionne le système
de mesurage; et
5 Méthode de base
le système de mesurage est en état de maîtrise
b)
statistique.
5.1 Généralités
L’expérience d’étalonnage doit être conçue pour ga-
rantir le respect du point a). La méthode du contrôle
Le présent article décrit la manière d’évaluer et d’uti-
détermine, dès que possible, le moment où le sys-
liser une fonction d’étalonnage linéaire lorsque plu-
tème doit être considéré hors contrôle.
sieurs (plus de deux) MR sont disponibles. Disposer
La méthode de la présente Norme internationale ne de plusieurs MR permet de contrôler la linéarité de la
s’applique qu’aux systèmes de mesurage en relation fonction d’étalonnage.
2
---------------------- Page: 6 ----------------------
0 ISO ISO 11095:1996(F)
II convient que les valeurs des MR soient à peu près
5.2 Hypothèses
équidistantes sur l’étendue des valeurs rencontrées
dans les conditions normales de fonctionnement du
5.2.1 II est supposé qu’il n’y a aucune erreur dans
système de mesurage.
les valeurs acceptées des MR (cette hypothèse n’est
pas vérifiée dans la présente Norme internationale).
5.3.3 Nombre de MR, N
En pratique, les valeurs acceptées des MR sont don-
nées avec leurs incertitudes. L’hypothèse de I’ab-
II convient que 3 MR au moins soient utilisés pour
sente d’erreur dans les valeurs acceptées des MR
évaluer la fonction d’étalonnage.
peut être jugée valide si les incertitudes sont faibles
par rapport à l’importance des erreurs dans les valeurs
On recommande un nombre supérieur à 3 pour I’éva-
mesurées de ces MR (voir réf. [Il).
luation initiale de la fonction d’étalonnage (3 au t nains
dans tout intervalle partiel où il y a un doute su r la II-
Dans les situations où les MR ont été traités
NOTE 1
néarité de la fonction d’étalonnage).
chimiquement ou dans certains cas, physiquement, avant
de relever les données lues sur l’instrument, la présente
Norme internationale peut sous-estimer l’incertitude asso-
5.3.4 Nombre de répliques, K
ciée à la modification d’un nouveau résultat de mesurage.
II convient de mesurer chaque MR au moins deux fois
(autant de répliques qu’il est possible dans la pratique
5.2.2 La fonction d’étalonnage est supposée linéaire
sont recommandées).
(l’hypothèse sera examinée).
II convient que le nombre de répliques soit le même
pour tous les MR.
5.2.3 Les mesurages répétés d’un MR donné sont
supposés indépendants et normalement distribués
II convient que les moments et les conditions de prise
avec une variante dite wariance résiduelle)) (les hy-
des répliques soient étalés de façon à garantir que
pothèses d’indépendance et de normalité ne seront
toutes les conditions de fonctionnement sont repré-
pas vérifiées dans la présente Norme internationale).
sentées.
La racine carrée de la variante résiduelle est appelée
écart-type résiduel.
54 . Stratégie d’analyse des données
5.2.4 L’écart-type résiduel est supposé soit constant
soit proportionnel à la valeur acceptée du MR (I’hypo- 5.4.1 Tracer le graphique des données pour vérifier
thèse sera examinée).
a) la tenue en état de maîtrise du système de me-
surage au cours de l’expérience d’étalonnage,
5.3 Expérience d’étalonnage
b) l’hypothèse de linéarité, et
5.3.1 Conditions expérimentales
c) la variabilité des mesurages en fonction des va-
leurs acceptées des MR.
II convient que les conditions expérimentales soient
les mêmes que les conditions normales de fonction-
5.4.2 Évaluer la fonction d’étalonnage linéaire en
nement du système de mesurage, c’est-à-dire qu’il y
partant de l’hypothèse d’écart-type résiduel constant.
a lieu par exemple d’impliquer plusieurs opérateurs
dans l’expérience d’étalonnage s’ils sont plusieurs à
5.4.3 Tracer le graphique de la fonction d’étalonnage
utiliser le matériel de mesurage.
et des résidus. Le graphique des résidus est un puis-
sant indicateur de l’écart par rapport à l’hypothèse de
5.3.2 Choix des MR
linéarité ou d’écart-type résiduel constant. Si I’hypo-
thèse d’écart-type résiduel constant tient, sauter
II convient que l’étendue des valeurs couverte par les
l’étape 5.4.4 et passer à l’étape 5.4.5. Sinon, effectuer
MR sélectionnés recouvre (dans la mesure du possi-
l’étape 5.4.4.
ble) celle rencontrée dans les conditions normales de
fonctionnement du système de mesurage.
5.4.4 Estimer la fonction d’étalonnage linéaire dans
II convient que la composition des MR sélectionnés l’hypothèse d’écart-type résiduel proportionnel et tra-
soit aussi proche que possible de la composition du cer le graphique de la fonction d’étalonnage et des
matériau dont on envisage la mesure. résidus.
---------------------- Page: 7 ----------------------
0 ISO
ISO 11095:1996(F)
La figure 1 représente un graphique des valeurs me-
5.4.5 Évaluer le défaut d’ajustement de la fonction
surées en fonction des valeurs acceptées correspon-
d’étalonnage. Si la variabilité due au défaut d’ajus-
dantes des MR. De même que les figures 2 à 5, la
tement est importante par rapport à la variabilité due
figure 1 est obtenue à partir d’une simulation de don-
à la réplique des mesurages, revoir les méthodes
nées Ces cinq graphiques ont pour but d’illustrer le
suivies au cours de l’expérience d’étalonnage et ré-
type d’information que l’on peut en retirer. L’article 9
examiner l’hypothèse de linéarité de la fonction
traite d’un exemple complet avec données, graphi-
d’étalonnage. Si l’hypothèse de linéarité ne tient pas,
ques et analyse.
une autre solution est alors d’utiliser la technique de
l’encadrement décrite en 8.3.
Le graphique montré à la figure 1 a pour objectif prin-
NOTE 2 II existe d’autres techniques qui n’entrent pas
cipal de détecter visuellement un comportement
dans le domaine d’application de la présente Norme inter-
inhabituel du système de mesurage au cours de I’ex-
nationale et permettent l’adaptation aux données d’une
périence d’étalonnage et d’identifier les éventuelles
courbe du second degré ou polynomiale (voir réf. [Z] et
valeurs aberrantes. Le cas échéant, marquer l’ordre
.
PI)
des points de données et rechercher les tendances
manifestes dans le temps. Si l’on juge certaines don-
5.4.6 Modifier les valeurs ultérieurement mesurées
nées suspectes ou si une tendance dans le temps est
fonction d’étalonnage.
par la
manifeste, il faut alors faire une recherche pour trou-
ver les causes des anomalies. Dès que l’on a éliminé
L’article 6 décrit les six étapes de cette stratégie.
ces causes, il convient de renouveler l’expérience
L’article 9 illustre la méthode de base à l’aide d’un
d’étalonnage et de recueillir de nouvelles données
exemple.
afin d’établir la fonction d’étalonnage.
Si l’on trouve les causes d’une seule ou d’un très petit
6 Étapes de la méthode de base
nombre de valeurs aberrantes et si ces causes n’af-
fectent pas le reste des mesurages, les valeurs aber-
6.1 Tracé du graphique des données rantes peuvent être éliminées. L’expérience
d’étalonnage est alors déséquilibrée c’est-à-dire qu’il
collectées au cours de l’expérience
y a un nombre inégal de mesurages K, au lieu de K
d’étalonnage
pour chaque MR. L’estimation de la fonction d’éta-
x Réplique 1
0 Réplique 2
0 Réplique 3
60
Valeur aberrante?
--
Rechercher
\
n
- 2 3
5 6
Valeurs acceptées de MR
exemple, contenu en phospho re, en % du poids total)
Représentation schématique des données collectées au cours de l’expérience d’étalonnage
Figure 1 -
---------------------- Page: 8 ----------------------
0 ISO ISO 11095:1996(F)
lonnage peut alors se poursuivre en remplaçant les est sa pente,
B 1
formules données en 6.2, 6.4 et 6.5 par celles de
2
a est une mesure de la
l’annexe B.
fidélité du système de
mesurage.
La figure 1 permet également une première vérifica-
tion de l’hypothèse de linéarité de la fonction d’éta-
lonnage ainsi qu’un premier examen de l’hypothèse
6.2.2 Estimations des paramètres
d’écart-type résiduel constant. On peut contrôler vi-
suellement la linéarité de la fonction d’étalonnage en
Les estimations des paramètres BO, p, et a2 peuvent
imaginant une ligne droite passant par les données
être obtenues en utilisant les formules ci-dessous ou
de la figure 1 (il semble y avoir une certaine courbure
en utilisant un logiciel de régression linéaire à deux
de ces données). L’hypothèse d’écart-type résiduel
colonnes d’égale longueur, une pour les y et une pour
constant peut être vérifiée en examinant l’écartement
les X.
des points sur la figure 1, pour un MR donné. S’il
s’avère que cet écartement augmente en même
NOTE 3 Les estimations des paramètres ont un
temps que les valeurs acceptées des MR, l’hypothèse
symbole * dans la présente Norme internationale pour les
d’écart-type résiduel constant n’est probablement pas distinguer des paramètres eux-mêmes qui sont inconnus.
correcte (il ne semble pas que ce soit le cas à la
figure 1). Un graphique plus complexe pour vérifier les
hypothèses de linéarité et d’écart-type résiduel cons-
tant est présenté en 6.3.
6.2 Estimation de la fonction d’étalonnage
linéaire dans l’hypothèse d’écart-type résiduel
constant
j. = y - &x
A2 SSE
6.2.1 Modèle
CT
= (NK- 2)
Les hypothèses de linéarité de la fonction d’étalon-
nage et d’écart-type résiduel constant sont rendues
par le modèle
N
1
=-
x
hk = b0 + &n + %k
N c xn
n= 1
où
K
1
=-
Yn- K
Ynk
est la valeur acceptée du nième MR c
Xn
k=l
.
(n = 1, . . . .
N) I
N
1
est le kième mesurage du nième MR =-
hk
r N
c
(k = 1 , . . . . K);
n= 1
représente l’espérance de la valeur NK=NxK
BO + Blx,
du mesurage du nième MR;
est l’écart entre ynk et l’espérance
%k
de la valeur du mesurage du nième
enk = Ynk - ?n
MR (ces écarts sont supposés in-
dépendants et normalement distri-
SSE = F, F, (Q2
bués avec une moyenne 0 et une
=l k=l
n
va ria nce a2);
2
sont trois paramètres à estimer à
P@ B, et 0
6.3 Tracés du graphique de la fonction
partir des données collectées au
d’étalonnage et des valeurs résiduelles
cours de l’étalonnage:
est l’ordonnée à I’ori- On recommande les graphiques montrés aux figures
PO
gine de la fonction 2 et 3 pour tester les écarts par rapport aux hypothè-
d’étalonnage, ses du modèle de 6.2.
5
---------------------- Page: 9 ----------------------
ISO 11095:1996(F)
X Réplique 1
A Rbplique 2
0 Réplique 3
70
60
c
10
1 1 1 1 1
0
2 3 4
5 6
Valeurs acceptees de MR
(par exemple contenu en phosphore, en % du poids total)
Figure 2
Représentation schématique d’une courbe d’étalonnage
x Réplique 1
A Réplique 2
0 Réplique 3
X
0
X
8
x
0
@
,
ii
B
045 0
-2 X
L 1 IA 1 1
d
10 20 30 GO 50
Valeurs ajustées, 9,
Figure 3 - Représentation schématique d’un graphique de valeurs résiduelles par rapport aux valeurs
ajustées
---------------------- Page: 10 ----------------------
0 ISO ISO 11095:1996(F)
6.3.1 Tracé du graphique de la fonction Si l’hypothèse de linéarité ne tient pas, une autre so-
lution est alors la technique de l’encadrement décrite
d’étalonnage
en 8.3.
La figure 2 est obtenue en ajoutant la fonction d’éta-
NOTE 5
II existe d’autres techniques qui sortent du do-
lonnage estimée à la figure 1.
maine d’application de la présente Norme internationale
mais permettent d’adapter une courbe du second degré ou
Le graphique montré à la figure2 permet tout d’abord
polynomiale à ces données (voir réf. [Z] et [3]).
de vérifier les calculs donnés en 6.2.2. II assure éga-
lement un contrôle visuel de l’hypothèse de linéarité
Enfin, les essais des hypothèses d’indépendance et
de la fonction d’étalonnage.
de normalité des &,.& n’entrent pas dans le domaine
d’application de la présente Norme internationale. Ces
deux hypothèses sont essentielles pour la validité de
l’étape 6.5 et peuvent être vérifiées en étudiant les
valeurs résiduelles. Par exemple, un graphique en
probabilité normale des valeurs résiduelles permet un
6.3.2 Tracé du graphique des valeurs résiduelles
contrôle de l’hypothèse de normalité et un graphique
par rapport aux valeurs ajustées
des résidus par rapport au temps permet un contrôle
de l’hypothèse d’indépendance des mesurages. II est
Le graphique des valeurs résiduelles enk par rapport
possible de trouver de plus amples informations dans
aux valeurs ajustées Y, (figure3) est un outil précieux
réf. [3].
pour détecter un écart par rapport aux deux hypothè-
ses de linéarité et d’écart-type résiduel constant. Si
ces deux hypothèses tiennent, la figure3 doit repré-
senter un graphique de points répartis de manière
6.4 Estimation de la fonction d’étalonnage
aléatoire et centrés autour de 0. Une configuration
dans l’hypothèse d’écart-type résiduel
systématique entre les valeurs résiduelles et ajustées
proportionnel et tracé du graphique de la
indique un écart par rapport à l’hypothèse de linéarité
(c’est le cas à la figure3). L’augmentation (ou la dimi- fonction d’étalonnage et des résidus
nution) de la dispersion des données en même temps
que celle des valeurs ajustées indique un écart par
rapport à l’hypothèse d’écart-type résiduel constant.
6.4.1 Modèle
À la figure3, la dispersion des résidus pour chaque
valeur ajustée est presque toujours constante. L’hy-
Une variante du modèle donné à l’étape 6.2.1 est
pothèse d’écart-type résiduel constant est donc dé-
celle où la fonction d’étalonnage est linéaire mais
fendable dans le cas présent.
l’écart-type résiduel augmente avec les valeurs ac-
ceptées des MR, ce que rend le modèle:
NOTE 4 La figure8 illustre le cas où l’hypothèse d’écart-
type résiduel constant n’est pas défendable.
Ynk = YO + YIxn + qnk
Si l’hypothèse d’écart-type résiduel constant ne tient où
pas, les données collectées au cours de l’expérience
est la valeur acceptée du nième MR
d’étalonnage doivent être de nouveau analysées. Un xn
= 1 , . . . . N);
tn
graphique de l’écart-type des mesurages répétés d’un
MR en fonction de la valeur acceptée de ce MR indi-
est le kième mesurage du nième MR
Ynk
quera si l’hypothèse d’écart-type résiduel proportion-
(k = 1 , . . . . K);
nel se défend. Voir figure 9 pour un tel graphique.
représente l’espérance de la valeur
Y0 + YIxn
a) Si l’hypothèse d’écart-type résiduel proportionnel
du mesurage du nième MR;
semble tenir, les données peuvent alors être de
nouveau analysées conformément à l’étape de
est l’écart entre ynk et l’espérance
qnk
64 . .
de la valeur du mesurage du nième
MR (ces écarts sont supposés in-
b) Si l’hypothèse d’écart-type résiduel proportionnel
dépendants et normalement distri-
ne tient pas mais qu’il existe un modèle reliant
bués avec la moyenne 0 et une
l’écart-type résiduel aux valeurs acceptées des
variante porportionnelle à x:); en
MR (par exemple, proportionnalité inverse), I’ap-
d’autres termes,
proche peut alors être semblable à celle présen-
var(r& = Var&&) = x)f T2
tée à l’étape 6.4.
---------------------- Page: 11 ----------------------
ISO 11095:1996(F)
sont trois paramètres à estimer à
YO/ Y1 et T2
partir des données collectées au
cours de l’étalonnage: A2 WSSE
z =
(NK - 2)
sont respective-
Y0 et Y1
ment l’ordonnée à
où
l’origine et la pente
NK=NxK
de la fonction
d’étalonnage,
Ynk
=-
=nk Y
2
z est une mesure de
la fidélité relative 1
=-
wn x
n
du système de
mesurage.
1 N
=-
w
c
Ce modèle peut être modifié en un modèle équivalent N wn
n= 1
à celui donné en 6.21, c’est-à-dire avec des erreurs
à variante constante. La modification consiste à divi-
ser par xn les deux éléments de l’équation
‘n- =nk
k=l
!z
ce qui donne:
n= 1
%k
Ynk YO
-=
y+Yl +y-
z, =
n
Xn n $1 + ?Own
ou de façon équivalente: u - z,
nk = =nk
N K
=nk = Y 1 + YOwn + %k
WSSE = ;\: 7, (U,k)
où n=l k=l
6.4.3
Tracé du graphique de la fonction
d’étalonnage et des valeurs résiduelles
%k = qnklXn
On recommande deux graphiques, comme en 6.3:
Le nouveau modèle peut être analysé comme à
a) un graphique de la fonction d’étalonnage estimée
l’étape 6.2, après avoir effectué les changements
9 = vo + $X avec les données de la figure 1;
corrects de termes.
b) un graphique des valeurs résiduelles pondérées
6.4.2 Estimations des paramètres unk en fonction des valeurs ajustées pondérées
;.
Les estimations des paramètres yo, y1 et T* peuvent
L’interprétation de ces graphiques est la même que
être obtenues en utilisant les formules ci-dessous ou
celle des graphiques des figures 2 et 3.
en utilisant un logiciel de régression linéaire pondérée
sur trois colonnes de longueur égale, l’une pour les
y, une autre pour les x et encore une autre pour les
6.5 Évaluation du défaut d’ajustement de la
I/X*). Les mêmes résultats peuvent égale-
poids ( =
fonction d’étalonnage
ment être obtenus en utilisant un logiciel de régres-
sion linéaire sans poids mais dont les deux colonnes
d’entrée sont les z et les w.
6.5.1 Généralités
N
Après avoir établi un tableau d’analyse de variante,
(Wn - W) (Znm - z)
c
on compare
1
igo= n= N
2
- la variabilité due au défaut d’ajustement du mo-
Cwn - w)
c
n=l dèle choisi à l’étape 6.2 ou à l’étape 6.4 et
8
---------------------- Page: 12 ----------------------
0 ISO ISO 11095:1996(F)
A2 A2
a) Si n’est supérieur à
- la variabilité de l’erreur pure représentant I’inca-
Pas
OI lu,
Ftl -&N - 2; NK - IV’), il n’y a pas de raison de re-
pacité du système à répéter exactement des me-
jeter le modèle linéaire.
surages.
Cette comparaison est possible du fait de la réplique
b) Si $/?$ est supérieur à Ftl -a,(N - 2; NK - N), il
des mesurages de chaque MR.
convient de rechercher les causes éventuelles
d’une grande variabilité due au défaut d’ajus-
L’utilisateur de la présente Norme internationale est
tement relatif à la variabilité de l’erreur pure. Une
laissé libre de choisir le niveau de signification a qui
cause habituelle est l’inadaptation de l’hypothèse
dépend des applications particulières.
linéaire de la fonction d’étalonnage (voir figures 2
et 3). Les conditions dans lesquelles a été réalisée
l’expérience d’étalonnage peuvent constituer une
Modèle à écart-type résiduel constant
...
NORME
ISO
INTERNATIONALE 11095
Première édition
1996-02-01
Étalonnage linéaire utilisant des matériaux
de référence
Linear calibra tion using re ference ma terials
Numéro de référence
ISO 11095:1996(F)
---------------------- Page: 1 ----------------------
ISO 11095:1996(F)
Sommaire
Page
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Domaine d’application
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Références normatives
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Définitions
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Principes généraux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5 Méthode de base
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
6 Étapes de la méthode de base
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7 Méthode de contrôle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
8 Deux variantes de la méthode de base
16
9 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Annexes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
A Liste des symboles et abréviations
B Méthode de base lorsque le nombre de répliques n’est pas
28
constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
C Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 ISO 1996
Droits de reproduction réservés. Sauf prescription différente, aucune partie de cette publi-
cation ne peut être reproduite ni utilisée sous quelque forme que ce soit et par aucun pro-
cédé, électronique ou mécanique, y compris la photocopie et les microfilms, sans l’accord
écrit de l’éditeur.
Organisation internationale de normalisation
Case Postale 56 l CH-l 211 Genève 20 l Suisse
Imprimé en Suisse
ii
---------------------- Page: 2 ----------------------
0 ISO
60 11095:1996(F)
Avant-propos
L’ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération
mondiale d’organismes nationaux de normalisation (comités membres de
I’ISO). L’élaboration des Normes internationales est en général confiée aux
comités techniques de I’ISO. Chaque comité membre intéressé par une
étude a le droit de faire partie du comité technique créé à cet effet. Les
organisations internationales, gouvernementales et non gouvernemen-
tales, en liaison avec I’ISO participent également aux travaux. L’ISO colla-
bore étroitement avec la Commission électrotechnique internationale (CEI)
en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les projets de Normes internationales adoptés par les comités techniques
sont soumis aux comités membres pour vote. Leur publication comme
Normes internationales requiert l’approbation de 75 % au moins des co-
mités membres votants.
La Norme internationale ISO 11095 a été élaborée par le comité technique
lSO/TC 69, Application des méthodes statistiques, sous-comité SC 6,
Méthodes et résultats de mesure.
rante résente Norme interna-
Les annexes A et B font partie intég de la p
unjqu emen t à titre d’information.
tionale. L’annexe C est donnée
. . .
III
---------------------- Page: 3 ----------------------
0 ISO
ISO 11095:1996(F)
Introduction
L’étalonnage est un élément essentiel de la plupart des méthodes de
mesurage. Il s’agit d’un ensemble d’opérations établissant, dans des
conditions spécifiées, la relation entre des valeurs données par un sys-
tème de mesurage et les valeurs correspondantes acceptées de certains
((étalons). Dans la présente Norme internationale, les étalons sont des
matériaux de référence.
Un matériau de référence (MR) est une substance ou un artefact pour le-
quel une ou plusieurs caractéristiques sont suffisamment bien établies
pour valider un système de mesurage. II existe divers types de MR:
a) un matériau de référence interne est un Ml3 mis au point par un utili-
sateur pour ses propres besoins internes;
b) un matériau de référence externe est un MR fourni par quelqu’un
d’autre que l’utilisateur;
U n matériau de référence certifié est un MR diffusé et certifié par une
d
0 rganisation reconnue compétente.
---------------------- Page: 4 ----------------------
ISO 11095:1996(F)
NORME INTERNATIONALE 0 KO
Étalonnage linéaire utilisant des matériaux de
référence
La présente Norme internationale s’applique aux sys-
1 Domaine d’application
tèmes de mesurage pour lesquels on dispose de ma-
tériaux de référence.
La présente Norme internationale s’applique aux sys-
tèmes de mesurage ayant une fonction d’étalonnage
La présente Norme internationale a pour objet:
supposée linéaire. Elle propose une méthode d’exa-
men de l’hypothèse de linéarité. Si l’on sait que la
a) d’exposer les grandes lignes des principes géné-
fonction d’étalonnage est non linéaire, la présente
raux d’étalonnage d’un système de mesurage et
Norme internationale ne s’applique pas sauf en utili-
de maintien de ce système de mesurage
sant la ((technique de l’encadrement)) décrite en 8.3.
((étalonné)) en état de maîtrise statistique;
La présente Norme internationale ne fait pas de dis-
b) de fournir une méthode de base
tinction entre les divers types de MR et considère que
les valeurs acceptées des MR choisis pour I’étalon-
- pour estimer une fonction d’étalonnage liné-
nage du système de mesurage sont justes.
aire selon l’une des deux hypothèses relatives
à la variabilité des mesurages,
2 Références normatives
- pour contrôler l’hypothèse de linéarité de la
Les normes suivantes contiennent des dispositions
fonction d’étalonnage et les hypothèses tou-
qui, par suite de la référence qui en est faite, consti-
chant la variabilité des mesurages, et
tuent des dispositions valables pour la présente
- pour estimer la valeur d’une nouvelle grandeur Norme internationale. Au moment de la publication,
inconnue en modifiant les valeurs mesurées les éditions indiquées étaient en vigueur. Toute
obtenues sur cette grandeur par la fonction norme est sujette à révision et les parties prenantes
d’étalonnage; des accords fondés sur la présente Norme internatio-
nale sont invitées à rechercher la possibilité d’appli-
c) de fournir une méthode de contrôle pour un usage
quer les éditions les plus récentes des normes
élargi d’une fonction d’étalonnage
indiquées ci-après. Les membres de la CEI et de I’ISO
possèdent le registre des’ Normes internationales en
- pour déceler si la fonction d’étalonnage a be-
vigueur à un moment donné.
soin d’être mise à jour, et
ISO 3534-l :1993, Statistique - Vocabulaire et sym-
- pour évaluer l’incertitude des valeurs mesu-
boles - Partie 7 : Probabilité et termes statistiques
rées après modification par la fonction d’éta-
généraux.
lonnage;
ISO 3534-2:1993, Statistique - Vocabulaire et sym-
d) de fournir deux variantes de la méthode de base,
boles - Partie 2: Maîtrise statistique de la qualité.
dans des conditions particulières;
ISO Guide 30:1992, Termes et définitions utilisés en
e) d’illustrer par un exemple la méthode de base et
rapport avec les matériaux de référence.
la méthode de contrôle.
1
---------------------- Page: 5 ----------------------
0 ISO
ISO 11095:1996(F)
linéaire avec leurs systèmes de référence. II faut uti-
3 Définitions
liser plus de deux MR au cours de l’expérience d’éta-
lonnage afin de contrôler si l’hypothèse de linéarité
Pour les besoins de la présente Norme internationale,
est valide, ce qu’illustre la méthode de base.
les définitions données dans I’ISO 3534-l et
I’ISO 3534-2 et la définition suivante s’appliquent.
En utilisant plusieurs MR, la méthode de base fournit
une stratégie et des techniques pour analyser les
31 . matériau de référence: Substance ou artefact
données collectées au cours de l’expérience d’éta-
pour lequel une ou plusieurs caractéristiques sont
lonnage. Si la linéarité ne fait aucun doute, on peut
suffisamment bien établies pour être utilisées dans la
utiliser une autre méthode plus simple que la mé-
validation d’un système de mesurage.
thode de base pour évaluer une fonction d’étalonnage
reposant sur un point. Cette méthode ((d’étalonnage
en un point)) (suivant une transformation du niveau
zéro) ne permet pas de test d’hypothèse mais
constitue une méthode facile et rapide pour
4 Principes généraux
w-éétalonnew un système étudié de manière plus
approfondie au cours d’expériences antérieures. Si la
L’étalonnage est une méthode qui détermine la diffé-
linéarité est problématique, on peut faire appel à une
rence systématique qui peut exister entre un système
seconde solution appelée ((encadrement )).
de mesurage et un système de «référence» repré-
senté par les matériaux de référence et leurs valeurs
La méthode de base et la méthode en un point repo-
acceptées. Dans la présente Norme internationale, le
sent sur l’hypothèse que le travail consacré à I’éta-
terme (système» (système de mesurage ou système
lonnage restera valide sur une certaine période de
de référence) n’est pas utilisé pour représenter seu-
stabilité du processus. Une méthode de contrôle doit
lement un instrument de mesurage mais également
être en place afin d’étudier la période au cours de la-
l’ensemble des méthodes, des opérateurs et des
quelle l’étalonnage est valide. La méthode de contrôle
conditions associés à cet instrument.
est conçue pour détecter si des changements se sont
produits dans le système, justifiant une recherche
Le résultat d’une méthode d’étalonnage est une
et/ou un réétalonnage. La méthode de contrôle fournit
fonction d’étalonnage utilisée pour modifier les résul-
également un moyen simple de déterminer la fidélité
tats des mesurages ultérieurs. Dans la présente
des valeurs transformées par une fonction d’étalon-
Norme internationale, le terme ((modification)) signifie
nage donnée.
- soit une correction des mesurages ultérieurs si les
La méthode de l’encadrement nécessite un travail
valeurs acceptées des matériaux de référence
important mais peut assurer une plus grande exacti-
les valeurs observées ont les mêmes uni-
(MR) et
tude dans la détermination des valeurs de quantités
tés,
inconnues. La méthode consiste à entourer chaque
quantité inconnue d’aussi près que possible (enca-
- soit une conversion des unités des mesurages
drer) de deux MR et à extraire une valeur transformée
observés dans les unités des MR.
de l’inconnue à partir de mesurages de cette inconnue
et des valeurs des deux MR. On suppose seulement
La validité de la fonction d’étalonnage dépend de deux
une stabilité à court terme du processus de mesurage
conditions, à savoir:
(stabilité au cours du mesurage de l’inconnue et des
deux MR). La linéarité n’est supposée que dans I’in-
les mesurages servant à calcu Ier la fon ction
a)
tervalle entre les valeurs des deux MR.
d’étalonnage SO nt représ entatifs des candi tions
normales dans lesquelles fonctionne le système
de mesurage; et
5 Méthode de base
le système de mesurage est en état de maîtrise
b)
statistique.
5.1 Généralités
L’expérience d’étalonnage doit être conçue pour ga-
rantir le respect du point a). La méthode du contrôle
Le présent article décrit la manière d’évaluer et d’uti-
détermine, dès que possible, le moment où le sys-
liser une fonction d’étalonnage linéaire lorsque plu-
tème doit être considéré hors contrôle.
sieurs (plus de deux) MR sont disponibles. Disposer
La méthode de la présente Norme internationale ne de plusieurs MR permet de contrôler la linéarité de la
s’applique qu’aux systèmes de mesurage en relation fonction d’étalonnage.
2
---------------------- Page: 6 ----------------------
0 ISO ISO 11095:1996(F)
II convient que les valeurs des MR soient à peu près
5.2 Hypothèses
équidistantes sur l’étendue des valeurs rencontrées
dans les conditions normales de fonctionnement du
5.2.1 II est supposé qu’il n’y a aucune erreur dans
système de mesurage.
les valeurs acceptées des MR (cette hypothèse n’est
pas vérifiée dans la présente Norme internationale).
5.3.3 Nombre de MR, N
En pratique, les valeurs acceptées des MR sont don-
nées avec leurs incertitudes. L’hypothèse de I’ab-
II convient que 3 MR au moins soient utilisés pour
sente d’erreur dans les valeurs acceptées des MR
évaluer la fonction d’étalonnage.
peut être jugée valide si les incertitudes sont faibles
par rapport à l’importance des erreurs dans les valeurs
On recommande un nombre supérieur à 3 pour I’éva-
mesurées de ces MR (voir réf. [Il).
luation initiale de la fonction d’étalonnage (3 au t nains
dans tout intervalle partiel où il y a un doute su r la II-
Dans les situations où les MR ont été traités
NOTE 1
néarité de la fonction d’étalonnage).
chimiquement ou dans certains cas, physiquement, avant
de relever les données lues sur l’instrument, la présente
Norme internationale peut sous-estimer l’incertitude asso-
5.3.4 Nombre de répliques, K
ciée à la modification d’un nouveau résultat de mesurage.
II convient de mesurer chaque MR au moins deux fois
(autant de répliques qu’il est possible dans la pratique
5.2.2 La fonction d’étalonnage est supposée linéaire
sont recommandées).
(l’hypothèse sera examinée).
II convient que le nombre de répliques soit le même
pour tous les MR.
5.2.3 Les mesurages répétés d’un MR donné sont
supposés indépendants et normalement distribués
II convient que les moments et les conditions de prise
avec une variante dite wariance résiduelle)) (les hy-
des répliques soient étalés de façon à garantir que
pothèses d’indépendance et de normalité ne seront
toutes les conditions de fonctionnement sont repré-
pas vérifiées dans la présente Norme internationale).
sentées.
La racine carrée de la variante résiduelle est appelée
écart-type résiduel.
54 . Stratégie d’analyse des données
5.2.4 L’écart-type résiduel est supposé soit constant
soit proportionnel à la valeur acceptée du MR (I’hypo- 5.4.1 Tracer le graphique des données pour vérifier
thèse sera examinée).
a) la tenue en état de maîtrise du système de me-
surage au cours de l’expérience d’étalonnage,
5.3 Expérience d’étalonnage
b) l’hypothèse de linéarité, et
5.3.1 Conditions expérimentales
c) la variabilité des mesurages en fonction des va-
leurs acceptées des MR.
II convient que les conditions expérimentales soient
les mêmes que les conditions normales de fonction-
5.4.2 Évaluer la fonction d’étalonnage linéaire en
nement du système de mesurage, c’est-à-dire qu’il y
partant de l’hypothèse d’écart-type résiduel constant.
a lieu par exemple d’impliquer plusieurs opérateurs
dans l’expérience d’étalonnage s’ils sont plusieurs à
5.4.3 Tracer le graphique de la fonction d’étalonnage
utiliser le matériel de mesurage.
et des résidus. Le graphique des résidus est un puis-
sant indicateur de l’écart par rapport à l’hypothèse de
5.3.2 Choix des MR
linéarité ou d’écart-type résiduel constant. Si I’hypo-
thèse d’écart-type résiduel constant tient, sauter
II convient que l’étendue des valeurs couverte par les
l’étape 5.4.4 et passer à l’étape 5.4.5. Sinon, effectuer
MR sélectionnés recouvre (dans la mesure du possi-
l’étape 5.4.4.
ble) celle rencontrée dans les conditions normales de
fonctionnement du système de mesurage.
5.4.4 Estimer la fonction d’étalonnage linéaire dans
II convient que la composition des MR sélectionnés l’hypothèse d’écart-type résiduel proportionnel et tra-
soit aussi proche que possible de la composition du cer le graphique de la fonction d’étalonnage et des
matériau dont on envisage la mesure. résidus.
---------------------- Page: 7 ----------------------
0 ISO
ISO 11095:1996(F)
La figure 1 représente un graphique des valeurs me-
5.4.5 Évaluer le défaut d’ajustement de la fonction
surées en fonction des valeurs acceptées correspon-
d’étalonnage. Si la variabilité due au défaut d’ajus-
dantes des MR. De même que les figures 2 à 5, la
tement est importante par rapport à la variabilité due
figure 1 est obtenue à partir d’une simulation de don-
à la réplique des mesurages, revoir les méthodes
nées Ces cinq graphiques ont pour but d’illustrer le
suivies au cours de l’expérience d’étalonnage et ré-
type d’information que l’on peut en retirer. L’article 9
examiner l’hypothèse de linéarité de la fonction
traite d’un exemple complet avec données, graphi-
d’étalonnage. Si l’hypothèse de linéarité ne tient pas,
ques et analyse.
une autre solution est alors d’utiliser la technique de
l’encadrement décrite en 8.3.
Le graphique montré à la figure 1 a pour objectif prin-
NOTE 2 II existe d’autres techniques qui n’entrent pas
cipal de détecter visuellement un comportement
dans le domaine d’application de la présente Norme inter-
inhabituel du système de mesurage au cours de I’ex-
nationale et permettent l’adaptation aux données d’une
périence d’étalonnage et d’identifier les éventuelles
courbe du second degré ou polynomiale (voir réf. [Z] et
valeurs aberrantes. Le cas échéant, marquer l’ordre
.
PI)
des points de données et rechercher les tendances
manifestes dans le temps. Si l’on juge certaines don-
5.4.6 Modifier les valeurs ultérieurement mesurées
nées suspectes ou si une tendance dans le temps est
fonction d’étalonnage.
par la
manifeste, il faut alors faire une recherche pour trou-
ver les causes des anomalies. Dès que l’on a éliminé
L’article 6 décrit les six étapes de cette stratégie.
ces causes, il convient de renouveler l’expérience
L’article 9 illustre la méthode de base à l’aide d’un
d’étalonnage et de recueillir de nouvelles données
exemple.
afin d’établir la fonction d’étalonnage.
Si l’on trouve les causes d’une seule ou d’un très petit
6 Étapes de la méthode de base
nombre de valeurs aberrantes et si ces causes n’af-
fectent pas le reste des mesurages, les valeurs aber-
6.1 Tracé du graphique des données rantes peuvent être éliminées. L’expérience
d’étalonnage est alors déséquilibrée c’est-à-dire qu’il
collectées au cours de l’expérience
y a un nombre inégal de mesurages K, au lieu de K
d’étalonnage
pour chaque MR. L’estimation de la fonction d’éta-
x Réplique 1
0 Réplique 2
0 Réplique 3
60
Valeur aberrante?
--
Rechercher
\
n
- 2 3
5 6
Valeurs acceptées de MR
exemple, contenu en phospho re, en % du poids total)
Représentation schématique des données collectées au cours de l’expérience d’étalonnage
Figure 1 -
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0 ISO ISO 11095:1996(F)
lonnage peut alors se poursuivre en remplaçant les est sa pente,
B 1
formules données en 6.2, 6.4 et 6.5 par celles de
2
a est une mesure de la
l’annexe B.
fidélité du système de
mesurage.
La figure 1 permet également une première vérifica-
tion de l’hypothèse de linéarité de la fonction d’éta-
lonnage ainsi qu’un premier examen de l’hypothèse
6.2.2 Estimations des paramètres
d’écart-type résiduel constant. On peut contrôler vi-
suellement la linéarité de la fonction d’étalonnage en
Les estimations des paramètres BO, p, et a2 peuvent
imaginant une ligne droite passant par les données
être obtenues en utilisant les formules ci-dessous ou
de la figure 1 (il semble y avoir une certaine courbure
en utilisant un logiciel de régression linéaire à deux
de ces données). L’hypothèse d’écart-type résiduel
colonnes d’égale longueur, une pour les y et une pour
constant peut être vérifiée en examinant l’écartement
les X.
des points sur la figure 1, pour un MR donné. S’il
s’avère que cet écartement augmente en même
NOTE 3 Les estimations des paramètres ont un
temps que les valeurs acceptées des MR, l’hypothèse
symbole * dans la présente Norme internationale pour les
d’écart-type résiduel constant n’est probablement pas distinguer des paramètres eux-mêmes qui sont inconnus.
correcte (il ne semble pas que ce soit le cas à la
figure 1). Un graphique plus complexe pour vérifier les
hypothèses de linéarité et d’écart-type résiduel cons-
tant est présenté en 6.3.
6.2 Estimation de la fonction d’étalonnage
linéaire dans l’hypothèse d’écart-type résiduel
constant
j. = y - &x
A2 SSE
6.2.1 Modèle
CT
= (NK- 2)
Les hypothèses de linéarité de la fonction d’étalon-
nage et d’écart-type résiduel constant sont rendues
par le modèle
N
1
=-
x
hk = b0 + &n + %k
N c xn
n= 1
où
K
1
=-
Yn- K
Ynk
est la valeur acceptée du nième MR c
Xn
k=l
.
(n = 1, . . . .
N) I
N
1
est le kième mesurage du nième MR =-
hk
r N
c
(k = 1 , . . . . K);
n= 1
représente l’espérance de la valeur NK=NxK
BO + Blx,
du mesurage du nième MR;
est l’écart entre ynk et l’espérance
%k
de la valeur du mesurage du nième
enk = Ynk - ?n
MR (ces écarts sont supposés in-
dépendants et normalement distri-
SSE = F, F, (Q2
bués avec une moyenne 0 et une
=l k=l
n
va ria nce a2);
2
sont trois paramètres à estimer à
P@ B, et 0
6.3 Tracés du graphique de la fonction
partir des données collectées au
d’étalonnage et des valeurs résiduelles
cours de l’étalonnage:
est l’ordonnée à I’ori- On recommande les graphiques montrés aux figures
PO
gine de la fonction 2 et 3 pour tester les écarts par rapport aux hypothè-
d’étalonnage, ses du modèle de 6.2.
5
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ISO 11095:1996(F)
X Réplique 1
A Rbplique 2
0 Réplique 3
70
60
c
10
1 1 1 1 1
0
2 3 4
5 6
Valeurs acceptees de MR
(par exemple contenu en phosphore, en % du poids total)
Figure 2
Représentation schématique d’une courbe d’étalonnage
x Réplique 1
A Réplique 2
0 Réplique 3
X
0
X
8
x
0
@
,
ii
B
045 0
-2 X
L 1 IA 1 1
d
10 20 30 GO 50
Valeurs ajustées, 9,
Figure 3 - Représentation schématique d’un graphique de valeurs résiduelles par rapport aux valeurs
ajustées
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0 ISO ISO 11095:1996(F)
6.3.1 Tracé du graphique de la fonction Si l’hypothèse de linéarité ne tient pas, une autre so-
lution est alors la technique de l’encadrement décrite
d’étalonnage
en 8.3.
La figure 2 est obtenue en ajoutant la fonction d’éta-
NOTE 5
II existe d’autres techniques qui sortent du do-
lonnage estimée à la figure 1.
maine d’application de la présente Norme internationale
mais permettent d’adapter une courbe du second degré ou
Le graphique montré à la figure2 permet tout d’abord
polynomiale à ces données (voir réf. [Z] et [3]).
de vérifier les calculs donnés en 6.2.2. II assure éga-
lement un contrôle visuel de l’hypothèse de linéarité
Enfin, les essais des hypothèses d’indépendance et
de la fonction d’étalonnage.
de normalité des &,.& n’entrent pas dans le domaine
d’application de la présente Norme internationale. Ces
deux hypothèses sont essentielles pour la validité de
l’étape 6.5 et peuvent être vérifiées en étudiant les
valeurs résiduelles. Par exemple, un graphique en
probabilité normale des valeurs résiduelles permet un
6.3.2 Tracé du graphique des valeurs résiduelles
contrôle de l’hypothèse de normalité et un graphique
par rapport aux valeurs ajustées
des résidus par rapport au temps permet un contrôle
de l’hypothèse d’indépendance des mesurages. II est
Le graphique des valeurs résiduelles enk par rapport
possible de trouver de plus amples informations dans
aux valeurs ajustées Y, (figure3) est un outil précieux
réf. [3].
pour détecter un écart par rapport aux deux hypothè-
ses de linéarité et d’écart-type résiduel constant. Si
ces deux hypothèses tiennent, la figure3 doit repré-
senter un graphique de points répartis de manière
6.4 Estimation de la fonction d’étalonnage
aléatoire et centrés autour de 0. Une configuration
dans l’hypothèse d’écart-type résiduel
systématique entre les valeurs résiduelles et ajustées
proportionnel et tracé du graphique de la
indique un écart par rapport à l’hypothèse de linéarité
(c’est le cas à la figure3). L’augmentation (ou la dimi- fonction d’étalonnage et des résidus
nution) de la dispersion des données en même temps
que celle des valeurs ajustées indique un écart par
rapport à l’hypothèse d’écart-type résiduel constant.
6.4.1 Modèle
À la figure3, la dispersion des résidus pour chaque
valeur ajustée est presque toujours constante. L’hy-
Une variante du modèle donné à l’étape 6.2.1 est
pothèse d’écart-type résiduel constant est donc dé-
celle où la fonction d’étalonnage est linéaire mais
fendable dans le cas présent.
l’écart-type résiduel augmente avec les valeurs ac-
ceptées des MR, ce que rend le modèle:
NOTE 4 La figure8 illustre le cas où l’hypothèse d’écart-
type résiduel constant n’est pas défendable.
Ynk = YO + YIxn + qnk
Si l’hypothèse d’écart-type résiduel constant ne tient où
pas, les données collectées au cours de l’expérience
est la valeur acceptée du nième MR
d’étalonnage doivent être de nouveau analysées. Un xn
= 1 , . . . . N);
tn
graphique de l’écart-type des mesurages répétés d’un
MR en fonction de la valeur acceptée de ce MR indi-
est le kième mesurage du nième MR
Ynk
quera si l’hypothèse d’écart-type résiduel proportion-
(k = 1 , . . . . K);
nel se défend. Voir figure 9 pour un tel graphique.
représente l’espérance de la valeur
Y0 + YIxn
a) Si l’hypothèse d’écart-type résiduel proportionnel
du mesurage du nième MR;
semble tenir, les données peuvent alors être de
nouveau analysées conformément à l’étape de
est l’écart entre ynk et l’espérance
qnk
64 . .
de la valeur du mesurage du nième
MR (ces écarts sont supposés in-
b) Si l’hypothèse d’écart-type résiduel proportionnel
dépendants et normalement distri-
ne tient pas mais qu’il existe un modèle reliant
bués avec la moyenne 0 et une
l’écart-type résiduel aux valeurs acceptées des
variante porportionnelle à x:); en
MR (par exemple, proportionnalité inverse), I’ap-
d’autres termes,
proche peut alors être semblable à celle présen-
var(r& = Var&&) = x)f T2
tée à l’étape 6.4.
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ISO 11095:1996(F)
sont trois paramètres à estimer à
YO/ Y1 et T2
partir des données collectées au
cours de l’étalonnage: A2 WSSE
z =
(NK - 2)
sont respective-
Y0 et Y1
ment l’ordonnée à
où
l’origine et la pente
NK=NxK
de la fonction
d’étalonnage,
Ynk
=-
=nk Y
2
z est une mesure de
la fidélité relative 1
=-
wn x
n
du système de
mesurage.
1 N
=-
w
c
Ce modèle peut être modifié en un modèle équivalent N wn
n= 1
à celui donné en 6.21, c’est-à-dire avec des erreurs
à variante constante. La modification consiste à divi-
ser par xn les deux éléments de l’équation
‘n- =nk
k=l
!z
ce qui donne:
n= 1
%k
Ynk YO
-=
y+Yl +y-
z, =
n
Xn n $1 + ?Own
ou de façon équivalente: u - z,
nk = =nk
N K
=nk = Y 1 + YOwn + %k
WSSE = ;\: 7, (U,k)
où n=l k=l
6.4.3
Tracé du graphique de la fonction
d’étalonnage et des valeurs résiduelles
%k = qnklXn
On recommande deux graphiques, comme en 6.3:
Le nouveau modèle peut être analysé comme à
a) un graphique de la fonction d’étalonnage estimée
l’étape 6.2, après avoir effectué les changements
9 = vo + $X avec les données de la figure 1;
corrects de termes.
b) un graphique des valeurs résiduelles pondérées
6.4.2 Estimations des paramètres unk en fonction des valeurs ajustées pondérées
;.
Les estimations des paramètres yo, y1 et T* peuvent
L’interprétation de ces graphiques est la même que
être obtenues en utilisant les formules ci-dessous ou
celle des graphiques des figures 2 et 3.
en utilisant un logiciel de régression linéaire pondérée
sur trois colonnes de longueur égale, l’une pour les
y, une autre pour les x et encore une autre pour les
6.5 Évaluation du défaut d’ajustement de la
I/X*). Les mêmes résultats peuvent égale-
poids ( =
fonction d’étalonnage
ment être obtenus en utilisant un logiciel de régres-
sion linéaire sans poids mais dont les deux colonnes
d’entrée sont les z et les w.
6.5.1 Généralités
N
Après avoir établi un tableau d’analyse de variante,
(Wn - W) (Znm - z)
c
on compare
1
igo= n= N
2
- la variabilité due au défaut d’ajustement du mo-
Cwn - w)
c
n=l dèle choisi à l’étape 6.2 ou à l’étape 6.4 et
8
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0 ISO ISO 11095:1996(F)
A2 A2
a) Si n’est supérieur à
- la variabilité de l’erreur pure représentant I’inca-
Pas
OI lu,
Ftl -&N - 2; NK - IV’), il n’y a pas de raison de re-
pacité du système à répéter exactement des me-
jeter le modèle linéaire.
surages.
Cette comparaison est possible du fait de la réplique
b) Si $/?$ est supérieur à Ftl -a,(N - 2; NK - N), il
des mesurages de chaque MR.
convient de rechercher les causes éventuelles
d’une grande variabilité due au défaut d’ajus-
L’utilisateur de la présente Norme internationale est
tement relatif à la variabilité de l’erreur pure. Une
laissé libre de choisir le niveau de signification a qui
cause habituelle est l’inadaptation de l’hypothèse
dépend des applications particulières.
linéaire de la fonction d’étalonnage (voir figures 2
et 3). Les conditions dans lesquelles a été réalisée
l’expérience d’étalonnage peuvent constituer une
Modèle à écart-type résiduel constant
...
Questions, Comments and Discussion
Ask us and Technical Secretary will try to provide an answer. You can facilitate discussion about the standard in here.