ISO 10828:2024
(Main)Worm gears — Worm profiles and gear mesh geometry
Worm gears — Worm profiles and gear mesh geometry
This document describes the thread profiles of the five most common worm profile types and provides formulae of their axial profiles. The five worm profile types covered in this document are designated by the letters A, C, I, K and N. This document provides the formulae to calculate the path of contact, the conjugate profile of the worm wheel, the lines of contact, the radius of curvature and the velocities at points of contact. The application of those formulae to calculate parameters used in load capacity calculations are provided in 11.11.
Engrenage à vis cylindriques — Géométrie des profils de vis et de l’engrènement
Le présent document décrit, les profils de filets des cinq types de profils de vis les plus courants et fournit les formules de leur profil axial. Les cinq types de profils vis couverts dans le présent document sont désignés par les lettres A, C, I, K et N. Le présent document fournit les formules pour calculer la ligne de conduite, le profil conjugué de la roue creuse, les lignes de contact, le rayon de courbure et les vitesses aux points de contact. L'application de ces formules pour calculer les paramètres utilisés dans les calculs de capacité de charge est fournie au 11.11.
General Information
Relations
Standards Content (Sample)
International
Standard
ISO 10828
First edition
Worm gears — Worm profiles and
2024-04
gear mesh geometry
Engrenage à vis cylindriques — Géométrie des profils de vis et de
l’engrènement
Reference number
© ISO 2024
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Published in Switzerland
ii
Contents Page
Foreword .vi
Introduction .vii
1 Scope . 1
2 Normative references . 1
3 Terms and definitions . 1
4 Symbols and abbreviated terms. 2
5 Formulae for calculation of dimensions . 6
5.1 Parameters for a cylindrical worm .6
5.1.1 Axial pitch .6
5.1.2 Axial module .6
5.1.3 Lead .6
5.1.4 Unit lead .6
5.1.5 Diameter quotient .6
5.1.6 Reference lead angle .6
5.1.7 Reference helix angle . .6
5.1.8 Normal pitch on reference cylinder .6
5.1.9 Normal module .7
5.1.10 Reference diameter .7
5.1.11 Reference tooth depth .7
5.1.12 Reference addendum .7
5.1.13 Reference dedendum .7
5.1.14 Tip diameter .8
5.1.15 Root diameter .8
*
5.1.16 Thread thickness coefficient s .
mx1
5.1.17 Reference thread thickness in the axial section .8
5.1.18 Reference space width in the axial section .8
5.1.19 Normal thread thickness .8
5.1.20 Normal space width . .8
5.1.21 Profile flank form .8
5.1.22 Normal pressure angle.9
5.1.23 Base lead angle for profile type I .9
5.1.24 Base diameter for profile type I .9
5.1.25 Normal pitch on base cylinder .9
5.1.26 Worm face width .9
5.1.27 Right-hand helix and left-hand helix .9
5.1.28 Right flank and left flank .10
5.1.29 Flank definition .10
5.1.30 Root form and tip form diameter for worm .10
5.2 Parameters for a worm wheel.11
5.2.1 General .11
5.2.2 Reference diameter .11
5.2.3 Transverse pitch . 12
5.2.4 Transverse tooth thickness at reference diameter . 12
5.2.5 Space width at reference diameter . 12
5.2.6 Profile shift coefficient . 12
5.2.7 Tooth reference addendum . 12
5.2.8 Tooth reference dedendum . 12
5.2.9 Tooth depth . 12
5.2.10 Outside addendum . 13
5.2.11 Root diameter . 13
5.2.12 Tip diameter . 13
5.2.13 Outside diameter . 13
iii
5.2.14 Minimum and maximum outside diameter . 13
5.2.15 Worm wheel face width . 13
5.2.16 Throat form radius .14
5.2.17 Root form and tip diameter for worm wheel .14
5.3 Meshing parameters . 15
5.3.1 Centre distance . 15
5.3.2 Pitch diameter of worm wheel .16
5.3.3 Pitch diameter of worm.16
5.3.4 Worm gear ratio .16
5.3.5 Contact ratio .17
5.3.6 Tip clearance .17
5.3.7 Start of active profile (SAP) and end of active profile (EAP) diameters for worm
and worm wheel .17
6 Generalities on worm profile types .18
6.1 Worm profile types, see Table 4 .18
6.2 Conventions relative to the formulae of this document .18
7 Definition of profile types . . 19
7.1 General .19
7.2 A worm profile type . 20
7.2.1 Geometrical definition . 20
7.2.2 Machining methods. 20
7.3 I worm profile type .21
7.3.1 Geometrical definition .21
7.3.2 Machining methods. 22
7.4 N worm profile type . 25
7.4.1 Geometrical definition . 25
7.4.2 Machining methods. 26
7.5 General formulae for A, I and N profile types .27
7.6 K worm profile type . 28
7.6.1 Geometrical definition and method . 28
7.7 C worm profile type . 30
7.7.1 Geometrical definition . 30
7.7.2 General formulae for C and K profiles . 33
7.8 General formula of the axial profile . 36
7.8.1 General . 36
7.8.2 Derivative of pressure angle for all profile types . 36
7.9 Algorithm to initialize the calculation . 36
8 Useful section planes .37
8.1 General .37
8.2 Axial plane and axial section .37
8.3 Offset plane and offset section .37
8.4 Transverse plane and transverse section. 38
8.5 Normal plane and normal section . 38
8.6 Point of the worm surface in an offset plane: offset profile of worm . 39
9 Pitch surfaces .40
10 Conjugate worm wheel profile .42
10.1 General .42
10.2 Path of contact .42
10.3 Worm wheel profile conjugate with worm profile . 44
10.4 Trochoid (or fillet) at root of the worm wheel . 46
10.5 Equivalent radius of curvature in an offset plane. 48
10.5.1 Curvature for the worm at a point in an offset plane . 49
10.5.2 Curvature for the worm wheel at a point in an offset plane. 49
10.5.3 Equivalent radius of curvature in an offset plane .51
10.6 Singularities of worm gear mesh .51
10.6.1 Point of zero pressure angle . .51
iv
10.6.2 Loss of contact .52
10.6.3 Cusp . 53
11 Geometry of contact .55
11.1 General . 55
11.2 Tangent plane at point of contact . 56
11.3 Normal plane at point of contact . 56
11.4 Zone of contact.57
11.5 Lines of contact .59
11.6 Contact ratio . 63
11.7 Tangent vector to the line of contact . . 64
11.8 Normal plane at point of contact . 66
11.9 Principal equivalent radius of curvature . 66
11.10 Calculation of the path of contact and zone of contact .67
11.11 Calculation of line of contact .67
12 Velocities at contact point .68
12.1 Velocity of a point of worm . 68
12.2 Velocity of a point of worm wheel . 69
12.3 Relative velocity between two conjugate flanks . 69
12.4 Tangent to the path of contact . 69
12.5 Velocity of the contact point along the path of contact .70
12.6 Velocity of the point of contact .70
Annex A (informative) Parameters and derivatives of formulae for A, I, N profile types .71
Annex B (informative) Parameters and derivatives of formulae for K and C profile types.77
Annex C (informative) Algorithm to determine the point of generations of worm and worm
wheel .89
Annex D (informative) Comparison of different worm profile types .91
Annex E (informative) Comparison of singularities for different worm profile types.94
Annex F (informative) Comparison of gear mesh for different worm profile types .96
Annex G (informative) Utilisation of existing tooling for machining of worm wheel teeth .104
Annex H (informative) Interface for geometry for involute worms defined with ISO 21771-1 .107
Bibliography .110
v
Foreword
ISO (the International Organization for Standardization) is a worldwide federation of national standards
bodies (ISO member bodies). The work of preparing International Standards is normally carried out through
ISO technical committees. Each member body interested in a subject for which a technical committee
has been established has the right to be represented on that committee. International organizations,
governmental and non-governmental, in liaison with ISO, also take part in the work. ISO collaborates closely
with the International Electrotechnical Commission (IEC) on all matters of electrotechnical standardization.
The procedures used to develop this document and those intended for its further maintenance are described
in the ISO/IEC Directives, Part 1. In particular, the different approval criteria needed for the different types
of ISO document should be noted. This document was drafted in accordance with the editorial rules of the
ISO/IEC Directives, Part 2 (see www.iso.org/directives).
ISO draws attention to the possibility that the implementation of this document may involve the use of (a)
patent(s). ISO takes no position concerning the evidence, validity or applicability of any claimed patent
rights in respect thereof. As of the date of publication of this document, ISO had not received notice of (a)
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this may not represent the latest information, which may be obtained from the patent database available at
www.iso.org/patents. ISO shall not be held responsible for identifying any or all such patent rights.
Any trade name used in this document is information given for the convenience of users and does not
constitute an endorsement.
For an explanation of the voluntary nature of standards, the meaning of ISO specific terms and expressions
related to conformity assessment, as well as information about ISO's adherence to the World Trade
Organization (WTO) principles in the Technical Barriers to Trade (TBT), see www.iso.org/iso/foreword.html.
This document was prepared by Technical Committee ISO/TC 60, Gears, Subcommittee SC 1, Nomenclature
and wormgearing.
This first edition of ISO 10828 cancels and replaces the second edition of ISO/TR 10828:2015.
The main changes are as follows:
— conversion from a Technical Report to an International Standard and implementation of necessary
editorial changes;
— incorporation of a new Annex H on interface for geometry for involute worms defined as cylindrical gear
with ISO 21771-1.
Any feedback or questions on this document should be directed to the user’s national standards body. A
complete listing of these bodies can be found at www.iso.org/members.html
vi
Introduction
This document includes the formulation for the geometrical dimensions of the worm and worm wheel, and
that for the determination of gear mesh geometry (path of contact, zone and lines of contact) with the details
to determine the non-dimensional parameters used to apply load capacity calculations (radius of curvature,
sliding velocities). Thread forms of the worms of worm gear pairs are commonly related to the following
machining processes:
— the type of machining process (turning, milling, grinding, metal forming);
— the shapes of edges or surfaces of the cutting tools used;
— the tool position relative to an axial plane of the worm;
— where relevant, the diameters of disc type tools (grinding wheel diameter).
The calculations developed in this document are relatively complex as they involved primary and secondary
derivatives of mathematical expression. In order to facilitate the writing of equations, the numerators in
the left part of formulae are often omitted; this is why several formulae have special symbols and are not
written in a mathematical way:
d
Example in Formula (B.12) α y is written dα ()y
()
GG
GG
dy
G
d
Example in Formula (B.14) α y is written d2α y
() ()
GG GG
dy
G
In this document, the figures show a generic representation of worm profile types A, I, N, K, C. For the
influence of different worm profile types, see Annex E.
This document introduces all the aspects concerning the gear mesh geometry to define conjugate worm
wheel, path of contact, lines of contact and other associated geometrical characteristics.
vii
International Standard ISO 10828:2024(en)
Worm gears — Worm profiles and gear mesh geometry
1 Scope
This document describes the thread profiles of the five most common worm profile types and provides
formulae of their axial profiles.
The five worm profile types covered in this document are designated by the letters A, C, I, K and N.
This document provides the formulae to calculate the path of contact, the conjugate profile of the worm
wheel, the lines of contact, the radius of curvature and the velocities at points of contact. The application of
those formulae to calculate parameters used in load capacity calculations are provided in 11.11.
2 Normative references
The following documents are referred to in the text in such a way that some or all of their content constitutes
requirements of this document. For dated references, only the edition cited applies. For undated references,
the latest edition of the referenced document (including any amendments) applies.
ISO 701, International gear notation — Symbols for geometrical data
ISO 1122-2, Vocabulary of gear terms — Part 2: Definitions related to worm gear geometry
3 Terms and definitions
For the purposes of this document, the terms and definitions given in ISO 701 and ISO 1122-2 and the
following apply.
ISO and IEC maintain terminology databases for use in standardization at the following addresses:
— ISO Online browsing platform: available at https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: available at https:// www .electropedia .org/
3.1
mid plane of worm wheel
plane perpendicular to its datum axis containing the centre of virtual major torus radius generating tooth flanks
Note 1 to entry: See Figure 26.
Note 2 to entry: It can be axially located by measuring the position of inflection point along the helix of the cylinder of
the worm wheel defined by the measurement diameter for worm wheel. In hobbed worm wheel, the number of flutes
can influence the tooth flank surface and consequently the mid plane detection.
3.2
axial plane of worm
plane containing the line of axis of the worm defined by its datum axis
Note 1 to entry: Diameters can be measured in this plane, but thread surfaces would require a theoretical sharpened
edge measurement probe or correction in order to keep the contact point between the probe and the flank in this plane.
4 Symbols and abbreviated terms
Table 1 to Table 3 provide the symbols, the indices and the descriptions used in this document.
NOTE First and second derivatives symbols are not listed in Table 1 and Table 2.
Table 1 — Symbols for worm gears
Symbols Description Units Figure Formula
numbers numbers
A distance from the worm axis to virtual point of the cutter (see mm A.4 —
Reference [4])
a centre distance mm 5 42 and 43
a refers to the worm/tool centre distance (length of the common mm 22 55
perpendicular to the worm/tool axes)
a to a coefficients for A, I and N profile — See Table 5
1 4
b facewidth of worm mm 24
b effective wheel facewidth mm 5 40
2H
b wheel rim width mm 5 —
2R
b face end chamfer depth mm 5 —
ϕ2
c ,c tip clearance mm — 47 and 48
1 2
d worm tip diameter mm 1 14
a1
d worm wheel tip diameter mm 4 36
a2
d base diameter of involute helicoid (for profile type I) mm — 22
b1
d worm wheel outside diameter mm — 38
e2
d maximum worm wheel outside diameter mm — 39
e2max
d minimum worm wheel outside diameter mm — 38
e2min
d worm root diameter mm 1 15
f1
d worm wheel root diameter mm 4 35
f2
d worm tip form diameter mm 3 —
Fa1
d worm wheel tip form diameter mm 6 —
Fa2
d worm root form diameter mm 3 —
Ff1
d worm wheel root form diameter mm 6 —
Ff2
d worm reference diameter mm 1 10
m1
d worm wheel reference diameter mm 4 25
m2
d active worm tip form diameter mm 6 —
Na1
d active worm wheel tip form diameter mm 6 —
Na2
d active worm root form diameter mm 6 —
Nf1
d active worm wheel root form diameter mm 6 —
Nf2
d worm pitch diameter mm — 45
w1
d worm wheel pitch diameter mm 7 44
w2
e worm reference tooth space width in axial section mm 1 17
mx 1
e worm normal tooth space width in normal section mm — 19
n1
e worm wheel tooth space width in mid plane section mm — 28
m2
h worm tooth depth mm 1 11
h worm wheel tooth depth mm — 33
h worm tooth reference addendum in axial section mm 1 12
am1
h worm wheel tooth reference addendum in mid plane section mm 5 31
am2
*
worm tooth reference addendum coefficient in axial section — — 31
h
am1
TTaabblle 1 e 1 ((ccoonnttiinnueuedd))
Symbols Description Units Figure Formula
numbers numbers
*
worm wheel tooth reference addendum coefficient in mid plane — — 32
h
am2
section
h worm wheel tooth external addendum mm — 34
e2
h worm tooth reference dedendum in axial section mm 1 13
fm1
h worm wheel tooth reference dedendum in mid plane section mm — 32
fm2
*
worm tooth reference dedendum coefficient in axial section — 1 13
h
fm1
*
worm wheel tooth reference dedendum coefficient in mid plane — — 32
h
fm2
section
h radial height of chamfer (of worm) mm 3 —
k1
h radial height of chamfer (of worm wheel) mm 7 —
k2
j axial backlash mm — 28
x
m normal module mm — 9
n
m axial module mm — 2 and G.1
x1
n rotational speed of the worm rpm — 144
p normal pitch on base cylinder (for profile type I) mm — 23
bn1
p normal pitch mm — 8
n1
p transverse pitch mm — 27
t2
p axial pitch mm 1 1
x1
p lead (of worm) mm — 3
z1
p unit lead (lead of worm per radian) mm/rd — 4
zu1
q diameter quotient mm — 5
R outside radius of the grinding wheel (for profile type C and K) mm 22 —
Ga
R nominal or mean radius of the grinding wheel (for profile type mm 22 56
Gm
C and K)
r worm wheel throat form radius mm 5 41
g2
r base radius for involute profile (for profile type I) mm A.4 and A.5 22
b1
r' base radius of a notional base circle (for profile type N) mm A.4 and A.5 —
b1
r tip radius (of worm) mm 3 —
k1
r tip radius (of worm wheel) mm 7 —
k2
r radius at cusp mm 34 —
T
s tooth thickness at the reference diameter of the worm wheel mm 4 28
m2
s rim thickness mm 16 —
K
s worm thread thickness in axial section mm 1 16
mx1
*
worm thread thickness in axial section coefficient — — —
s
mx1
s normal worm thread thickness in normal section mm — 18
n1
u gear ratio — — 46
x worm wheel profile shift coefficient — — 30
x thickness of grinding wheel at nominal radius mm 22 and B.2 B.9
Gm
z number of threads in worm — — —
z number of teeth in worm wheel — — —
α tool normal pressure angle ° 20
0n
α tool transverse pressure angle for profile types A and I ° 20
0t
α normal pressure angle ° — 20
n
β reference helix angle of worm ° — 7
m1
TTaabblle 1 e 1 ((ccoonnttiinnueuedd))
Symbols Description Units Figure Formula
numbers numbers
γ reference lead angle of worm ° — 6
m1
γ base lead angle of worm thread (for profile type I) ° A.1 21
b1
γ' base lead angle of the notional base helix (for profile type N) ° A.4 and A.5 —
b1
ϕ face end chamfer angle ° 5 —
ρ radius of curvature of grinding wheel (for profile type C) — — —
Gm
ω angular velocity of the worm rad/s — 144
w1
ω angular velocity of the worm wheel rad/s — 146
w2
In calculation, when a radius is derived, the symbol d for diameter shall be replaced by r for radius.
Table 2 — Subscripts for worm gears
Symbols Description
0 cutting tool
1 worm
2 wheel
G grinding wheel
Table 3 — Coordinate of remarkable points (units are mm for length and degrees for angles)
Symbols Description Figure Formula
numbers
numbers
normal vector to an offset plane — 140
by ,D
()
D p
parameters to determine generated point by the — 59 to 62
c , cy() , cy() , ε ()y
1 2G 3G G
grinding wheel
coordinates of a point on the tool flank when the origin 22 Table 8
xy() , y , α ()y
GG G GG
is at the point of intersection of the tool axis and the
tool median plane, with the x-axis as the tool spindle
axis and the abscissa on the trace of the median plane
for profile C and K
xy , yy , α y coordinates of axial profile and axial pressure angle 25 49, 50, 54
() () ()
xr xr xr
for A, I, N worm profiles
xy , yy , α y coordinates of axial profile and axial pressure angle 25 67, 68, 78
() () ()
xG xG xG
for K and C worm profiles
coordinates of worm profile and pressure angle of 27 80, 81, 82, 86
xy D , yy D , α yD ,
() () ()
Dp, Dp, Dp,
worm profile in an offset plane, projection angle from
δ yD
()
Dp, axial profile
'
coordinates of worm profile with origin at pitch point 27 90, 81, 82
xy D , yy ,D
() ()
D p, lD p
coordinates of path of contact in an offset plane with 27 91, 92
xy ,D , yy ,D
() ()
lD p lD p
origin on pitch axis
coordinates of conjugate worm wheel profile of the 29 96, 97
xR yD, , yR yD,
() ()
Dp Dp
worm in an offset plane with origin on worm wheel
ry ,D , ϑ yD,
() ()
M2Dp Dp axis and polar coordinates
coordinates of trochoid profile of the worm wheel pro- 30 101, 102
xT ()rD, , yT ()rD,
Dt2D Dt2D
file in an offset plane with origin on worm wheel axis
coordinates of cusp point in an offset plane with origin — —
xy()cusp,D , yy()cusp,D
D D
on pitch axis
curvature for the worm at a point in an offset plane — 103, 110
Cy ,D
()
eq1D p
TTaabblle 3 e 3 ((ccoonnttiinnueuedd))
Symbols Description Figure Formula
numbers
numbers
curvature for the worm wheel at a point in an offset 31 111
Cy ,D
()
eq2D p
plane
equivalent radius of curvature in an offset plane — 113
Ry ,D
()
eqDp
radius of worm wheel conjugate to point B, tip of the 28 and 34 10.6.2
rD()
a2D
worm profile in the offset plane D
rD outside radius of the worm wheel in the offset plane D — 98
()
e2D
root radius of the worm wheel in the offset plane D — 99
rD()
f2D
radius of cylinder crossing the pitch point of in an — 87
rD()
wD
offset plane D
coordinate of a point of contact for the worm — 126
My ,D
()
1p
coordinate of a point of contact for the worm wheel — 127, 149
My ,D
()
2p
tangent unit vector to conjugate profile in the offset — 134
TN1 yD,
()
cont p
plane D
normal vector to the worm and worm wheel profile — 139
ny ,D
()
D p
in an offset plane
normal unit vector to the lines of contact at common — 124
NormalNxyy ,D
()
p
point of contact
normal unit vector to the lines of contact — 122
NORMAL yD,
()
p
radius of curvature along the line the contact — 143, 141
Req yD, , Req yD,
() ()
p 1 p
normalized unit vectors of the common tangent plane — 117, 121
TD1 yD, , TD2 yD,
() ()
p p
at point of contact between the tooth flanks
tangent vector to the worm and worm wheel profile — 138
ty ,D
()
D p
in an offset plane
velocity of a point of the thread of the worm — 146
Vy ,D
()
1p
velocity of a point of the tooth flank of the worm wheel — 150
Vy ,D
()
2p
velocity at the contact point along the path of contact — 160
Vy ,D
()
cDnp
sum of velocities at the point of contact for method B — 163
Vy ,D
()
SUMn p
in ISO/TS 14521:2020
angle of the projection of the pitch point of the offset ° 88
δ ()D
Dl
plane D in the axial plane
axial translation for the projection of the pitch point — 89
ΔxD()
D
of the offset plane D in the axial plane
angular velocity vector of the worm — 145
ω
angular velocity vector of the worm wheel — 148
ω
5 Formulae for calculation of dimensions
5.1 Parameters for a cylindrical worm
5.1.1 Axial pitch
Axial pitch is given by Formula (1), (see Figure 1):
pm=⋅π (1)
xx11
5.1.2 Axial module
Axial module is given by Formula (2):
p
x1
m = (2)
x1
π
5.1.3 Lead
Lead is given by Formula (3), (see Figure 1):
pz=⋅p (3)
zx11 1
5.1.4 Unit lead
Unit lead is given by Formula (4):
p
z1
p = (4)
zu1
2⋅π
5.1.5 Diameter quotient
Diameter quotient is given by Formula (5):
d
m1
q = (5)
m
x1
5.1.6 Reference lead angle
Reference angle is given by Formula (6):
mz⋅ z
x11 1
tanγ = = (6)
m1
d q
m1 1
5.1.7 Reference helix angle
Reference helix angle is given by Formula (7):
βγ=°90 − (7)
mm11
5.1.8 Normal pitch on reference cylinder
Normal pitch on reference cylinder is given by Formula (8):
pp=⋅cosγ (8)
nx11 m1
5.1.9 Normal module
Normal module is given by Formula (9):
mm=⋅cosγ (9)
nx11m
5.1.10 Reference diameter
Reference diameter given by Formula (10):
dq=⋅m (10)
mx11 1
Figure 1 — Axial parameters for worm
5.1
...
Norme
internationale
ISO 10828
Première édition
Engrenage à vis cylindriques —
2024-04
Géométrie des profils de vis et de
l’engrènement
Worm gears — Worm profiles and gear mesh geometry
Numéro de référence
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Publié en Suisse
ii
Sommaire Page
Avant-propos .vi
Introduction .vii
1 Domaine d'application . 1
2 Références normatives . 1
3 Termes et définitions . 1
4 Symboles et termes abrégés . 2
5 Formules pour le calcul des dimensions . 6
5.1 Paramètres pour une vis cylindrique .6
5.1.1 Pas axial .6
5.1.2 Module axial .6
5.1.3 Pas hélicoïdal .6
5.1.4 Pas hélicoïdal réduit .6
5.1.5 Quotient diamétral .6
5.1.6 Angle d'inclinaison d'hélice de référence .6
5.1.7 Angle d'hélice de référence .7
5.1.8 Pas normal sur le cylindre de référence .7
5.1.9 Module normal .7
5.1.10 Diamètre de référence .7
5.1.11 Hauteur de dent de référence .7
5.1.12 Saillie de référence .7
5.1.13 Creux de référence .8
5.1.14 Diamètre de tête .8
5.1.15 Diamètre de pied .8
*
5.1.16 Coefficient d'épaisseur de filet s .
mx1
5.1.17 Épaisseur de référence des filets dans la section axiale .8
5.1.18 Intervalle de référence des filets dans la section axiale .8
5.1.19 Épaisseur normale des filets.8
5.1.20 Intervalle normal des filets .8
5.1.21 Forme de flanc de profil .9
5.1.22 Angle de pression normal .9
5.1.23 Inclinaison de base pour un profil de type I .9
5.1.24 Diamètre de base pour un profil de type I .9
5.1.25 Pas normal sur le cylindre de base .9
5.1.26 Longueur de vis .9
5.1.27 Hélice droite et hélice gauche .9
5.1.28 Flanc droit et flanc gauche .10
5.1.29 Définition du flanc .10
5.1.30 Diamètre de forme du pied et de tête de vis .10
5.2 Paramètres pour une roue creuse .11
5.2.1 Généralité.11
5.2.2 Diamètre de référence .11
5.2.3 Pas apparent . 12
5.2.4 Épaisseur apparente des dents au diamètre de référence . 12
5.2.5 Intervalle des filets au diamètre de référence . 12
5.2.6 Coefficient de déport. 12
5.2.7 Saillie de référence de la dent . 12
5.2.8 Creux de référence de la dent . 12
5.2.9 Hauteur de dent . 12
5.2.10 Saillie extérieure . 13
5.2.11 Diamètre de pied . 13
5.2.12 Diamètre de tête . 13
5.2.13 Diamètre extérieur . 13
iii
5.2.14 Diamètres extérieurs minimal et maximal . 13
5.2.15 Largeur de denture d'une roue creuse. 13
5.2.16 Rayon de gorge .14
5.2.17 Diamètre de forme en pied et en tête de la roue .14
5.3 Paramètres d'engrènement . 15
5.3.1 Entraxe . 15
5.3.2 Diamètre primitif de fonctionnement d'une roue creuse .16
5.3.3 Diamètre primitif de fonctionnement d'une vis .16
5.3.4 Rapport d’engrenage de l’engrenage roue et vis .16
5.3.5 Rapport de conduite .17
5.3.6 Vide à fond de dent.17
5.3.7 Diamètres en début du profil actif (SAP) et en fin de profil actif (EAP) de la vis
et de la roue creuse .17
6 Généralités sur les types de profils de vis .18
6.1 Types de profils de vis, voir le Tableau 4 .18
6.2 Conventions relatives aux formules du présent document .18
7 Définition des types de profils . 19
7.1 Généralités .19
7.2 Profil de vis de type A . 20
7.2.1 Définition géométrique . 20
7.2.2 Méthodes d'usinage . 20
7.3 Profil de type I .21
7.3.1 Définition géométrique .21
7.3.2 Méthodes d'usinage . 22
7.4 Profile de vis de type N . 25
7.4.1 Définition géométrique . 25
7.4.2 Méthodes d'usinage . 26
7.5 Formules générales pour profils de types A, I et N .27
7.6 Profile de vis de type K . 28
7.6.1 Définition géométrique et méthode . 28
7.7 Profil de vis de type C . 30
7.7.1 Définition géométrique . 30
7.7.2 Formules générales pour profils C et K . 33
7.8 Formule générale du profil axial . 36
7.8.1 Généralités . 36
7.8.2 Dérivée de l’angle de pression pour tous les profils . 36
7.9 Algorithme pour initialiser le calcul . 36
8 Sections et plans de projection .37
8.1 Généralités .37
8.2 Plan axial et section axiale . .37
8.3 Plan crémaillère et section crémaillère .37
8.4 Plan apparent et section apparente .37
8.5 Plan normal et section normale .37
8.6 Point de la surface de la vis dans un plan crémaillère: profil crémaillère de la vis . 38
9 Surfaces primitives .40
10 Profil de roue creuse conjuguée .42
10.1 Généralités .42
10.2 Ligne de conduite .42
10.3 Profil de roue creuse conjugué avec le profil de vis . 44
10.4 Trochoïde (ou profil de raccordement) en pied de la roue creuse . 46
10.5 Rayon de courbure équivalent dans un plan crémaillère . 48
10.5.1 Courbure pour la vis en un point d'un plan crémaillère . 49
10.5.2 Courbure pour la roue creuse en un point d'un plan crémaillère. 49
10.5.3 Rayon de courbure équivalent dans un plan crémaillère .51
10.6 Singularités de l'engrènement de l’engrenage roue et vis . .51
10.6.1 Point d'angle de pression nul .51
iv
10.6.2 Perte de contact . .52
10.6.3 Point de rebroussement . 53
11 Géométrie de contact .55
11.1 Généralités . 55
11.2 Plan tangent au point de contact . 56
11.3 Plan normal au point de contact . 56
11.4 Zone de contact .57
11.5 Lignes de contact .59
11.6 Rapport de conduite . 63
11.7 Vecteur tangent à la ligne de contact . 64
11.8 Plan normal au point de contact . 66
11.9 Rayon de courbure équivalent principal . 66
11.10 Calcul de la ligne de conduite et de la zone de contact.67
11.11 Calcul des lignes de contact . 68
12 Vitesses au point de contact .69
12.1 Vitesse d'un point de la vis . 69
12.2 Vitesse d'un point de la roue creuse . 69
12.3 Vitesse relative entre 2 flancs conjugués. 69
12.4 Tangente à la ligne de conduite .70
12.5 Vitesse du point de contact le long de la ligne de conduite .70
12.6 Vitesse du point de contact .71
Annexe A (informative) Paramètres et dérivées des formules pour les profils de types A, I, N .72
Annexe B (informative) Paramètres et dérivées des formules pour les profils de types K et C .78
Annexe C (informative) Algorithme pour déterminer le point de génération de la vis et de la
roue creuse.90
Annexe D (informative) Comparaison de différents types de profils de vis .92
Annexe E (informative) Comparaison des singularités pour différents types de profils de vis .95
Annexe F (informative) Comparaison d'engrènements pour différents types de profils de vis .97
Annexe G (informative) Utilisation des outillages existants pour le taillage des dents de la roue
creuse .105
Annexe H (informative) Interface pour la géométrie des vis à développante de cercle définie
avec l’ISO 21771-1 .108
Bibliographie .111
v
Avant-propos
L'ISO (Organisation internationale de normalisation) est une fédération mondiale d'organismes nationaux
de normalisation (comités membres de l'ISO). L'élaboration des Normes internationales est en général
confiée aux comités techniques de l'ISO. Chaque comité membre intéressé par une étude a le droit de faire
partie du comité technique créé à cet effet. Les organisations internationales, gouvernementales et non
gouvernementales, en liaison avec l'ISO participent également aux travaux. L'ISO collabore étroitement avec
la Commission électrotechnique internationale (IEC) en ce qui concerne la normalisation électrotechnique.
Les procédures utilisées pour élaborer le présent document et celles destinées à sa mise à jour sont
décrites dans les Directives ISO/IEC, Partie 1. Il convient, en particulier, de prendre note des différents
critères d'approbation requis pour les différents types de documents ISO. Le présent document a
été rédigé conformément aux règles de rédaction données dans les Directives ISO/IEC, Partie 2 (voir
www.iso.org/directives).
L’ISO attire l’attention sur le fait que la mise en application du présent document peut entraîner l’utilisation
d’un ou de plusieurs brevets. L’ISO ne prend pas position quant à la preuve, à la validité et à l’applicabilité de
tout droit de brevet revendiqué à cet égard. À la date de publication du présent document, l’ISO n'avait pas
reçu notification qu’un ou plusieurs brevets pouvaient être nécessaires à sa mise en application. Toutefois,
il y a lieu d’avertir les responsables de la mise en application du présent document que des informations
plus récentes sont susceptibles de figurer dans la base de données de brevets, disponible à l'adresse
www.iso.org/brevets. L’ISO ne saurait être tenue pour responsable de ne pas avoir identifié tout ou partie de
tels droits de propriété.
Les appellations commerciales éventuellement mentionnées dans le présent document sont données pour
information, par souci de commodité, à l’intention des utilisateurs et ne sauraient constituer un engagement.
Pour une explication de la nature volontaire des normes, la signification des termes et expressions
spécifiques de l'ISO liés à l'évaluation de la conformité, ou pour toute information au sujet de l'adhésion de
l'ISO aux principes de l’Organisation mondiale du commerce (OMC) concernant les obstacles techniques au
commerce (OTC), voir www.iso.org/avant-propos.
Le présent document a été élaboré par le comité technique ISO/TC 60, Engrenages, sous-comité SC 1,
Nomenclature et engrenages à vis.
Cette première édition de l’ISO 10828 annule et remplace la deuxième édition de l’ISO/TR 10828:2015.
Les principales modifications sont les suivantes:
— conversion de Rapport technique en Norme Internationale et implémentation des modifications
rédactionnelles nécessaires;
— incorporation d’une nouvelle Annexe H sur l’interface pour la géométrie des vis cylindriques en
développante de cercle définis comme roues cylindriques dans l’ISO 21771-1.
Il convient que l'utilisateur adresse tout retour d'information ou toute question concernant le présent
document à l'organisme national de normalisation de son pays. Une liste exhaustive des dits organismes se
trouve à l'adresse www.iso.org/members.html.
vi
Introduction
Le présent document comprend la formulation pour les dimensions géométriques de la vis et de la roue
creuse, et celle pour la détermination de la géométrie d’engrènement (ligne de conduite, zone et lignes de
contact) avec les détails pour déterminer les paramètres adimensionnels utilisés pour appliquer les calculs
de capacité de charge (rayon de courbure, vitesse de glissement). Les profils de filets des vis des engrenages
à vis sont généralement liés aux procédés d'usinage suivants:
— le type de procédé d'usinage (tournage, fraisage, rectification, mise en forme des métaux);
— les formes des arêtes de coupe ou des surfaces des outils de coupe utilisés;
— la position relative de l'outil par rapport à un plan axial de la vis;
— lorsque cela est pertinent, les diamètres des outils de type disque (diamètre de la meule de rectification).
Les calculs développés dans ce présent document sont relativement complexes, car ils impliquent des
dérivées premières et secondes d'expressions mathématiques. Pour faciliter l'écriture des équations, les
numérateurs de la partie gauche des formules sont souvent omis; c'est pourquoi plusieurs formules ont des
symboles spéciaux et ne sont pas écrites de manière mathématique:
d
L’exemple dans la Formule B.12 α ()y est écrit dα ()y
GG GG
dy
G
d
L’exemple dans la Formule B.14 α y est écrit d2α y
() ()
GG GG
dy
G
Dans le présent document, les figures montrent une représentation générique des profils de vis de types A, I,
N, K, C. Pour l’influence des différents types de profils de vis, voir l’Annexe E.
Le présent document présente tous les aspects concernant la géométrie d’engrènement pour définir la roue
creuse conjuguée, la ligne de conduite, les lignes de contact et les autres caractéristiques géométriques
associées.
vii
Norme internationale ISO 10828:2024(fr)
Engrenage à vis cylindriques — Géométrie des profils de vis
et de l’engrènement
1 Domaine d'application
Le présent document décrit, les profils de filets des cinq types de profils de vis les plus courants et fournit
les formules de leur profil axial.
Les cinq types de profils vis couverts dans le présent document sont désignés par les lettres A, C, I, K et N.
Le présent document fournit les formules pour calculer la ligne de conduite, le profil conjugué de la roue
creuse, les lignes de contact, le rayon de courbure et les vitesses aux points de contact. L'application de ces
formules pour calculer les paramètres utilisés dans les calculs de capacité de charge est fournie au 11.11.
2 Références normatives
Les documents suivants sont cités dans le texte de sorte qu’ils constituent, pour tout ou partie de leur
contenu, des exigences du présent document. Pour les références datées, seule l’édition citée s’applique. Pour
les références non datées, la dernière édition du document de référence s'applique (y compris les éventuels
amendements).
ISO 701, Notation internationale des engrenages — Symboles géométriques
ISO 1122-2, Vocabulaire des engrenages — Partie 2: Définitions géométriques relatives aux engrenages à vis
3 Termes et définitions
Pour les besoins du présent document, les termes et définitions donnés dans l'ISO 701, ISO 1122-2, ainsi que
les suivants, s'appliquent.
L'ISO et l'IEC tiennent à jour des bases de données terminologiques destinées à être utilisées en normalisation,
consultables aux adresses suivantes:
— ISO Online browsing platform: disponible à l'adresse https:// www .iso .org/ obp
— IEC Electropedia: disponible à l'adresse https:// www .electropedia .org/
3.1
plan médian de la roue creuse
plan perpendiculaire à son axe de référence contenant le centre du rayon du tore majeur virtuel générant les
flancs de la dent
Note 1 à l'article: Voir Figure 26.
Note 2 à l'article: Il peut être localisé axialement en mesurant la position du point d'inflexion le long de l'hélice du
cylindre de la roue creuse définie par le diamètre de mesure de la roue creuse. Dans une roue creuse taillée par
fraisage, le nombre de gorges d’affûtage peut influencer la surface du flanc de la denture et par conséquent la détection
du plan médian.
3.2
plan axial de la vis
plan contenant la ligne d'axe de la vis définie par son axe de référence
Note 1 à l'article: Les diamètres peuvent être mesurés dans ce plan, mais les surfaces des filets nécessiteraient un
palpeur de mesure théorique à arête vive (tranchante) ou une correction afin de maintenir le point de contact entre le
palpeur et le flanc dans ce plan.
4 Symboles et termes abrégés
Les Tableaux 1 à 3 donnent les symboles, les indices et les descriptions utilisées dans le présent document.
NOTE Les dérivées premières et secondes ne sont pas énumérées dans les Tableaux 1 et 2.
Tableau 1 — Symboles pour les engrenages à vis
Symboles Description Unités Numéros Numéros de
de Figure Formule
A distance de l'axe de la vis à un point virtuel de l'outil (voir la Réfé- mm A.4 —
rence [4])
a entraxe mm 5 42 et 43
a entraxe vis/outil (longueur de la perpendiculaire commune aux axes mm 22 55
vis/outil)
a à a coefficients pour les profils de type A, I et N — — Voir
1 4
Tableau 5
b longueur de vis mm — 24
b largeur effective de la roue mm 5 40
2H
b largeur de jante de la roue mm 5 —
2R
b profondeur de l’extrémité de la surface du chanfrein mm 5 —
ϕ2
c ,c vide à fond de dent mm — 47 et 48
1 2
d diamètre de tête de la vis mm 1 14
a1
d diamètre de tête de la roue creuse mm 4 36
a2
d diamètre de base de l’hélicoïde développable (pour le profil de type I) mm — 22
b1
d diamètre extérieur de la roue creuse mm — 38
e2
d diamètre extérieur maximal de la roue creuse mm — 39
e2max
d diamètre extérieur minimal de la roue creuse mm — 38
e2min
d diamètre de pied de la vis mm 1 15
f1
d diamètre de pied de la roue creuse mm 4 35
f2
d diamètre de forme de tête de la vis mm 3 —
Fa1
d diamètre de forme de tête de la roue creuse mm 6 —
Fa2
d diamètre de forme de pied de la vis mm 3 —
Ff1
d diamètre de forme de pied de la roue creuse mm 6 —
Ff2
d diamètre de référence de la vis mm 1 10
m1
d diamètre de référence de la roue creuse mm 4 25
m2
d diamètre de forme de tête de la vis mm 6 —
Na1
d diamètre de forme de tête de la roue creuse mm 6 —
Na2
d diamètre de forme de pied de la vis mm 6 —
Nf1
d diamètre de forme de pied de la roue creuse mm 6 —
Nf2
d diamètre primitif de fonctionnement de la vis mm — 45
w1
d diamètre primitif de fonctionnement de la roue creuse mm 7 44
w2
e intervalle de référence des filets de la vis, dans la section axiale mm 1 17
mx1
TTabableleaauu 1 1 ((ssuuiitte)e)
Symboles Description Unités Numéros Numéros de
de Figure Formule
e intervalle normal des filets de la vis, dans la section normale mm — 19
n1
e intervalle de référence des dents de la roue creuse dans la section mm — 28
m2
du plan médian
h hauteur de dent de la vis mm 1 11
h hauteur de dent de la roue creuse mm — 33
h saillie de référence de la denture à vis dans la section axiale mm 1 12
am1
h saillie de référence de la denture de la roue creuse dans la section mm 5 31
am2
du plan médian
*
coefficient de saillie de référence de la denture à vis dans la section — — 31
h
am1
axiale
*
coefficient de saillie de référence de la denture de la roue creuse dans — — 32
h
am2
la section du plan médian
h saillie extérieure de la denture de la roue creuse mm — 34
e2
h creux de référence de la denture à vis dans la section axiale mm 1 13
fm1
h creux de référence de la denture de la roue creuse dans la section mm — 32
fm2
du plan médian
*
coefficient de creux de référence de la denture à vis dans la section -— 1 13
h
fm1
axiale
*
coefficient de creux de référence de la denture de la roue creuse dans -— — 32
h
fm2
la section du plan médian
h hauteur radiale du chanfrein (de la vis) mm 3 —
k1
h hauteur radiale du chanfrein (de la roue creuse) mm 7 —
k2
j jeu de battement axial mm — 28
x
m module normal mm — 9
n
m module axial mm — 2 et G.1
x1
n vitesse de rotation de la vis rpm — 144
p pas normal sur le cylindre de base (pour le profil de type I) mm — 23
bn1
p pas réel mm — 8
n1
p pas apparent mm — 27
t2
p pas axial mm 1 1
x1
p pas hélicoïdal (de la vis) mm — 3
z1
p pas hélicoïdal réduit (pas hélicoïdal de vis par radian) mm/rad — 4
zu1
q quotient diamétral mm — 5
R rayon extérieur de la meule de rectification (pour les profils de type mm 22 —
Ga
C et K)
R rayon nominal ou moyen de la meule de rectification (pour les profils mm 22 56
Gm
de type C et K)
r rayon de gorge de la roue creuse mm 5 41
g2
r rayon de base pour profil en développante (pour profil de type I) mm A.4 et A.5 22
b1
r' rayon de base d'un cercle de base fictif (pour profil de type N) mm A.4 et A.5 —
b1
r rayon de tête (de la vis) mm 3 —
k1
r rayon de tête (de la roue creuse) mm 7 —
k2
r rayon au point de rebroussement mm 34 —
T
s épaisseur de dent au diamètre de référence de la roue creuse mm 4 28
m2
s épaisseur de jante mm 16 —
K
s épaisseur des filets de vis dans la section axiale mm 1 16
mx1
TTabableleaauu 1 1 ((ssuuiitte)e)
Symboles Description Unités Numéros Numéros de
de Figure Formule
*
coefficient d'épaisseur des filets de vis dans la section axiale — — —
s
mx1
s épaisseur réelle des filets de vis en section normale mm — 18
n1
u rapport d’engrenage — — 46
x coefficient de déport de la roue creuse — — 30
x épaisseur de la meule au rayon nominal mm 22 et B.2 B.9
Gm
z nombre de filets de la vis — — —
z nombre de dents de la roue creuse — — —
α angle de pression normal de l'outil ° 20
0n
α angle de pression apparent de l'outil pour les profils de types A et I ° 20
0t
α angle de pression normal ° — 20
n
β angle de l'hélice de référence de la vis ° — 7
m1
γ angle d'inclinaison de l'hélice de référence de la vis ° — 6
m1
γ angle d'inclinaison de l'hélice de base du filet de vis (pour le profil ° A.1 21
b1
de type I)
γ' angle d'inclinaison de l'hélice de base fictive (pour le profil de type N) A.4 et A.5
b1
ϕ angle de chanfrein latéral ° 5 —
ρ rayon de courbure de la meule (profil de type C) — — —
Gm
ω vitesse angulaire de la vis rad/s — 144
w1
ω vitesse angulaire de la roue creuse rad/s — 146
w2
Lors du calcul, lorsqu'un rayon est calculé, le symbole d correspondant au diamètre doit être remplacé par r
pour rayon.
Tableau 2 — Indices pour engrenages à vis
Symboles Description
0 outil de coupe
1 vis
2 roue
G meule
Tableau 3 — Coordonnées des points remarquables (les unités sont en millimètres pour les
longueurs et en degrés pour les angles)
Symboles Description Numéros de Numéros
figure
de formule
vecteur normal à un plan crémaillère — 140
by ,D
()
D p
paramètres pour déterminer le point généré par la meule — 59 à 62
c , cy() , cy() , ε ()y
1 2G 3G G
de rectification
xy , y , α y coordonnées d'un point sur le flanc de l'outil lorsque 22 Tableau 8
() ()
GG G GG
l'origine est au point d'intersection de l'axe de l'outil et
du plan médian de l'outil, où l'axe x est l'axe de broche de
l'outil et l'abscisse est sur la projection du plan médian
pour les profils C et K
coordonnées du profil axial et angle de pression axial 25 49, 50, 54
xy() , yy() , α ()y
xr xr xr
pour les profils de vis A, I, N
coordonnées du profil axial et angle de pression axial 25 67, 68, 78
xy() , yy() , α ()y
xG xG xG
pour les profils de vis K et C
TTabableleaauu 3 3 ((ssuuiitte)e)
Symboles Description Numéros de Numéros
figure
de formule
coordonnées du profil de vis et angle de pression du 27 80, 81, 82,
xy D , yy D , α yD ,
() () ()
Dp, Dp, Dp,
profil de vis dans un plan crémaillère, angle de projection 86
δ yD
()
Dp, depuis un profil axial
'
coordonnées du profil de vis avec origine au point primitif 27 90, 81, 82
xy D , yy ,D
() ()
D p, lD p
coordonnées de la ligne de conduite dans un plan 27 91, 92
xy ,D , yy ,D
() ()
lD p lD p
crémaillère avec origine sur l'axe primitif
coordonnées de la roue creuse conjuguée de la vis dans 29 96, 97
xR yD, , yR yD,
() ()
Dp Dp
un plan crémaillère avec origine sur l'axe de roue creuse
ry ,D , ϑ yD,
() ()
M2Dp Dp et coordonnées polaires
xT rD, , yT rD, coordonnées du profil trochoïdal de la roue creuse dans 30 101, 102
() ()
Dt2D Dt2D
un plan crémaillère avec origine sur l'axe de roue creuse
coordonnées du point de rebroussement dans un plan — —
xy()cusp,D , yy()cusp,D
D D
crémaillère avec origine sur l'axe primitif
courbure pour la vis en un point d'un plan crémaillère — 103, 110
Cy ,D
()
eq1D p
courbure pour la roue creuse à un point d'un plan cré- 31 111
Cy ,D
()
eq2D p
maillère
rayon de courbure équivalent principal dans un plan — 113
Ry ,D
()
eqDp
crémaillère
rayon extérieur de la roue creuse conjuguée au point B, 28 et 34 10.6.2
rD()
a2D
tête du profil de la vis, dans le plan crémaillère D
rD rayon extérieur de la roue creuse dans le plan crémaillère D — 98
()
e2D
rayon de pied de la roue creuse dans le plan crémaillère D — 99
rD()
f2D
rD rayon du cylindre traversant le point primitif dans le — 87
()
wD
plan crémaillère D
coordonnées d'un point de contact pour la vis — 126
My ,D
()
1p
coordonnées d'un point de contact pour la roue creuse — 127, 149
My ,D
()
2p
vecteur unitaire tangent au profil conjugué dans le plan — 134
TN1 yD,
()
cont p
crémaillère D
vecteur normal au profil de la vis et de la roue creuse 139
ny ,D
()
D p
dans un plan crémaillère
vecteur unitaire normal aux lignes de contact en un point — 124
NormalNxyy ,D
()
p
de contact commun
vecteur unitaire normal aux lignes de contact — 122
NORMAL yD,
()
p
rayon de courbure le long de la ligne de contact 143, 141
Req yD, , Req yD,
() ()
p 1 p
vecteurs unitaires normalisés du plan tangent commun — 117, 121
TD1 yD, , TD2 yD,
() ()
p p
au point de contact entre les
...
Questions, Comments and Discussion
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